1 PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini kita akan mempelajari lengkungan yang dihasilkan dari potongan kerucut dengan bidang datar. Jika suatu kerucut dipotong oleh sebuah bidang, maka garis potong tersebut mempunyai berbagai kemungkinan yaitu : 1. Lingkaran, jika bidang tegak lurus sumbu kerucut dan tidak melalui puncak kerucut. 2. Ellips, jika bidang membentuk sudut lancip terhadap sumbu dan tidak melalui puncak kerucut. 3. Parabola, jika bidang membentuk sejajar garis pelukis kerucut dan tidak melalui puncak kerucut. 4. Hiperbola, jika bidang sejajar sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol. Gambar potongan kerucut berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola Untuk mempelajari materi ini disediakan waktu 56 x 45 menit. Setiap akhir kegiatan terdapat pertanyaan yang harus dikerjakan. Pertanyaan tersebut untuk mengukur pemahaman tentang materi yang telah dipelajari.
2 B. Prasarat Kemampuan yang harus dicapai dalam kompetensi ini adalah : 1. Menjelaskan pengertian unsur unsur lingkaran. 2. Menentukan persamaan lingkaran. 3. Menghitung panjang garis singgung sekutu luar dan dalam dua lingkaran. 4. Menjelaskan pengertian unsur unsur parabola. 5. menentukan persamaan parabola dan grafiknya. 6. Menjelaskan pengertian unsur unsur ellips. 7. Menentukan persamaan ellips dan grafiknya. 8. Meenjelaskan pengertian unsur unsur hiperbola. 9. Menentukan persamaan hiperbola dan grafiknya. C. Petunjuk Penggunaan Modul Perlu diperhatikan cara menggunakan modul ini sebagai pedoman untuk siswa dalam proses pembelajaran. 1. Langkah yang harus ditempuh a. Siswa harus mengetahui prasarat kemampuan yang dicapai. b. Mempelajari kompetensi dan mempelajari langkah langkah kegiatan pada rencana pembelajaran. 2. Perlengkapan yang harus disiapkan. Dalam kompetensi ini alat yang harus dipersiapkan dalam proses pembelajaran adalah penggaris, jangka dan busur derajat. 3. Hasil pelatihan Setelah mempelajari langkah langkah kegiatan dan mengajukan pengujian terhadap penilai maka siswa mencatat sub kompetensi yang dicapai dalam paspor keahlian ( skill paspor ).
3 D. Tujuan Akhir Setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar siswa mampu : 1. Menyebutkan unsur unsur lingkaran yang dideskripsikan sesuai ciri cirinya. 2. Menentukan persamaan lingkaran yang ditentukan berdasarkan unsur- unsur yang diketahui. 3. Melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran yang diketahui. 4. Menghitung panjang garis singgung sekutu luar dan dalam sesuai jari jari dan jarak pusat kedua lingkaran. 5. Menerapkan konsep lingkaran dalam penyelesaian masalah kejuruan. 6. Menyebutkan unsur unsur parabola yang dideskripsikan sesuai ciri cirinya. 7. Menentukan persamaan parabola berdasarkan unsur- unsur yang diketahui. 8. Melukis sketsa grafik persamaan parabola. 9. Menerapkan konsep parabola dalam penyelesaian masalah kejuruan. 10. Menyebutkan unsur unsur ellips yang dideskripsikan sesuai ciri cirinya. 11.Menentukan persamaan ellips berdasarkan unsur- unsur yang diketahui. 12.Melukis sketsa grafik persamaan ellips. 13.Menerapkan konsep ellips dalam penyelesaian masalah kejuruan. 14. Menjelaskan unsur unsur hiperbola yang dideskripsikan sesuai ciri cirinya. 15.Menentukan persamaan hiperbola berdasarkan unsur- unsur yang diketahui. 16.Melukis sketsa grafik persamaan hiperbola. 17.Menerapkan konsep hiperbola dalam penyelesaian masalah kejuruan.
4 E. Kompetensi Kompetensi yang akan dipelajari dalam modul ini sesuai dengan tabel : Kompetensi Sub Kompetensi Kriteria untuk Kerja Ruang Lingkup Belajar Menerapkan Menerapkan - Unsur - unsur - Pengertian irisan kerucut konsep lingkaran lingkaran unsur unsur dideskripsikan lingkaran sesuai ciri - Penentuan cirinya persamaan - Persamaan lingkaran lingkaran - Pengertian ditentukan garis singgung berdasar unsur sekutu luar - unsur yang dan dalam diketahui - Penentuan - Garis singgung panjang garis sekutu luar dan singgung dalam sekutu luar dilukiskan dari dan dalam dua lingkaran kedua yang diketahui lingkaran - Panjang garis - Penerapan singgung konsep - Sekutu luar lingkaran dan dalam dalam dihitung sesuai menyelesaikan jari jari dan masalah jarak pusat kejuruan kedua lingkaran - Konsep lingkaran diterapkan dalam penyelesaian masalah kejuruan
5 Menerapkan konsep parabola - Unsur unsur parabola dideskripsikan sesuai dengan ciri cirinya - Persamaan parabola ditentukan berdasarkan unsur unsur yang diketahui - Konsep parabola dalam penyelesaian masalah kejuruan - Unsur unsur parabola : direktriks, koordinat titik puncak, titik focus dan persamaan sumbu. - Penentuan persamaan parabola - Grafik persamaan parabola - Penerapan konsep parabola dalam menyelesaikan masalah kejuruan Menerapkan konsep ellips - Unsur unsur ellips dideskripsikan sesuai dengan ciri cirinya - Persamaan ellips ditentukan berdasarkan unsur unsur yang diketahui - Konsep ellips dalam penyelesaian masalah kejuruan - Pengertian ellips - Unsur unsur ellips : koordinat titik puncak, koordinat pusat, koordinat titik focus, sumbu mayor dan sumbu minor. - Penentuan persamaan ellips - Sketsa ellips - Penerapan konsep ellips dalam menyelesaikan masalah kejuruan
6 Menerapkan konsep hiperbola - Unsur unsur hiperbola dideskripsikan sesuai dengan ciri cirinya - Persamaan hiperbola ditentukan berdasarkan unsur unsur yang diketahui - Konsep hiperbola dalam penyelesaian masalah kejuruan - Pengertian hiperbola dan unsur unsur hiperbola : titik pusat, titik puncak, titik focus, asimtot, sumbu mayor, sumbu minor. - Penentuan persamaan hiperbola - Sketsa hiperbola - Penerapan konsep hiperbola dalam menyelesaikan masalah kejuruan
7 PEMBELAJARAN KEGIATAN BELAJAR I A. Kompetensi Dasar : LINGKARAN Menerapkan Konsep Lingkaran B. Prasarat Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan memahami : 1. Unsur unsur lingkaran 2. Persamaan lingkaran 3. Garis singgung sekutu luar dan dalam C. Tujuan Pembelajaran mampu 1. Siswa mampu menjelaskan pengertian unsur unsur lingkaran. 2. Siswa mampu menentukan persamaan lingkaran. 3. Siswa mampu melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dua lingkaran. 4. Siswa mampu menentukan panjang garis sekutu luar dan dalam dua lingkaran. 5. Siswa mampu menerapkan konsep lingkaran dalam menyelesaikan masalah kejuruan. I. Unsur Unsur Lingkaran Sebelum memahami unsur unsur lingkaran, terlebih dahulu kita memahami pengertian apa itu lingkaran. Definisi : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut dengan jari jari lingkaran, sedangkan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran. Adapun unsur unsur lingkaran adalah : a. Busur Lingkaran O B A Gambar disamping menunjukan sebuah lingkaran berpusat di O. Kurva pada keliling lingkaran yang menghubungkan titik A dan B disebut busur lingkaran.
