IR Lingkaran Elips 1
Smk n 1 stabat IRISAN KERUCUT Disusun Oleh : Dian Septiana 07144110049 Dalam PPL-T Unimed SMK N 1 Stabat SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT LANGKAT
010 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT karena atas pertolongan-nya, modul ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Terima kasih juga kepada guru pamong penulis yaitu ibu Nursiah, S.Pd yang telah memberi banyak masukan demi terselesaikannya modul ini. Modul ini berisi tentang bahan ajar Irisan Kerucut yang diajarkan di kelas XII SMK Teknologi, dan juga tentang tujuan pembelajaran serta hal-hal yang berkaitan dengan pembelajaran Irisan Kerucut. Materi yang disusun dalam modul diambil dari beberapa referensi khususnya buku paket Matematika dari dari berbagai pengarang dan penerbit, dari internet, serta silabus Matematika SMK Teknologi yang mendukung kelengkapan isi dari modul ini dan diharapkan dapat menambah pengetahuan sasaran modul ini yaitu siswa SMK kelas XII khususnya dan juga tenaga pendidik di SMK pada umumnya. Penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penyusun dengan terbuka menerima kritik dan saran soal dan penyelesaiannya. Akhir kata, semoga modul ini bermanfaat bagi kita semua. Aaamiin Stabat, Oktober 010 Dian Septiana 3
DAFTAR ISI Halaman Sampul... 1 Halaman Francis... Kata Pengantar... 3 Daftar Isi... 4 Peta Konsep... 5 Glosarium... 6 Bab I. Pendahuluan... 7 A. Deskripsi... 7 B. Tujuan Akhir... 7 C. Kompetensi... 8 Bab II. Pembelajaran... 9 Kegiatan Belajar 1... 9 A...Tujuan Pembelajaran... 9 B...Uraian Materi... 9 C...Latihan 1... 16 D...Kunci Jawaban Latihan 1... 16 Kegiatan Belajar... 17 A...Tujuan Pembelajaran... 17 B...Uraian Materi... 17 C...Latihan... 19 D...Kunci Jawaban Latihan... 19 Kegiatan Belajar 3... 0 A...Tujuan Pembelajaran... 0 B...Uraian Materi... 0 C...Latihan 3... D...Kunci Jawaban Latihan 3... Kegiatan Belajar 4... 3 4
A...Tujuan Pembelajaran... 3 B...Uraian Materi... 3 C...Latihan 4... 5 D...Kunci Jawaban Latihan 4... 5 Bab III. Evaluasi... 7 Daftar Pustaka... 31 PETA KONSEP 5
GLOSARIUM 6
Lingkaran Istilah Jari jari lingkaran Ellips Parabola Keterangan Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran. Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis. Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. BAB I. PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Dalam modul ini, akan dipelajari 4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 adalah Lingkaran. Kegiatan Belajar adalah Parabola, Kegiatan Belajar 3 adalah Elips, dan Kegiatan Belajar 4 adalah Hiperbola. 7
Dalam Kegiatan Belajar 1, yaitu Lingkaran, akan diuraikan mengenai: Unsur-unsur lingkaran Persamaan lingkaran Garis singgung lingkaran Dalam Kegiatan Belajar, yaitu Parabola, akan diuraikan mengenai: Unsur-unsur parabola Persamaan parabola Sketsa parabola Dalam Kegiatan Belajar 3, yaitu Elips, akan diuraikan mengenai: Unsur unsur elips Persamaan elips Sketsa elips Dalam kegiatan belajar 4 yaitu Hiperbola, akan diuraikan menjadi : Unsur unsur hiperbola Persamaan hiperbola Sketsa hiperbola B. TUJUAN AKHIR Setelah mempelajari modul ini, siswa diharapkan dapat : 1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran. Menentukan persamaan lingkaran 3. Melukis garis singgung lingkaran 4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran 5. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola 6. Menentukan persamaan parabola 7. Menggambar sketsa parabola 8. Mendeskripsikan unsur-unsur ellips 9. Menentukan persamaan ellips 10. Menggambar sketsa ellips 11. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola 1. Menentukan persamaan hiperbola 13. Menggambar sketsa hiperbola 8
C. KOMPETENSI Standar Kompetensi : Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah Kompetensi Dasar : 1. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola BAB II. PEMBELAJARAN Kegiatan Belajar 1 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran 9
