Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014
PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar basis (b) Sistem koordinat (definisi) (c) matrik perubahan koordinat 1
(d) pemetaan koordinat 2. Dimensi ruang vektor (a) ketidak bebasan himpunan diluar basis (b) dimensi (definisi) (c) dimensi subruang vektor (d) dimensi ruang null dan ruang kolom
3. Rank (a) Ruang kolom (b) rank (definisi) (c) dimensi ruang null dan rank (d) Aplikasi pada SPL
SISTEM KOORDINAT 1. Ketunggalan penulisan basis 2. Sistem koordinat (definisi) 3. matrik perubahan koordinat 4. pemetaan koordinat 2
KETUNGGALAN PENULISAN BASIS teorema 1. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V. Untuk setiap x V terdapat skalar tunggal a 1, a 2,, a n R yang memenuhi x = n i=1 a ib i definisi 2. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V dan x V. Koordinat relatif x terhadap basis B atau koordinat-b dari x adalah nilai-nilai 3
c 1, c 2,, c n sedemikian sehingga x = c 1 b 1 + c 2 b 2 + + c n b n yang dapat dituliskan sebagai [x] B = c 1. c n contoh. Misalkan basis dari R 2, yaitu e 1 = [1 0] T dan e 2 = [1 2] T. Misalkan diketahui sistem koordinat [x] B = [ 2 3] T. Tentukan x.
solusi. Dengan definisi, diketahui bahwa [x] B = [c 1 c 2 ] yang memenuhi x = c 1 e 1 + c 2 e 2 sehingga x = 2 1 0 + 3 1 2 = 1 6
MATRIKS PERUBAHAN KOORDINAT Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V dan x V. Untuk setiap x dapat ditentukan skalar sehingga x = c 1 b 1 + c 2 b 2 + + c n b n dengan menjabarkan persamaan di atas, misalkan b 1 = a 11 a 21. a r1 4
maka akan diperoleh x = c 1 a 11 + c 2 a 12 +c n a 1n. +..... c 1 a r1 + c 2 a r2 +c n a rn yang dapat dibentuk pada SPL x = A b x = a 11 a 12 a 1n...... a r1 a r2 a rn c 1. c n Selanjutnya, a 11 a 12 a 1n...... a r1 a r2 a rn
disebut matriks perubahan koordinat, disimbolkan sebagai P B teorema 3. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V. Pemetaan T : x [x] B adalah pemetaan linier yang satu-satu dan pada (isomorfis). Bukti. 1. Misalkan y,z V sehingga y+z = (c 1 b 1 + + c n b n ) + (k 1 b 1 + + k n b n ) = (c 1 + k 1 )b 1 + + (c n + k n )b n
sehingga diperoleh [y+z] B = c 1 + k 1. c n + k n = c 1. c n + k 1. k n = [y] B + [z] B 2. Misalkan k R. Kita dapatkan ky = kc 1 b 1 + + kc n b n = (kc 1 )b 1 + + (kc n )b n
sehingga [ky] B = kc 1. kc n = k c 1. c n = k[y] B 3. Misalkan y,z V dan α, β [x] B. Akan didapatkan α = β c 1 b 1 + + c n b n = k 1 b 1 + + k n b n y=z 4. Misalkan α [x] B. Untuk setiap α [x] B akan selalu
ditemukan y V sedemikian sehingga α = P 1 B y
DIMENSI RUANG VEKTOR 1. ketidak bebasan himpunan diluar basis 2. Ketunggalan basis dalam ruang vektor 3. dimensi (definisi) 4. dimensi subruang vektor 5. dimensi ruang null dan ruang kolom 5
teorema 4. Jika ruang vektor V memiliki basis B = {b 1, b 2,, b n } maka setiap himpunan yang memiliki lebih dari n-vektor bersifat tidak bebas linier. Bukti. Misalkan S = {s 1, s 2,, s p } adalah sebuah himpunan di ruang vektor V yang memiliki jumlah vektor lebih dari n. Koordinat dari S dapat dituliskan s 1 = c 11 b 1 + c 12 b 2 + + c 1n b n. s p = c p1 b 1 + c p2 b 2 + + c pn b n 6