8 b. Tali Busur Lingkaran A O. B Ruas garis yang menghubungkan titik A dan B seperti pada gambar disebut tali busur lingkaran. Jadi, tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran. c. Garis Tengah ( Diameter ) dan Jari Jari Lingkaran Apabila tali busur melalui pusat lingkaran maka P O Q R disebut garis tengah atau diameter lingkaran. Separuh diameter disebut jari jari lingkaran. Apabila dua buah titik terletak di ujung ujung garis tengah, maka titik itu disebut sebagai berhadapan diametral. - PQ disebut garis tengah - Titik P dan Q berhadapan diametral - OP, OQ dan OR disebut jari jari d. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran C O α B R Sudut yang terletak pada pusat lingkaran, yang dibentuk oleh dua buah jari jari disebut sudut pusat lingakaran. Sudut yang terletak pada keliling lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur disebut sudut keliling lingkaran. AOB adalah sudut pusat lingkaran ACB adalah sudut keliling lingkaran e. Juring Lingkaran A O B Juring lingkaran adalah daerah yang oibatasi oleh dua jari jari lingkaran dan busur lingkaran. 9 Juring AOB kecil dan juring AOB besar. f. Tembereng
Tembereng merupakan bagian dari lingkaran yang P O. Q dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran. Dalam suatu lingkaran panjang busur dan luas juring sebanding sudut pusatnya. A Pada gambar disamping O C B Busur AC = AOC = juring AOC Busur BC BOC juring BOC Contoh 1 Jika diketahui diameter AB = 14 cm, A O B C AOB = 80. Hitunglah luas panjang BOC dan panjang busur AB! Jawab : AB = 14 cm OA = OB = jari jari = 7 cm, AOB = 80 BOC = 100 22 Luas lingkaran = π r 2 7 = x 7 2 = 154 cm 2 Luas juring BOC = BOC Luas lingkaran lingkaran 100 Luas juring BOC = 360 x 154 = 42,78 cm 2 22 Keliling lingkaran = 2 π r = 2 x 7 x 7 = 44 cm Panjang busur AB = AOC Keliling lingkaran lingkaran 80 Panjang AB = 360 x 44 = 9,78 cm 2 10 LATIHAN I
1. Perhatikan gambar di bawah ini! A O B a. Ada berapa banyak jari jari yang tampak? Sebutkan bila ada! b. Ada berapa banyak garis tengah yang tampak? Sebutkan bila ada! c. Ada berapa banyak busur yang tampak? Sebutkan bila ada! d. Ada berapa banyak juring yang tampak? Arsirlah! 2. Diketahui pusat lingkaran yang pusatnya O dan panjang jari jari r. Buatkan sebuah tali busur AB yang panjangnya sama dengan jari jari lingkaran. a. Berbentuk segitiga apakah AOB? b. Berapakah besar sudut pusat yang terjadi? c. Kalau luas lingkarannya adalah L, berapakah luas juring AOB? 3. Jarak antara titik P dan titik Q yang berhadapan diametral adalah 20 cm. Berapakah panjang jari jari lingkarannya? II. Persamaan Lingkaran A. Persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan jari jari r. O y x P ( x,y ) r y x Titik O ( 0,0 ) adalah titik asal koordinat dengan O sebagai pusat. Kita buat lingkaran dengan jari jari r, titik P ( x,y ) terletak pada lingkaran tersebut. Untuk titik ( x,y ) dan titik lain pada lingkaran tersebut berlaku persamaan : x 2 + y 2 = r 2 Persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0,0 ) dan jari jari r. Catatan : 1. { P ( x,y ) x 2 + y 2 = r 2 } maka titik P terletak pada lingkaran. 2. { P ( x,y ) x 2 + y 2 > r 2 } maka titik P terletak di luar lingkaran.
3. { P ( x,y ) x 2 + y 2 < r 2 } maka titik P terletak di dalam lingkaran. Contoh 1 : 11 Diketahui titik O ( 0,0 ). a. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari - jari 5 satuan panjang! b. Selidiki, apakah titik ( -3,-4 ) terletak pada lingkaran? c. Selidiki, apakah titik ( 3,5 ) terletak pada lingkaran? d. Selidiki, apakah titik ( 2,1 ) terletak pada lingkaran? Jawab : a. Dengan menggunakan persamaan x 2 + y 2 = r 2, maka : x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = 5 2 x 2 + y 2 = 25 Jadi persamaan yang dimaksud adalah x 2 + y 2 = 25 b. Untuk menyelidiki posisi titik terhadap lingkaran, kita substitusikan koordinat titik ( -3,-4 ) ke ( x,y ). Hasilnya adalah : ( -3 ) 2 + ( -4 ) 2 = 25 9 + 16 = 25 25 = 25 Ruas kiri menyatakan kuadrat jarak titik ( -3,-4 ) terhadap titik nol. Karena kuadrat jaraknya juga 25, maka titik tersebut terletak pada lingkaran. c. Untuk menyelidiki posisi titik terhadap lingkaran, kita substitusikan koordinat titik ( 3,5 ) ke ( x,y ). Hasilnya adalah : 3 2 + 5 2 = 9 + 25 = 34 34 > 25 Ruas kiri menyatakan kuadrat jarak titik ( 3,5 ) terhadap titik nol yang lebih besar dari 25. ini berarti bahwa titik ( 3,5 ) terletak di luar lingkaran. d. Dengan cara yang sama kita substitusikan titik ( 2,1 ). Hasilnya adalah : 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 5 < 25
Ini berarti bahwa titik ( 2,1 ) terletak di dalam lingkaran. 12 Contoh 2 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0,0 ) dan melalui titik ( 5,-12 )! Jawab : x 2 + y 2 = r 2 5 2 + (-12) 2 = r 2 169 = r 2 atau r 2 = 169 Jadi persamaan lingkarannya adalah : x 2 + y 2 = 169 LATIHAN 2 1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O ( 0,0 ) dan jari - jari : a. 4 b. ½ c. 2 2. Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan : a. x 2 + y 2 = 4 b. 2x 2 + 2y 2 = 12 c. 3x 2 + 3y 2 = 75 3. Selidiki posisi dari titik titik di bawah ini, apakah terletak pada lingkaran, luar lingkaran atau di dalam lingkaran yang pusatnya O ( 0,0 ) dan jari jari 6! a. ( 2,-1 ) b. ( 2,8 ) c. ( 0,6 ) 4. Tentukan persamaan dengan pusat O ( 0,0 ) dan melalui titik : a. ( 1,3 ) b. ( -5,12 ) c. ( 1,-2 ) 5. Diketahui titik A ( 1,0 ) dan B ( 9,0 ). P adalah tempat kedudukan titik yang dinyatakan dengan { P PB = 3PA }. Buktikan bahwa tempat kedudukan P adalah lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 = 9!