A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran. Menentukan persamaan lingkaran 3. Melukis garis singgung lingkaran 4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran B. Uraian Materi 1. Unsur Unsur Lingkaran Kurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong sejajar bidang alas. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang dipotong tadi? Permukaan kerucut yang dipotong tadi berbentuk lingkaran. Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dilukis jika titik pusat dan jari-jari lingkaran diketahui. Adapun unsur unsur lingkaran adalah sebagai berikut : a. Jari-jari lingkaran yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan sebuah titik pada lingkaran b. Tali busur yaitu garis yang menghubungkan dua buah tutuk pada lingkaran c. Diameter yaitu tali busur yang melalui titik pusat lingkaran d. Busur lingkaran yaitu kurva pada keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran e. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu tali busur f. Tembereng yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran. g. Apotema yaitu gari tegak lurus terhadap tali busur.. Persamaan Lingkaran a. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0, 0) 10
Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1,y1) dan titik O sebagai pusat lingkaran. Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal di A. Pandang OTA! OTA merupakan segitiga siku-siku, dimana membentuk sudut siku-siku di titik A. Sehingga berlaku teorema pytagoras: OA + AT = OT 1 + y1 r x = O r T(x1,y1 ) A Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran maka x + y = r x + y = r merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (0,0) dengan jari-jari r Contoh 1. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 3 adalah x + y = 9. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 5 adalah x + y = 5 3. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 1 adalah x + y = 1 Contoh 1. x + y = 16 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 4. x + y = 4 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari b. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(a, b) 11
Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1,y1) dan titik P(a,b) sebagai pusat I D P r A T(x1,y1) Q lingkaran. Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal titik A Buat garis yang melalui titik P sejajar sumbu x, sehingga memotong TA di titik Q. Pandang PQT! PQT merupakan segitiga siku-siku di titik Q, TQ = (y 1 b) dan PQ = (x 1 a). Sehingga berlaku teorema pytagoras: PQ + QT = OT ( x a) + ( y b) = 1 1 r 1
Karena berlaku untuk setiap titik T(x 1,y 1 ) pada lingkaran, maka berlaku : ( x a) + ( y b) = r ( x a) + ( y b) = r merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (a,b) dengan jari-jari r Contoh Tentukan persamaan lingkaran dengan a. pusat (, 3) dan jari-jari 5 b. pusat (-3,1) dan jari-jari c. pusat (, -) dan jari-jari 1 Penyelesaian a. Persamaan lingkaran dengan pusat (, 3) dan jari-jari 5 adalah ( x ) + ( y 3) = 5 b. Persamaan lingkaran dengan pusat (, 3) dan jari-jari 5 adalah ( x + 3) + ( y 1) = 4 c. Persamaan lingkaran dengan pusat (, 3) dan jari-jari 5 adalah ( x ) + ( y + ) = 1 Contoh Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan 4x +4y - 4x + 16y -19 = 0 Penyelesaian 4x + 4y -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat x x x 19 + y x + 4y = 0 4 19 x + y + 4y = 0,dijadikan kuadrat sempurna diperoleh 4 1 19 1 x + + y + 4y + 4 = + + 4 4 4 4 1 x + ( y + ) = 9 Jadi, koordinat pusat lingkaran adalah (1/, -) dan jari-jarinya 3 c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 13
Bentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan lingkaran yang berpusat tidak pada (0,0) berikut ini: ( ) ( ) x a + y b = r x ax + a + y by + b = r x + y ax by + a + b = r x + y + Ax + By + C = 0, dengan A = a, B = b dan C = a + b r Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x + y + Ax + By + C = 0 1 1 1 1 dengan pusat di A, B dan jari-jari r = A + B C Contoh Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan R(,). Penyelesaian Missal persamaan lingkarannya adalah x y Ax By C + + + + = 0 Titik P (1,0) pada lingkaran berarti 1 + 0 + A.1 + B.0 + C = 0 A + C = -1 atau A = -1 C...(1) Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti 0 + 1 + A.0 + B.1 + C = 0 B + C = -1 atau B = -1 - C...() Titik R (,) pada lingkaran berarti + + A. + B. + C = 0 A + B + C = -8...(3) Substitusi (1) dan () pada (3) didapat (-1 C ) + (-1-C) + C = -8 - - C C + C = 0-3C = - 4 C = 4/3 Dari (1) didapat A = -7/3 Dari () didapat B = -7/3 7 7 4 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y x y + = 0 3 3 3 3. Garis Singgung Lingkaran 14
Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik. a. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0) Misal persamaan garis singgung: y = mx + k Sehingga ada satu titik pada lingkaran: x +y = r yang memenuhi persamaan garis Y = mx + singgung di atas. Akibatnya: r O r X+Y = r ( ) ( ) x + mx + k = r x + m x + mkx + k = r 1+ m x + mkx + k r = 0; merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Agar persamaan itu mempunyai satu harga x, maka harus terpenuhi syarat diskriminan dari persamann sama dengan nol yaitu : ( mk ) 4 ( 1 + m ).( k r ) = 0 m k ( k m k r m r ) 4 ( k r m r ) = 0 k r ( 1 m ) = 0 4 4 + = 0 k = ± r 1+ m Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = mx ± r 1+ m Contoh 8 Tentukan garis singgung pada lingkaran x + y = 16 dengan gradien 3 Penyelesaian Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = r dengan gradient m adalah sebagai berikut y = mx ± r 1 + m 15
Maka y = 3x ± 4 1 + 3 y = 3x ± 4 10 b. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b) Kita dapat menurunkan rumusnya dengan cara yang serupa dengan di atas. Maka akan diperoleh persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu ( ) 1 y b = m x a ± r + m Contoh Tentukan garis singgung pada lingkaran (x + 3) + (y - 1) = 4 dengan gradien - Penyelesaian Persamaan garis singgung pada lingkaran (x a) + (y - b) = r dengan gradient m adalah ( ) Maka, y b = m x a ± r 1+ m ( x ) ( ) y 1= + 3 ± 1+ y 1= x 6± 5 y = x 5± 5 c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y 1 ) pada lingkaran x + y = r adalah Contoh x1x + y1 y = r Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 5 di titik (3, -4) Penyelesaian Persamaan garis singgungnya adalah x x + y y = r 1 1 3x 4y = 5 d. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (a,b) 16
Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y 1 ) pada lingkaran ( x a) + ( y b) = r adalah ( x = r 1 a)( x a) + ( y1 b)( y b) Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y 1 ) pada lingkaran x y Ax By C + + + + = 0 adalah 1 1 x x + y1 y + A 1 1 C ( x + x ) + B( y + y ) + 0 1 = LATIHAN 1 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (0,5).. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran X + y = 100 yang melalui titik (6,8) 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran X + y +8x 6y = 0 dan apa keistimewaan dari lingkaran ini? KUNCI JAWABAN LATIHAN 1 1. Misal persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (-5,0), adalah x + y +Ax + By + C= 0 Titik (3,4) pada lingkaran: 9+16 + 3A + 4B + C= 0 atau 3A + 4B + C=-5 Titik (5,0) pada lingkaran: 5+0 + 5A + 0 + C= 0 atau 5A + C= -5 Titik (0,5) pada lingkaran: 5+0 5A + 0 + C= 0 atau 5A + C= -5. Dari tiga persamaan di atas didapat A = 0, B= 0 dan C = -5 Jadi persamaan lingkarannya adalah x + y - 5 = 0. Titik (6,8) pada lingkaran x + y = 10 Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 100 yang melalui titik (6,8) adalah 6x + 8y = 100 atau 3x + 4y = 50 3. Persamaan x + y +8x 6y = 0 dapat diubah menjadi x + 8x + y 6y = 0 x + 8x + 16 + y 6y + 9= 16 + 9 (x + 4) + (y - 4) = 5 Jadi pusat (-4, 3 ) dan jari-jari = 5 17
Kegiatan Belajar Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola. Menentukan persamaan parabola 3. Menggambar sketsa parabola B. Uraian Materi 1. Unsur Unsur Parabola Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai satu sumbu simetri adalah Parabola. Buatlah model kerucut dari kertas manila. Atau plastisin (sering disebut malam). Iris dengan bidang yang tegak lurus alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang teriris? Permukaan kerucut yang teriris benbentuk parabola. Parabola diperoleh dengan mengiris bangun kerucut sejajar garis pelukisnya. Dalam matematika parabola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis, di mana garis itu tegak lurus garis arah.. Persamaan Parabola a. Persamaan parabola dengan puncak (0,0) Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(p,0) adalah y = 4 px 18
