Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut. 1. Koordinat Cartesius Pada bab sebelumnya, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan Gambar 3.1 dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0). Sekarang, bagaimana menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius? a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2, terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut. b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius. Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan Gambar 3.3
Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a), terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). S ebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius. 2. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. B. Gradien Coba kamu perhatikan dengan saksama Gambar 3.4 berikut ini. Dari Gambar 3.4 terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A( 6, 3), B( 4, 2), C( 2, 1), D(2, 1), E(4, 2), dan F(6, 3). Perbandingan antara ordinat (y) dan absis (x) untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut.
Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut. Semua titik memiliki nilai perbandingan yang sama, yaitu 1 / 2. Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien. Biasanya gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan gradien? Coba kamu pelajari uraian berikut ini. 1. Pengertian Gradien Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah 1 / 2. 2. Perhitungan Gradien Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis. a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut. Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0 Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.
d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut. Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut. Sekarang, perhatikan Gambar 3.6. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu: Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah 1 / 2. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.
3. Sifat-Sifat Gradien Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut. a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x Perhatikan gambar berikut. Pada Gambar 3.7, terlihat garis k yang melalui titik A( 1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut. Untuk titik A( 1, 2) maka x 1 = 1, y 1 = 2. Untuk titik B(3, 2) maka x 2 = 3, y 2 = 2. Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut. Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol. b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y Perhatikan gambar berikut.
Pada Gambar 3.8, garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, 1). letaknya sejajar dengan sumbuy. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut. Untuk titik C(1, 3) maka x 1 = 1, y 1 = 3. Untuk titik D(1, 1) maka x 2 = 1, y 2 = 1. Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut. Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien. c. Gradien Dua Garis yang Sejajar Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9 Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut? Perhatikan uraian berikut. Garis k melalui titik A( 2, 0) dan B(0, 2). Untuk titik A( 2, 0) maka x 1 = 2, y 1 = 0. Untuk titik B(0, 2) maka x 2 = 0, y 2 = 2. Garis l melalui titik C(0, 1) dan D(1, 0). Untuk titik C(0, 1) maka x 1 = 0, y 1 = 1. Untuk titik D(1, 0) maka x 2 = 1, y 2 = 0. Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama. Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. e. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus Coba kamu perhatikan Gambar 3.10. Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l.
Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut. Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3). Untuk titik C(3, 0) maka x 1 = 3, y 1 = 0. Untuk titik D(0, 3) maka x 2 = 0, y 2 = 3. Garis l melalui titik A( 1, 0) dan B(0, 1). Untuk titik A( 1, 0) maka x 1 = 1, y 1 = 0. Untuk titik B(0, 1) maka x 2 = 0, y 2 = 1. Hasil kali kedua gradien tersebut adalah m AB m CD = 1 1 = 1 Uraian tersebut memperjelas hal berikut: Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah 1. C. Menentukan Persamaan Garis Lurus Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis. Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih ingatkah kamu tentang gradien yang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal
Contoh Soal :Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki: a. gradien 2, b. gradien 3, c. gradien 1. Jawab : y = 2x a. y = mx maka y = (2)x y = 3x b. y = mx maka y = ( 3)x y = x c. y = mx maka y = (1)x Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut. Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0). Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien. 1. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x 1, y 1 ) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan: y 1 = mx 1 + c.(1) Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan: y = mx + c.(2) Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh: Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, yaitu:
2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya. Coba kamu perhatikan uraian berikut : y y1 = m (x x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat. Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah 3. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus Coba kamu perhatikan Gambar 3.12 Dari Gambar 3.12, terdapat dua garis dalam bidang koordinat, yaitu garis k dan l. Dalam Gambar 3.12(a), kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar 3.12(b), kedua garis tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan di suatu titik, yaitu titik A (x1, y1). Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar. Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua persamaan garis yang
diketahui? Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut. a. Cara Grafik Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar. b. Cara Substitusi Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan (disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain. 4. Aplikasi Persaman Garis Lurus Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Contoh Soal. Aplikasi Persaman Garis Lurus Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.