13 B. Persamaan lingkaran dengan pusat M ( a,b ) dan jari jari r y O a x P ( x,y pangkal ) koordinat, sedang r M ( a,b ) b y x Titik O ( 0,0 ) adalah titik titik M ( a,b ) adalah pusat lingkaran dengan jari jari r, Titik P ( x,y ) terletak pada lingkaran tersebut. Untuk titik P ( x,y ) dan titik lain pada lingkaran berlaku persamaan : MP 2 = ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 = r 2 Persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran yang pusatnya M ( a,b ) dan jari jari r. Catatan : 1. { P ( x,y ) ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 } maka titik P terletak pada lingkaran. 2. { P ( x,y ) ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 > r 2 } maka titik P terletak di luar lingkaran. 3. { P ( x,y ) ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 < r 2 } maka titik P terletak di dalam lingkaran. Contoh 1 Tentukan pusat lingkaran dan jari jari lingkaran jika persamaan lingkarannya ( x + 3 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = 16! Jawab : ( x + 3 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = 16
( x + 3 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = 4 2 Jadi pusatnya M ( -3,4 ) dan r = 4 14 Contoh 2 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya M ( -2,-4 ) dan jari jari : 5! Jawab : ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 ( x + 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 5 2 x 2 + 4x + 4 + y 2 + 8y + 16 = 25 x 2 + y 2 + 4x + 8y 5 = 0 Ini adalah persamaan lingkaran yang pusatnya M ( -2,-4 ) dan jari jari : 5. Jika pusat lingkarannya tidak diketahui, maka bentuk umum persamaan lingkarannya ditulis : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Persamaan tersebut disebut persamaan umum lingkaran. Dari persamaan umum lingkaran dapat ditentukan pusat dan jari jari dengan rumus : pusatnya M ( -½ a, -½ b ) dan r = ¼ a 2 + ¼ b 2 c Bukti : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 x 2 + y 2 + ax + by = c x 2 + ax + y 2 + by = c x 2 + ax + ¼ a 2 + y 2 + by + ¼ b 2 = ¼ a 2 + ¼ b 2 c ( x + ½a ) 2 + ( y + ½b ) 2 = ¼ a 2 + ¼ b 2 c Jadi pusatnya M ( -½ a, -½ b ) dan r = ¼ a 2 + ¼ b 2 c
Catatan : jadi pusatnya ialah koefisien x dan y dibagi 2 tetapi tandanya berlawanan. Contoh 3 Tentukan pusat dan jari jari lingkaran jika persamaannya : X 2 + y 2 6x + 4y 3 = 0 15 Jawab : X 2 + y 2 6x + 4y 3 = 0 X 2 + - 6x + y 2 + 4y 3 = 0 Pusatnya M (-½ a, -½ b ) r = ¼ (36) 2 + ¼ (16) 2 +3 (-½ (-6), -½ (4) ) = 9 + 4 +3 ( 3,-2 ) = 4 Latihan 3 1. Tulislah pusat dan jari jari lingkaran dari setiap lingkaran berikut ini : a. ( x 1 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 25 c. ( x 3 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 50 b. ( x + 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 9 d. ( x + 1 ) 2 + ( y 4 ) 2 = 81 2. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat yang diketahui dan melalui titik yang diketahui pula! a. pusat ( 1,1 ) dan melalui ( 3,3 ) b. pusat ( -2,0 ) dan melalui ( 3,4 ) c. pusat ( 3,-4 ) dan melalui ( 2,3 ) 3. Tulislah persamaan lingkaran dengan pusat dan jari jari sebagai berikut a. ( 2,-3 ), 3 b. ( -4,5 ), 4 III. Garis Singgung Sekutu Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik. Garis singgung suatu lingkaran tegak
lurus dengan jari jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Perhatikan gambar berikut ini! A O P B Garis AB adalah garis singgung, menyinggung lingkaran di titik P dan OP AB. Sedangkan garis yang menyinggung dua buah lingkaran disebut garis singgung persekutuan kedua lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua 16 lingkaran : 1. Garis singgung persekutuan luar A R C M r R-r B r N - AB adalah garis singgung persekutuan luar - AB = CN - Panjang CMN ( siku siku di C ) CN 2 = MN 2 CM 2 CN 2 = MN 2 ( R r ) 2 CN = MN 2 ( R r ) 2 AB = MN 2 ( R r ) 2 Contoh 1 M dan N adalah pusat lingkaran yang berjari jari 11 cm dan 4 cm, jika jarak M dan N adalah 25 cm, Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran! Jawab : AB = CN dan CMN ( siku siku di C ) maka A 11 r cm C 11 4 = 7 cm M N B 4 cm
CN 2 = MN 2 CM 2 = MN 2 ( R r ) 2 = 25 2 ( 11 4 ) 2 = 625 49 = 576 17 CN = 576= 24 cm Karena CN = AB maka AB = 24 cm, jadi garis singgung persekutuan luar AB = 24 cm. 2. Garis Singgung persekutuan dalam B M R r N A r C - AB adalah garis singgung persekutuan dalam - AB = CN - Panjang CMN ( siku siku di C ) CN 2 = MN 2 CM 2 CN 2 = MN 2 ( R + r ) 2 CN = MN 2 ( R + r ) 2 AB = MN 2 ( R + r ) 2 Contoh 2 Diketahui lingkaran lingkaran dengan pusat A dan B berturut turut dengan jari jari 4 cm dan 2 cm. A dan B berjarak 8 cm. Lukislah garis singgung persekutuan dalam dan hitung panjang garis sionggung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut! Jawab : A 4 cm 8 cm Q 2 cm B P S
PQ = BS Panjang ABS ( siku siku di S ) 18 RS 2 = AB 2 AS 2 = 8 2 6 2 = 64 36 = 28 RS = 28 = 4. 7 = 2 7 cm Karena RS = PQ maka PQ = 2 7 cm, jadi panjang garis singgung persekutuan dalam PQ = 2 7 cm. Latihan 4 Dua buah lingkaran berpusat di titik P dan Q masing masing berjari jari 9 cm dan 3 cm. Apabila P dan Q berjarak 13 cm, Hitunglah : a. Panjang garis singgung persekutuan luarnya dan lukislah! b. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya dan lukislah!
19 KEGIATAN BELAJAR II : PARABOLA A. Kompetensi Dasar Menerapkan Konsep Parabola B. Prasarat Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan memahami : 1. Unsur unsur parabola 2. Persamaan parabola dan grafiknya C. Tujuan Pembelajaran mampu 1. Siswa mampu menjelaskan pengertian unsur unsur parabola. 2. Siswa mampu membuat grafik persamaan parabola. 3. Siswa mampu menentukan persamaan parabola. 4. Siswa mampu menerapkan konsep parabola dalam menyelesaikan masalah kejuruan. I. Unsur Unsur Parabola Kita sudah mengenal parabola sebagai grafik y = ax 2 + bx + c. Sekarang kita akan mempelajari geomettri dari parabola. Definisi : Parabola adalah lintasan atau tempat kedudukan titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu dan terhadap suatu garis tertentu. Titik tertentu disebut Fokus dan garis tertentu disebut Direktriks. Untuk memahami unsur parabola, perhatikan gambar berikut! Y Keterangan : Q L 1 P O F : Puncak parabola : Fokus g O L 2 F X G : garis direktriks L 1 dan L 2 : Latus rectum Sumbu simetri adalah sumbu X Catatan : 1. Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui focus disebut sumbu simetri.
