Ikhtisar: Teknik Kontrol Optimal Untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial

ISSN 979-867 (print) Electrical Engineering Journal Vol. 4 (4) No., pp. -3 Ikhtisar Teknik Kontrol Optimal Untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tio Dewantho Sunoto Jurusan Teknik Elektro, Universitas Kristen Maranatha, Bandung Jl. Suria Sumantri 65, Bandung 464, Indonesia tiodewantho@gmail.com Abstrak Untuk menyatakan karakteristik sebuah sistem sering dipergunakan persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE), formula ini sudah lama dikembangkan dan telah banyak metode untuk menyelesaikannya dalam bentuk masalah nilai awal (initial value problem). Selain itu terdapat masalah nilai batas dua titik (two point boundary problem) yang mirip dengan masalah nilai awal dan keduanya bisa saling berhubungan. Teknik kontrol optimal dapat dipakai untuk menyelesaian persamaan diferensial biasa, karena melalui teknik ini masalah yang ditinjau dapat ditransformasikan menjadi masalah nilai batas. Karya tulis ini sebagai ikhtisar dari karya tulis sebelumnya [], untuk menjembatani bagaimana hubungan yang berlaku antara masalah nilai awal, masalah nilai batas dan penerapan teknik kontrol optimal (optimal control technique) untuk menyelesaikan persaman diferensial biasa melalui metode tertentu (shooting method, finite-difference method). Pernyataan bahwa kesalahan yang diperoleh lebih kecil dengan menggunakan teknik kontrol optimal, bisa menjadi topik diskusi selanjutnya karena dengan metode Taylor pun bila pendekatannya melalui orde tinggi akan menghasilkan akurasi solusinya yang tinggi dan faktor lainnya yang mempengaruhi pendekatan solusi antara lain pemotongan lokal (local truncation) dan proses pembulatan (round-off). Kata kunci ordinary differential equations, initial value problems, two point boundary value problem, optimal control Abstract In order to express the characteristics of a system of ordinary differential equations are often used ordinary differential equation, ODE, this formula has been developed and have a lot of methods to solve them in the form of the initial value problem. In addition there are two point boundary value problems which are similar to the initial value problem and both can be interconnected. Optimal control techniques can be used for resolving ordinary differential equations, because through this technique are reviewed problems can be transformed into a boundary value problem. This paper is an overview of the previous paper [], to bridge the existing relationship between the initial value problems, boundary value problems and the application of optimal control techniques to solve ordinary differential equations through a particular method (shooting method, finite-difference method). The statement that the obtained error is smaller by using optimal control technique, could be a topic of further discussion as to the method of Taylor was when the approach through higher order will generate a high accuracy solution and other factors that affect the solution approaches such as local truncation and round-off process.

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 Keywords ordinary differential equations, initial value problems, two point boundary value problem, optimal control. I. PENDAHULUAN Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) sudah lama dipergunakan untuk memodelkan sistem kontinyu baik pada disiplin rekayasa atau ilmu pengetahuan. Telah banyak buku ditulis dan dipakai sebagai pegangan umum untuk mencari solusi numerik persamaan diferensial [], dan metode-metode atau formula dikembangkan sehingga diperoleh solusi dengan akurasi tinggi dan kesalahan yang kecil. Metode numerik yang umum dipakai adalah metode Taylor, Euler, Runge-Kutta, multistep, extrapolation dan adaptive techniques. Formula matematik yang umum untuk masalah nilai awal (initial value) orde satu adalah x i = f i (t, x (t),. x n (t)), x i (a) = y i, i =,, n. Perbedaan antara masalah nilai awal (initial value) dengan nilai batas (boundary value) adalah, pada nilai awal ditentukan pada titik yang sama pada variabel independennya (misalnya, x(a) = y a ), sedangkan pada nilai batas ditentukan pada nilai yang berbeda pada variabel independennya (misalnya, x i (a) = y a, x i (b) = y b ). Terdapat tiga jenis kondisi nilai batas, bila nilai dinyatakan pada satu lokasi tertentu disebut dirichlet condition, bila pada nilai turunannya dikenal Neumann condition dan kondisi gabungannya. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah nilai batas diantaranya, metode shooting untuk linier dan nonlinier (dikenal metode Secant dan Newton), metode beda berhingga (finite-difference) untuk linier dan nonlinier (dikenal Richardson extrapolation, newton method for iteration) dan metode Rayleigh-Ritz. [3] Permasalahan kontrol optimal dapat dipandang sebagai masalah nilai batas (boundary value problem) [4], dan melalui metode tertentu dapat diubah menjadi masalah nilai awal diantaranya melalui metode shooting atau metode beda berhingga (finite-difference method). Pengenalan konsep teori kontrol (control theory) dan kontrol optimal (optimal control) [5], akan membantu untuk memahami bahwa permasalahan yang ditinjau sebagai sebuah sistem kontrol. II. MASALAH NILAI AWAL UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Metode numerik sebagai teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic), alasan dipergunakan teknik ini adalah tidak semua permasalahan matematik dapat diselesaikan dengan mudah, misalnya fungsi yang sulit diturunkan. Metode-metode numerik yang dipergunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan nilai awal (initial value) telah cukup tersedia, diantaranya metode Euler, metode Taylor orde tinggi, metode Runge-Kutta (orde dua, orde empat) metode titik tengah (midpoint), metode Runge-Kutta-Fehlberg, metode multistep (Adams-Bashforth, Adams- Moulton, predictor-corrector, Milne, Simpson), metode step-size multistep, metode extrapolasi dan permasalahan persamaan orde tinggi. Dengan referensi yang tersedia [], beberapa metode tersebut diulas cukup rinci untuk memberikan gambaran secara menyeluruh. II.. Metode Euler (Euler s Method). ISSN 979-867

