Kelas Disusun : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 017 018
Peta Konsep
Glosarium Istilah Keterangan Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Jari jari Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik lingkaran pada lingkaran dan titik pusat lingkaran. Ellips Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Parabola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis. Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. 3
Irisan Kerucut Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola A. Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r) Luas lingkaran = π.r (r = jari-jari) Ex. 1: Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 4
Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r Ex. : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan : a. Berjari-jari b. Melalui titik A(3, 4) 5
Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r Ex. 3 : Tentukan persamaan lingkaran jika : a. Berpusat di titik P(3, ) dan berjari-jari 4 b. Berpusat di titik Q(, -1) dan melalui titik R(5, 3) 6
B.Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu tetap. Jumlah jarak itu = a (untuk elips horisontal) atau b (untuk elips vertikal) Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) jarak antara F 1 dan F adalah c Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1 Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah. Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor Pusat elips adalah titik tengah F 1 dan F Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal) Perhatikan unsur-unsur elips a). Elips dengan titik pusat O(0, 0) 7
b a e 6. Eksentrisitas a 7. Persamaan direktris : d 1 = x = p a e dan d b). Elips dengan titik pusat P(p, q) 1. Titik fokus : F 1 (p c, q) dan F (p + c, q). Titik puncak : A 1 (p a, q) dan A (p + a, q) 3. Sumbu mayor : A 1 A dengan panjnag a 4. Sumbu minor : B 1 B dengan panjang b c 5. Panjang latus rectum L 1 L = 6. TF 1 + TF = a c 7. Eksentrisitas e a 8. Persamaan direktris : d 1 = x = p b a a e dan d a x p e a x p e Ex. 4 : Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), ( 5, 0), (0, 4), (0, 4), fokus (3,0), ( 3, 0), dan garis arah x = ±5/3 8
Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (, 0), (, 0), (0, ), (0, ), fokus (0, ), (0, ), dan garis arah y = ± /3 9
Persamaan Elips 1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0, 0) B 1 (0, b) T( x, y) A1 ( a,0) A ( a,0) B (0, b) ( x c) y ( x c) y ( x c) y ( x c) y atau x a b y x b y a 1, dengan a > b 1, dengan a b 10
Ex. 5 : Tentukan persamaan elips dengan titik puncak P(13, 0) dan fokus F1(- 1, 0) dan F(1, 0) Ex. 6 : Diketahui persamaan elips x y 1 5 16. Tentukan : a. Titik titik puncaknya b. Titik focusnya c. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor 11
Ex. 7 : Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0, 0), dengan salah satu focusnya ( 3, 0) dan panjang sumbu mayor 4 satuan. Kemudian lukis grafiknya.. Persamaan Elips yang Berpusat di P(h, k) Persamaan : ( x h) a ( y k) b 1 ( x h) b atau ( y k) a 1 Ex. 8 ( x 1) ( y 4) Diketahui elips dengan persamaan 1. Tentukan : 5 9 a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak 1
Ex. 9 Diketahui elips dengan persamaan 4x 9y 48x 7y 144 0. Tentukan : a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak Ex. 10 Diketahui elips dengan persamaan 4x y 8x 6y 9 0. Tentukan : a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak Ex. 11 Diketahui elips dengan persamaan 4x 9y 16x 18y 11 0 Tentukan : a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak 13
