Peluang & Aturan Bayes MA 2081 STATISTIKA DASAR, 6 FEBRUARI 2012 Utriweni Mukhaiyar 1
Eksperimen Ciri-ciri i i i eksperimen acak (Statistik): ti tik) Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasil-hasil sebelumnya. Bisa diukur (diamati). Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya galat/error. 2
Ruang Sampel Ruang sampel S, yaitu himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik). 3
RuangSampelDiskrit it A. Diskrit: i banyaknya (number) b elemen pada S tb tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. Contoh 1.S pada (percobaan) pengecekan bola lampu di Toko Listrik AAA. Setiap bola lampu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai bola lampu rusak atau tidak. 4
Ruang Sampel Kontinu B. Kontinu: elemen-elemen l dari S tsb adalah bagian dari suatu interval. Contoh 2. S pada percobaan pengukuran tinggi pasang maksimum setiap hari di suatu selat (satuan m), misalnya S={x:2<x <4}. Jika kita pilih hari-hari secara acak, maka mungkin ditemukan hari-hari dengantinggipasang2,1matau 3,5 m atau 2,75 m atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < x <4. 5
Kejadian (Event) Himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S. Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal E 1, E 2,...dst. 6
Ruang Sampel dan Kejadian Ruang sampel, dinotasikan ik S Ruang Sampel Diskrit Ruang Sampel Kontinu S = {,,..., } Event (kejadian) 7 E = {, } 7
Populasi dan sampel Pada Contoh 1: Semua bola lampu yang ada di Toko Listrik AAA disebut populasi, sedangkan beberapa bola lampus yang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah semua keadaan bola lampu yang mungkin, yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(s ) = 2. 8
Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian Dua pasien diberi obat untuk satu minggu. Sukses atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien dicatat setelah 1 minggu. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya. Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, ST TS TT} dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) Contoh kejadian, a mis kejadian a E 1 dimana akedua pasien pengobatannya sukses, maka E 1 ={SS}; dan E 2 dimana salah satu pasien tetap sakit E 2 ={ST,TS} 9
Contoh 4 Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan. Jawab: J Misalkan X : tingkat curah hujan (mm), ruang sampel S = { x 0 x 600, x R} dan E 2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm, maka E 2 = {x 200 < x 600, x R} Perhatikan a bahwa E 2 S 10
Gabungan Union dua peristiwa i E 1 dan E 2 ditulis E 1 EE 2, adalah dlh himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 atau di dl dalam E 2 (termasuk di dalam dl keduanya kd jika ada). d) Contoh. Perhatikan Contoh 3. Misal E 1 adalah kejadian salah seorang gp pasien sembuh, dan E 2 adalah kejadian tidak ada pasien yang sembuh. Maka E 1 E 2 = {ST,TS,TT}. 11
Ii Irisan Ii Irisan dua peristiwa i E 1 dan E 2, ditulis E 1 E 2, adalah dlh himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 dan di dl dalam E 2. Contoh. Perhatikan Contoh 2. Misalkan E 1 : himpunan tinggi pasang maksimum lebih dari 2,65 m, dan E 2 : himpunan tinggi pasang maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E 1 E 2 = {x 2,65 < x < 3,70}. 12
Komplemen Komplemen suatu peristiwa E 1, ditulis E 1c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E 1. Contoh. Perhatikan Contoh 4. E 2c = {0 IP 3}, yaitu himpunan nilai IP dari 0 sampai dengan 3. 13
Peluang Suatu Kejadian Prinsip i dasar : frekuensi relatif Jika suatu ruang sampel mempunyai n(s ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(e) elemen, maka probabilitas E adalah: PE ( ) ne ( ) ns ( ) 14
Contoh 5 Seorang gpengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam hari). Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari? Jawab: n(s) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(e) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des} 15 PE ( ) n ( E ) 7 ns ( ) 12
Aksioma Peluang 1. 0 P(E) 1. 2. P(S) = 1. 3. Jika E 1 dan E 2 adalah dua kejadian yang saling lepas,maka berlaku: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) 4. Jika E 1 1,, E 2 2,,,E, n adalah kejadian yang saling lepas mutual, maka berlaku : P(E 1 E 2 E E n ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + + + P(E n ) 16
Peluang Bersyarat Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah dibatasi. Jika event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya y adalah: 17 PBA ( ) P( A B) P( A)
Peluang Bersyarat Dalam P(B A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka P(B A) = P(B) 18
Contoh 6 Jenis Rambut Hitam Warna Tidak Hitam Lurus 2 0 Ikal 2 4 Keriting 1 2 P(Lurus Hitam) 2 5 2 P(Lurus Hitam) = : P(Hitam) 11 11 5 19
Kjdi Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas Dua kejadian E dan F dikatakan k saling bebas b (independent) jika berlaku: PEF ( ) PE ( ). PF ( ) Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku: PEF ( ) 0 20
Contoh 7-- Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa E dan F saling bebas. b Apakah E dan F saling lepas? 21
--Contoh 7 Jawab: PEF ( ) 1/52 22 karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati. PE ( ) 4/52 karena terdapat 4 As dalam kartu bridge PF ( ) 13/52 karena terdapat 13 kartu bergambar hati 4 13 52 1 P( E). P( F). P( EF) 52 52 52.52 52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
Peluang Bersyarat Banyak kejadian B 1 A B 5 A B 1 B 5 A A B2 A B 3 A B 4 B 4 23 S B 2 B 3
24 Peluang Bersyarat Banyak kejadian
25 Aturan Bayes
26 Contoh 8
27 Solusi
Referensi 28 Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.