Untuk menunjukkan bahwa S bebas linier atau tidak maka akan ditentukan solusi skalar bagi persamaan k 1 s 1 + + k p s p = 0 sehingga diperoleh k 1 (c 11 b 1 + c 12 b 2 + + c 1n b n ) + + k p (c p1 b 1 + c p2 b 2 + + c pn b n ) = 0 dengan mengumpulkan koefisien bagi b i, i = 1,, n akan
diperoleh (k 1 c 11 + k 2 c 21 + + k p c p1 )b 1 + + (k 1 c 1n + k 2 c 2n + + k p c pn )b n = 0 Untuk mendapatkan bebas linier maka k 1 c 11 + k 2 c 21 + + k p c p1 = 0.. k 1 c 1n + k 2 c 2n + + k p c pn = 0
Kita akan menentukan k j, j = 1,, p. Oleh karena p > n maka SPL di atas memiliki jumlah variabel yang tidak diketahui lebih banyak dibandingkan jumlah persamaan sehingga solusi SPL homogen tersebut tak trivial. Artinya, terdapat k l R sedemikian sehingga memenuhi persamaan k 1 s 1 + + k p s p = 0 yang berarti bahwa S = {s 1, s 2,, s p } tergantung linier.
teorema 5. Misalkan ruang vektor V dengan basis yang memiliki n vektor maka setiap basis dari ruang vektor V memiliki n jumlah vektor Bukti. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } dan S = {s 1, s 2,, s m } adalah basis bagi ruang vektor V. 1. Oleh karena B basis bagi V maka B bebas linier. Oleh karena S basis bagi V maka S merentang V. Kesimpulan diperoleh n m 7
2. Oleh karena S basis bagi V maka S bebas linier. Oleh karena B basis bagi V maka B merentang V. Kesimpulan diperoleh m n Bukti. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } dan S = {s 1, s 2,, s m } adalah basis bagi ruang vektor V. Oleh karena B adalah basis dan S bebas linier, maka m n. Oleh karena S adalah basis dan B bebas linier, maka n m. Oleh karena m n dan n m maka disimpulkan m = n.
Definisi : Dimensi Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {b 1, b 2,, b n }. Banyaknya vektor dalam basis B disebut dengan dimensi (V ), yang dituliskan dengan dim(v ). 1. Jika himpunan B adalah himpunan hingga, maka dimensi V disebut dimensi-hingga 2. Jika himpunan B tidak tersusun oleh himpunan B yang hingga, maka dimensi V disebut dimensi-tak hingga. 8
teorema 6. Misalkan H adalah subruang vektor dari V yang berdimensi berhingga. Setiap himpunan di H yang bebas linier dapat diperbesar, bila perlu menjadi basis bagi H. H adalah ruang vektor berdimensi berhingga yang memenuhi dim H dim V Bukti. 1. Jika H = {0} maka jelas dim H dim V. 2. Misalkan S = {s 1, s 2,, s l } H yang bebas linier. 9
(a) Jika S merentang H maka S adalah basis bagi H dan karena S H diperoleh dim S dim V. (b) Misalkan terdapat B = {s l+1,, s n } yang tidak dapat direntang oleh S. Jelas bahwa U = B S H adalah himpunan bebas linier karena setiap vektor di B tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S (ingat: S tidak merentang B). Proses dapat berulang hingga B S membesar sampai merentang H dan dimensi-b S selalu lebih kecil dari V karena seluruh vektor di-h bebas linier.
