Kalkulus Pertemuan 2 KOORDINAT CARTESIUS Koordinat Cartesius 1 2 3 Jarak y Hitunglah jarak dari A(3,-5) ke B(4,2) A(3,-5) maka x 1 = 3 dan y 1 = -5 B(4,9) maka x 2 = 4 dan y 2 = 2 sehingga d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = (4 3) 2 + (2 ( 5)) 2 = 1 2 + 7 2 = 50 1
Persamaan Lingkaran Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r adalah: Misalkan A(4,-7) dan B(8,5). Tentukan: 1. Persamaan lingkaran dengan pusat B dan jari-jari 5 2. Persamaan lingkaran dengan pusat A dan menyinggung sumbu-y 3. Persamaan lingkaran yang melalui A dan berpusat di B 4. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran x 2 +2x+y 2-6y-6=0 1. P(a,b) = B(8,5) maka a = 8 dan b = 5 r = 5, sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah r 2 = (x a) 2 + (y b) 2 5 2 = (x 8) 2 + (y 5) 2 25 = x 2 16x + 64 + y 2 10y + 25 x 2 16x + y 2 10y + 64 = 0 2. P(a,b) = A(4, -7) maka a = 4 dan b = -7 Lingkaran menyinggung sumbu-y maka lingkaran melalui C(0,-7) akibatnya r = d(a, C) = (0 4) 2 + ( 7 ( 7)) 2 = 4 Sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah 4 2 = (x 4) 2 + (y ( 7)) 2 16 = x 2 8x + 16 + y 2 + 14y + 49 x 2 8x + y 2 + 14y + 49 = 0 3. P(a,b) = B(8,5). Lingkaran melalui A(4,-7) akibatnya r = d(a, B) = (8 4) 2 + (5 ( 7)) 2 = 160 Sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah 160 2 = (x 8) 2 + (y 5)) 2 160 = x 2 16x + 64 + y 2 10y + 25 x 2 16x + y 2 10y 71 = 0 4. x 2 + 2x + y 2 6y 10 = 0 (x + 1) 2 1 + (y 3) 2 9 6 = 0 (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 16 Jadi lingkaran tersebut berpusat di P(-1,3) dan jari-jari r = 4. ------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 2
Titik Tengah 1. Tentukan jarak antara titik C(4,5) dengan titik tengah garis AB, dimana A(2,-6) dan B(-4,2) 2. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB, dengan A( 2,-3) dan B(8,5) 1. Misal T titik tengan AB, maka Sehingga r = 1 Lah titik tengah 2 d(a, B) = 1 2 (8 2)2 + (5 ( 3))) 2 = 5 Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah 25 = (x 5) 2 + (y 1) 2 Kemiringan Garis Lurus T = ( 2 + ( 4) 2, 6 + 2 ) = ( 1, 2) 2 d(c, T) = ( 1 4) 2 + ( 2 5)) 2 = 74 2. Pusat lingkaran P adalah titik tengah AB, sehingga T = ( 2 + 8), 3 + 5 ) = (5,1) 2 2 Misalkan g adalah sebuah garis yang melalui titik A(4,3) dan B(-1,0). Tentukan kemiringan garis g! m g = 1 4 0 3 = 5 3 ------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 3
Persamaan Garis Lurus a. Persamaan garis lurus dengan gradien m dan melalui B(a,b) y b = m(x a) b. Persamaan garis lurus dengan gradien m dan melalui C(0,c) y = mx + c c. Persamaan garis lurus melaui A(x 1,y 1) dan B(x 2,y 2) y y 1 = x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 d. Persamaan garis tegak (sejajar sumbu-y) x = k e. Persamaan garis mendatar (sejajar sumbu-x) y = k 1. Carilah persamaan garis yang melalui titik pusat lingkaran x 2 4x + y 2 + 6y = 0 dan gradien m, dimana m = jari-jari lingkaran tersebut! 2. Diketahui A(5,-3) dan B(-4,1). Carilah persamaan garis yang melalui A dan B, kemudian carilah gradiennya. 