20 2. Perpotongan antara sumbu simetri dan parabola disebut puncak parabola. II. Persamaan Parabola A. Persamaan parabola dengan puncak ( 0,0 ) Q ( -p,y ) g Y O F ( p,0 ) P ( x,y ) X Persamaan parabola dengan titik focus F ( p,0 ) dan persamaan garis direktriks x = -p serta titik puncak ( 0,0 ) adalah : X = -p y 2 = 4 p x Jika titik focus terletak disebelah kiri garis direktriks P F Y O g Q X - puncak ( 0,0 ) - focus F ( -p,0 ) - persamaan garis direktriks x = p - persamaan sumbu simetri y = 0 Persamaannya : y 2 = - 4 p x Jika titik focus terletak pada sumbu y dan berada di atas garis direktriks F O Y P X g - puncak ( 0,0 ) - focus F ( 0,p ) - persamaan garis direktriks y = -p - persamaan sumbu simetri x = 0 Persamaannya : x 2 = 4 p y Jika titik focus terletak pada sumbu y dan berada di bawah garis Y direktriks O F P g X
- puncak ( 0,0 ) - focus F ( 0,-p ) - persamaan garis direktriks y = p - persamaan sumbu simetri x = 0 Persamaannya : 21 x 2 = -4 p y Contoh 1 Tentukan persamaan parabola dengan F ( 4,0 ) dan direktriks x = -2 Jawab : Karena F ( 4,0 ), maka p = 4 Jadi persamaan parabola : y 2 = 4 p x = 4. 4 x = 16x jadi persamaan parabola itu adalah y 2 = 16x Contoh 2 Lukiskan grafik persamaan parabola y 2 = - 8x. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktriksnya! Jawab : Y X = 2 4-3- F 2-1- -3-2 -1-1-0 1 2 3-2- -3- -4- X Pandang y 2 = - 4 p x dan y 2 = - 8x Maka diperoleh 4p = 8 p = 2 karena focus terletak di sebelah kiri direktriks maka koordinat fokus adalah F ( -2,0 ) dan persamaan direktriks x = 2 B. Persamaan parabola dengan puncak ( a,b )
Y O Q A ( a,b ) F P ( x,y ) X Puncak A ( a,b ) Fokus F ( a+p,b ) Direktriks g dengan persamaan x = -p + a 22 g ( direktriks Misalkan ) titik P ( x,y ) pada parabola maka koordinat titik Q ( -p+a,y ). Berdasarkan definisi PF = PQ maka PF 2 = PQ 2 ( x a p ) 2 + ( y b ) 2 = ( x + p a ) 2 x 2 + a 2 + p 2 2ax 2px + 2ap + y 2 2 by + b 2 = x 2 + p 2 + a 2 + 2px 2ax 2ap x 2 x 2 + a 2 a 2 + p 2 p 2 2ax + 2ax + y 2 2by + b 2 = 2px + 2px 2ap 2ap y 2 2by + b 2 = 4px 4ap ( y b ) 2 = 4p ( x a ) Jadi persamaan parabola dengan puncak ( a,b ) adalah : ( y b ) 2 = 4p ( x a ) Dengan : - koordinat fokus F ( a+p,b ) - persamaan direktriks x = -p + a Jika titik fokus terletak disebelah kiri garis direktriks - puncak ( a,b ) - focus F ( a-p,b ) - persamaan garis direktriks x = p + a Persamaannya : ( y b ) 2 = -4 ( x a ) Jika titik focus terletak di atas garis direktriks - puncak ( a,b ) - focus F ( a,b+p ) - persamaan garis direktriks y = -p+b - persamaan sumbu simetri x = 0 Persamaannya : ( x a ) 2 = 4p ( y b )
Jika titik focus terletak di bawah garis direktriks - puncak ( a,b ) - focus F ( a,-p+b ) - persamaan garis direktriks y = p+b Persamaannya : ( x a ) 2 = -4p ( y b ) 23 Contoh 1 Tentukan fokus dan persamaan direktriks dari parabola y 2 x + 4y + 10 = 0 Jawab : ( y b ) 2 = 4p ( x a ) y 2 x + 4y + 10 = 0 y 2 + 4y + 4 = x 10 +4 ( y + 2 ) 2 = ( x 6 ) maka a = 6, b = -2, 4p = 1 atau p = ¼ jadi fokus F ( a + p, b ) F ( 6 + ¼, -2 ) = F ( 6¼, -2 ) persamaan direktriks x = -p + b = ¼ + 2 = 2¼ Contoh 2 Tentukan fokus, persamaan direktriks dan sketsa grafiknya dari persamaan parabola y 2-8y - 4x 4 = 0 Jawab : Pandang ( y b ) 2 = 4p ( x a ) y 2 8x 4y 4 = 0 y 2 4y + 4 = 8x + 4 + 4 ( y 2 ) 2 = 8x + 8 ( y 2 ) 2 = 8 ( x + 1 ) maka a = -1, b = 2, 4p = 8 atau p = 2
jadi fokus F ( a + p, b ) F ( -1 + 2, -1 ) = F ( 1, -1 ) persamaan direktriks x = -p + a = -2 + -1 = -3 24 Sketsa grafiknya Y g A O F X Latihan 1 Pada soal no. 1 4 tentukan koordinat fokus, persamaan direktriks dan lukiskan grafiknya dari persamaan parabola : 1. y 2 = 4x 2. x 2 = -10y 3. y 2 6x 4y +4 = 0 4. ( x + 4 ) 2 = 8 ( y 2 ) Pada soal no. 5 6 tentukan persamaan parabola dan lukiskan grafiknya! 5. Koordinat fokus ( 2,0 ) dan persamaan direktriks x = -2 6. Koordinat fokus ( 3,3 ) dan persamaan direktriks y = 2 Pada soal no. 7 8 tentukan persamaan parabola dan lukiskan grafiknya! 7. Koordinat puncak ( 0,4 ) dan koordinat fokus F ( 3,4 ) 8. Koordinat puncak ( 1,6 ) dan koordinat fokus F ( 1,2 )
25 KEGIATAN BELAJAR III : ELLIPS A. Kompetensi Dasar Menerapkan Konsep Ellips B. Prasarat Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan memahami : 1. Unsur unsur ellips 2. Persamaan ellips dan grafiknya C. Tujuan Pembelajaran mampu 1. Siswa mampu menjelaskan pengertian ellips 2. Siswa mampu menyebutkan unsur unsur ellips. 3. Siswa mampu melukis grafik persamaan ellips. 4. Siswa mampu menentukan persamaan ellips. 5. Siswa mampu menerapkan konsep ellips dalam menyelesaikan masalah kejuruan. I. Unsur Unsur Ellips Definisi : Ellips adalah tempat kedudukan titik titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama. Y B 1 P ( x,y ) A 2 F 2 ( -c,0 ) F 1 ( c,0 ) A 2 X B 2 g 2 g 1 g 1 dan g 2 = garis direktriks - Kedua titik tertentu itu disebut fokus fokus ellips. - Garis penghubung kedua fokus disebut sumbu panjang ( sumbu mayor ). - Garis melalui ttik tengah kedua fokus dan tegak lurus terhadap sumbu panjang disebut sumbu pendek ( sumbu minor ). - Titik potong kedua sumbu disebut pusat ellips. - Titik potong ellips dengan kedua sumbu disebut puncak ellips ( A 1,A 2, B 1,B 2 ).
