MENENTUKAN KRITERIA PRIMA BERDASARKAN KONGRUEN LUCAS Nani Anugah Puti S Si Geawati 2 2 Poga Studi S Mateatia Juusan Mateatia Faultas Mateatia dan Ilu Pengetahuan Ala Univesitas Riau Kapus Bina Widya Peanbau 28293 nanianugahputi@gail.co ABSTRACT This aticle discusses the deteination of piality citeion based on Lucas conguence. The esult of the piality citeion based on Lucas conguence is deteined by using coefficient binoial and Lucas theoe. Keywods: Pie nubes conguences coefficient binoial Lucas theoe ABSTRAK Atiel ini ebahas tentang enentuan iteia pia bedasaan onguen Lucas. Hasil dai iteia pia bedasaan onguen Lucas ini ditentuan dengan enggunaan oefisien binoial dan teoea Lucas. Kata unci: Bilangan pia eonguenan oefisien binoial teoea Lucas. PENDAHULUAN Salah satu aspe penting dala teoi bilangan adalah bilangan pia. Buton [ h. 39] enjelasan bahwa bilangan pia adalah sebuah bilangan bulat positif yang lebih besa dai yang hanya epunyai fato pebagi dan diinya sendii. Banya caa untu enentuan bilangan pia salah satunya adalah Saingan Eatosthenes. Pada zaan Yunani uno tedapat seoang iluan yang benaa Eatosthenes yang eneuan suatu caa untu enentuan bilangan pia yang disebut dengan Saingan Eatosthenes caa ini eupaan caa yang paling sedehana dan paling tepat untu eneuan bilangan pia. Tedapat bebeapa bilangan pia salah satunya adalah iteia pia. Kiteia pia juga tedapat banya caa untu enentuannya salah satunya adalah dengan enggunaan onguen Lucas. Mestovic [4] engataan bahwa tedapat iteia pia bedasaan onguen Lucas yang ditentuan dengan enggunaan oefisien binoial dan teoea Lucas. Atiel ini ebahas iteia pia yang ditentuan dengan enggunaan oefisien binoial dan teoea Lucas yang juga
eneapan teoea binoial. Atiel ini eupaan tinjauan sepenuhnya dai atiel yang ditulis oleh Mestovic [4]. 2. TEORI PENDUKUNG Pada bagian ini diuaian bebeapa teoi penduung yang beaitan dengan pebahasan iteia pia bedasaan onguen Lucas. Definisi [ h. 39] Bilangan bulat p > diataan pia jia hanya epunyai pebagi p dan. Definisi 2 [ h. 2] Bilangan bulat b diataan habis dibagi oleh bilangan bulat a jia a dinotasian dengan a b yang dibaca a ebagi b jia tedapat suatu bilangan bulat c sehingga b ac. Ditulis a b untu enunjuan bahwa b tida habis dibagi oleh a. Definisi 3 [ h. 63] Misalan. Dua buah bilangan bulat positif a dan b diataan onguen tehadap odulo yang dinotasian dengan a b (od ) jia a b sehingga a b untu setiap bilangan bulat. Selanjutnya setelah didefinisian pengetian bilangan pia etebagian dan eonguenan didefinisian oefisien binoial teoea Pascal dan teoea binoial sebagai beiut. Definisi 4 [3 h. 33] Misalan n dan adalah bilangan bulat tida negatif. Koefisien binoial ( ( n ) didefinisian oleh n ) n! jia n dan untu!(n )! yang lainnya. Fungsi Pebangit biasa untu oefisien binoial Misalan tedapat bilangan bulat positif n dai baisan oefisien binoial x x x 2... 2 sehingga fungsi pebangit biasa dai baisan tesebut adalah ( + x) n. Teoea 5 [3 h. 34] Jia n dan adalah bilangan bulat positif dengan n aa ( ) ( n n ) ( + n ). Buti. Dengan enyedehanaan uas anan dapat ditunjuan bahwa uas anan saa dengan uas ii. 2
n n + n n + n n + n n + n n + n n +!(n )! ( ) n n n +. (n )! ( )!(n )! + (n )!!(n )! (n )! ( )!(n )! + (n )(n )!!(n )(n )! (n )! (n )(n )! +!(n )!!(n )! (n )![ + (n )]!(n )! (n )!n!(n )! n! Oleh aena itu tebuti bahwa uas anan saa dengan uas ii. Teoea 6 [3 h. 37] Misalan x dan y adalah bilangan eal dan n adalah bilangan bulat tida negatif. Keudian (x + y) n n Buti. (Dengan Indusi Leah) Untu n sehingga bena untu n. Untu n uas ii (x + y) x n y. uas ii ( ) uas anan x y uas anan x y uas anan uas ii (x + y) uas ii (x + y) 3