Secara analog, jika F(-p,0) dan persamaan direktrisnya x = p, maka persamaan parabolanya adalah y = 4 px - Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke kanan - Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke kiri Contoh Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola Penyelesaian Diketahui persamaan parabola p = > 0. Jadi parabola terbuka ke kanan. Dari keterangan di atas diperoleh : - Koordinat fokus parabola di F(,0) - Sumbu simetri: y = 0 - Persamaan direktris : x = - y = 8x! y = 8x. Maka diperoleh 4px = 8x, sehingga - Untuk x =, diperoleh y = 8. = 16. Sehingga y = ± 4. Jadi, koordinat titik-titik ujung latus rectum adalah (,4) dan (, -4) Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(0,p) adalah x = 4 py Secara analog, jika F(0,-p) dan persamaan direktrisnya y = p, maka persamaan parabolanya adalah x = 4 py - Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke atas - Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke bawah b. Persamaan parabola dengan puncak (a,b) Persamaan parabola dengan puncak (a,b) adalah ( y b) = 4 p( x a) Secara umum, terdapat 4 macam bentuk baku persamaan parabola yang berpuncak di (a,b), yaitu : - ( y b) = 4 p( x a) kanan - ( y b) = 4 p( x a) kiri merupakan parabola horizontal yang terbuka ke merupakan parabola horizontal yang terbuka ke 19
LATIHAN - ( x a) = 4 p( y b) - ( x a) = 4 p( y b) merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas merupakan parabola vertikal yang terbuka ke bawah Contoh Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (,3) dan titik fokusnya (6,3)! Penyelesaian Titik puncak adalah (,3), maka a = dan b = 3 Titik fokus (6,3), maka a + p = 6, sehingga diperoleh p = 4 Persamaan parabolanya adalah : ( y 3) = 16 ( x ) 1. Buatlah sketsa grafik parabola y = 4x dan x = -4y. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan melalui (6,-6) serta menyinngung sumbu y 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (-, -3) pada parabola y = 8x 4. Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus dan direktrik dari parabola dengan persamaan y = - 6x Kunci Jawaban Latihan 1. a) Parabola y = 4x puncaknya (0,0), dan melalui titik (1,1), (,4), (-1, 1), (-, 4) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri! x 1-1 - y 1 4 1 4 b) Parabola x = -4y puncaknya (0,0), dan melalui titik (1,-4), (,-8), (-1, 4), (-, 8) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri! y 1-1 - x -4-8 4 8 0
. Parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan menyingung sumbu y, bentuk umumnya adalah x = py Melalui (6,-6), maka 36 = -1 p, didapat p = -3 Jadi persamaan parabola yang diminta adalah x = -6y 3. Titik (-, -3) tidak pada parabola y = 8x. Dari y = 8x didapat p = 4 Misal titik singgungnya (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah by = 4(x + a). Garis singgung ini melalui titik (-, -3) maka -b = 4(-3 + a) atau 4a + b = 1... (1) Sedangkan (a, b) pada parabola y = 8x maka berlaku b = 8a... () Eliminasi dari (1) dan () didapat a = dan b = 4 atau a = 4,5 dan b=-6 Jadi persamaan garis singgungnya adalah : 4y = 4( x + ) atau y = x +, atau -6y = 4( x + 4,5) atau 4x + 6y + 18 = 0 4. Persamaan parabola y = - 8x Puncak di (0,0) Persamaan sumbu simetri adalah y = 0 atau sumbu x Koordinat fokus adalah (-, 0); Persamaan direktrik adalah x = Kegiatan Belajar 3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur elips. Menentuan persamaan ellips 3. Menggambar sketsa ellips B. Uraian Materi 1. Unsur Unsur Elips Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips. 1
Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips Elips mempunyai sumbu simetri yaitu : garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Persamaan Elips a. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0) - Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips : b x + a y = a b x atau a y + b = 1 - Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips : a x + b y = a b x atau b y + a = 1 b. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β ) - Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips : ( x α ) ( y β ) a + b = 1 - Untuk elips yang berfokus di sumbu Y, persamaan elips : ( x α ) ( y β ) b + a = 1 3. Sketsa Elips Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Gambarlah di bukumu titik F1, F dan panjang a > F1F. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F sedemikian hingga FB = F1A dan AB = a. FB= F1A = (a - F1F) 3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut: a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari a - ri c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.