Persamaan Garis Singgung a. Persamaan Garis singgung melalui titik x, ) pada elips x1x y1y 1atau a b Ex. 1 Tentukan PGS elips berikut : a. x y 1 8 1 pada titik A(4, 3) ( x ( 1 y 1 ( x 1) ( y ) b. 1 pada titik B(5, -3) 18 9 1 m)( x m) ( y1 n)( y n) a b 14
b. Persamaan Garis singgung pada Elips dengan Gradien Tertentu 1). Untuk Elips dengan Pusat O(0,0) x y Garis : y = mx + n dan elips 1, sehingga PGS: b a y mx a m b x y atau elips 1, sehingga PGS : a b ). Untuk lips dengan Pusat P(h, k) y mx b m a ( x h) ( y k) a. Untuk elips 1 a b dengan gradien m PGS : y k m( x h) a m b ( x h) ( y k) b. Untuk elips 1 b a dengan gradien m PGS : y k m( x h) b m a Ex. 13 Tentukan PGS pada elips : a. x y 1 9 4 yang gradiennya 3 b. 3x 4y 30x 8y 4 0 yang sejajar garis x y + 3 = 15
Latihan 1 1. Tentukan kedudukan garis-garis berikut terhadap elips x y 1 5 9 a. 4y 3x 9 = 0 b. 7y 8y 56 = 0 c. x 5 = 0. Tentukan nilai k sehingga garis y + x + k = 0 menyinggung elips x y 1 0 5. 3. Diketahui persamaan elips 16x 5y 3x 100y 84 0. Tentukan kedudukan garis 3y 4x = 0 terhadap elips tersebut. 4. Tentukan PGS pada elips di bawah ini yang melalui titik yang ditentukan. a. 10x 36y 360 di titik A(10, 0) b. x y 1 16 9 di titik B(0, 9) ( x 3) ( y 4) c. 1 di titik C(3, 4) 9 16 5. Tentukan PGS pada elips : a. x y 1 9 8 dengan gradien b. x y 1 8 9 yang sejajar garis y = 3x 7 1 c. 9x 5y 36x 50y 164 0 dengan gradien d. 5x 16y 160y 0 yang sejajar dengan garis y 3x + 1 = 0 16
B. Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu. Titik itu disebut fokus/titik api (F) Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum tegak lurus dengan sumbu simetri Ex. 1: Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = 1 Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = 1 17
Hiperbola (1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap titik tertentu tetap Selisih jarak itu = a (untuk elips horisontal) atau b (untuk elips vertikal) Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) jarak antara F 1 dan F adalah c () Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e, dimana e > 1 Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F 1 dan F ) Garis yang melalui titik-titik F 1 dan F disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata Titik tengah F 1 dan F disebut pusat hiperbola (P) Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola 18
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di titik ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum Ex. : Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (, 0), (, 0), fokus ( 6, 0), ( 6, 0), dan asimtot y = ± ½ x Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (, 0), (, 0), fokus (0, 6), (0, 6), dan asimtot y = ± ½ x 19
Persamaan Tips! Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut: 0
Pada persamaan Lingkaran: koefisien x dan y sama Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x saja atau y saja) Pada persamaan Elips: koefisien x dan y bertanda sama (samasama positif atau sama-sama negatif) Pada persamaan Hiperbola: koefisien x dan y berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif) Ex. 3 : 3x + 3y + 6x + y = 5 Persamaan Lingkaran 3x + 3y + 6x = 5 Persamaan Parabola 3x + y + 6x + y = 5 Persamaan Elips 3x 3y + 6x + y = 5 Persamaan Hiperbola Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut: 1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0. Masukkan koordinat titik pada persamaan: Jika hasil ruas kiri < 0 titik berada di dalam irisan kerucut Jika hasil ruas kiri = 0 titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut Jika hasil ruas kanan > 0 titik berada di luar irisan kerucut Ex. 4: Tentukan kedudukan titik (5, 1) terhadap elips dengan persamaan 3x + y + 6x + y = 5 Cara: 1