uas anan uas anan ( ) x y ) x y + ( uas anan (x + y) ( ) x y sehingga bena.untu n. Asusian bena untu n yaitu (x + y) ( ) x y. () Aan dibutian bena juga untu n + yaitu (x + y) + (x + y) (x + y) [ ( ] (x + y) + )x y (x + y) oleh pesaaan () ( ) ( ) (x + y) + x + y + x y + [ ( ) ( ] [ ( ) ( ] (x + y) + x + + )x + y + x y + + )y + ( ) + ( ) ( ) (x + y) + x + + x + y + x + y ( ) + + y + + ( ) + [] ( ) + (x + y) + x + + + x + y + y + + ( ) + ( ) + (x + y) + x + + x + y ( ) + + x + oleh Teoea 5 + + ( ) + (x + y) + x + y. 4
Oleh aena itu dengan indusi (x + y) ( ) x y bena untu setiap bilangan bulat n. Teoea 7 [2] Jia n n + n p +... + n s p s dan + p +... + s p s eupaan pengebangan siste bilangan altenatif dai bilangan bulat n dan dengan i n i p untu setiap i... s aa s io ( ni i ) (od p). Buti. Jia p adalah bilangan pia dan n adalah bilangan bulat tida negatif dengan n p aa penyebut dai oefisien binoial ( ) p p (p ) (p n + ) (2) n n (n ) habis dibagi oleh n tapi pebilangnya tida. Oleh aena itu n ebagi ( p n). Pesaaan (2) enghasilan fungsi pebangit biasa yaitu ( + X) p + X p (od p). Keudian untu setiap bilangan bulat tida negatif i dipeoleh ( + X) pi + X pi (od p). Jia n adalah bilangan bulat tida negatif dan p adalah bilangan pia aa n adalah basis dai p sehingga n ip i untu seua bilangan bulat tida negatif dan bilangan bulat n i dengan n i p sehingga dipeoleh n x ( + x) n n s x {( + x) p i } n i n s x ( + x p i ) n i (od p) n ( ) { n s ni ( } x ni )x y ip i y i y i 5
n x { n s y ( ni y i ) } x. (3) Jia penjulahan dala pada pesaaan (3) diabil dai hipunan (y y y s ) aa s y i p i. Kaena y i n i < p sehingga tedapat satu hipunan jia i n i dibeian oleh y i i ( i s) tetapi jia i n i aa penjulahannya adalah nol. Saaan teoea di atas dengan oefisien dai x aena ( ) ni untu i > n i. i Dala hasil ahi n digit e-i adalah basis dai epesentasi p e-n. 3. MENENTUKAN KRITERIA PRIMA BERDASARKAN KONGRUEN LUCAS Pada bagian ini dibahas iteia pia bedasaan onguen Lucas dala pebahasan ini digunaan salah satu atei penduung yang disebut dengan teoea Lucas. Kaena atei yang aan digunaan tesebut bebentu binoial sehingga juga aan digunaan oefisien binoial dan beseta teoea binoial. Untu enunjuan egunaan dai bebeapa teoi yang telah disebutan sepeti teoea Lucas oefisien binoial dan teoea binoial telebih dahulu aan dipapaan poposisi. Selanjutnya lea dan teoea beseta contohnya dibeian sebagai beiut. Poposisi [4] Jia p adalah bilangan pia dan f adalah bilangan bulat positif aa belau untu setiap { p f }. ( ) p f ( ) (od p) Buti. Misalan f ip i dengan i p untu seua i f eudian dengan caa yang saa p f f (p )pi dengan enggunaan Teoea 7 enghasilan 6
( ) ( p f f ) (p )pi f ip i ( ) p f f ( ) p (od p) io i ( ) p f f ( ) i io ( ) p f ( ) f i ( ) p f ( ) (od p). (4) Pada pesaaan (4) telah dietahui jia p adalah bilangan pia ganjil aa dan julah f i epunyai nilai paitas yang saa sedangan untu p 2 adalah (od 2) tepenuhi. Lea 8 [4] Jia p adalah bilangan pia dan f adalah bilangan bulat positif yang lebih besa dai aa ( ) p f p f { p (od p 2 ) jia p 3 3 (od 4) jia p 2. (5) Buti. Untu pebutian ini dibagi dala tiga asus. Kasus : Untu p 2 Jia p 2 aa 2f (od 4) untu setiap i 2 2 f selanjutnya i dipeoleh ( ) 2 f 2 f ( ) 2 f 2 f 2 f i 2 f i 2 f i i ( 2f i ) ( ) 2 f ( ) 2f (od 4) 2 ( f ) 2 f 3 (od 4). (6) 2 f Pesaaan (6) tebuti untu bagian edua dai pesaaan (5). Kasus 2 : Untu p 3 Jia p 3 aa 3f (od 9) untu setiap i 2 3 f dan eudian i 7