4 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 Metode Euler banyak dipakai sebagai teknik dasar umum untuk pendekatan menyelesaikan masalah nilai awal (initial value) pada persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE). Tinjau persamaan nilai awal berikut y = f(t,y) a t b, y(a) = () Bila solusi pendekatan untuk y(t) tidak didapat maka sebagai penggantinya dipakai prinsip titik-titik jala (mesh points) dalam interval [a,b]. Melalui bantuan teorema Taylor dan asumsi Persamaan () mempunyai turunan kontinyu pada [a,b] untuk setiap i =,,,..., N-, maka h y(t i+ ) = y(t i ) + h f(t i, y(t i )) + y"( i ) () h = (b-a)/n = t i+ - t i = jarak antara titik-titik (ukuran langkah, step size). t i = a + ih, i =,,,... N, i bilangan pada (t i, t i+ ) Pendekatan Metode Euler menyatakan w i y(t i ) untuk i =,,... N, dengan w = w i+ = w i + h f(t i, w i ), i =,,,... N- (3) Persamaan (3) disebut persamaan diferensi (difference equation) yang berhubungan dengan metode Euler. Tinjau kasus persamaan y = y t +, a t b; y() =,5 (4) solusi tepat (exact) y(t) = (t+),5e t, persamaan ini dipilih karena mengandung unsur turunan, tanpa turunan, variabel independen dan konstanta. Misalkan dipilih N =, a=, b=, sehingga h =(-)/ =,, t i = a+ih = + i, =,i, maka Persamaan (3) menjadi w =,5 w i+ = w i + h(w i - t i + ) = w i +,(w i,4i + ) =,w i -,8i +,. untuk i =,,..., 9 didapat w =,(,5),8() +, =,8 w =,(,8),8() +, =,5 w 3 =,(,5),8() +, =,554 dan hasilnya dari enam kali iterasi dinyatakan pada Tabel. t i,,,4,6,8, TABEL. SOLUSI TEPAT DAN PENDEKATAN PERSAMAAN (4) MELALUI METODE EULER. Solusi tepat (exact solution) y(t i ) = (t i +) -,5e t y(,) = y =,5 y(,) = y =,89986 y(,4) = y =,4877 y(,6) = y 3 =,648946 y(,8) = y 4 =,795 y(,) = y 5 =,64859 Solusi pendekatan metode Euler t i =,i ; w = w i+ =,w i -,8i +, w(,) = w =,5 w(,) = w =,8 w(,4) = w =,5 w(,6) = w 3 =,554 w(,8) = w 9 =,98848 w(,) = w =,45876 Kesalahan = y i - w i y, w, =, y, w, =,9986 y,4 w,4 =,6877 y,6 w,6 =,98546 y,8 w,8 =,387495 y, w, =,8683 Diperoleh kesalahan yang terjadi bertambah dengan naiknya nilai t, dan untuk memperkecilnya dapat dilakukan dengan memakai prinsip error bound ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 5 hm ( t a ) L y i+ - w i+ [ e i ] dengan i =,,,... N-; a j = y j w j ; M dan L L konstanta. Untuk kasus Persamaan (4) y = y t +, a t b; y() =,5 didapat h =,; L = ; M =,5e ; t i+ = a+ (i+)h = + (i+), =,(i+) ; t i =,i hm ( t ) dengan kesalahan, y i+ - w i+ [ i a L,M, i e ] [ e ], (,5e i ) L y i - w i,(,5e ) (e ti -) maka y, - w,, y, w,,375 y,8 - w,8,767 y, - w,,97 II.. Metode Taylor orde tinggi (higher-order Taylor Methods) Karena proses pemotongan angka sebelumnya (t i ) mempengaruhi perhitungan berikutnya (t i+ ) maka pemotongan angka menjadi hal penting dalam perhitungan kesalahan. Terdapat metode kesalahan pemotongan lokal (the local truncation error method) yang spesifik fokus pada jumlah langkah-langkah pengukuran antara solusi tepat (exact) dengan persamaan diferensi (difference equation) sebagai solusi pendekatannya. Untuk Persamaan (), melalui pendekatan metode Euler didapat y = f(t,y), a t b, y(a) yi yi = dengan kesalahan lokal (local error) i+ (h) = f ( ti, yi ), i =,,,... N-, M h konstanta pada [a,b] dan kesalahan pemotongan lokal (local truncation error), O(h) i+ (h) hm/. Metode Euler yang telah dibahas sebelumnya memakai bantuan Metode Taylor orde satu dan bila dipakai orde n maka Persamaan (3) menjadi w = w i+ = w i + h T (n) (t i, w i ), i =,,,... N- dengan T (n) (t i, w i ) = f(t i, w i ) + ½hf(t i, w i ) +. + h n f (n-) (t i, w i ). n! Untuk kasus Persamaan (4) y = y t +, a t b; y() =,5 dengan N =, a). Metode Taylor orde dua f(t, y(t)) = y(t) t +. f(t, y(t)) = d (y t + ) = y t = y t + t T () (t i, w i ) = f(t i, w i )+ ½hf(t i, w i ) = w i t i ++ ½ h(w i t i + t i ) = (+ ½ h) (w i t i +) ht i. Sehingga w =,5 w i+ = w i + h[( + ½ h) (w i t i + ) ht i ] = w i +,[(+,/) (w i,4i +),4i] =,w i -,88i -,8i +, Untuk y(,) = w =,(,5) -,88() -,8() +, =,83 y(,4) = w =,(,83) -,88(,) -,8(,) +, =,58 ISSN 979-867

6 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 b). Metode Taylor orde empat f(t, y(t)) = y(t) t +. f(t, y(t)) = y t + t. f(t, y(t)) = y t + = y t + t + = y t t. f(t, y(t)) = y t - = y t t -. T (4) 3 (t i, w i ) = f(t i, w i )+ h f(ti, w i ) + h f(ti, w i ) + h f(ti, w i ) 6 4 = w i t i ++ h (wi t 3 i + t i ) + h (wi t i t i - ) + h (wi t i t i - ) 6 4 3 = ( + h + h + h ) (wi t 3 i ) - ( + h + h ) (hti ) + + h - h - h. 6 4 3 6 4 Sehingga w =,5 3 w i+ = w i + h[ ( + h + h + h )(wi t 3 i ) - ( + h + h ) (hti ) + + h - h - h ] 6 4 3 6 4 = w i +,[ ( + + +, + 6, +,4 + 6,4 +,8 4,8 ) (w i,4i ) - ( + 4, +, 4 ) (,4i) 3 =,4w i -,8856i -,856i +,86. Untuk y(,) = w =,4(,5) -,8856() -,856() +,86 =,893 y(,4) = w =,4(,893) -,8856(,) -,856(,) +,86 =,49 Rangkuman hasil pendekatan metode Taylor ini dinyatakan pada Tabel. Metode kesalahan pemotongan lokal menghasilkan kesalahan yang kecil dari pada kesalahan sebelumnya, terlebih bila diambil orde yang lebih tinggi, tapi metode ini mempunyai kekurangan pada saat nilai t tidak seperti sebelumnya (t i =,;,4;,6;... ), misalnya untuk t =,5 maka nilai yang dipakai adalah saat t =,4 dan t =,6 kemudian dirata-rata dan hasil kesalahannya menjadi besar sekali, untuk mengatasinya dipergunakan interpolasi kubik dari Hermite (cubic Hermite interpolation). II.3. Metode Runge-Kutta (Runge-Kutta Methods) Metode Taylor orde tinggi dengan kesalahan pemotongan lokal akan bersifat membutuhkan komputasi dan evaluasi turunan f(t,y), hal ini cukup rumit dan memakan waktu sehingga metode Taylor ini jarang digunakan dalam prakteknya. Metode Runge-Kutta orde tinggi dengan kesalahan pemotongan lokal adalah seperti metode Taylor tapi tidak perlu menghitung dan mengevaluasi turunan f(t,y). A. Metode Runge-Kutta orde dua. Tinjau persamaan f(t,y), dengan semua turunan parsial ordenya lebih kecil atau sama dengan n+ dan kontinyu pada D = [f(t,y) a t b, c y d], (t, y ) D. Bentuk persamaan Runge-Kutta yang diperluas (expanded) a f(t+, y+ ) mendekati T () (t,y) = f(t,y) + h/ f (t,y) dengan kesalahan tak lebih besar dari O(h ), hal ini sama dengan orde dari kesalahan pemotongan lokal untuk metode Taylor orde dua. Metode persamaan diferensi (difference-equation method) didapat dengan cara mengganti T () (t,y) pada metode Taylor orde dua dengan f[t+(h/), y+(h/) f(t,y)], dan akan dihasilkan ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 7 metode Runge-Kutta khusus yang dikenal sebagai metode titik tengah (midpoint method). B. Metode titik tengah (midpoint method) Pada kondisi Taylor orde dua didapat w = w i+ = w i + h f[(t i + h, w i + h f(ti w i )] untuk i =,,,... N-. Hanya ada tiga parameter pada a f(t+, y+ ) dan semuanya harus sama dengan T (), hal ini cukup sulit diperoleh terlebih lagi harus memenuhi setiap kondisi untuk metode Taylor orde tinggi. Cara yang paling cocok untuk pendekatan T (3) (t, y) = f(t, y)+ h f(t, y) + h f(t, y) 6 adalah bentuk empat-parameter (fourth-paramater) yang lebih fleksibel saat memilih. Satu metode yang penting adalah metode Euler dimodifikasi (Modified Euler method) sehingga didapat berhubungan nilai a = a = ½, = = h dan bentuk persamaan diferensi w = w i+ = w i + h [ f(t i +w i ) + f(t i+, w i +hf(t i +w i )], i =,,,... N- Untuk kasus persamaan (4), dengan N =, h =,, t i =,i dan w =,5 maka - metode titik tengah (midpoint method) w i+ =,w i,8 i,88 i +,8 w =,(,5),8(),88() +,8 =,88. w =,(,88),8(,),88(,) +,8 =,36. - metode Euler dimodifikasi w i+ =,w i,8 i,88 i +,6. w =,(,5),8(),88() +,6 =,86. w =,(,86),8(,),88(,) +,6 =,69. Hasil solusi pendekatan metode titik tengah (midpoint method) dinyatakan pada Tabel. C. Metode Runge-Kutta orde empat. Pada metode Runge-Kutta orde dua yang diperluas sifat a f(t+, y+ ) mendekati T () (t,y), untuk T (3) (t,y) dapat didekati oleh kesalahan O(h 3 ) dengan bentuk f(t+, y+ f(t+, y+ f(t,y))) yang berisi empat parameter,,,. Metode yang umum dipakai untuk bentuk O(h 3 ) adalah metode Heun (Heun method) dengan w = w i+ = w i + h (f(ti +w i ) + 3 f(t i + h, wi + h f(t i + h, wi + h f(t i +w i )))) untuk i =,, 4 3 3 3 3,..., N- Kesalahan pada metode Heun lebih kecil dibandingkan metode Euler dimodifikasi atau metode titik tengah (midpoint). Metode Runge-Kutta orde tiga jarang dipakai, yang sering dipakai adalah orde empat w = k = h f(t i +w i ), k = h f(t i + h, wi +½ k ), ISSN 979-867

8 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 k 3 = h f(t i + h, wi +½ k ), k 4 = h f(t i+, w i +k 3 ), w i+ = w i + 6 (k +k +k 3 +k 4 ), i =,,,... N-, dengan kesalahan pemotongan lokal O(h 4 ) dan solusi y(t) mempunyai lima turunan yang kontinyu. Sebagai contoh perhitungan untuk pendekatan solusi y(,) didapat w =,5 k = h f(t i +w i ) =, f(,,5) =,(,5 () + ) =,3. k = h f(t i + h, wi +½ k ) =, f(+,,,5+,3) =, f(,,,65) =,38. k 3 = h f(t i + h, wi +½ k ) =, f(+,,,5+,38) =, f(,,,664) =,338. k 4 = h f(t i+, w i +k 3 ) =, f(+,,,5+,338) =, f(,,,838) =,3586. w =,5 + 6 (,3 + (,38) + (,338) +,3586) =,89933. dan dengan cara yang sama maka nilai y(t) lainnya dapat dihitung (rangkuman pada Tabel ). Metode Runge-Kutta orde empat perlu empat kali perhitungan (k, k, k 3, k 4 ) pada setiap langkahnya, untuk orde dua perlu dua kali perhitungan dan untuk metode Euler cukup satu kali perhitungan, tapi hasil jawaban dengan metode Runge-Kutta orde empat yang paling akurat. Metode Runge-Kutta dapat dihubungkan dengan teori kontrol kesalahan (error control theory) untuk mendapatkan pendekatan solusi dengan kesalahan yang lebih kecil, cara yang dipakai adalah ukuran langkah (h) dibuat bervariasi dan dikenal metode Runge-Kutta-Fehlberg. Prinsip dasar metode ini bukan mengestimasi kesalahan pemotongan lokal tetapi mengatur ukuran langkah (step size) berikutnya t i+ yang dihitung dari data sebelumnya t i. II.4. Metode banyak langkah (multistep method) Pemahaman metode satu langkah (one step) bila pendekatan untuk titik mata jala (mesh point) t i+ hanya melibatkan informasi dari satu titik mata jala sebelumnya t i, metode banyak langkah (multistep method) bila memakai informasi lebih dari satu titik mata jala sebelumnya. Untuk mencari solusi pendekatan dengan banyak langkah dikenal metode eksplisit dari Adams-Bashforth dan metode implisit dari Adam-Moulton. A. Metode Adams-Basforth langkah (two-step) w =, w =, w i+ = w i + h [3 f(ti +w i ) f(t i- +w i- )], i =,,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 5 y (3) ( i )h untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 3 langkah (three-step) w =, w =, w =, w i+ = w i + h [3 f(ti +w i ) 6 f(t i- +w i- ) + 5 f(t i- +w i- )], i =, 3,... N-. Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 8 3 y (4) ( i )h 3 untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 4 langkah (four-step) ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 9 w =, w =, w =, w 3 = 3 w i+ = w i + h [55 f(ti +w i ) 59 f(t i- +w i- )+ 37 f(t i- +w i- ) 9 f(t i-3 +w i-3 )]. i = 3, 4,... N- 4 Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 5 y (5) ( i )h 4 7 untuk beberapa i (t i-3, t i+ ) 5 langkah (five-step) w =, w =, w =, w 3 = 3 w 4 = 4 w i+ = w i + h [9 f(ti +w i ) 774 f(t i- +w i- ) + 66 f(t i- +w i- ) 74 f(t i-3 +w i-3 ) 7 + 5 f(t i-4 +w i-4 )], i = 4, 5,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 95 y (6) ( i )h 5 88 untuk beberapa i (t i-4, t i+ ) B. Metode Adams-Moulton langkah (two-step) w =, w =, w i+ = w i + h [5 f(ti+ +w i+ ) + 8 f(t i +w i ) - f(t i- +w i- )], i =,,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - y (4) ( i )h 3 4 untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 3 langkah (three-step) w =, w =, w =, w i+ = w i + h [9 f(ti+ +w i+ )+ 9 f(t i +w i ) 5 f(t i- +w i- ) + f(t i- +w i- )], i =, 3,... N- 4 Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - 9 y (5) ( i )h 4 7 untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 4 langkah (four-step) w =, w =, w =, w 3 = 3 w i+ = w i + h [5 f(ti+ +w i+ ) + 646 f(t i +w i ) 64 f(t i- +w i- ) + 6 f(t i- +w i- ) 7 9 f(t i-3 +w i-3 )]. i = 3, 4,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - 3 y (6) ( i )h 5 6 untuk beberapa i (t i-3, t i+ ). Secara umum koefisien dari f pada kesalahan pemotongan lokal, untuk implisit lebih kecil daripada eksplisit sehingga lebih stabil dengan kesalahan pembulatan (round-off) lebih kecil. Untuk kasus Persamaan (4), tiga data sebelumnya dapat diambil dari hasil perhitungan melalui Runge-Kutta orde empat yang telah dibahas sebelumnya dan didapat t i =,i; y() = w =,5; y(,) w =,89933; y(,4) w =,476; y(,6) w 3 =,6489, contoh untuk memprediksi nilai y(,8) dan y(,) dengan metode - eksplisit Adam-Basforth empat langkah, w i+ = w i + h [55f(ti +w i ) 59f(t i- +w i- )+ 37f(t i- +w i- ) 9f(t i-3 +w i-3 )], i = 3, 4,... N- 4 w i+ = [35wi,8w i- + 7,4w i-,8w i-3,9i,9i + 4,736], i = 3, 4,, 9 4 maka y(,8) w 4 = [35w3,8w + 7,4w,8w,9(3),9(3) + 4,736] 4 ISSN 979-867

ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 y(,) w 5 = [35w4,8w 3 + 7,4w,8w,9(4),9(4) + 4,736] 4 - implisit Adam-Moulton tiga langkah, w i+ = w i + h [9 f(ti+ +w i+ )+ 9 f(t i +w i ) 5 f(t i- +w i- ) + f(t i- +w i- )], i =, 3,... N- 4 maka w i+ = y(,8) w 4 = y(,) w 5 = [7,8wi - w i- +,w i- -,9i,9i + 4,736], i =, 3,, 9, [7,8w3 - w +,w -,9(3),9(3) + 4,736], [7,8w4 - w 3 +,w -,9(3),9(3) + 4,736], Rangkuman solusi pendekatan melalui pendekatan ini dinyatakan pada Tabel. Bila dibandingkan antara metode eksplisit dan implisit maka metode implisit Adams- Moulton memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan metode eksplisit Adam-Basforth. C. Metode prediktor-korektor (predictor-corrector method) Walaupun hasil dari metode implisit Adam-Moulton lebih baik, tapi mempunyai kelemahan karena secara aljabar mungkin tidak dapat mengubah dari implisit menjadi eksplisit. Untuk mengatasinya dipakai metode Newton atau metode Secant (garis potong) walaupun perhitungannya lebih rumit, dan terdapat metode prediksi-koreksi (predictor-corrector method) sebagai kombinasi dari prediksi (metode eksplisit) dan koreksi (metode implisit). Data hasil metode Runge-Kutta orde empat, w 4p dipakai untuk memperkirakan nilai y(t 4 ) didapat w 4p = w 3 + (h/4) [ 55 f(t 3,w 3 ) 59 f(t,w ) + 37 f(t,w ) 9 f(t,w ) ]. Langkah mencari nilai pendekatan diperbaiki dengan memasukkan nilai w 4p kebagian kanan persamaan implisit metode Adams-Moulton orde tiga yang bertindak sebagai korektor w 4 = w 3 + (h/4) [ 9 f(t 4,w 4p ) + 9 f(t 3,w 3 ) - 5 f(t,w ) + f(t,w ) ] Untuk kasus persamaan (4), data dari metode Runge-Kutta sebelumnya y() = w =,5; y(,) w =,89933; y(,4) w =,476; y(,6) w 3 =,6489. - Metode Adam-Bashforth orde empat sebagai prediktor untuk nilai y(,8) dan y(,) w 4p = w 3 + (h/4) [ 55 f(t 3,w 3 ) 59 f(t,w ) + 37 f(t,w ) 9 f(t, w ) ] y(,8) w 4p = w 3 + (,/4) [ 55 f(,6, w 3 ) 59 f(,4, w ) + 37 f(,, w ) 9 f(,w ) ] =,6489+ (,/4)[55f(,6,,6489) 59f(,4,,476)+ 37f(,,,89933) 9 f(,,5)] =,6489 +,83333 [55(,889) 59(,5476) + 37(,789933)) 9(,5)] =,789. y(,) w 5p = w 4 + (,/4) [ 55 f(,8, w 4 ) 59 f(,6, w 3 ) + 37 f(,4, w ) 9 f(,w ) ] =,756+ (,/4)(55f(,8,,756) - 59f(,6,,6489) + 37f(,4,,476) 9 f(,,89933)] =,756+,83333 [55(,48756) 59(,889) +37(,5476) 9(,789933] =,64934. - Metode Adam-Moulton orde tiga sebagai korektor untuk nilai y(,8) dan y(,) w 4 = w 3 + (h/4) [9 f(t 4, w 4 )+ 9 f(t 3, w 3 ) 5 f(t, w ) + f(t, w )] y(,8) w 4 = w 3 + (,/4) [9 f(,8, w 4p ) + 9 f(,6, w 3 ) 5 f(,4, w ) + f(,, w )] =,6489+(,/4)[9 f(,8,,789) + 9 f(,6,,6489) 5 f(,4,,476)+ ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL f(,,,89933)] =,6489 +,83333 [9(,48789) +9(,889) 5(,5476) +,789933] =,756. y(,) w 5 = w 4 +, [9 f(,, w5p ) + 9 f(,8, w 4 ) 5 f(,6, w 3 ) + f(,4, w )] 4 =,756+ (,/4)[9 f(,,,64934)+ 9 f(,8,,789) 5 f(,6,,6489) + f(,4,,476)] =,756 +,83333 [9(,64934) +9(,48756) 5(,889) +,5476] =,64886. Maka, saat y(,8) exact - korektor =,795,756 =,39 x -5. saat y(,) korektor exact =,64886,64859 = 3,5 x -5. saat y(,8) Runge-Kutta prediktor =,77,789 =,69 x -5. saat y(,) Runge-Kutta exact =,6487,64859 = 3,64 x -5. Rangkuman solusi pendekatan melalui metode prediktor-korektor dinyatakan pada Tabel. TABEL. SOLUSI PENDEKATAN PERSAMAAN (4) DENGAN BEBERAPA METODE YANG BERBEDA. Metode Euler Taylor (orde ) Taylor (orde 4) Titik tengah (Midpoint) Euler modifikasi (modified Euler) Heun Runge-Kutta (orde 4) Adams-Bashforth (4 langkah) Adams-Moulton (3 langkah) prediktor-korektor prediktor Adam-Bashforth, korektor Adam-Moulton t