Akar-Akar Persamaan Definisi akar : Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x) X 1 = untuk fungsi kuadratik f(x) = x + x + c = 0 diberikan oleh Sebagai contoh, penyelesaian analitik Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan akar-akar bagi persamaan tersebut. Akar-akar tersebut memberikan nilai-nilai x yang menjadikan persamaan itu sama dengan nol. Namun untuk bentuk-bentuk persamaan non-linear dengan derajat, terkadang akan ditemukan kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya. Sehingga untuk persamaan non-linear menggunakan metode-metode lain yang bukan dengan menggunakan rumus ABC. Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f(x) = 0 adalah membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia memotong sumbu x. Titik ini yang mewakili nilai x di mana f(x) = 0, memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar. Metode grafis Metode pertama untuk menyelesaikan persamaan non-linear adalah metode grafik. Metode grafik merupakan metode sederhana untuk mendapatkan akar perkiraan dari persamaan f(x)=0 dengan membuat plot dari fungsi dan mengamatinya di mana fungsi tersebut memotong sumbu x. Di titik ini, yang merepresentasikan nilai x yang membuat f(x)=0, memberikan hampiran kasar bagi akar persamaan itu. Misal : x 4 3x = 0 f(x) = x 4 x 4 = 3x + y(x) = 3x +
f(x) = y(x) x f(x) x f(x) 16-3 -7 0 0 0-16 4 3 11 0 1 6 1 8 f(x) = x 4 y(x) = 3x + 4-3 - -1 1 3-4 4-8 - 1 Gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c yang diperlukan oleh penerjun payung dengan masa m = 68,1 kg agar mempunyai kecepatan 40 m/detik setelah jatuh bebas untuk waktu t = 10 detik. Catatan : percepata yang disebabkan gravitasi adalah 9,8 m/detik. Penyelesaian :
Kita dapat menentukan akar persamaan dengan memakai parameter t = 10, g = 9,8 ; v = 40 dan m = 68,1 F(c) = (1 e -(c/68,1)10 ) -40 atau F(c) = (1 e -0,146943c ) 40... 40 (1) Beragam nilai c dapat disubstitusikan ke ruas kanan persamaan ini untuk menghitung C 4 8 1 16 0 F(c) 34,115 17,653 6,067 -,69-8,401 0 0 4 8 1 16 0 ak ar Titik-titik ini dirajah (diplot) pada gambar di atas. -Kurva yang dihasilkan memotong sumbu c 10 antara 1 dan 16. Pemeriksaan visual rajahan tersebut menyediakan taksiran akar kasar sebesar 14,75. Kesahihan taksiran grafis dapat diperiksa dengan mensubstitusikannya ke persamaan (1) untuk menghasilkan F(14,75) = (1 e (-0,146943)(14,75) ) 40 = 0,059 Yang dekat ke nol. Kesahihan ini dapat pula diperiksa dengan mensubstitusikannya ke persamaan... bersama dengan nilai-nilai parameter dari contoh ini untuk memberikan V = (1 e (14,75/68,1)10 ) = 40,059
Yang sangat dekat ke kecepatan jatuh 40 m/detik yang dikehendaki. Kesulitan metode ini barangkali adalah usaha untuk membuat plot grafik fungsinya. Selain itu, metode ini juga tidak cukup akurat karena dapat saja tebakan akar satu orang dengan orang yang lainnya berbeda. Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat ternbatas karena kurang tepat. Namun, metode grafis ini dapat dimanfaatkan untuk memperoleh taksiran kasar dari akar. Taksiran-taksran ini dapat diterapkan sebagai terkaan awal untuk metode numerik. Misalnya, perangkat lunak komputer TOOLKIT elektronik yang menyertai naskah ini memboekan untuk menggambarkan fungsi pada suatu rentang tertentu. Gambaran ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan penggambaran akansangat meningkatkan kegunaan perangkat lunak tersebut. Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, tafsiran grafis merupakan sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang tersembunyi dari metode-metode numerik. f(x) f(x) f(x) f(x) x l X u x x l X u x x l X u x x l X u x (a) (b) (c) (d) Gambar di atas memperlihatkan sejumlah cara di mana akar dapat muncul dalam suatu selang yang ditentukan oleh batas bawah x l dan batas atas x u. Gambar (b) melikiskan kasus di mana satu akar tunggal dikurung oleh nilai-nilai f(x) yang positif dan negatif. Gambar (d), di mana f(x l ) dan f(x u ) juga berseberangan dengan sumbu x, memperlihatkan tiga akar muncul dalam selang (interval) itu. Umumnya jika f(x l ) dan f(x u ) mempunyai tanda yang berlawanan, maka dalam
selang itu terdapat akar sebanyak bilangan ganjil. Seperti ditunjukkan pada gambar (a) dan gambar (c), jika f(x l ) dan f(x u ) bertanda sama, maka antara nilai-nilai tersebut tidak terdapat akar atau terdapat akar sebanyak bilangan genap. Walaupun perampatan (generalisasi) ini biasanya benar, tetapi terdapat kasusu di mana hal tersebut tidak berlaku. Misalnya, akar ganda, yakni fungsi yang bersinggungan terhadap sumbu x (gambar a) dan fungsi terkontinu (gambar b) dapat melanggar prinsip-prinsip ini. Contoh dari fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan derajat tiga (cubic equation) f(x) = (x )(x )(x 4). Perkatikan bahwa x = membuat dua faktor polinom ini sama dengan nol. Oleh karena itu, x = dinamakan akar ganda. METODE PENCARIAN AKAR a. Metode bagi dua Metode ini dapat dilakukan dengan memperhatikan bagan berikut : [a,b ]] bagi dua di [a,c ]] [c,b ]] Ya f(a)f(c) < 0? tidak Selang baru: Selang baru: [a,b] [c,b] [a,b] [a,c] Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut : 1. Lebar selang baru :, dalam hal ini adalah nilai toleransi lebar selang yang mengukur akar.