d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F dan sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips. Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips LATIHAN 3 1. Tentukan sumbu mayor / minor, dari persamaan Ellips : 8x + 1 y = 96. Tentukan persamaan Ellips jika diketahui titik puncak ( 0,- ) 3. Gambar grafik Ellips jika Persamaannya : a. x + y = 1 16 9 ( x 1) ( y ) 4 + 1 = 1 KUNCI JAWABAN LATIHAN 3 1. 8x + 1y = 96 8x 1y + = 1 96 96 x y + = 1 1 8 Sumbu mayor = 1 = 4 3 Sumbu minor = 8 = 4. 3
3. Titik pusat di (,-1), maka α = dan β = 1 Sumbu mayor = a = 8; a = 4 Sumbu minor = b = 6; b = 3 Persamaan umum elips ( x α ) ( y β ) + = 1 a b Maka, persamaan elips adalah ( x ) ( y + 1) + = 1 16 9 a. Titik pusat (0,0) Sumbu mayor = 8 Sumbu minor = 6-4 3 0 4-3 3 b. Titik pusat (1,) Sumbu mayor = 4 Sumbu minor = -1 1 3 0 (1, ) Kegiatan Belajar 4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola. Menentukan persamaan hiperbola 3. Menggambar sketsa hiperbola B. Uraian Materi 4
1. Unsur- Unsur Hiperbola Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Hiperbola. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak kerucut. Dalam matematika hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. Jadi hiperbola dapat dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu diketahui.. Persamaan Hiperbola a. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0) - Titik pusat di (0,0) - Titik puncak (a,0) dan (-a,0) - Titik fokus di (c,0) dan (-c,0) b - Persamaan asimtot hiperbola : y = ± x a - Eksentrisitas : - c = a + b c e = a - Persamaan direktris : a x = ± c x y - Persamaan hiperbola : b x a y = a b atau = 1 a b b. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(α,β ) Untuk hiperbola yang berpusat di (α,β ), maka : - Titik pusat di (α,β ) - Titik fokus di (α +c,β ) dan (α -c,β ) - Titik puncak di (α +a,β ) dan (α -a,β ) 5
- Persamaan direktris : a x = α + c - Persamaan asimtot hiperbola : y β = ± ( x α ) x α a - Persamaan hiperbola : ( ) ( ) = 1 b a y β b - Bentuk umum persamaan hiperbola : Ax By + Cx + Dy + E = 0 Dengan A 0, B 0, dan A B a C T i 3. Sketsa Hiperbola 1. Tetapkan titik F1, F dan panjang a <. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F sedemikian hingga FB = F1A. 3. F B = F,A = 1 / ( F,F - a). 4. Titik Ti diperoleh sebagai berikut: 5. Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F A F, B A D 6. Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari ri - a 7. Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti. 8. Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F dan sebaliknya. Selamat mencoba F, LATIHAN 4 1. Tentukan koordinat titik puncak dari Hiperbola 16 y 5 x = 400! 1. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui asimtotnya y = ± x dan panjang 3 sumbu minor = 6! KUNCI JAWABAN LATIHAN 4 6
1. 16 y 5x = 400 16y 5x = 1 400 400 y x = 1, sehingga a= 5, b= 4, dan c= 41 5 16 Eksentrisitas : e = 41 5 Titik puncak : (5,0) dan (-5,0) Titik fokus : ( 41,0) dan (- 41,0) 4 Persamaan asimtot : y = ± x 5 (16) Panjang latus rectum : = 6,4 5 5 5 Persamaan direktriks : x = ± = ± 41 41 41. ( x + 4) ( y 1) 36 16 = 1 7
