Solusi Numerik Persamaa Trasport M. Jamhuri December 16, 2013
Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1)
Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diskretka persamaa trasport 1) dega megguaka persamaa beda skema FTCS, yaitu u +1 u t + 2 u u 1 = 0 2)
Persamaa beda 2) dapat disederhaaka meadi u +1 = 2 t u u 1 ) + u
Persamaa beda 2) dapat disederhaaka meadi atau, u +1 u +1 = 2 t u u 1 ) + u = d u u 1 ) + u, dega d = 2 t 3)
Persamaa beda 2) dapat disederhaaka meadi atau, u +1 u +1 = 2 t u u 1 ) + u = d u u 1 ) + u, dega d = 2 t Syarat kestabila dari persamaa beda 3) dapat ditetuka dega cara mesubstitusika u = ρ e ia pada persamaa tersebut, da dikataka stabil ika memeuhi ρ 1. 3)
Persamaa beda 2) dapat disederhaaka meadi atau, u +1 u +1 = 2 t u u 1 ) + u = d u u 1 ) + u, dega d = 2 t Syarat kestabila dari persamaa beda 3) dapat ditetuka dega cara mesubstitusika u = ρ e ia pada persamaa tersebut, da dikataka stabil ika memeuhi ρ 1. Substitusi u = ρ e ia pada persamaa 3) meghasilka ρ +1 e ia = d ρ e ia ρ e ia 1)) + ρ e ia 3)
Persamaa beda 2) dapat disederhaaka meadi atau, u +1 u +1 = 2 t u u 1 ) + u = d u u 1 ) + u, dega d = 2 t Syarat kestabila dari persamaa beda 3) dapat ditetuka dega cara mesubstitusika u = ρ e ia pada persamaa tersebut, da dikataka stabil ika memeuhi ρ 1. Substitusi u = ρ e ia pada persamaa 3) meghasilka ρ +1 e ia = d ρ e ia ρ e ia 1)) + ρ e ia Bagi kedua ruas persamaa diatas dega ρ e ia, sehigga diperoleh ρ = d 1 e ia) + 1 3)
Utuk mempermudah aalisis, ubah betuk exp ke dalam betuk siusoidal, sehigga diperoleh ρ = d 1 cos a + i si a) + 1 = d + d cos a id si a + 1 = { d + d cos a + 1} + i { d si a}
Utuk mempermudah aalisis, ubah betuk exp ke dalam betuk siusoidal, sehigga diperoleh ρ = d 1 cos a + i si a) + 1 = d + d cos a id si a + 1 = { d + d cos a + 1} + i { d si a} Jika ρ 1, maka ρ 2 1, da utuk mempermudah perhituga syarat kestabila, kita pakai kriteria yag terakhir. Sedagka dari perhituga diperoleh ρ 2 = { d + d cos a + 1} 2 + { d si a} 2 { = d 2 2d 2 cos a 2d + d 2 cos 2 } a + 2d cos a + 1 + d 2 si 2 a = d 2 cos 2 a + d 2 si 2 ) a + 2d 2d 2) cos a + d 2 ) 2d + 1 = 2d 2d 2) cos a + 2d 2 ) 2d + 1
Utuk mempermudah aalisis, ubah betuk exp ke dalam betuk siusoidal, sehigga diperoleh ρ = d 1 cos a + i si a) + 1 = d + d cos a id si a + 1 = { d + d cos a + 1} + i { d si a} Jika ρ 1, maka ρ 2 1, da utuk mempermudah perhituga syarat kestabila, kita pakai kriteria yag terakhir. Sedagka dari perhituga diperoleh ρ 2 = { d + d cos a + 1} 2 + { d si a} 2 { = d 2 2d 2 cos a 2d + d 2 cos 2 } a + 2d cos a + 1 + d 2 si 2 a = d 2 cos 2 a + d 2 si 2 ) a + 2d 2d 2) cos a + d 2 ) 2d + 1 = 2d 2d 2) cos a + 2d 2 ) 2d + 1 Karea ilai 1 cos a 1, maka ) ) 2d 2 2d + 2d 2 2d + 1 ρ 2 2d 2d 2) ) + 2d 2 2d + 1 4d 2 4d + 1 ρ 2 1 4)
Igat syarat kestabilaya adalah ρ 1 atau 1 ρ 1 ika dikuadratka, maka syarat kestabilaya berubah meadi ρ 2 1 atau 0 ρ 2 1 utuk ρ R, ika ρ C maka ρ 2 1 atau 0 a 2 + b 2 1 utuk ρ = a + ib, dega i = 1.