i,,...,8, Solusi tepat (exact),5,89986...,795,64859 Pendekatan,5,8...,98848,45876 Kesalahan,,9986...,387495,8683 Pendekatan,5,83...,3333,648646 Kesalahan,,7...,53,7787 Pendekatan,5,893...,74,64874 Kesalahan,,...,,5 Pendekatan,5,88...,84,633668 Kesalahan,,986...,59453,7693 Pendekatan,5,86...,357,676876 Kesalahan,,3986...,69938,375 Pendekatan,5,89444...,6995,645555 Kesalahan,,54...,39,335 Pendekatan,5,89933...,77,6487 Kesalahan,,53...,69,364 Pendekatan.........,734,648 Kesalahan.........,88,9 Pendekatan.........,736,64898 Kesalahan.........,6,93 korektor,5,89933...,756,64886 Kesalahan.........,39,35 Prediktor.........,789,64934 Kesalahan.........,597,73 Metode banyak langkah (multistep) lainnya adalah memakai integrasi dari polinomial interpolasi dalam interval [t j, t i+ ], j i- sehingga diperoleh pendekatan nilai y(t i+ ). Ketika polinomial interpolasi diintegrasikan pada [t i-3, t i+ ] maka didapat metode eksplisit Milne, ISSN 979-867

ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 w i+ = w i-3 + 4h [ f(ti, w i ) - f(t i-, w i- ) + f(t i- +w i- )], dengan kesalahan pemotongan 3 lokal i+ (h) = 4 h 4 y (5) ( i ) untuk beberapa i (t i-3, t i+ ). 45 Metode Milne kadangkala dipakai sebagai prediktor untuk metode implisit Simpson dan didapat w i+ = w i- + 3 h [ f(ti+, w i+ ) + 4 f(t i, w i ) + f(t i- +w i- ) ], kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - 4 (h 4 /9) y (5) ( i ) untuk beberapa i (t i-, t i+ ). 45 Secara umum kesalahan pemotongan lokal dengan melibatkan metode Simpson lebih kecil dari metode Adam-Bashforth-Moulton, tetapi teknik ini pemakaiannya terbatas karena ada masalah pada kesalahan pembulatan (round-off) yang tidak terjadi pada prosedur Adam- Bashforth-Moulton. Selain metode yang telah dibahas sebelumnya, masih terdapat metode lainnya seperti - metode banyak langkah (multistep) dengan ukuran langkah bervariasi (variabel step-size). - metode ektrapolasi (extrapolation method) berdasarkan pada metode midpoint. - pendekatan melalui persamaan orde tinggi (higher- order equation) dan sistem persamaan diferensial (system of differential equations). D. Persamaan orde tinggi dan sistem persamaan diferensial (higher-order equations and systems of differential equations) Permasalahan solusi numerik dengan nilai awal pada orde tinggi (higher-order initialvalue problem) dapat ditransformasikan menjadi sebuah sistem persamaan diferensial orde satu. Sistem orde m dapat ditransformasikan menajdi m buah sistem orde satu dengan bentuk du f (t, u, u, u ), m du f (t, u, u, u ), m du m f (t, u, u, u ), m m a t b dengan kondisi awal u (a) =, u (a) =,.... u m (a) = m. Permasalahannya adalah mencari m buah fungsi u (t), u (t),.... u m (t) yang memenuhi setiap persamaan diferensial dan memenuhi semua kondisi awalnya. Melalui definisi kondisi Lipschitz yang diperluas dan teorema nilai rata-rata (mean value theorem) maka f dan turunan parsialnya kontinyu dalam D jika memenuhi f ( t, u,..., um ) L dengan i =,,, m untuk semua (t, u,, u m ) pada D, f memenuhi u i kondisi Lipschitz pada D dan L konstanta Lipschitz. Dengan D = {(t, u,., u m ) a t b dan - < u i < untuk setiap i =,,... m} dan f(t, u,, u m ), i =,,, m kontinyu dan memenuhi kondisi Lipschitz pada D, sehingga sistem orde m dengan nilai awal orde satu akan mempunyai solusi unik u (t), u (t),... u m (t) untuk a t b. Korelasi orde satu dan orde yang lebih tinggi dapat diturunkan, misalkan kondisi nilai awal memakai metode Runge-Kutta orde empat, maka didapat hubungan [] ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 Satu persamaan nilai awal orde satu w = k = h f(t i +w i ), k = h f(t i + h, wi +½ k ), k 3 = h f(t i + h, wi +½ k ), k 4 = h f(t i+, w i +k 3 ), w i+ = w i + 6 (k +k +k 3 +k 4 ), i =,,,... N-, Satu sistem nilai awal orde satu w, =, w, =,..., w m, = m k,i = h f i (t j, w,j, w j,..., w m,j ) k,i = h f i (t j + h, w,j +½ k,, w,j +½ k,,..., w m,j +½ k,m ) k 3,i = h f i (t j + h, w,j +½ k,, w,j +½ k,,..., w m,j +½ k,m ) k 4,i = h f i (t j +h, w,j +k 3,, w,j +k 3,,..., w m,j +k 3,m ) w i, j+ = w i,j + 6 (k,i +k,i +k 3,i +k 4,i ), i =,,,... m, k,, k,,... k,m harus lebih dulu dihitung sebelum bentuk k,i ditentukan. Sebagai contoh transformasikan masalah orde dua nilai awal berikut ini, y y + y = e t sin t, t dengan y() = -,4 dan y() = -,6 menjadi sebuah sistem nilai awal orde satu dan pergunakan pendekatan Runge-Kutta orde empat dengan h =,. Penyelesaian, ambil u (t) = y(t) dan u (t) = y(t), dan persamaan orde dua diubah menjadi sistem u (t) = u (t) u (t) = e t sin t - u (t) + u (t), u () = -,4 dan u () = -,6 dengan kondisi awal w, = -,4 dan w, = -,6. k, = h f (t, w,, w, ) = h w, =,(-,6) = -,6 k, = h f (t, w,, w, ) = h [e t sin t - w, + w, ] =, f [e t sin t - u (t) + u (t)] =,[e.() sin() - u () + u ()] =,[() - w, + w, ] =,[ (-,4) + (-,6)] =,[,8-,] = -,4. k, = h f (t + ½h, w, + ½ k,, w, + ½ k, ) = h f [w, + ½ k, ] =,[-,6+/(-,4)] =,[-,6-,] = -,6. k, = h f (t +½h, w, +½k,, w, +½k, ) = h[e (t+,5) sin (t +,5) (w, +½k, )+ (w, +½k, )] = h[e, sin (,5) (-,4+½ (-,6)) + (-,6+½(-,4)] =,[,5(,873) -(-,4+½(-,6)) + (-,6+½(-,4)] = -,347644757. k 3, = h [w, +½ k, ] = -,668338. k 3, = h [e (t+,5) sin (t +,5) (w, +½ k, ) + (w, + ½ k, )] = -,354937. k 4, = h [w, +½ k 3, ] = -,6 35494. k 4, = h [e (t+,) sin (t +,) (w, +½ k 3, ) + (w, + ½ k 3, )] = -,7863798. w, = w, + /6 (k, +k, +k 3, +k 4, ) = -,46733343. w, = w, + /6 (k, +k, +k 3, +k 4, ) = -,63634. Nilai w,j dan w,j untuk j =,,. dinyatakan melalui Tabel 3, dan nilai aktualnya u (t) =,e t (sin t cos t) dan u (t) = u (t) =,e t (4sin t 3cos t). TABEL 3. PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN ORDE TINGGI,,,9, KUTTA ORDE EMPAT. y y y = e t sin t, MELALUI METODE RUNGE- t j y(t j ) = u (t) w,j y(t j ) = u (t) w,j y(t j ) - w,j y(t j ) - w,j -,4 -,4 -,6 -,6 -,467397 -,4573334 -,63634 -,633634 3,7 x -7 7,75 x -7 -,5564384 -,35339436 -,556449 -,35339886,534764,57874,534785,5787663 4,76 x -6 4,5 x -6 9,54 x -6,34 x -5 ISSN 979-867