teorema 7. Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-n. Jika S = {s 1, s 2,, s n } V bebas linier maka S adalah basis bagi V. Jika S = {s 1, s 2,, s n } V merentang V maka S adalah basis bagi V. Bukti. 1. Misalkan S = {s 1, s 2,, s n } V bebas linier. Misalkan w V. Jika w bukan kombinasi linier dari
S maka w bebas linier. Oleh karena V adalah ruang vektor berdimensi-n, misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi V dan S {w} dapat direntang oleh B. Oleh karena S {w} bebas linier maka akan diperoleh n + 1 n. Jelas kondisi ini salah sehigga kita simpulkan w dapat dikombinasi linierkan oleh S. Oleh karena w V selalu dapat dikombinasi linierkan oleh S maka S merentang V. Jadi, S basis bagi V. 2. Misalkan S = {s 1, s 2,, s n } V merentang V sehingga setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombi-
nasi linier dari S. Telah diketahui bahwa dim V = n sehingga terdapat B = {b 1, b 2,, b n } basis bagi V. Oleh karena S merentang V maka b 1 = a 11 s 1 + + a 1n s n. b n = a n1 s 1 + + a nn s n Oleh karena B adalah basis bagi V maka 0 = c 1 b 1 + + c n b n
yang hanya dipenuhi oleh c i = 0, i = 1,, n. Subtitusi persamaan b i, i = 1,, n sehingga diperoleh 0 = c 1 (a 11 s 1 + + a 1n s n ) + + c n (a 1n )s 1 + + a nn s n 0 = (c 1 a 11 + + c n a 1n )s 1 + + (c 1 a 1n+ +cn a nn )s n Oleh karena c i = 0, i = 1,, n maka dipastikan n c ia j,i = 0, j = 1,, n i=1
sehingga S bebas linier. Oleh karena S merentang dan bebas linier, S basis bagi V.
RANK 1. Ruang kolom 2. rank (definisi) 3. dimensi ruang null dan rank 4. Aplikasi pada SPL 10
Definisi Misalkan A adalah matriks dengan ukuran m n. A = a 11 a 1n..... a m1 a mn 1. Ruang kolom adalah himpunan yang dibentuk dari kolom matriks A. Col(A) = span{a 1 n,1,, A 1 n,n } 11
2. Ruang baris adalah himpunan yang dibentuk oleh baris matriks A. RowA = span{a 1,1 n,, A n,1 n } 3. Ruang null adalah himpunan yang memenuhi persamaan A x = 0. NullA = {x x R n dan A x = 0}
teorema 8. Jika matriks A dan B memiliki keserupaan baris maka keduanya memiliki ruang baris yang sama. Jika matriks B dalam bentuk eselon tereduksi, baris tak nol dari matriks B adalah basis untuk ruang baris dari A dan B. contoh. Misalkan A adalah matriks A = 2 5 8 0 17 1 3 5 1 5 3 11 19 7 1 1 7 13 5 3 12
dengan operasi baris elementer akan diperoleh B = 1 3 5 1 5 0 1 2 2 7 0 0 0 4 20 0 0 0 0 0 Pada matriks B, baris ke-1,2 dan 3 bukan merupakan baris nol. Sesuai dengan teorema, maka diperoleh bahwa baris ke-1,2 dan 3 adalah basis bagi B dan A. Dinotasikan Row(A) = {[1, 3, 5, 1, 5], [0, 1, 2, 2, 7], [0, 0, 0, 4, 20]}
Kolom yang entry pertama merupakan pivot, yaitu kolom ke-1,2 dan 4 sehingga basis bagi ruang kolom A adalah Col(A) = 2 1 3 1, 5 3 11 7, 0 1 7 5 Jika matriks B dioperasikan menjadi bentuk tereduksi, akan diperoleh 1 0 1 0 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0
yang berarti akan diperoleh sistem persamaan linier x 1 + x 3 + x 5 = 0 x 2 2x 3 + 3x 5 = 0 x 4 5x 5 = 0 dengan x 3 dan x 5 adalah variabel bebas. Misalkan x 3 = t
dan x 5 = s maka akan diperoleh x 5 = t x 4 = 5t x 3 = s x 2 = 2s 3t x 1 = s t
atau dalam bentuk kombinasi linier x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = s 1 2 1 0 0 + t 1 3 0 5 1 sehingga dapat kita katakan bahwa Null(A) = { v 1, v 2 }
dengan v 1 = 1 2 1 0 0, v 2 = 1 3 0 5 1 oleh karena v 1, v 2 adalah vektor yang saling bebas linier dan vektor yang merentang Null(A) maka kita katakan { v 1, v 2 } adalah basis bagi N ull(a).