Igat syarat kestabilaya adalah ρ 1 atau 1 ρ 1 ika dikuadratka, maka syarat kestabilaya berubah meadi ρ 2 1 atau 0 ρ 2 1 utuk ρ R, ika ρ C maka ρ 2 1 atau 0 a 2 + b 2 1 utuk ρ = a + ib, dega i = 1. Dega demikia dari pertidaksamaa 4) diperoleh syarat kestabila 4d 2 4d + 1 1 atau 4d 2 4d 0 d 1 0 d 1
Igat syarat kestabilaya adalah ρ 1 atau 1 ρ 1 ika dikuadratka, maka syarat kestabilaya berubah meadi ρ 2 1 atau 0 ρ 2 1 utuk ρ R, ika ρ C maka ρ 2 1 atau 0 a 2 + b 2 1 utuk ρ = a + ib, dega i = 1. Dega demikia dari pertidaksamaa 4) diperoleh syarat kestabila 4d 2 4d + 1 1 atau 4d 2 4d 0 d 1 0 d 1 Jadi syarat kestabilaya aka dipeuhi ika d 1 atau 2 t 1.
Syarat Kosistesi-ya Utuk meetuka syarat kosistesi dari 2), lakuka ekspasi Taylor utuk u +1 da u 1 yaitu: u +1 = u + t u t + 1 2! t2 u tt + 1 3! t3 u ttt + 5) u 1 = u u x + 1 2! 2 u xx 1 3! 3 u xxx + 6)
Syarat Kosistesi-ya Utuk meetuka syarat kosistesi dari 2), lakuka ekspasi Taylor utuk u +1 da u 1 yaitu: u +1 = u + t u t + 1 2! t2 u tt + 1 3! t3 u ttt + 5) u 1 = u u x + 1 2! 2 u xx 1 3! 3 u xxx + 6) Selautya da substitusika 5) da 6) pada persamaa 2), sehigga diperoleh t u t + 1 2! t2 u tt + 1 3! t3 u ttt + atau t +2 ux 1 2! 2 u xx + 1 3! 3 u xxx { u t + 1 2! t utt + 1 } { 3! t2 u ttt + + 2 u x 1 2! uxx + 1 } 3! 2 u xxx { u t + t 2! } { 2 t utt + u ttt + + 2 3! { t {u t + 2u x } + 2! } utt 2 2! uxx + u x 2! { t 2 3! } 2 uxx + u xxx 3! = 0 } u ttt + 2 2 u xxx + = 7 3! = =
Syarat Kosistesi-ya Utuk meetuka syarat kosistesi dari 2), lakuka ekspasi Taylor utuk u +1 da u 1 yaitu: u +1 = u + t u t + 1 2! t2 u tt + 1 3! t3 u ttt + 5) u 1 = u u x + 1 2! 2 u xx 1 3! 3 u xxx + 6) Selautya da substitusika 5) da 6) pada persamaa 2), sehigga diperoleh t u t + 1 2! t2 u tt + 1 3! t3 u ttt + atau t +2 ux 1 2! 2 u xx + 1 3! 3 u xxx { u t + 1 2! t utt + 1 } { 3! t2 u ttt + + 2 u x 1 2! uxx + 1 } 3! 2 u xxx { u t + t 2! } { 2 t utt + u ttt + + 2 3! { t {u t + 2u x } + 2! } utt 2 2! uxx + u x 2! { t 2 3! } 2 uxx + u xxx 3! = 0 } u ttt + 2 2 u xxx + = 7 3! Suatu persamaa beda utuk persamaa trasport 1) atau betuk terakhir dari persamaa 7) dikataka kosiste ika lim t,) 0 { t 2! } { } t 2 utt 2 2! uxx + u ttt + 2 2 u xxx + = 0 8) 3! 3! = =
Galat pemotoga pertama pada persamaa 7) adalah selautya kita sigkat Gpp. Error pemotoga pertama = t 2! utt 2 2! uxx
