BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya; Contoh: b. dengan menyatakan sifat yang harus dipenuhi oleh anggotanya; Contoh: himpunan huruf vokal pada kata MATEMATIKA c. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh: Berdasarkan jumlah anggotanya, himpunan dibagi menjadi tiga, yaitu: a. Himpunan kosong atau himpunan hampa Himpunan ini dilambangkan dengan, disebut himpunan kosong karena himpunan ini tidak memiliki anggota. b. Himpunan berhingga Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya berhingga. Contoh : c. Himpunan tak berhingga Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya tak berhingga. 4
5 2. Himpunan Bagian Terdapat himpunan dan himpunan, jika setiap anggota dari himpunan merupakan anggota dari himpunan, maka dapat dikatakan bahwa adalah himpunan bagian (subset) dari dan dilambangkan dengan. Jika merupakan himpunan bagian dari, dapat juga ditulis dengan dan dibaca adalah superset dari atau mengandung. Selanjutnya dan digunakan jika bukan himpunan bagian dari. Artinya terdapat satu atau lebih anggota himpunan yang bukan merupakan anggota himpunan. Himpunan kosong dianggap sebagai himpunan bagian dari setiap himpunan. Terdapat beberapa sumber yang membedakan antara himpunan bagian (subset) dan himpunan bagian murni (proper subset). Himpunan bagian murni didefinisikan sebagai berikut: himpunan merupakan himpunan bagian murni dari himpunan jika dan hanya jika dan. Penelitian ini menggunakan satu istilah saja yaitu himpunan bagian (subset). Contoh II.A.2 Diberikan,, dan. Karena setiap anggota himpunan merupakan anggota himpunan, maka atau dapat ditulis dengan. Sedangkan pada himpunan terdapat satu anggota himpunan yaitu yang bukan merupakan anggota himpunan maka.
6 Teorema II.A.2 Jika dan, maka. Bukti (i), maka berakibat (ii), maka berakibat Berdasarkan (i) dan (ii) maka berakibat, dengan kata lain terbukti bahwa. 3. Himpunan Kuasa Apabila suatu himpunan yang anggotanya berupa himpunan disebut dengan keluarga himpunan atau kelas himpunan. Himpunan dari seluruh himpunan bagian suatu himpunan merupakan salah satu contoh kelas himpunan atau keluarga himpunan. Secara spesifik keluarga dari semua himpunan bagian dari suatu himpunan disebut dengan himpunan kuasa dari, dan dilambangkan dengan. Jika terdapat suatu himpunan berhingga, misalkan banyaknya anggota himpunan adalah, maka himpunan kuasa dari mempunyai anggota sebanyak. (Lipschutz, 1981) 4. Himpunan Semesta Semua himpunan merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan tertentu. Himpunan tertentu yang dimaksud merupakan suatu himpunan yang dikenal dengan himpunan semesta. Himpunan semesta dinyatakan dengan notasi atau ( merupakan singkatan dari semesta, sedangkan merupakan singkatan dari universal).
7 5. Kesamaan Dua Himpunan Dua buah himpunan dikatakan sama apabila anggota-anggota himpunan dari kedua himpunan tersebut sama. Definisi II.A.5 Himpunan dan himpunan adalah sama jika dan hanya jika dan. (Theresia, 1989) 6. Operasi Himpunan Suatu himpunan dapat dikenai oleh operasi yang berlaku pada himpunan. Operasi-operasi yang berlaku dalam suatu himpunan yaitu: gabungan/union, irisan/intersect, komplemen, selisih/difference, dan jumlah/symmetry difference. a. Gabungan/Union Salah satu operasi yang berlaku pada himpunan adalah operasi gabungan/union. Definisi II.A.6.a Gabungan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan semua anggota himpunan atau atau kedua-duanya. (Theresia, 1989) Gabungan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca gabungan dari himpunan dan himpunan. Secara singkat definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Berdasarkan uraian tersebut, maka: (i).
8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan. Contoh: Diberikan himpunan dan, maka. b. Irisan/Intersect Selain operasi gabungan/union, dalam himpunan juga berlaku suatu operasi yang disebut dengan irisan/intersect. Definisi II.A.6.b Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang anggotaanggotanya adalah anggota himpunan dan himpunan. (Theresia, 1989) Irisan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca irisan dan. Secara singkat definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: (i). (ii) Setiap dan keduanya mengandung sebagai himpunan bagian. (iii) Jika tidak ada anggota yang dimiliki bersama oleh dan, maka Contoh: Diberikan himpunan dan, maka.