- Jarak antara A 1 A 2 dan B 1 B 2 masing masing merupakan panjang dari sumbu panjang dan sumbu pendek. II. Persamaan Ellips 26 A. Persamaan Ellips dengan pusat ( 0,0 ) Persamaan ellips dapat diperoleh dengan cara berikut : - Pilih sumbu sumbu yang berfokus F 1 ( c,0 ) dan F 2 ( -c,0 ) - Misalkan jumlah jarak yang tetap adalah 2a berarti 2a > 2c atau a > c ( lihat gambar di atas ) - Maka menurut definisi didapatkan : F 1 P + F 2 P = 2a ( x c ) 2 + y 2 + ( x c ) 2 + y 2 = 2a ( x c ) 2 + y 2 = 2a ( x c ) 2 + y 2 - kuadratkan kedua ruas, diperoleh : x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 4a ( x c ) 2 + y 2 + x 2 2 cx + c 2 + y 2 4cx 4a 2 = 4a ( x c ) 2 + y 2 cx a 2 = a ( x c ) 2 + y 2 - Kuadratkan kembali kedua ruas, diperoleh : c 2 x 2 2a 2 cx + a 4 = a 2 ( x 2 2cx + c 2 + y 2 ) c 2 x 2 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 2 a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 a 2 x 2 c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 c 2 ( a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) - Karena a > c maka a 2 > c 2 dan a 2 c 2 > 0 - Misalkan a 2 c 2 = b 2 ( b 2 > 0 ), maka diperoleh : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 - Bagi masing masing ruas dengan a 2 b 2, diperoleh : b 2 x 2 a + 2 y 2 a = 2. b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2. b 2 x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2 Jadi persamaan ellips yang pusatnya ( 0,0 ) sumbu panjang 2a, sumbu pendek 2b dan koordinat focus focus F 1 ( c,0 ) dan F 2 ( -c,0 ) adalah : x 2 y 2 a 2 + b 2 = 1
27 Koordinat fokus ellips ditentukan oleh persamaan a 2 - c 2 = b 2 Kepipihan ellips tergantung pada perbandingan antara c dengan a c a yang disebut eksentrisitas ( e ) =, Persamaan direktriks 2 x = + a c Contoh 1 Tentukan persamaan ellips dengan F 1 ( -3,0 ), F 2 ( 3,0 ) dan sumbu mayornya 10. Lukislah grafiknya! Jawab : Y D ( 0,4 ) A ( -5,0 ) F 1 ( -3,0 ) F 2 ( 3,0 ) C ( 5,0 ) X Dari gambar : C = 3 dan 2a = 10 maka a = 5 b 2 = a 2 c 2 = 5 2 3 2 + = 1 + 4 2 = 1 = 25 9 Jadi persamaan ellips : = 16 b = 4 Contoh 2 B ( 0,-4 ) Tentukan sumbu mayor, sumbu minor, koordinat fokus fokus dan koordinat titik puncak ellips xdari 2 : y 2! 25+ 9 = 1 x 2 y 2 x 2 y 2 a 2 b 2 5 2 x 2 25 y 2 + 16 = 1 dan lukiskan grafiknya Jawab : Sketsa grafik : Y B 1 ( 0,3 ) A 2 ( -5,0 ) F 1 ( -4,0 ) F 2 ( 4,0 ) B 2 ( 0,- 3 ) X A 1 ( 5,0 ) 28 Dari gambar :
Pandang a 2 = 25 maka a = 5 dan b 2 = 9 maka b = 3 Jadi sumbu mayor = 2a = 2. 5 = 10 sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6 b 2 = a 2 c 2 c 2 = a 2 b 2 = 25 9 = 16 maka c = 4 koordinat fokus F 1 ( -c,0 ) = F 1 ( -4,0 ) dan F 2 ( c,0 ) = F 2 ( 4,0 ) Persamaan ellips memotong sumbu x, jika y = 0 Maka : x 2 = 1 x 25 + 9 = 1 25 2 = 25 x = + + 0 = 1 25 5 Persamaan ellips memotong sumbu y, jika x = 0 Maka : 0 2 25 Jadi titik titik puncak ellips adalah : ( -5, 0 ), ( 5,0 ), ( 0,-3 ) dan ( 0,3 ). 0 2 y 2 x 2 y 2 a 2 + b 2 = 1 25+ 9 = 1 x 2 Jika ellips yang berpusat di O ( 0,0 ) dan sumbu panjang ( sumbu mayor ) pada sumbu y, maka persamaannya : y 2 x 2 + 9 = 1 0 + 9 = 1 9 = 1 y 2 = 9 y = + 3 x 2 y 2 y 2 x 2 y 2 b 2 + a 2 = 1 - koordinat fokus F 1 ( 0,c ) dan F 2 ( 0,-c ) - koordinat puncak A 1 ( 0,a ), A 2 ( 0,-a ), B 1 ( b, 0 ) dan B 2 ( -b,0 ) - panjang sumbu mayor = 2a - panjang sumbu minor = 2b a 2 - persamaan direktriks y = c+ Contoh 3 Tentukan koordinat focus, koordinat puncak puncak, sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan x 2 ellips y 2 serta lukiskan grafiknya! 9 + 25= 1 29 Jawab :
Grafik : Pandang : Y A 1 ( 0,5 ) b 2 + a 2 = 1 9 + 25= 1 F 1 ( 0,4 y 2 ) a 2 = 25 maka a = 5 b 2 = 9 maka b = 3 Jadi sumbu mayor = 2a = 2. 5 = B10 1 ( B 2 ( 3,0 X -3,0 ) ) Dan sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6 F 2 ( 0,-4 ) A 2 ( 0,-5 ) b 2 = a 2 c 2 c 2 = a 2 b 2 = 25 9 = 16 maka c = 4 x 2 x 2 y 2 koordinat fokus fokus : F 1 ( 0,c ) = F 1 ( 0,4 ) dan F 2 ( 0,-c ) = F 2 ( 0,-4 ) koordinat puncak puncak : A 1 ( 0,a ) = A 1 ( 0,5 ) dan A 2 ( 0,-a ) = A 2 ( 0,-5 ) B 1 ( b,0 ) = B 1 ( 3,0 ) dan B 2 ( -b,0 ) = B 2 ( -3,0 ) Latihan 1 1. Tentukan sumbu mayor, sumbu minor, koordinat focus focus, koordinat puncak puncak dan lukislah grafik persamaan ellips berikut x 2 ini : y 2 a. 36+ 16= 1 b. 25x 2 + 4y 2 = 100 2. Tentukan persamaan ellips yang pusatnya ( 0,0 ) dan lukislah grafiknya, jika diketahui : a. F 1 ( 2,0 ) dan F 2 ( -2,0 ) dan sumbu mayornya 20 b. F 1 ( 3,0 ) dan F 2 ( -3,0 ) dan sumbu minornya 4 c. Titik titik puncak : A 1 ( 6,0 ), A 2 ( -6,0 ) focus focus F 1 ( 3,0 ) F 2 ( -3,0 ) d. Titik titik puncak : B 1 ( 10,0 ), B 2 ( -10,0 ) focus focus : F 1 ( 0,4 ) F 2 ( -0,-4 )
30 B. Persamaan ellips dengan pusat ( p,q ) Persamaan ellips dengan pusat ( p,q ) adalah : ( x p ) 2 ( y q ) 2 a 2 + b 2 = 1 Y B 1 ( p,b+q ) F 2 ( -a+p,q ) F 1 ( a+p,q ) A 2 (-a+p,q ) ( p,q ) A 1 (a+p,q ) B 2 ( p,-b+q ) X=p- a 2 c X=p+ a 2 c X Dengan ketentuan : - pusat ( p,q ) - koordinat titik puncak : A 1 ( a+p,q ), A 2 ( -a+p,q ), B 1 ( p,b+q ) dan B 2 ( p,-b+q ) - koordinat fokus fokus : F 1 ( c+p,q ) dan F 2 ( -c+p,q ) - panjang sumbu mayor = 2a - panjang sumbu minor = 2b a 2 - persamaan direktriks x = c++ p Jika sumbu Y mayor sejajar sumbu y, maka persamaan aellips 2 : A 1 ( p,a+q ) y =q+ c ( x p ) 2 ( y q ) 2 bf 2 + a 2 = 1 31 1 B 2 (-b +p,q ) F ( p,q ) B 1 (b+p,q ) 2 O A 2 ( p,-a+q ) X y =q- a 2 c