Galat pemotoga pertama pada persamaa 7) adalah selautya kita sigkat Gpp. Error pemotoga pertama = t Perhatika! dari persamaa 1), kita puya 2! utt 2 2! uxx u t = 2u x atau u t = 2 u x
Galat pemotoga pertama pada persamaa 7) adalah selautya kita sigkat Gpp. Error pemotoga pertama = t Perhatika! dari persamaa 1), kita puya 2! utt 2 2! uxx u t = 2u x atau u t = 2 u x Jika kita turuka persamaa diatas sekali lagi terhadap t, maka 2 u t 2 = t 2 u ) = 2 x t u x ) = 2 x u t ) = 2 2 u ) = 4 2 u x x x 2 atau u tt = 4u xx atau u xx = 1 4 utt
Jika keyataa terakhir kita substitusika pada GPP, aka diperoleh t Gpp = 2 ) u tt 4 yag meyataka bahwa akurasi dari persamaa beda 2) berorde O t, ), da Gpp tersebut aka berilai ol ika t 2 4 = 0 atau t = 2 4 2 t = 1 d = 1
Jika keyataa terakhir kita substitusika pada GPP, aka diperoleh t Gpp = 2 ) u tt 4 yag meyataka bahwa akurasi dari persamaa beda 2) berorde O t, ), da Gpp tersebut aka berilai ol ika t 2 4 = 0 atau t = 2 4 2 t = 1 d = 1 Jadi persamaa beda 2) aka meghasilka solusi umerik yag sama dega solusi eksakya errorya ol) ika kita dapat megkodisika d = 1.
Jika keyataa terakhir kita substitusika pada GPP, aka diperoleh t Gpp = 2 ) u tt 4 yag meyataka bahwa akurasi dari persamaa beda 2) berorde O t, ), da Gpp tersebut aka berilai ol ika t 2 4 = 0 atau t = 2 4 2 t = 1 d = 1 Jadi persamaa beda 2) aka meghasilka solusi umerik yag sama dega solusi eksakya errorya ol) ika kita dapat megkodisika d = 1. Akhirya, skema umerik utuk persamaa trasport 3) kosiste, karea utuk t 0, 0 Gpp-ya uga meuu ol. sedemikia higga { t {u t + 2u x } + 2! } { t 2 utt 2 2! uxx + 3! } u ttt + 2 2 u xxx + = ut + 2u x 3!
Cotoh Cari Solusiya Di berika persamaa trasport beserta kodisi batasya sebagai berikut: u t + 2u x = 0 0 x 2, 0 t 1 u x, 0) = { 1 0 < x 0.8 0 x laiya da u 0, t) = 0
Cotoh Cari Solusiya Di berika persamaa trasport beserta kodisi batasya sebagai berikut: u t + 2u x = 0 0 x 2, 0 t 1 u x, 0) = { 1 0 < x 0.8 0 x laiya da u 0, t) = 0 Dega megguaka t = 0.2 da = 0.4, maka dapat diperoleh solusi dari pdp diatas sebagai maa pada tabel berikut: Table: Hasil Numerik Skema FTBS u +1 = 2 t t/x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 0 0 0 0 0 0.4 1 0 0 0 0 0 0.8 1 1 0 0 0 0 1.2 0 1 1 0 0 0 1.6 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 ) u u 1 + u )