9 c. Komplemen Suatu Himpunan Suatu himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan anggota dari suatu himpunan tetapi merupakan anggota himpunan semesta disebut dengan komplemen dari himpunan dan dinotasikan dengan atau. Komplemen dari suatu himpunan dapat ditulis sebagai berikut: Beberapa hal yang harus diperhatikan terkait dengan komplemen suatu himpunan yaitu: (i) Gabungan dari suatu himpunan dengan komplemennya merupakan himpunan semesta, maka. Himpunan dan merupakan himpunan yang saling lepas, maka. (ii) Komplemen dari himpunan semesta adalah himpunan kosong dan sebaliknya, maka dan. (iii) Komplemen dari komplemen himpunan adalah himpunan itu sendiri, maka. d. Selisih Dua Himpunan Operasi lain yang berlaku dalam himpunan adalah selisih. Selisih dua himpunan dan adalah irisan dari himpunan dan komplemen atau dapat ditulis sebagai berikut:
10 Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: (i) Suatu himpunan mengandung himpunan atau dengan kata lain merupakan himpunan bagian dari, maka. (ii) Himpunan dan merupakan himpunanhimpunan yang saling lepas, sehingga irisan dari himpunanhimpunan tersebut merupakan himpunan kosong. e. Jumlah Dua Himpunan Jumlah himpunan dan himpunan ditulis dengan adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan atau tetapi bukan anggota irisan dari himpunan dan. Jumlah kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: Operasi-operasi yang berlaku dalam himpunan mempunyai beberapa sifat sederhana yang terdapat dalam teorema-teorema berikut. Teorema II.A.5.1 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka irisan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Kemudian untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa dan.
11 (i) Ambil sembarang maka dan. Karena maka untuk berakibat, dengan kata lain. (ii) Untuk sembarang maka karena, dengan kata lain. Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan berlaku, sehingga. Teorema II.A.5.2 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka gabungan himpunan dan himpunan adalah himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Kemudian untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa dan. (i) Ambil sembarang maka atau. Karena maka untuk berakibat, dengan kata lain (ii) Untuk sembarang maka karena, dengan kata lain Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan berlaku, sehingga.
12 Teorema II.A.5.3 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka komplemen dari himpunan merupakan himpunan bagian dari komplemen himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Oleh karena itu apabila diambil sembarang maka, dengan kata lain. Teorema II.A.5.4 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka gabungan antara himpunan dan selisih himpunan dengan himpunan adalah himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Untuk membuktikan bahwa maka dibuktikan bahwa da. (i) Ambil sembarang, maka atau. Jika maka, karena. Sedangkan jika, maka tetapi. Oleh karena itu untuk sembarang berakibat, dengan kata lain berlaku.
13 (ii) Untuk sembarang maka belum tentu anggota, karena Oleh karena itu, dengan kata lain. Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan berlaku, sehingga. Selain teorema-teorema di atas terdapat beberapa hukum-hukum aljabar himpunan. Hukum-hukum aljabar himpunan ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema yang lain. Hukum-hukum aljabar himpunan tersebut yaitu: a. Hukum Idempoten: dan b. Hukum Asosiatif: dan c. Hukum Komutatif: dan d. Hukum Distributif: dan e. Hukum Identitas: dan f. Hukum Komplemen: dan g. Hukum De Morgan: dan 7. Himpunan Berindeks Suatu himpunan dikatakan sebagai himpunan indeks jika untuk, terdapat suatu himpunan. Himpunan dari himpunan disebut
14 dengan himpunan berindeks. Operasi-operasi gabungan dan irisan telah didefinisikan untuk dua himpunan. Apabila banyaknya anggota himpunan berindeks berhingga, misalkan banyaknya adalah, maka: dan Kedua konsep berikut kemudian secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut: terdapat suatu sehingga dan untuk. B. Semigrup 1. Struktur Aljabar Definisi II.B.1 Suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan operasi-operasi biner dan memenuhi aksioma tertentu disebut dengan struktur aljabar atau himpunan yang berstruktur dan ditulis. (Riyanto, 2011) Contoh II.B.1 Struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan, struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi perkalian, atau struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi oleh kedua operasi tersebut, penjumlahan dan perkalian.