4 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 III. MASALAH NILAI BATAS (BOUNDARY VALUE PROBLEM) Perbedaan antara masalah nilai awal (initial value) dengan nilai batas (boundary value) adalah, pada nilai awal ditentukan pada titik yang sama pada variabel independennya (dalam hal ini t) sedangkan kondisi batas ditentukan pada nilai yang berbeda pada variabel independennya. Untuk persamaan diferensial orde satu tak berbeda antara nilai awal dan nilai batas, perbedaan muncul ketika ordenya lebih tinggi dari satu. Terdapat tiga jenis kondisi batas, bila nilai dinyatakan pada satu lokasi tertentu disebut dirichlet condition, bila pada nilai turunannya dikenal Neumann condition dan kondisi gabungannya. Beberapa metode untuk menyelesaian masalah nilai batas diantaranya, metode shooting linier dan nonlinier (metode secant dan metode Newton), metode finite-difference untuk linier dan nonlinier (Richardson extrapolation, Newton method untuk iterasi) dan metode Rayleigh- Ritz (piecewise-linear, B-spline basic, cubic spline) [3]. Bila fungsi f sebuah masalah nilai batas maka, y = f(x, y, y), a x b dengan y(a) = dan y(b) =, adalah kontinyu dalam D = {(x, y, y), a t b dengan - < y < dan - < y < }, dan turunan parsial f y dan f y juga kontinyu dalam D. Jika - f y (x, y, y) > untuk semua (x, y, y) D dan - ada konstanta M dengan f y (x, y, y) D untuk semua (x, y, y) D maka masalah nilai batas akan mempunyai solusi unik. III.. Metode shooting (shooting method) A. Metode shooting linier (linier shooting method) Metode shooting linier untuk persamaan linier didasarkan pada penggantian persamaan linier nilai batas (boundary value) menjadi dua persamaan nilai awal (initial value), prinsipnya sebagai sebuah algoritma iterasi yang berusaha mengidentifikasi kecocokan kondisi awal (initial condition) untuk dihubungkan dengan masalah nilai awal yang merupakan solusi masalah nilai batas []. Metode shooting linier, mengubah sebuah masalah nilai batas menjadi dua buah masalah nilai awal. Persamaan y = p(x)y + q(x)y + r(x), a x b, y(a) = dan y(b) = diubah menjadi y = p(x)y + q(x)y + r(x), a x b, y(a) =, y(a) = dengan solusi y (x). y = p(x)y + q(x)y, a x b, y(a)=, y(a)= dengan solusi y (x), y (b). Solusi seluruhnya y(x) = y (x) + y( b) y (x). y ( b) Dua persamaan tersebut adalah masalah nilai awal dan solusinya dapat dicapai melalui metodemetode yang berlaku pada masalah nilai awal. B. Metode shooting taklinier (nonlinier shooting method) Teknik shooting untuk masalah nilai batas taklinier orde dua dapat dinyatakan dengan y = f(x, y, y), a x b, dengan y(a) =, y(b) = (5) Persamaan (5) sama seperti kondisi linier kecuali solusinya tak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari solusi-solusi untuk dua masalah nilai awal. Solusi taklinier melalui sekuen (sequence) nilai awal dengan melibatkan sebuah parameter t. Tinjau persamaannya y = f(x, y, y), a x b, y(a) = dan y(a) = t (6) dengan memilih t = t k sehingga memastikan berlaku lim k y(b, t k ) = y(b) =. y(x,t k ) solusi masalah nilai awal Persamaan (6), bila t = t k maka y(x) sebagai solusi nilai batas Persamaan (5). ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 5 Penentuan parameter t k melalui metode secant (secant method) akan didapat pendekatan t dan t dengan t k = t k- - ( y( b, tk ) )( tk tk), k =, 3,. y( b, t ) y( b, t ) k k Bila {t k } ditentukan dengan metode Newton maka cukup diperlukan nilai t saja dengan bentuk iterasinya t k = t k y b,t k β, tapi metode ini perlu pengetahuan tentang (dy/)(b, dy b,t k t k- ) dan cukup menyulitkan karena pernyataan ekspilit y(b,t) tak diketahui, yang diketahui hanya y(b, t ), y(b, t ),.. y(b, t k- ) []. Berikut contoh penyelesaian metode shooting linier secara numerik [4]. Tinjau persamaan diferensial biasa yang mewakili pergeseran radial u sepanjang bejana bertekanan dengan jari- jari dalam a dan jari-jari luar b d u du u (Gambar ). dr r dr r Gambar. Potongan melintang sebuah bejana bertekanan Regangan arah tangensial pada bejana t = u/r, misalkan a = 5 dan b = 8 maka t r=a =,3873, t r=b =,377, maka persamaan awal menjadi d u du u (7) dr r dr r dengan u(5) =,3873 dan u(8) =,377. Solusi tepat (exact) u =,346r +,6/r. Persamaan (7) sebagai masalah nilai batas (boundary value), dan dengan metode shooting diubah menjadi dua persamaan diferensial nilai awal orde satu. Bila du w maka Persamaan (7) dr menjadi dw w u dengan w(5) = tak diketahui. Misalkan w(5) = du (5) u( 8) u(5) dr r r dr 8 5 -,6538 maka diperoleh du w f( r, u, w), u(5) =,3873 dr dw w u f ( r, u, w), w(5) = -,6538. dr r r Pakai metode yang berlaku pada permasalahan nilai awal, misalkan metode Euler (persamaan 3) maka didapat, ui ui h fi ( ri, ui, wi ) dan w ( i wi h f ri, ui, wi ). Bila diambil 4 segmen antara batas r = 5 dan r = 8, h = (8-5)/4 =,75 maka dengan i =, r = 5, u =,3873, w = -,6538. u u h f( r, u, w ) =,3873+(,75)f [5, ;,3837 ; -,6538]=,3674 w w h f r, u, ) = -,6538 + (,75) f [5, ;,3837 ; -,6538] ( w ISSN 979-867