definisi 9. Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang Kolom dari matriks A. teorema 10. Misalkan V adalah ruang vektor dan dim V = n maka dim Null(T ) + Rank(T ) = n Bukti. Rank(A) adalah jumlah kolom di A yang tereduksi dengan element bukan nol. N ull(a) adalah jumlah variabel bebas dalam matriks SPL A atau jumlah kolom yang 13
tereduksi dengan semua elemen nol. Akhirnya diperoleh jumlah kolom pivot + jumlah kolom non-pivot = jumlah kolom rank(a) + dim Null(A) = n
teorema 11. Misalkan A adalah matriks n n. Pernyataan berikut adalah ekuivalen dengan pernyataan bahwa matriks A invertible (dapat diinverskan). 1. Kolom dari matriks A adalah pembentuk basis dari R n 2. Col(A) = R n 3. Rank(A) = n 4. Null(A) = { 0} 14
5. dim Col(A) = n 6. dim Null(A) = 0
Perubahan Basis Misalkan V adalah Ruang Vektor dengan basis B = { b 1,, b n } 1. Vektor x V diubah bentuk dalam koordinat dengan basis B, [x] B 2. Vektor x V diubah bentuk dalam koordinat dengan basis C, [x] C 15
3. Bagaimana hubungan antara [x] B dan [x] C dalam bentuk matriks perubahan?. teorema 12. Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = { b 1,, b n } dan C = { c 1,, c n }. Terdapat matriks tunggal n n yang memenuhi [ x] c = P B C [ x] B dengan P B C = [[ b 1 ] c [ b 2 ] c [ b n ] C ]
Bagaimana menentukan P? B C Misalkan V ruang vektor, V = { v 1, v 2, v 3 } dengan basis B = { b 1, b 2, b 3 } dan C = { c 1, c 2, c 3 }. Misalkan x V. Perhatikan bahwa x dapat direntang oleh basis B. x = k 11 b1 + k 12 b2 + k 13 b3 Basis B dapat direntang oleh basis C yaitu b1 = l 11 c 1 + l 12 c 2 + l 13 c 3 b2 = l 21 c 1 + l 22 c 2 + l 23 c 3 b3 = l 31 c 1 + l 32 c 2 + l 33 c 3 16
Dengan subtitusi akan diperoleh x = (k 11 l 11 c 1 + k 11 l 12 c 2 + k 11 l 13 c 3 ) + (k 12 l 21 c 1 + k 12 l 22 c 2 + k 12 l 23 c 3 ) + (k 13 l 31 c 1 + k 13 l 32 c 2 + k 13 l 33 c 3 ) x = (k 11 l 11 + k 12 l 21 + k 13 l 31 ) c 1 + (k 11 l 12 + k 12 l 22 + k 13 l 32 ) c 2 + (k 12 l 23 + k 11 l 13 + k 13 l 33 ) c 3
Ambil koordinat x V terhadap basis C akan didapatkan [x] C = k 11 l 11 + k 12 l 21 + k 13 l 31 k 11 l 12 + k 12 l 22 + k 13 l 32 k 12 l 23 + k 11 l 13 + k 13 l 33 [x] C = l 11 l 21 l 31 l 12 l 22 l 32 l 13 l 23 l 33 k 11 k 12 k 13 [x] C = [ [b 1 ] C [b 2 ] C [b 3 ] C ] [x]b [x] C = P B C [x] B