BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar di atas, perhatikan bahwa Untuk < c, maka : < c < δ atau > c > -δ Untuk > c, maka : < c < δ Dari kedua persamaan diatas didapat : < c < δ Untuk f() < L, maka L f() < ε atau f() L > -ε Untuk f() > L, maka f() L < ε. Sehingga didapat : f ( ) L < ε
5 Dari Ilustrasi di atas didapat definisi sebagai berikut : Pernyataan : f ( ) = L, berarti untuk setiap ε > terdapat δ > c sedemikian rupa sehingga jika < - c < δ maka f() - L <ε Dengan demikian :. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan riil c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan. Jika f() mendekati bilangan riil L tertentu pada saat mendekati c, Maka dapat ditulis : f ( ) = L c dibaca it f() adalah L bila mendekati c atau f() mendekati L bila mendekati c B. Sifat-sifat Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian it yang didapat dengan bantuan definisi it. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan riil, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan riil positif. Sifat-sifat it :. = c c Contoh. a) = 5 5 b) = 7 7. k = k c
6 Contoh. a) = b) 9 = 9. [ f ( ) + g( )] = f ( ) + g( ) c c c Contoh. ( + 6) = + 6 = 5 5 5 5 + 6 =. [ f ( ) g( )] = f ( ) g( ) c Contoh. c (7 - ) = 7-5 5 = 5 c 7-5 = 5. [ f ( ). g( )] = c c f ( ). g( ) c Contoh.5 {(7 - )( + )} = (7 - ). ( + ) = 5 5 5 ()(6)= 6. f ( ) = c g( ) Contoh.6 = f ( ) c g( ) c = = 7 7 7. af ( ) = a f ( ) c c
7 Contoh.7 a) 9 = 9 = 9e e e b) ( - ) = ( ) = ( π ) π π n 8. [ f ( )] = f ( ) c c n Contoh.8 ( - ) 7 7 = ( ) = ( ) 7 = 9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f() h() g() untuk setiap harga pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika f() = L = g(), maka : h() = L c c c Contoh.9 Selesaikan cos cos, cos (kalikan semua suku dengan ) = - = Karena : - = =, maka cos =
8. Limit sepihak [ f ( )] = L c c [ f ( )] = [ f ( )] = L c + c - artinya mendekati c dari arah kiri c + artinya mendekati c dari arah kanan Contoh. jika Jika f() = + 7 jika Tentukan < - > - f(), jika ada. ( ) = 5 (it kiri) ( + 7) = 5 (it kanan) + Karena it kiri = it kanan = 5, maka f ( ) = 5 Soal-soal. 7. 5 6. ( )( + 5 + 6) 7. -. 8. 5. ( 5) e 5. ( ) 5 9. (5 9) π sin. Tentukan f ( ) jika f() = 5 jika 7- jika >
9 C. Limit fungsi trigonometri dan siklometri Beberapa it fungsi trigonometri : sin. = Untuk menunjukkan, perhatikan gambar berikut! y Q T r θ P < θ < π Gambar. Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT (*) Luas OPQ = r. r sin θ = r sin θ (**) Luas sektor OPQ = θ r (***) Luas OPT = r. r tan θ (****) = r tan θ Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat : r sin θ < θr < r tan θ ( # ) Jika pers. (#) dibagi Gunakan teorema apit! r sin θ didapat : θ < < sin θ cos θ sin θ θ atau > > cos θ = θ dan cos θ =, maka : = θ θ sin θ θ sin = atau
. cos =. sin =. tan = tan = 5. = tan 6. cos - = 7. Beberapa it fungsi siklometri (invers trigonometri) arcsin =. Bukti : y = arcsin = sin y untuk - dan -π/ y π/ arcsin Jadi : = arctan. = y = = ( terbukti ) y sin y y sin y y. arcsin = π. arccos = 5. arctan = 6. arccot =
Soal-soal Hitung it berikut, jika ada!... sin 5 sin sin sin 6. 7. 8. cos 5 tan - cos sin( -π-. sin 9. arcsin 7 5. sin 7. arctan 7 D. Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap c f ( ) dan + c f() mungkin akan didapat bahwa f() membesar atau mengecil tanpa batas. Untuk memecahkan it tak hingga perhatikan teorema berikut! Misal f() = Jika m < n, maka : m m am + am- +... + a + a n n bn + bn- +... + b + b m m a a... a a m + m- + + + n n bn + bn- +... + b + b = Jika m = n, maka : m m am + am- +... + a + a a = m n n b b n + bn- +... + b + b n Jika m > n, maka : m m am + am- +... + a + a n n bn + bn- +... + b + b =
Contoh. Tentukan + + 7 5 + - a m = ; b n = 5 ; m = ; n = Karena m = n, maka + 5 + - + 7 a m = = b 5 n E. Kekontinuan fungsi Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) f ( ) ada a ii) f(a) terdefinisi iii) f ( ) a = f(a) Contoh.5 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a. f() =. f() = + 9 6 ; a = - jika ; a = jika =. = +. Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f() tak kontinu di titik a = - 9. = 6dan f() = 6.
Karena f ( ) = f () maka f() kontinu di titik a =. Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi f ( ) ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f() di titik a a dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = f ( ) maka f() menjadi a kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan f ( ) maka ketakkontinuan f() di titik a tidak dapat dihapuskan. a tidak ada Contoh.6 Diketahui f() =. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. + = ( + ) =, f(-) tak terdefinisi Jadi f() tak kontinu di titik a = -. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena f ( ) ada. Selanjutnya lakukan definisi ulang ( ) = f ( ) =. Sehingga f() dapat ditulis menjadi : f() = + - jika - jika = - Contoh.7 Diketahui f() =. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. 9
9 dapat dihapuskan. =, maka f() tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a. f() =. f() = jika < 8 jika = + 5 jika > - jika < jika = jika > - jika < a =. f() = a = cos jika jika < a =. f() = jika = a = - + jika > - Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak. 5. f() = 6. f() = 7. f() = ; a = 9 8. f() = 9 ; a = dan a = - 9. f() = 9 ; a =. f() = 8 + 6 ; a = dan a = - + ( + )( - 5 ) ; a = - + + ; a = -