6 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 = -,6538+(,75),6538,3837 ( ) = -,938 5 5 i =, r = r +h = 5+,75 = 5,75, u =,3674, w = -,938. u u h f r, u, ) =,359, w w h f r, u, ) = -,7. ( w ( w i =, r = r +h = 5,75+,75 = 6,5, u =,359, w = -,7. u u h f r, u, ) =,3583, w w h f r, u, ) = -,533. 3 ( w 3 ( w i = 3, r 3 = r +h = 6,5+,75 = 7,5, u =,3583, w = -,533. u u h f r, u, ) =,363, w w h f r, u, ) = -,989. 4 3 ( 3 3 w3 4 3 ( 3 3 w3 saat r 4 = r 3 +h = 7,5+,75 = 8, u 4 = u(8),363 dan nilai yang diketahui saat u 4 = u(8),377. Rangkuman hasil perhitungan ini dinyatakan pada Tabel 3. Bila diambil pendekatan w(5) = du (5) u ( 8) u(5) -,5376, maka didapat dr 8 5 u 4 = u(8),9665 (Euler), u 4 = u(8),3769 (linear interpolation) dan dengan Runge-Kutta hasilnya lebih baik lagi [4], dan rangkumannya ditunjukkan pada Tabel 3. TABEL 3. SOLUSI PERSAMAAN (7) DENGAN BEBERAPA METODE YANG BERBEDA r Solusi tepat Metode Euler, w(5) = du Metode Euler dan Metode Runge-Kutta (5) (in) (exact) dr Interpolasi linier (orde 4) 5,3873,3873,3873,3873 5,75,35567,3674,3585,35554 6,5,33366,359,3858,3334 7,5,389,3583,358,379 8,377,363,377,373 Gambar. Perbandingan kemiringan untuk beberapa perkiraan awal yang berbeda. Grafik pada Gambar, memperlihatkan du/dr =,486 yang paling mendekati nilai exact. Pada metode shooting dilakukan interpolasi linier atau taklinier untuk mencari nilai pendekatan awal dan saat akhirnya diperoleh nilai yang sama dengan nilai yang diketahui, pada contoh kasus yang ditinjau terjadi pada pemisalan w(5) = du (5) = -,6538 dengan nilai dr pendekatan w(5) = du (5) = -,5376. dr III.. Metode beda berhingga (finite difference method) Metode beda berhingga (finite difference method) digunakan untuk memecahkan ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 7 persamaan diferensial biasa yang memiliki kondisi permasalahan nilai batas (boundary value problem). Pada metode ini setiap turunan persamaan diferensial dari persamaan finite-difference diganti dengan pendekatan difference-quotient yang sesuai. Pada metode shooting linier dan taklinier untuk masalah nilai batas dapat menimbulkan masalah ketidakstabilan, dengan metode beda berhingga didapat karakteristik kestabilan yang lebih baik walaupun perlu perhitungan yang lebih komplek untuk mencapai akurasi yang ditentukan. Contoh dari persamaan diferensial biasa orde dua d y = f(x, y, dx y ) dengan a x b dan kondisi batas y(a) = y a, y(b) = y b. Banyak akademisi beranggapan masalah nilai batas tergantung pada posisi (positiondependent) dan nilai awal tergantung pada waktu (time-dependent), maksud dari pernyataan tersebut dapat dinyatakan melalui persamaan (7) yang telah dibahas pada metode shooting d u du u, dengan u(5) =,3873 dan u(8) =,377. dr r dr r Gambar 3. Titik-titik sepanjang arah radial sebuah bejana bertekanan. Bila diambil lima segmen sepanjang arah radial (Gambar 3) maka titk-titik i d u ui ui ui dan du ui ui. Persamaan ini substitusikan kepada persamaan (7) dr r dr r didapat ui ui ui + ui ui - u i = atau r r i r r i u i + ui ( r) r ri r r + ( ) i ( ) u =. i r ri r Dengan n = 5, r = (b-a)/n = (8-5)/5 =,6 maka i =, r = 5, u =,3873 i =, r = r +r =5+,6 = 5,6 maka u + u + u =,6,6 (5,6)(,6) (5,6),6 (5,6)(,6) didapat,7778u 5,885u +3,754u = i =, r = r +r =5,6+,6 = 6,, didapat,7778 u 5,854 u + 3,466 u 3 = i = 3, r 3 = r +r =6,+,6 = 6,8, didapat,7778 u 5,83 u 3 + 3,9 u 4 = i = 4, r 4 = r 3 +r =6,8+,6 = 7,4, didapat,7778 u 3 5,799 u 4 + 3,3 u 5 = i = 5, r 5 = r 4 +r =7,4+,6 = 8, didapat u(5) = u r=b =,377. Didapat harga-harga u ISSN 979-867

8 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 u =,3873; u =,3665; u =,34; u 3 =,3743 u 4 =,368; u 5 =,3769. Pendekatan yang dilakukan sebelumnya du ui ui dr r bersifat akurasi orde satu dengan kesalahan O(r), bila pendekatannya orde dua d u ui ui ui dr r maka kesalahan O(r), bila kedua pendekatan ini digabungkan akan menghasilkan akurasi orde satu O(r). Pendekatan yang lebih baik bila du ui ui karena akurasinya orde dua dan menghasilkan perhitungan dr r yang lebih mendekati nilai sebenarnya dengan kesalahan yang lebih kecil [4]. d u ui ui ui du ui ui Ambil pendekatan dan dr r dr r, Persamaan (7) menjadi ui ui ui ui ui ui r r r r atau ri ( r) ( r) i u i + i ( r) ri ui + ( ) ui r ri r Dengan n = 5, r = (b-a)/n = (8-5)/5 =,6 maka i =, r = a = 5, u =,3873 i =, r = r + r = 5 +,6 = 5,6 u + u + (5,6)(,6) (,6) (,6) (5,6) (,6) =. u = (5,6)(,6) didapat,697 u - 5,5874 u +,966 u = i =, r = r + r = 5,6 +,6 = 6, didapat,643 u - 5,58 u +,9 u 3 = i = 3, r 3 = r + r = 6, +,6 = 6,8 didapat,655 u - 5,577 u 3 +,93 u 4 = i = 4, r 4 = r 3 + r = 6,8 +,6 = 7,4 didapat,655 u 3-5,5738 u 4 +,893 u 5 = i = 5, r 5 = r 4 + r = 7,4 +,6 = 8 didapat u(5) = u r=b =,3769 sehingga u =,3873 u =,365 u =,3459 u 3 =,3689 u 4 =,3586 u 5 =,3769 Rangkuman dari harga u dengan pendekatan orde satu dan orde dua dinyatakan pada Tabel 4. TABEL 4. SOLUSI PERSAMAAN (7) DENGAN PENDEKATAN du dr ORDEE SATU DAN DUA. r u exact u orde satu t u orde dua t 5.3873.3873..3873. 5.6.36.3665,56.365,454 6..345.34,6.3459,8765 6.8.3683.3743,857.3689,6334 7.4.3583.368,93.3586,95665 8.377.3769,.3769, IV. KONTROL OPTIMAL Teori kontrol optimal adalah pengembangan dari kalkulus variasi (calculus of variations) t klasik. Bentuk integral J = F( x, x, t) disebut fungsional (functional) dengan F sebuah t ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 9 fungsi dari x(t), x (t) sebagai turunannya dan t variabel independen. Jalur x(t) didefinisikan untuk t t t secara umum x = x (t) memberikan nilai J = J dan x = x (t) memberikan nilai J = J, J J. Gambar 4. Kemungkinan jalur antara titik A dan B. Tinjau kasus berikut ini, pada Gambar 4, diinginkan jalur (path), y = y(x) antara titik A dan B yang memberikan nilai ekstrumum secara funsional [5]. Misal C kurva yang diinginkan dengan persamaan y (x), ambil C disekitar C dengan persamaan y (x) = y (x) + (x), = parameter yang kecil, jika = akan memberikan kurva optimal untuk C (C = C ), (x) = perubahan fungsi diferensial dari x, (a) = (b) =. Bentuk umum J untuk