15 2. Operasi Biner Definisi II.B.2 Suatu operasi pada himpunan tidak kosong disebut dengan operasi biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu maka Contoh II.B.2. (Riyanto, 2011) Operasi penjumlahan matriks persegi ordo bersifat tertutup pada, dimana merupakan himpunan matriks persegi ordo yang elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Hal tersebut dikarenakan, berlaku. Dalam mendefinisikan ketertutupan suatu operasi yang berlaku pada suatu struktur aljabar dapat menggunakan tabel Cayley jika himpunan dalam struktur tersebut merupakan himpunan berhingga. Suatu struktur aljabar mempunyai nama, agar dalam pendefinisiannya lebih jelas. Struktur aljabar yang satu dengan yang lainnya mempunyai nama yang berbeda-beda. Hal tersebut disesuaikan dengan aksioma-aksioma yang berlaku pada struktur tersebut. 3. Grupoid Definisi II.B.3 Struktur aljabar yang dilengkapi dengan satu jenis operasi biner disebut dengan grupoid. (Riyanto, 2011)
16 Contoh II.B.3 merupakan suatu grupoid, karena operasi bersifat Struktur aljabar tertutup pada himpunan bilangan bulat. 4. Semigrup Definisi II.B.4 Suatu himpunan tak kosong dengan dengan sebuah operasi dinotasikan, merupakan suatu semigrup jika memenuhi aksioma berikut.: (i) Tertutup, jika diambil sembarang dua anggota himpunan hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan simbolis dapat ditulis (ii) Operasi maka. Secara maka bersifat asosiatif, maka Suatu semigrup. (Riyanto, 2011) disebut dengan semigrup berhingga jika semigrup tersebut mempunyai anggota yang banyaknya berhingga. Apabila terdapat suatu semigrup berlaku: maka untuk sembarang sebanyak dan faktor. Berikut ini disajikan beberapa contoh dari struktur semigrup. Contoh II.B.4.1 Diberikan suatu struktur dan operasi dimana adalah operasi perkalian matriks. Selidiki apakah merupakan semigrup?
17 Penyelesaian Diketahui himpunan dilengkapi dengan operasi perkalian matriks. Untuk menyelidiki bahwa merupakan semigrup maka diselidiki apakah operasi perkalian matriks tertutup dan asosiatif pada himpunan. Ambil sebarang dengan dan, maka (i) tertutup, berlaku, maka (ii) asosiatif tertutup terhadap operasi., berlaku (a) (b)
18 Berdasarkan pernyataan (a) dan (b), maka dengan kata lain terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi. Berdasarkan (i) dan (ii), maka terbukti bahwa merupakan semigrup. Contoh II.B.4.2 Diberikan suatu struktur himpunan didefinisikan sebagai berikut, dimana adalah himpunan bilangan real. Apakah termasuk semigrup? Penyelesaian Himpunan dilengkapi dengan operasi perkalian biasa membentuk struktur. Kemudian untuk menyelidiki apakah merupakan semigrup, maka diselidiki apakah operasi perkalian biasa tertutup dan asosiatif pada himpunan. (i) Ambil sembarang dimana maka karena. Dengan kata lain operasi tertutup pada himpunan. (ii) Operasi bersifat asosiatif pada himpunan. Karena maka pada himpunan operasi juga bersifat asosiatif. 5. Subsemigrup Apabila terdapat suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu semigrup dapat disebut dengan subsemigrup apabila memenuhi aksioma tertentu. Berikut diberikan definisi subsemigrup.
19 Definisi II.B.5 Diberikan adalah semigrup dan merupakan himpunan bagian tak kosong dari, disebut subsemigrup dari jika dan hanya jika merupakan sebuah semigrup. Contoh II.B.5.1 Berdasarkan Contoh II.B.4.1 merupakan semigrup dengan. Jika diberikan struktur, dimana, maka buktikan bahwa merupakan subsemigrup dari. Penyelesaian Diketahui, maka dan. Kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup dari, maka ditunjukkan bahwa operasi bersifat tertutup dan asosiatif pada. Ambil sembarang dengan dan. (i) Tertutup, maka
20 Karena, maka terbukti bahwa operasi tertutup pada himpunan. (ii) Asosiatif, maka (a) Ruas kiri (b) Ruas kanan Berdasarkan keterangan (a) dan (b) maka diperoleh bahwa, dengan kata lain operasi bersifat asosiatif pada. Menurut (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup. Karena dan semigrup, maka terbukti bahwa merupakan subsemigrup dari semigrup.
21 Contoh II.B.5.2 Diberikan semigrup dengan merupakan himpunan bilangan asli dan operasi merupakan operasi penjumlahan biasa. Selidiki apakah merupakan subsemigrup dari, dengan. Penyelesaian Diketahui dan, kemudian untuk menyelidiki apakah merupakan subsemigrup dari, maka diselidiki apakah operasi tertutup dan asosiatif pada. (i) Ambil sembarang, dimana dan dengan, maka. Karena operasi tertutup pada maka, sehingga diperoleh bahwa operasi tertutup pada. (ii) Asosiatif Ambil sembarang, karena maka. Karena merupakan semigrup, maka operasi asosiatif pada, sehingga. Berdasarkan keterangan tersebut, maka diperoleh bahwa operasi asosiatif pada. Berdasarkan (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup. Karena,, dan merupakan semigrup, maka merupakan subsemigrup dari.