3x + y + 6x + y 5 = 0 Ruas kiri: 3.5 + ( 1) + 6.5 + ( 1) 5 = 75 + 1 + 30 1 5 =100 100 > 0, jadi titik (5, 1) berada di luar elips tersebut Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut: 1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = atau y =. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat. 3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b 4.a.c) Jika D < 0 garis berada di luar irisan kerucut Jika D = 0 garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik Jika D > 0 garis memotong irisan kerucut di titik Ex. 5 : Tentukan kedudukan garis x + y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x + 3y + 6x = 5 Cara: Garis: x = 4 y 3(4 y) + 3y + 6(4 y) 5 = 0 3(16 16y + 4y ) + 3y + 4 1y 5 = 0 48 48y + 1y + 3y + 4 1y 5 = 0 1y 57y + 67 = 0 D = b 4.a.c = ( 57) 4.1.67 = 33 Karena D > 0 maka garis x + y = 4 memotong parabola tersebut
Persamaan Garis Singgung Persamaan garis singgung dengan gradien m Persamaan garis singgung pada titik (x 1, y 1 ) selalu gunakan sistem bagi adil: ( ) menjadi ( ).( ) ( ) menjadi ½ ( ) + ½ ( ) Pada salah satu ( ) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil 1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan titik potong Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan buah persamaan garis singgung 3
Ex. 6 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y + 4x = 13 pada titik (, 1) Cara: (, 1) terletak pada lingkaran ( + 1 + 4. = 13) Persamaan bagi adil: x 1.x + y 1.y +.x 1 +.x = 9 Masukkan (, 1) sebagai x 1 dan y 1 :.x + 1.y +. +.x = 9 4x + y 5 = 0 persamaan garis singgung Ex. 7 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y + 4x = 13 pada titik (4, 1) Cara: (4, 1) terletak di luar lingkaran (4 + 1 + 4.4 = 33 > 16) Persamaan bagi adil: x 1.x + y 1.y +.x 1 +.x = 9 Masukkan (4, 1) sebagai x 1 dan y 1 : 4.x + 1.y +.4 +.x = 9 6x + y 1 = 0 persamaan garis polar y = 1 6x Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran: x + (1 6x) + 4x 13 = 0 x + 1 1x + 36x + 4x 13 = 0 37x 8x 1 = 0 4
Gunakan rumus abc: 5
Masukkan (x 1, y 1 ) dan (x, y ) ke dalam persamaan hasil bagi adil 6
SOAL LATIHAN 1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari jari 3 adalah... A. x + y = 3 B. x + y = 6 C. x + y = 3 D. x + y = 9 E. x + y = 6. Pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan x + y 10 y = 0 berturut turut adalah... A. (10, ) dan 10 B. (-5, -1) dan 6 C. (5, -1) dan 6 D. (5, 1) dan 6 E. (-5, 1) dan 6 3. Persamaan lingkaran yang berjari jari 3 dan menyinggung sumbu x di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah... A. (x 3) + (y 3) = 3 B. (x 3) + (y + 3) = 9 C. (x + 3) + (y 3) = 3 D. (x 3) + (y 3) = 9 7
E. (x + 3) + (y 3) = 9 4. PGS lingkaran x + y = 9 di titik (1, ) adalah... A. x + y = 5 B. x + y = 5 C. x + y = - 5 D. x + y = - 5 E. x + y 5 = 0 5. Persamaan garis singgung lingkaran x + y + 5x 6y - 33 = 0 yang melalui titik (1, -3) adalah... A. 7x - 1y 43 = 0 B. 6x - 7y + 34 = 0 C. 7x + 1y 43 = 0 D. 1x + 7y 4 = 0 E. -7x - 1y + 1 = 0 6. Koordinat titik focus parabola y = -1x adalah... A. (-1, 0) B. (0, -3) C. (-4, 0) D. (0, -4) E. (-3, 0) 7. Koordinat tititk puncak parabola y + x 6y + 11 = 0 adalah... 8