jalur C adalah, J = d dj, agar J() ekstremum maka, sehingga dx d b b dy [ F( y, y' ', x] dx, y= dan dx dj df [ Fy ( y, y' ', x) y' Fy' ( y, y' ', x)] dx d dengan F y = dan Fy dy a df = dy' Melalui lemma [5] didapat F y - d (Fy ) = (8) dx Persamaan (8) sebagai persamaan Euler atau Euler-Lagrange dan harus memenuhi jalur y(x) yang menghasilkan nilai ekstremum fungsional J. Bentuk khusus persamaan Euler adalah - ketika F independen dari y, didapat d (Fy ) =, (F y ) = konstanta. dx - ketika F independen dari x, didapat df = y d (Fy ) + yf y = d (yfy ), F - yf y = konstanta dx dx dx Bila integrasi batas akhir (b) tak dispesifikasikan, didapat Bentuk fungsional dengan persamaan Euler b a df =. dy' J F x, x,..., x, x, x,..., x, t) (9) F x i a - d ( n n F =, dan jika x i bebas maka F x = () i x i Pada beberapa masalah optimalisasi, didapat batasan (constraint) pada variabelnya, misalkan nilai ekstremum f(x, x ) dengan batasan g(x, x ) =. Asumsikan tak mungkin ISSN 979-867

3 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 menghilangkan batasan x atau x, maka perkenalkan pengali Lagrange (Lagrange multiplier) dan fungsi yang diperluas f* = f(x, x ) + g(x, x ), didapat nilai ekstremum f* f * = f * =, x x dengan x, x fungsi dari parameter sehingga x (), x (), sejak f* f maka didapat kondisi ekstremum untuk f. Persamaan (9) dapat dituliskan dengan bentuk J b a F x, x,..., x, u, u,..., u, t), x ( n variabel keadaan (state variable), u variabel kontrol (control variable), persamaan Euler F - d F x i = dan F d F x i u i =. u i Tinjau bentuk umum T J f ( x, u, t) pada persamaan diferensial x = f(x, u, t), dengan kondisi batas x() = a. Melalui pengali Lagrange maka bentuk perluasan fungsional J T * { f ( x, u, t) [ f ( x, u, t) x]}, dengan F = f (x,u,t) + [f(x,u,t) - x ] sebagai sebuah fungsi dua variabel x dan u dan bentuk persamaan Euler F - d F = f + f + = dan F - d F = f + f = x x x x u x u u Bila didefinisikan bentuk Hamiltonian H = f + f, maka H, = H dan x u bersama dengan persamaan x = f(x, u, t) akan menentukan jalur kondisi optimal. A. Contoh penyelesaian dengan konsep kontrol optimal. ) Cari nilai ekstremum f(x, x ) = x + x yang berlaku pada x + 3x = 4. Didapat x + 3x = 4 atau x = 4-3x sehingga f(x, x ) = (4-3x ) + x. Libatkan pengali Lagrange dengan perluasan fungsional f* = x + x + (x + 3x - 4), nilai ekstrenum dari f* f * = f * = x x, maka x + = dan x +3 = atau x = -/, x = -3/4 yang harus memenuhi batasan x + 3x = 4, didapat (-/) + [3(-3/4)] = 4, (-/4) + (-9/4) = 4, = -6/, ekstremum terjadi saat x = -/ = 3/ dan x = -3/4 = 48/44. ) Diketahui x+ x = u dengan x() = x, x(t) = (persamaan diferensial orde satu). T Minimumkan J = (x + u ). Libatkan pengali Lagrange J T = (x + u + λ(x + x u)), integran F = x + u + (x + x - u) sebagai fungsi dua variabel x dan u, persamaan Euler F - d F = ; x + - = dan F - d F = ; u - =. Selesaikan persamaanpersamaan x + x = u; x + - = ; u - =, maka x x = dengan x = Ae t + Be t x x' u u' atau dipakai bentuk x = a cosh T + b sinh T. Kemudian masukkan kondisi batas x() = x, x(t) =, didapat x sinh ( T t) x dan sinh ( T t) cosh ( T t) u x. sinh T sinh T 3) Diketahui x+ x = u dengan x = a, x = b, saat t, x dan x (persamaan diferensial orde dua). Minimumkan J = (x + au ) dengan = konstanta. Misalkan x = x dan x = x atau x - x = dan persamaan x + x = u menjadi - x - x + u =. n ISSN 979-867

IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 Perluasan fungsional J = [ (x + au ) + λ x x + λ x x + u ] F F Persamaan Euler x F x F u - d - d - d Hilangkan unsur didapat =, didapat ½ ( x ) - d (- ) = x - =. x ' F =, didapat - - d (- ) = - + =. x ' F =, didapat ½ (u) + - d () = u + =. u' 4 d x d x x - + 4 =, ambil nilai = 4, solusi x = e mt dengan m harus memenuhi m 4 m + ¼ = (m ½) =, sehingga m = /, masukkan kondisi batasnya didapat x = [a + (b+a/)t] e -t/ ; x = [b - (b+a/)t/] e -t/ dan u = [-a/ - ( - )b (b+a/)( /)t/] e -t/. V. KESIMPULAN Teknik kontrol optimal dapat diterapkan sebagai teknik baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE). Penyelesaian melalui kontrol optimal dapat dipandang sebagai sebuah masalah nilai batas (boundary value), yang penyelesaiannya dapat dilakukan melalui metode nilai awal (initial value), dan telah banyak tersedia buku referensi mengenai metode nilai awal sebagai metode klasik untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu. Karya tulis ini sebagai ikhtisar dari karya tulis sebelumnya [], diharapkan berguna dapat membantu memahami kerangka berlogika untuk menghubungkan permasalahan nilai awal, nilai batas dan teknik kontrol optimal. Melalui teknik kontrol optimal diperoleh kesalahan yang lebih kecil, pernyataan tersebut bisa menjadi perdebatan karena saat mencari dan mengumpulkan materi untuk ikhtisar diperoleh informasi, solusi numerik dicapai melalui proses iterasi yang bergantung kepada tingginya orde pendekatan, pemotongan lokal (local truncation), pembulatan (round-off) dan seberapa besar penyempurnaan/pengembangan terhadap metode-metode sebelumnya. DAFTAR REFERENSI [] L. Bayon, J.M. Grau, M.M. Ruiz and P.M. Suarez, A Bolza, An Optimal Control Technique for Solving Differential Equations, AIP Conference Proceedings, 9, Vol. 48, Issue, p.5-8, [] R.L. Burden and J.D. Faires, Numerical Analysis, Boston Thomson Brooks/Cole,. [3] U.M. Ascher, R. Mattheij, and R.D. Russell, Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Philadelphia SIAM, 995. [4] A. Kaw, C. Barker, Numerical Method with Applications, Florida University of South Florida, 9. [5] T.T. Nguyen, Introduction to Control Theory Including Optimal Control, http//www4.hcmut.edu.vn/ ~nttien/optimal_control. ISSN 979-867