22 Contoh II.B.5.3 Pada Contoh II.B.4.2 telah diperoleh bahwa merupakan semigrup, dimana didefinisikan sebagai berikut. Jika, maka buktikan bahwa merupakan subsemigrup dari. Penyelesaian Diketahui sehingga dan kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup dari, maka ditunjukkan bahwa merupakan semigrup. (i) Ambil sembarang diperoleh bahwa karena maka sehingga operasi tertutup pada. (ii) maka. Karena sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi dan maka sehingga, dengan kata lain sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi. Berdasarkan (i) dan (ii) maka merupakan semigrup. Karena dan semigrup, maka terbukti bahwa merupakan subsemigrup dari. Apabila terdapat dua buah himpunan yang merupakan subsemigrup, maka irisan dari kedua himpunan tersebut merupakan subsemigrup. Hal tersebut dituangkan dalam Lemma II.B.5 berikut.
23 Lemma II.B.5 Jika semigrup, dan subsemigrup dari, dan, maka merupakan subsemigrup dari. Bukti Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup dan asosiatif pada, struktur dan merupakan subsemigrup dari sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada himpunan dan. Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa subsemigrup dari, maka ditunjukkan bahwa tertutup dan asosiatif terhadap operasi. (i) Ambil sembarang maka dan, dan. Karena dan merupakan subsemigrup dari, maka dan sehingga. Dengan kata lain operasi tertutup pada. (ii) Ambil sembarang maka dan. Karena dan merupakan subsemigrup dari, maka sifat asosiatif berlaku pada dan terhadap operasi, sehingga berlaku dan. Oleh karena itu. Dengan kata lain sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi. Untuk selanjutnya, apabila terdapat suatu himpunan berindeks yang merupakan subsemigrup dari suatu himpunan, maka irisan dari himpunan
24 berindeks tersebut juga merupakan subsemigrup. Hal tersebut dituangkan dalam Teorema II.B.5 berikut. Teorema II.B.5 Jika semigrup, subsemigrup dari untuk (finite/infinite), dan, maka merupakan subsemigrup dari. Bukti Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup dan asosiatif pada, struktur merupakan subsemigrup dari untuk sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada himpunan, dan. Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa subsemigrup dari, ditunjukkan bahwa tertutup dan asosiatif terhadap operasi yang sama dengan operasi yang berlaku pada dan. (i) merupakan himpunan bagian dari dan merupakan subsemigrup dari, maka sifat asosiatif yang berlaku pada, juga berlaku pada. (ii) Selanjutnya, untuk menunjukkan ketertutupan terhadap operasi yang sama pada dan, ambil sembarang untuk. Karena maka. Diketahui bahwa merupakan subsemigrup dari, maka berlaku, dengan demikian. Jadi operasi tertutup pada himpunan.
25 C. Ideal 1. Pengertian Ideal Definisi II.C.1 Diberikan semigrup dan merupakan himpunan bagian tak kosong dari dengan, maka: (i) disebut ideal kiri dari, jika, (ii) disebut ideal kanan dari, jika, dan (iii) disebut ideal dua sisi (ideal) dari, jika berlaku keduanya (ideal kanan dan ideal kiri. (Harju, 1996) Pada Definisi II.C.1 poin (iii) disebutkan bahwa adalah ideal jika berlaku ideal kiri dan ideal kanan. Hal ini tidak harus berarti bahwa ideal kiri sama dengan ideal kanan. Lemma II.C.1 Sebuah himpunan bagian tak kosong dari semigrup adalah: (i) Ideal kiri dari semigrup, jika dan maka, (ii) Ideal kanan dari semigrup, jika dan maka, (iii) Ideal dari semigrup, jika dan maka dan. Bukti Diketahui bahwa dan, maka berdasarkan Definisi II.C.1 diperoleh bahwa: (i) ideal kiri jika berlaku. Ambil sembarang dan, maka terbukti bahwa,
26 (ii) ideal kanan jika berlaku. Ambil sembarang dan, maka terbukti bahwa, dan (iii) ideal jika berlaku ideal kanan dan ideal kiri. Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan. 2. Pengertian Ideal Semu Berikut diberikan tentang definisi tentang himpunan yang merupakan hasil operasi himpunan-himpunan bagian dari semigrup dan definisi ideal semu dalam semigrup. Definisi II.C.2.1 Diberikan suatu semigrup dengan operasi, jika dan maka. Definisi II.C.2.2 Diberikan suatu semigrup, suatu himpunan disebut dengan ideal semu dalam semigrup jika merupakan himpunan bagian tak kosong dari dan berlaku. (Ansari, 2009)