A. (-1, 3) B. (, -3) C. (1, -3) D. (-, 6) E. (, -6) 8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -), mempunyai sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah. A. (y + ) = 8(x 4 ) B. (y + ) = - 8(x + ) C. (y - ) = 8(x 4 ) D. (y + ) = - 8(x ) E. (y + 1) = 8(x + 4 ) 9. PGS parabola y = 3x yang melalui titik (, 8) adalah... A. y = 3x + 64 B. y = x + 4 C. y = 16x + D. y = x + E. y = 8x + 16 10. Persamaan garis singgung parabola (y - 3) = 8(x + 5 ) yang tegak lurus dengan garis x y 4 = 0 adalah... A. x + y 4 = 0 B. x - y = 0 9
C. x + y + = 0 D. x - 8y 5 = 0 E. x + y + 8 = 0 11. Panjang sumbu mayor persamaan elips 0x + 36y = 70 adalah. A. 5 B. 0 C. 6 D. 36 E. 1 1. Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x + 5y + 18x 100y = 116 adalah... A. (5, ) dan (-3, ) B. (-1, 6) dan (5, 3) C. (-3, -) dan (1, 3) D. (5, ) dan (-3, 5) E. (3, ) dan (5, ) 13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah. A. 10x + 6y = 60 B. 9x + 16y = 144 C. 36x + 16y = 400 D. 9x + 5y = 5 30
E. 16x + 9y = 400 14. Persamaan garis singgung elips 5x + 0y =100 pada titik (4, 1) adalah... A. x - y + 5 = 0 B. x + y = -5 C. x + y + 5 = 0 D. -x - y = 5 E. x + y = 5 15. Persamaan garis singgung elips x y 1 3 9 yang melalui titik (1, - 6 ) adalah... A. 3x - 6 y = 9 B. 6x - 6 y = 1 C. 3x - 6 y = 3 D. x - 6 y = 1 E. 3x - 3 6 y = 11 16. PGS elips 5x + y = 5 yang melalui titik A(-, 1) adalah. A. x + 3y + 7 = 0 B. x - y - 3 = 0 C. x - 3y + 5 = 0 D. x - y - 5 = 0 E. 3x + y + 9 = 0 31
17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x + 16y - 54x 64y - 17 = 0 adalah... A. 4x - 3y - 18 = 0 B. 3x - 4y 17 = 0 C. 4x - 3y - 6 = 0 D. 3x - 4y 1 = 0 E. 4x - 3y - 1 = 0 18. Koordinat titik puncak hiperbola x - 4y - x + 4y - 39 = 0 adalah : A. (1, ) dan (-1, ) B. (1, 0) dan (1, 4) C. (3, ) dan (-1, ) D. (1, -) dan (1, -4) E. (1, 3) dan (-1, 3) 19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x - y - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, ) adalah... A. 4x - y + 1 = 0 B. 9x - y - 34 = 0 C. 4x - y - 34 = 0 D. 9x - y + 1 = 0 E. 4x - y - 8 = 0 0. Persamaan garis singgung hiperbola 4x - y + 1 = 0 di titik (1, 4) adalah... A. 19x + 11y = 63 dan x y = -3 B. 19x + 11y = -63 dan x y = 3 3
C. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3 D. 19x - 11y = -16 dan x + y = 3 E. -19x + 11y = 16 dan -x + y = -3 1. Persamaan parabola yang berpuncak di dan fokusnya adalah.... A. B. C. D. E.. Koordinat titik fokus parabola dengan persamaan adalah... A. B. C. D. E. 3. Persamaan elips dengan titik puncak di dan panjang latus rectum, berbentuk.... A. 33
B. C. D. E. 4. Koordinat titik pusat elips dengan persamaan adalah... A. B. C. D. E. 5. Panjang sumbu minor elips dengan persamaan adalah.... A. B. C. D. E. 34
DAFTAR PUSTAKA Bahri, Samsul dan Mustain. 009. Terampil Matematika untuk SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega Mauludin, Ujang. 007. Matematika untuk SMK kelas XII Program Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama Noormandiri, B.K. 004. Matematika SMA untuk kelas XII program Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga Teguh, Mega. 004. Modul Irisan Kerucut. Departemen Pendidikan Nasional 35
36