Dengan ketentuan : - pusat ( p,q ) - koordinat titik puncak : A 1 ( p,a+q ), A 2 ( p,-a+q ), B 1 ( b+p,q ) dan B 2 ( -b+p,q ) - koordinat fokus fokus : F 1 ( p,c+q ) dan F 2 ( p,-c+q ) - panjang sumbu mayor = 2a - panjang sumbu minor = 2b - persamaan direktriks y = c++ q Dari bentuk baku, persamaan ellips dapat dinyatakan dalam bentuk umum a 2 Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Dengan ketentuan : A = b 2 B = a 2 C = -2pb 2 maka C = -2pA C p = -2A D = -2qa 2 maka D = -2qB D q = -2B Jadi pusat ellips ( C, D -2A -2B E = p 2 b 2 + q 2 a 2 a 2 b 2 ) 32 Contoh 3
Diketahui persamaan ellips 4x 2 + 9y 2 48x + 72y + 144 = 0, Tentukan : a. Koordinat titik pusat b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Persamaan garis direktriks Jawab : a. Untuk menentukan koordinat titik pusat, kita ubah persamaan ellips dalam bentuk ( x a : ) 2 ( y b ) 2 maka : a 2 + b 2 = 1 4x 2 + 9y 2 48x + 72y + 144 = 0 4x 2 48x + 9y 2 + 72y = 144 4 ( x 2 12x ) + 9 ( y 2 + 8y ) = 144 4 ( x 2 12x + 36 ) + 9 ( y 2 + 8y + 16 ) = 144 + 144 + 144 4 ( x 6 ) 2 + 9 ( y + 4 ) 2 = 144 Kemudian kita bagi persamaan terakhir dengan 144, diperoleh persamaan ellips dengan bentuk : ( x 6 ) 2 ( y +4 ) 2 36 + 16 = 1 Jadi koordinat titik pusat adalah ( 6,-4 ) b. Dalam hal ini a 2 = 36 dan b 2 = 16 maka a = 6 dan b = 4 Panjang sumbu mayor 2a = 2. 6 = 12 Panjang sumbu minor 2b = 2. 4 = 8 c. Untuk menghitung koordinat titik fokus kita perlu menghitung c 2 = a 2 b 2 = 36 16 = 20 maka c = 20. Titik focus berada di sumbu panjang yaitu garis sejajar sumbu x, dengan demikian koordinat titik fokus adalah : F 1 ( c+p,q ) = F 1 ( 20+6,-4 ) dan F 2 ( -c+p,q ) = F 2 ( - 20+6,-4 ) d. Garis direktriks sejajar dengan sumbu y dan persamaannya a 2 36 adalah : c 20 x = + + p x = + + 6 9 = + 5 5 + 6
33 Contoh 4 Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus berada di F 1 ( 4,1 ) dan F 2 ( -2,1 ) dan panjang sumbu mayor adalah 10! Jawab : Titik fokus berada di garis yang sejajar sumbu x, maka persamaan mempunyai. ( x a ) 2 ( y +b ) 2 dengan a > b. a 2 + b 2 = 1 Titik pusat dari ellips terletak di tengah fokus yaitu : -2 + 4 1 + 1 p = = 1 dan q = = 1 2 2 sedang jarak pusat dengan titik fokus adalah c = 4 1 = 3 Diketahui panjang sumbu mayor adalah 2a = 10 maka a = 5. Dengan demikian b 2 = a 2 c 2 = 25 9 = 16 maka b = 4. Jadi persamaan ellips adalah : ( x 1 ) 2 25 ( y -1 ) 2 + 16 = 1 Latihan 2 1. Tentukan koordinat pusat, koordinat fokus, panjang sumbu mayor dan sumbu minor, persamaan direktriks dan lukiskan grafiknya dari persamaan ellips berikut ini : a. ( x 3 ) 2 ( y +2 ) 2 b. 9x 2 + y 2 + 6y 18x 7 = 0 49 + 16 = 1 2. Tentukan persamaan ellips yang memiliki sifat : a. Titik pusat ( 1,-2 ), sumbu mayor mendatar dan panjang 8 serta eksentrisitasnya adalah 0,75. b. Titik fokus ( -3,0 ) dan ( -3,4 ) dan sumbu mayor adalah 6.
34 KEGIATAN BELAJAR II : HIPERBOLA A. Kompetensi Dasar Menerapkan Konsep Hiperbola B. Prasarat Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan memahami : 1. Unsur unsur hiperbola 2. Persamaan hiperbola dan grafiknya C. Tujuan Pembelajaran mampu 1. Siswa mampu menjelaskan pengertian hiperbola. 2. Siswa mampu menyebutkan unsur unsur hiperbola. 3. Siswa mampu melukis grafik persamaan hiperbola. 4. Siswa mampu menentukan persamaan hiperbola. 5. Siswa mampu menerapkan konsep hiperbola dalam menyelesaikan masalah kejuruan. I. Unsur Unsur Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jarak terhadap dua buah titik ( titk fokus ) selalu tetap. Diketahui titik fokus F ( c,0 ) dan bilangan e > 1, e adalah eksentrisitas maka hiperbola dapat dipandang juga sebagai c tempat kedudukan titik P ( x,y ) yang perbandingan jarak terhadap F e 2 dan garis direktriks x = sama dengan e > 1. g Y 1 g 2 1 2 B 1 G P ( x,y ) F 2 A 2 O A 1 F 1 X 35 B 2 - O sebagai pusat hiperbola
- Sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu simetri - F 1 dan F 2 = titk fokus - g 1 dan g 2 = garis direktriks - A 1 dan A 2 = puncak hiperbola - 1 dan 2 = garis asimtot PF PG = e ( eksentrisitas ) dengan e > 1 - A 1 A 2 = sumbu mayor = 2a - B 1 B 2 = sumbu minor = 2b II. Persamaan Hiperbola Untuk mencari persaman hiperbola, misalkan titik P ( x,y ) terletak c pada hiperbola. Jarak titik P terhadap garis direktriks x = adalah d = ( - x ). Sedangkan jarak titik P terhadap titik fokus adalah ( x c ) 2 + y 2 Selanjutnya e = Kalikan dengan penyebut dan kemudian kuadratkan, hasilnya adalah : c ( x c ) 2 + y 2 = e 2 ( x e- 2 ) x 2-2xc + c 2 + y 2 = e 2 x 2 2cx + c 2 1 c ( e 2 1 ) x 2 y 2 = c 2 ( 1 e- 2 ) = e 2 ( e 2 1 ) c Seperti pada ellips, tulis a = e, maka persamaan hiperbola menjadi : ( e 2 1 ) x 2 y 2 = a 2 ( e 2 1 ) hasilnya adalah :. y 2. = e 2 a 2 ( e 2-1 ) 1 Untuk lebih menyederhanakan persamaan ini ditulis : b 2 = a 2 ( e 2 1 ) = a 2 e 2 a 2 ( x c ) 2 + y 2 x 2 c e 2 - x = c 2 a 2 dengan b > 0 dengan demikian persamaan hiperbola mempunyai bentuk : e 2 c e 2 x 2 y 2 a 2 b 2 = 1