1. x 2 4x + y 2 + 6y = 0 (x 2) 2 4 + (y + 3) 2 9 = 0 (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 Jadi lingkaran tersebut berpusat di P(2,-3) dan jari-jari r = 4. Persamaan lingkaran yang dicari adalah persamaan yang melalui P(2, -3) dan m = r = 4, yaitu y b = m(x a) y + 3 = 4(x 2) y = 4x 11 2. Persamaan garis yang melalui A(5,-3) dan B(-4,1) adalah y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 y + 3 1 + 3 = x 5 4 5 y + 3 4 Gradien dari persamaan garis tersebut adalah 4 9. = x 5 9 9y 27 = 4x 20 9y = 4x + 7 y = 4 9 x 7 9 ------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 4
Kedudukan Dua Buah Garis a. Sejajar (tidak pernah berpotongan) m g = m h b. Tegak Lurus (berpotongan pada satu titik dan membentuk sudut siku-siku) Koordinat Cartesius m g = 1 m h 1. Carilah persamaan garis yang melalui A(3,9) dan sejajar dengan garis 3x + 5y = 10. 2. Carilah garis yang tegak lurus dengan garis y = 5x + 2 dan memotong sumbu y di (0, -7) 1. 3x + 5y = 10 y = 3 x + 2, gradiennya adalah 3. Karena sejajar maka 5 5 gradiennya sama, sehingga persamaan garis yang melalui A(3,9) dan gradient 3 5 adalah y 9 = 3 (x 3) 5 y = 3 5 x + 9 5 + 45 5 y = 3 54 x + 5 5 2. y = 5x + 2, gardiennya adalah 5, karena tegak lurus maka gradien dari persamaan garis yang dicari adalah 1. Persamaan garisnya adalah 5 y = mx + c y = 1 5 x - 7 Latihan 2 Misalkan A(5,-9) dan B(7,2), tentukan: 1. Persamaan lingkaran dengan diameter AB. 2. Persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x dan melalui B. 3. Persamaan garis yang sejajar dg sumbu x dan melalui A. 4. Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan tegak lurus terhadap garis yang melalui A dan B. 5. Persamaan garis yang sejajar dengan 2x 3y + 5 = 0 dan melalui titik B. ------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 5
Misalkan A(4,-7) dan B(8,5). Tentukan: 1. Persamaan lingkaran dengan pusat B dan jari-jari 5 2. Persamaan lingkaran dengan pusat A dan menyinggung sumbu-y 3. Persamaan lingkaran yang melalui A dan berpusat di B 4. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran x 2 +2x+y 2-6y-6=0 5. Tentukan jarak antara titik C(4,5) dengan titik tengah garis AB, dimana A(2,-6) dan B(-4,2) 6. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB, dengan A( 2,-3) dan B(8,5) 1. Carilah persamaan garis yang melalui titik pusat lingkaran x 2 4x + y 2 + 6y = 3 dan gradien m, dimana m = jari-jari lingkaran tersebut! 2. Diketahui A(5,-3) dan B(-4,1). Carilah persamaan garis yang melalui A dan B, kemudian carilah gradiennya. 3. Carilah persamaan garis yang melalui A(3,9) dan sejajar dengan garis 3x + 5y = 10. 4. Carilah garis yang tegak lurus dengan garis y = 5x + 2 dan memotong sumbu y di (0, -7) Misalkan A(5,-9) dan B(7,2), tentukan: 1. Persamaan lingkaran dengan diameter AB. 2. Persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x dan pusatnya di B. 3. Persamaan garis yang sejajar dg sumbu x dan melalui A. 4. Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan tegak lurus terhadap garis yang melalui A dan B. 5. Persamaan garis yang sejajar dengan 2x 3y + 5 = 0 dan melalui titik B. ------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 6
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 7