. Nilai fungsi di hampiran akar : f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c) = 0 dibenarkan. Tetapi, dapat pula kita uji f(c) = 0 dengan menghampiri nilai f(c) < epsilon mesin. 3. Galat relatif hampiran akar :, dalam hal ini adalah galat relatif yang diinginkan. Teorema 3.1 Jika menerus di dalam selang dengan dan sehingga dan, maka selalu berlaku dua ketidaksamaan berikut: (i) dan (ii), Bukti: Misalkan pada iterasi ke r kita mendapatkan selang yang panjangnya setengah panjang selang sebelumnya,. Jadi, Jelaslah bahwa... Pada iterasi ke r, posisi c r (akar hampiran) dan s (akar sejati) adalah seperti diagram berikut: Berdasarkan diagram di atas jelaslah bahwa Selanjutnya,
Jadi, selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah lebih dari setengah epsilon. Dengan mengingat kriteria berhenti adalah, maka dari (i) terlihat bahwa Sehingga Yang dalam hal ini R adalah jumlah iterasi (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat kurang dari. Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = di dalam selang [0,1] dan! Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode bagi dua. Jumlah iterasi yang dibutuhkan : Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar hampiran kurang dari I A c b f(a) f(c) f(b) selang baru lebarnya 0 0,000000 0,500000 1,000000 1,000000 0,39871 -,81718 [c,b] 0,500000 1 0,500000 0,750000 1,000000 0,39871-0,695500 -,81718 [a,c] 0,50000 0,500000 0,65000 0,750000 0,39871-0,084879-0,695500 [a,c] 0,15000 3 0,500000 0,56500 0,65000 0,39871 0,17303-0,084879 [c,b] 0,06500 4 0,56500 0,593750 0,65000 0,17303 0,048071-0,084879 [c,b] 0,03150 5 0,593750 0,609375 0,65000 0,048071-0,017408-0,084879 [a,c] 0,01565
6 0,593750 0,601563 0,609375 0,048071 0,015581-0,017408 [c,b] 0,007813 7 0,601563 0,605469 0,609375 0,015581-0,000851-0,017408 [a,c] 0,003906 8 0,601563 0,603516 0,605469 0,015581 0,007380-0,000851 [c,b] 0,001953 9 0,603516 0,60449 0,605469 0,007380 0,00368-0,000851 [c,b] 0,000977 10 0,60449 0,604980 0,605469 0,00368 0,00110-0,000851 [c,b] 0,000488 11 0,604980 0,6055 0,605469 0,00110 0,000179-0,000851 [c,b] 0,00044 1 0,6055 0,605347 0,605469 0,000179-0,000336-0,000851 [a,c] 0,0001 13 0,6055 0,60586 0,605347 0,000179-0,000078-0,000336 [a,c] 0,000061 14 0,6055 0,60555 0,60586 0,000179 0,000051-0,000078 [c,b] 0,000031 15 0,60555 0,60570 0,60586 0,000051-0,000014-0,000078 [a,c] 0,000015 16 0,60555 0,60563 0,60570 0,000051 0,000018-0,000014 [c,b] 0,000008 Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0,60563 b. Metode Newton-Rhapson Diantara semua metode pencarian akar, metode Newton-Rhapsonlah yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu: 1. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri Dari gambar di atas, gradien garis singgung di adalah Atau Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah
. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor Uraikan di sekitar ke dalam deret Taylor: Yang bila dipotong sampai suku orde- saja menjadi Dan karena persoalan mencari akar, maka, sehingga atau Kondisi iterasi berhenti bila Atau bila menggunakan galat relatif hampiran Dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan. Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = x x 3 = 0 dengan Metode Newton Rhapson, dan tebakan awal x 0 =! Penyelesaian : f(x) = x x 3 f (x) = x Prosedur iterasi Newton-Rhapson : Tabel Iterasinya : R 0,000000 0,000000
Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000 1 3,500000 1,500000 3,050000 0,450000 3 3,000610 0,049390 4 3,000000 0,000610 5 3,000000 0,000000