36 Jadi persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat ( 0,0 ), dengan panjang sumbu mayor 2a dan sumbu minor 2b. dengan ketentuan : - pusat ( 0,0 ) - sumbu mayor pada sumbu x - sumbu minor pada sumbu y - Fokus F 1 ( c, 0 ) dan F 2 ( -c, 0 ) dengan b 2 = c 2 a 2 - Puncak A 1 ( a,0 ) dan A 2 ( -a,0 ) a 2 - Persamaan garis direktriks x = + c c - a Eksentrisitas e = b - Persamaan a garis asimtot y = + x b Y = - a x Y Y = b a x x 2 y 2 a 2 - b 2 = 1 A 2 A 1 ( a,0 F( -c,0 ) ( -a,0 ) O F( c,0 ) ) X a 2 B 2 a 2 x = - c x = c x x Sedangkan persamaan hiperbola dengan pusat ( 0,0 ), sumbu mayor pada sumbu y adalah : y 2 x 2 a 2 b 2 = 1 Dengan ketentuan : - pusat ( 0,0 ) - sumbu mayor pada sumbu y - sumbu minor pada sumbu x - Fokus F 1 ( 0,c ) dan F 2 ( 0,-c ) dengan b 2 = c 2 a 2 - Puncak A 1 ( 0,a ) dan A 2 ( 0,-a ) - Persamaan garis direktriks y = + c a - Persamaan garis asimtot y = + x b a 2
37 Y b F 1 ( 0,c ) b Y = - a x Y = a x A 1 ( 0,a ) Garis direktris O X A 2 ( 0,- Garis direktris a ) F 2 ( 0,- c ) Contoh 1 Diketahui hiperbola dengan persamaan 16 9 = 1 Tentukan koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, garis direktris dan persamaan asimtot serta lukiskan grafiknya! x 2 y 2 Jawab : - Untuk menghitung koordinat titik fokus, kita hitung nilai c 2 = a 2 + b 2 a 2 = 16, b 2 = 9 maka c 2 = 16 + 9 = 25 jadi c = 25. dengan demikian koordinat titik fokus adalah F 1 ( 5,0 ) dan F 2 ( -5,0 ) - Berdasarkan persamaan hiperbola, diperoleh a 2 = 16 dan b 2 = 9, maka a = 4 dan b = 3. jadi panjang sumbu mayor = 2a = 2.4 = 8, sedangkan panjang sumbu minor = 2b = 2.3 = 6 - Nilai eksentrisitas ( e ) = = = 1,25 c 5 a 2 c. 5. a 4 - Garis direktris cx = + e 2 = (1,25 ) = = + 3,2 b 3 - Persamaan asimtot y a= + x 4= + x
38 - Grafik Y 3 3 Y = - 4 x Y = 4 x 5-4- 3-2- 1- -7-6-5-4-3-2-1 0-1- -2- -3- -4- -5- X = -3,2 1 2 3 4 5 6 7 X = 3,2 X Contoh 2 Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai panjang sumbu mayor 10 dan eksentrisitas e = 1,2 Jawab : c Diketahui sumbu mayor = 2a = 10, maka a = 5 dan e a= p = 1,2. 5 = 6 b 2 = c 2 a 2 = 36 25 = 1 Jadi persamaan hiperbola yang dibentuk adalah : Latihan 1 x 2 25 y 2 11 = 1 1. Tentukan koordinat titik puncak, titik focus, eksentrisitas, persamaan garis direktris dan sketsa gragfik hiperbola dengan persamaan : x 2 y 2 144 25 = 1 a. b. 4x 2 9y 2 = 36 2. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai syarat : a. Titik focus F 1 ( 4,0 ) dan F 2 ( -4,0 ) dan titik puncak A 1 ( 1,0 ) dan A 2 ( -1,0 ) b. Titik focus F 1 ( 0,5 ) dan F 2 ( 0,-5 ) dan asimtot y = + x
c. Panjang sumbu mayor b dan ekentrisitas e = 1,5 39 Persamaan hiperbola dengan pusat ( a,b ) Seperti irisan kerucut yang lain, pusat hiperbola dapat juga selain titik ( 0,0 ). Dengan teknik yang sama kita dapat menduga bentuk : a. Persamaan hiperbola dengan pusat ( p,q ) Persamaan hiperbola denga psat ( p,q ) dan sumbu mayor mendatar ( sejajar sumbu y ) adalah : ( x - p ) 2 ( y q ) 2 a 2 b 2 = 1 Dengan ketentuan : - Titik puncak A 1 ( a+p,q ) dan A 2 ( -a+p,q ) - Titik focus F 1 ( c+p,q ) dan F 2 ( -c+p,q ) c - Eksentrisitas e = a - Garis direktris x = + + p c b - Garis asimtot ( y q ) = + a ( x p ) a 2 b. Persamaan hiperbola dengan pusat p,q ) dan sumbu mayor ( sejajar sumbu x ) adalah : ( y - q ) 2 ( x p ) 2 a 2 b 2 = 1 Dengan ketentuan : - Titik puncak A 1 ( p,a+q ) dan A 2 ( p,-a+q ) - Titik focus F 1 ( p,c+q ) dan F 2 ( p,-c+q ) c - Eksentrisitas e = a - Garis direktris x = + c + q a - Garis asimtot ( y q ) = + b ( x a ) a 2 Bentuk umum persamaan hiperbola : Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
A, B, C, D dan E bilangan real, A dan B 0 40 Contoh 1 Tentukan pusat hiperbola, sumbu mayor, titik puncak, titik focus, persamaan garis asimtot dan sketsa grtafik dari persamaan hiperbola 9x 2 4y 2 36x 8y = 4! Jawab : Kita ubah persamaan dalam bentuk kuadrat umum : 9x 2 4y 2 36x 8y = 4 9x 2 36x 4y 2 8y = 4 9 ( x 2 4x) 4 ( y 2 + 2y ) = 4 9 ( x 2 4x + 4 ) 4 ( y 2 + 2y + 1 ) = 4 + 36 4 9 ( x 2 ) 4 ( y + 1 ) = 4 Jadi persamaan hiperbola menjadi : ( y + 1 ) ( x - 2 ) 2 2 4 = 1 9 a 2 = 4 maka a = 2 b 2 = 9 maka b = 3 - pusat hiperbola ( 2,-1 ) sumbu utamanya mendatar atau sejajar sumbu x panjangnya = 2a = 2. 2 = 4 - titik puncak hiperbola A 1 ( a+p,q ) = A 1 ( 2+2,-1 ) = A 1 ( 4,-1 ) A 2 ( -a+p,q ) = A 2 ( -2+2,-1 ) = A 2 ( 0,-1 ) - Dalam hal ini nilai a = 2 dan b = 3 maka c 2 = a 2 + b 2 = 4 + 9 = 13 Jadi titik focus hiperbola F ( 2+ 3,-1 ) dan F ( 2-3,-1 ) - Persamaan garis asimtot y q = + ( x a ) 3 Y y + 1 = + 2 ( x 2 ) - Sketsa grafik 0 2 4 F -1-2 F 1 X
41 Latihan 2 1. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus, nilai eksentrisitas, persamaan garis direktris, persamaan asimtot dan sketsa grafik hiperbola dengan persamaan : a. x 2 y 2 2x + 4y 4 = o b. 4y 2 9x 2 18x 8y 41 = 0 2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi syarat : a. Titik pusat ( 2,2 ) sumbu mayor panjangnya 6 dan eksentrisitas e = 2 b. Titik pusat ( -1,3 ) titik puncak ( -4,3 ) dan ( 2,3 ) titik fokus ( -6,3 ) dan ( 4,3 )
42 EVALUASI Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar! 1. Pada gambar disamping besar sudut β = 300 maka besar sudut α adalah. a. 100 d. 30 b. 60 e. 25 c. 50 α β 2. Jika AOB = 144 dan panjang AO = 10 cm maka luas juring AOB adalah. a. 40 π cm 2 d. 10 π cm 2 b. 30 π cm 2 e. 5 π cm 2 c. 20 π cm 2 3. Sebuah pipa mendatar berisi air engan diameter 50 cm. Apabila lebar permukan air yaitu AB = 14 cm, maka tinggi permukaan air tepat ditengahnya (yang terdalam) adalah a. 18 cm d. 1,5 cm b. 12 cm e. 1,0 cm c. 10 cm A A O 144 B B 4. Hubungan tiga roda gigi seperti pada gambar. Jika diketahui RA = 12 cm. RB = RC = 24 cm, maka tinggi tumpukan tiga roda gigi tersebut ( h ) adalah. a. 62,83 cm d. 52,83 cm b. 61,83 cm e. 50,83 cm c. 60,83 cm h B A C 5. Suatu pulley seperti gambar di bawah, jarak kedua pusat pulley : 25 cm, jika diameter pulley I : 6 cm dan diameter pulley II : 20 cm. Maka panjang sabuk AB yang menghubungkan pulley I dan pulley II adalah a. 24 cm d. 21 cm I b. 23 cm e. 20 cm c. 22 cm A II B