( ) 3 f 3 f ( ) 3 f 3 f 3 f 2 i 3 f 2 i 3 f i i ( 3f i ) ( ) 3 f 2( ) 3f (od 9) 3 ( f ) 3 f 2 (od 9). (7) 3 f Kasus 3 : Untu p > 3 Misalan dan ( ) p f p f ( p f p f ( p f p f ( p f p f p ( ) p f (8) p p f ) ( ) p f p ) ( ) f 2 p ) p (od p 3 ) (9) dengan p > 3 adalah bilangan pia dan n bilangan bulat. Dai pesaaan (8) dan pesaaan (9) dipeoleh ( ) p f p (od p 2 ). () p f Pesaaan (7) dan pesaaan () tebuti untu bagian petaa dai pesaaaan (5). Teoea 9 [4] Jia n > dan q > adalah bilangan bulat sehingga ( ) (od q) () untu setiap bilangan bulat {... n } aa q adalah bilangan pia dan n adalah pangat dai bilangan pia q. 8
Buti. Misalan pada pesaaan () lalu dipeoleh ( ) (od q) (n )!!(n )! ( ) (od q) (n )! (od q)!(n 2)! (n )(n 2)(n 3)(n 4) (od q)! (n 2)(n 3)(n 4) (n ) (od q) n (od q) n (od q). Oleh aena n (od q) jia p adalah pebagi utaa q aa n dapat dinyataan sebagai n sp f diana f dan s adalah bilangan bulat positif sehingga s tida habis dibagi p. Oleh aena itu pebutiannya dibagi dala tiga asus yaitu: Kasus : s f. Keudian n p aena n (od q) aa q p. Kasus 2 : s dan f 2. Keudian n p f dan oleh aena itu onguen n (od q) beiut bahwa q p e dengan e f. Dengan enggunaan pesaaan (5) dipeoleh { n p f p (od p 2 ) jia p 3 (2) p f p f 3 (od 4) jia p 2. Misalan tedapat e 2 pada pesaaan () dengan p f enguangi hasil odulo p 2 sehingga dipeoleh { n p f (od p 2 ) jia p 3 (3) p f p f (od 4) jia p 2. Pebandingan pesaaan (2) dan pesaaan (3) didapat p (od p 2 ). Kontadisi ini enunjuan e atau euivalen q p. Kasus 3 : s 2. Misalan s t s i p i io dengan s i p untu seua i... t dan s p. Bedasaan 9
Teoea Lucas n sp f p f p f ( ) ( n t s ip i+f + (s )p f + f ) (p )pi p f p f n s s p f s (od p). (4) p f Pesaaan (4) dan pesaaan () dengan p f beati bahwa s ( ) pf (od p). Ini enunjuan bahwa s (od p) yang eupaan ontadisi dengan (4). Sehingga hal ini tida ungin. 4. CONTOH PENERAPAN Misalan p 5 dan f 2 dengan enggunaan oefisien ditunjuan bahwa hasil onguennya adalah p (od p 2 ). binoial dapat 5 2 25 5 5 5 2 24 5 5 ( ) 5 2 24! 5 5!(24 5)! ( ) 5 2 24! 5 5!9! ( ) 5 2 6 244847 23 5 4597425 ( ) 9 5 2 4 25399999 4 5 ( ) 5 2 4254. 5 Kaena 4254 4 (od 25) aa ( ) 5 2 5 4 (od 25). Oleh aena itu tebuti hasil onguennya adalah 4 (od 25).
5. KESIMPULAN Bedasaan hasil pebahasan pada bab-bab sebelunya dapat disipulan bahwa iteia pia bedasaan onguen Lucas dipeoleh dai onguen binoial sisa hasil bagi dai bilangan pia yang ditentuan dengan enggunaan oefisien binoial dan Teoea Lucas seta juga dengan eneapan Teoea binoialnya. Salah satu iteia yang dipeoleh adalah ( ) (od q) jia n dan q adalah bilangan bulat yang lebih besa dai satu dan untu setiap bilangan bulat {... n } aa q eupaan bilangan pia dan n adalah pangat dai bilangan pia. DAFTAR PUSTAKA [] D. M. Buton Eleentay Nube Theoy Allyn and Bacon Boston 98. [2] N. J. Fine Binoial coefficient odulo a pie The Aeican Math Monthly 54 (947) 589-59. [3] T. Koshy Eleentay Nube Theoy with Applications Second Edition Elsevie Acadeic Pess London 27. [4] R. Mestovic A piality citeion based on Lucas conguence Intenational Jounal of Nube Theoy 2 (25) -5.