BAB III. EVALUASI A. Pilihan Ganda 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0.0 ) dan melalui titik potong garis x + y = 5 dan x y = 1 adalah a. x + y = 4 c. x + y = 13 e. x + y = 5 b. x + y = 9 d. x + y = 16. Persamaan lingkaran yang berpusat di P ( -3. ) dan jari jari 4 adalah. a. x + y 6x 6y 3 = 0 b. x + y 6x + 6y 3 = 0 c. x + y + 6x + 6y + 3 = 0 d. x + y + 6x 4y 3 = 0 e. x + y + 6x 6y + 3 = 0 3. Sebuah garis g = y = x + p menyinggung lingkaran x + y = 1, maka nilai p adalah a. 1 dan -1 c. dan - e. 3 dan 3 b. dan - d. dan -1 4. Persamaan garis singgung di titik (, ) pada lingkaran x + y = 1 adalah a. x + y = 0 c. x + y 6 = 0 e. x + y + 6 =0 b. x + y + 6 = 0 d. x + y 6 = 0 5. Persamaan garis singgung di titik (.6 ) pada lingkaran ( x 3 ) + ( y + 1 ) = 16 adalah. a. x 7y + 6 = 0 c. x + 7y 6 = 0 e. x 7y 6 =0 b. x + 7y 6 = 0 d. x 7y 6 = 0 8
6. Jika diketahui persamaan parabola dan fokus di. a. (0,1) b. (0,6) c. (0,4) d. (0,) e. (0,3) x = 1y maka parabola tersebut berpuncak di O (0,0) 0 7. Persamaan parabola yang berpuncak di (3,7) dan fokusnya (3,5) adalah a. x 6x 8y + 65 = 0 b. x 6x 8y 45 = 0 c. x 6x + 8y + 65 = 0 d. x 6x + 8y 65 = 0 e. x 6x 8y 47 = 0 8. Persamaan parabola ( y 3) = 16( x ) mempunyai persamaan direktris.. a. x = -3 b. x = - c. x = d. x = 3 e. x = 4 9. Koordinat titik puncak dari ellips dengan persamaan 16x 5y 160x 00y 400 0 + + = adalah. a. (8,5) dan (0,5) b. (8,4) dan (0,4) c. (10,4) dan (8,5) d. (10,4) dan (0,4) e. (10,5) dan (0,5) x 3 ( y 5) + = 1 adalah. 36 5 0 10. Panjang sumbu mayor dari elips ( ) a. 3 b. 6 c. 9 d. 1 9
e. 17 11. Persamaan elips yang memiliki titik pusat (4,-), titik puncak (9,-) dan titik fokus (0,-) adalah ( x 4) ( y + ) a. + = 1 5 9 ( x + 4) ( y ) b. + = 1 5 9 ( x 4) ( y + ) c. + = 1 9 5 ( x 4) ( y ) d. + = 1 5 9 ( x + 4) ( y + ) e. + = 1 5 9 1. Koordinat titik puncak dari persamaan hiperbola a. (7,0) dan (-7,0) b. (8,0) dan (-8,0) c. (0,7) dan (0,-7) d. (0,8) dan (0,-8) e. (7,8) dan (-7,-8) x y = 1 adalah.. 64 49 13. Persamaan asimtot dari hiperbola 5 6 a. y = ± x b. y = ± x 6 5 7 5 c. y = ± x d. y = ± x 5 7 6 e. y = ± x 7 x y = 1 adalah 36 5 14. Diketahui hiperbola mempunyai koordinat titik puncak di (8,0) dan (-8,0) serta koordinat titik fokus di (4,0) dan (-4,0). Persamaan hiperbola tersebut adalah 30
x y x y a. = 1 b. = 1 16 64 64 16 x y x y c. = 1 d. = 1 16 48 48 16 x y e. = 1 48 64 15. Diketahui persamaan hiperbola 9x 16y 18x 64y 199 0 =. Eksentrisitas dan panjang lactus rectumnya adalah. a. 5/4 dan 9/4 b. 5/4 dan 18/4 c. 3/4 dan 9/4 d. 9/4 dan 3/4 e. 3/4 dan 18/4 B. Isian 1 1. Hitunglah nilai m jika lingkaran ( x 4 ) + ( y + 3 ) = m melalui titik A ( -1, -3 )!. Titik P (,6 ) terletak pada lingkaran + y + nx + 6y 1 = 0 x Tentukan nilai n! 3. Tentukan pusat dan jari jari lingkaran x + y 6x 10 y + = 0 4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (.4 ) dan jari jari 5 5. Tentukan koordinat puncak, koordinat fokus, persamaan direktris, dan latus rectum dari persamaan ( y ) 16( x 1) =! 6. Tentukan persamaan parabola jika diketahui F ( 4,10 ) dan direktrisnya x = 4! 7. Gambar grafik parabola y = 16 x 31
DAFTAR PUSTAKA Bahri, Samsul dan Mustain. 009. Terampil Matematika untuk SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega Mauludin, Ujang. 007. Matematika untuk SMK kelas XII Program Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama Noormandiri, B.K. 004. Matematika SMA untuk kelas XII program Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga Teguh, Mega. 004. Modul Irisan Kerucut. Departemen Pendidikan Nasional 3