43 6. Persamaan lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan melalui titik ( 2,3 ) adalah a. x 2 + y 2 = 15 d. x 2 + y 2 = 5 b. x 2 + y 2 = 1 e. tidak ada yang benar c. x 2 + y 2 = 10 7. Titik berikut yang berada dalam lingkaran x 2 + y 2 = 256 adalah a. ( 15,6 ) d. ( -5,16 ) b. ( 10,-12 ) e. tidak ada yang benar c. ( -5,16 ) 8. Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 3,-2 ) dan melalui titik ( 3,1 ) adalah. a. x 2 + y 2 + 3x 2y 7 = 0 d. x 2 + y 2 6x + 4y 16 = 0 b. x 2 + y 2 3x + 2y 13 = 0e. tidak ada yang benar c. x 2 + y 2 + 6x 4y 4 = 0 9. Persamaan lingkaran dengan garis AB sebagai garis tengah, titik A ( 3,-2 ) dan B ( 5,4 ) adalah. a. x 2 + y 2 8x 4y + 15 = 0 d. x 2 + y 2 + 8y + 4y +65 = 0 b. x 2 + y 2 8x 4y 15 = 0 e. tidak ada yang benar c. x 2 + y 2 + 8x + 4y 65 = 0 10. Pusat lingkaran dengan persamaan 2x 2 + 2y 2 8y + 2y 1 = 0 adalah a. ( 4,-6 ) c. ( -4,-6 ) e. ( 2,- ½ ) b. ( -4,6 ) d. ( -2, ½ ) 11. Titik fokus parabola y 2 = 12 x adalah. a. ( 4,0 ) c. ( 3,0 ) e. ( -2,0 ) b. ( -4,0 ) d. ( -3,0 ) 12.Suatu pelat empat persegi panjang yang tipis dilengkungkan sehingga berbentuk parabola seperti gambar disamping. Puncak pelat menyinggung lantai sebagai sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu simetri, dengan persamaan direktris y = -2½, maka persamaan pelat yang berbentuk parabola tersebut adalah a. x 2 = 10y b. x 2 = -10y c. x 2 = 8y d. x 2 = -8y e. tidak ada yang benar 13. Titik puncak parabola ( y + 3 ) 2 = 16 ( x 5 ) adalah. O - F y x y = -2
a. ( -5,3 ) c. ( 3,-5 ) e. tak ada yang benar b. ( -5,-3 ) d. ( -3,5 ) 44 14.Persamaan parabola dengan titik fokus F ( 2,5 ) dan garis direktriks y = 1 adalah a. ( x 2 ) 2 = 8 ( y 5 ) d. ( x 2 ) 2 = 8 ( y + 1 ) b. ( x 2 ) 2 = 8 ( y 3 ) e. ( x 2 ) 2 = 8 ( y + 2 ) c. ( x 2 ) 2 = 8 ( y 1 ) 15.Suatu energi yang disisipi porsiklus oleh gaya redaman dalam model redaman viskos ditunjukkan secara grafik berbentuk ellips seperti gambar disamping. Jika panjang sumbu mayor ( sumbu utama ) 8 dan eksentrisitas e = 0,5 maka persamaan grafik ( ellips ) adalah. a. b. c. d. X 2 y 2 16 + 4 = 1 X 2 4 X 2 y 2 + 16 = 1 y 2 16 + 12 = 1 X 2 y 2 12 + 16 = 1 e. Tidak ada yang benar 16.Koordinat pusat dan panjang sumbu mayor dari ellips : x 2 + 2y 4x + 4y + 4 = 0 adalah. a. ( 2,-2 ) dan 4 b. ( 2,-1 ) dan 4 c. ( 2,-2 ) dan 2 d. ( 2,-1 ) dan 2 e. tidak ada yang benar 17. Persamaan ellips dengan titik fokus F 1 ( 1,3 ) dan F 2 ( 7,3 ) serta sumbu mayor 10 adalah. a. b. c. ( x - 4 ) 2 25 ( x - 1 ) 2 25 ( x - 4 ) 2 100 ( y - 3 ) 2 16 = 1 ( y - 3 ) 2 16 = 1 ( y - 3 ) 2 64 = 1 ( x - 7 ) 2 ( y - 3 ) 2 100 64 = 1
d. 45 e. tidak ada yang benar 18. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik ( 0,0 ), panjang sumbu mayor 16 dan sumbu minor 14 adalah. a. d. x 2 y 2 49 16 = 1 49 64 = 1 b. e. tidak ada yang benar x 2 y 2 64 16 = 1 c. x 2 y 2 64 49 = 1 x 2 y 2 19.Persamaan hiperbola dengan pusat ( 2,-1 ), salah satu titik fokus ( 6,-1 ) dan eksentrisitas e = 2 adalah. a. d. b. ( x - 2 ) 2 ( y +1 ) 2 ( x - 2 ) 2 ( y +1 ) 2 16 12 = 1 4 12 = 1 e. tidak ada yang benar ( x - 2 ) 2 ( y +1 ) 2 12 4 = 1 c. ( x - 2 ) 2 ( y +1 ) 2 4 12 = 1 20. Koordinat pusat dan salah satu titik fokus dari hiperbola 4x 2 9y 2 + 24x + 36y 36 = 0 adalah. a. ( -3,2 ) dan ( - 13 3,2 ) d. ( -1,3 ) dan ( 2,- 13 3 ) b. ( -2,3 ) dan ( 13 3,2 ) e. tidak ada yang benar c. ( -1,3 ) dan ( 2, 13 3 )
Cocokan hasil jawaban anda dengan kunci jawaban evaluasi yang ada pada bagaian akhir modul ini. Hitunglah jawaban anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan belajar. Σ jawaban yang benar Tingkat Penguasaan : ---------------------------------- x 100 % 20 Arti tingkat penguasaan yang dicapai : 90 % - 100 % : baik sekali 80 % - 89 % : baik 70 % - 79 % : cukup 60 % - 69 % : kurang
KUNCI JAWABAN EVALUASI 1. D 11. C 2. A 12. A 3. E 13. A 4. A 14. B 5. A 15. C 6. B 16. A 7. B 17. A 8. D 18. C 9. E 19. D 10. E 20. A
11. DAFTAR PUSTAKA Abdul Kodir M., Drs. M. Sc., dkk. Matematika 8 untuk SMA. Depdikbud. 1981. Budiyono, Drs., Matematika Program Inti. Widya Dhuta, 1984. Depdiknas. Kurikulum SMK Edisi 2004 Program Keahlian Teknik Mekanik Otomotif, 2004. Karseno, S. Pd., R. Sugeng Widodo, S. Pd, dan Tejo Yuwono, Drs., Ringkasan Materi dan Soal Soal Penunjang Belajar Siswa, MENTARI. Cahaya Mentari, 1999. Suah Sembiring, Sarjana Matematika Terapan ITB. Penuntun Pembelajaran Matematika. Ganesha Exact Bandung, 1986. Sukino, Junari Tanuwijaya, Dra, dan P. Ananta S. MIA. Matematika 3 Program Ilmu Ilmu Fisik dan Ilmu Ilmu Biologi. Intan Pariwara, 1987. Tim Matematika. Matematika Program Inti untuk Kelas I Semester I SMA. Intan Pariwara, 1980. Wiyoto, Drs, dan Wagirin, Drs,. Matematika Sekolah Menengah Kejuruan Jilid 2. Angkasa Bandung, 1999. Wiwiet Tjatur S., Dra, dan Basuki. Matematika untuk SMU kelas 3 Cawu 1. SMU 2 Purwokerto, 1996. Wono Setiya Budhi, Drs,. Matematika SMU 3A. Pusgrafin, 1999.