KEBERADAAN SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTIN MATRIKS POLINOMIAL DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN TITIK-TITIK INTERPOLASI

Transkripsi

1 Junal Mateatika Vol., No., Agutu 008: 00-05, IN: KEBERADAAN OLUI PERAMAAN DIOPHANTIN MATRIK POLINOMIAL DAN PENYELEAIANNYA MENGGUNAKAN TITIK-TITIK INTERPOLAI Laila Itiani R. Hei oelityo Utoo, Poga tudi Mateatika Juuan Mateatika FMIPA UNDIP Jl. Pof. H. oedato,.h, eaang 5075 Abtact. Diophantine equation i a atix polynoial equation of the fo X() D () + YN () () = Q (). Hee, we invetigate the exitence of the olution [ X(, Y( )]. It can be invetigated by uing the getet coon ight divio of the atix [ D ( ), N ( )]. Then, the olution can be olved by tanfoing to the fo of the polynoial atix equation M () L () = Q (). By taking the intepolation point will be obtained the olution M () of degee. Keywod : diophantin equation, the geatet coon ight divio, ight copie. PENDAHULUAN Di dala encai hubungan antaa vaiabel vaiabel, baik di dala ilu ekonoi aupun di dala ilu lainnya, eing dipecahkan uatu peoalan yang tedii ata lebih dai dua peaaan. Bahkan di uatu negaa yang telah aju, teutaa di dala penggunaan alat behitung otoati yang oden (kopute), tidak jaang di dala eneukan odel ekonoinya hau eecahkan uatu ite peaaan yang tedii dai puluhan peaaan dengan atuan vaiabelvaiabel yang hau dicai nilainya. Matik pada daanya ebeikan eudahkan di dala pebuatan analiianalii yang encakup hubungan antaa vaiabel-vaiabel [3]. Enti-enti dala ebuah atik dapat bebentuk kontanta ataupun uatu fungi polinoial. Pada peaalahan ini, akan dibaha tentang kebeadaan olui peaaan atik polinoial, keudian dicai penyeleaiannya. Di ini, olui peaaan diophantin yang juga beupa atik polinoial, dipeoleh dengan enggunakan titik-titik intepolai.. PEMBAHAAN Konep untuk intepolai polinoial dibeikan ebagai beikut. Jika dibeikan ebanyak l titik intepolai, j kala yang bebeda b j uatu vekto, dengan j=,,..., l, aka dapat dibentuk atu hanya atu polinoial q( bedeajat n, di ana n = l - edeikian ehingga: q( j ) = b j, j =,,..., l () n q( = a i i, a n 0 0 = [a 0 a... a n ].. n = q[,,..., n ] T, dengan q adalah vekto bai dengan ukuan (x(n+)) yang eupakan koefiien koefiien polinoial q(. Keudian peaaan () dapat dituli ebagai: 00

2 Laila Itiani R. Hei oelityo Utoo (Kebeadaan olui Peaaan Diophantin Matik Polinoial...)... l qv = q l l l l... l = [b,..., b l ] = B l. () Matik V eupakan atik Vandeonde beukuan (lxl) yang non ingula jika hanya jika j kala yang bebeda dengan j=,..., l untuk j kala yang bebeda atik Vandeonde epunyai ank penuh. Kaena atik Vandeonde epunyai ank penuh, peaaan () epunyai olui tunggal q, ehingga polinoial q( bedeajat n akan epunyai olui tunggal yang eenuhi peaaan (). Contoh Mialkan akan dibentuk uatu polinoial q( bedeajat 3 jika dibeikan titik-titik intepolai, yaitu: {( j,b j ), j =,..., 4}= {(,[] ), (, [0] ), (3,[-] ), (4,[] )}, aka n = l -. ehingga akan didapatkan olui q( yang tunggal, yaitu 3 q( = = Intepolai Matik Polinoial Untuk kau atik polinoial tedapat edikit pebedaan dengan kau polinoial, di ana pada kau polinoial hanya ebutuhkan titik intepolai ( j b j ) egkan untuk kau atik polinoial ebutuhkan 3 titik intepolai ( j,a j,b j ), diana a j 0 yang eupakan vekto beukuan (x), b j eupakan vekto beuutan (px), j uatu kala. Teoea. [4] Dibeikan titik intepolai tiplet ( j, a j, b j ) dengan j =,,l, d i intege non negatif dengan l= d i +, edeikian e-hingga atik l = [( )a,, ( l )a l ] yang beukuan (( d i + ) l) full ank, aka tedapat dengan tunggal atik polinoial Q( beukuan (p ) dengan deajat kolo d i,,, yang eenuhi Q( j )a j = b j, j =,, l (3) Bukti. Ketika deajat kolo Q( adalah d i, Q( dapat dituli ebagai : Q( = Q ( (4) ( enunjukkan bahwa Q( bedeajat kolo d i. Matik Q adalah atik beukuan (p ( d i + )) yang eupakan koefiien dai eleen-eleen atik Q(. Peaaan (.4) diubtituikan ke peaaan (3), keudian Q hau eenuhi Q l = B l (5) dengan B l = [b,, b l ]. Kaena l epunyai ank penuh, olui Q pada peaaan (5) tunggal. Matik Q diubtituikan pada peaaan (4) ehingga tedapat dengan tunggal atik polinoial Q( 0

3 Junal Mateatika Vol., No., Agutu 008:00-05 Contoh Akan dibentuk uatu atik polinoial Q( beukuan ( ), jika dibeikan intepolai tiplet dengan titik intepolai l = 3 yaitu: {( j, a j, b j ), j =,, 3} = {(-, [,0] T, [] ), (0, [-,] T, [0] ), (, [0,] T, [] )}. Penyeleaian Deajat kolo dai atik polinoial Q(adalah d i dengan i =,...,. Matik polinoial beukuan (p ), ehingga =. Oleh kaena itu deajat kolo atik polinoial adalah d d. Menuut Teoea : l = d i +, 3 = (d + d ) +, d + d =. Ada keungkinan pada kau ini: ( i ) Untuk d = aka d = 0. ( ii ) Untuk d =0, aka d = Mial diabil keungkinan (i),aka ( = blk diag {[,] T, [] T } 0 = 0. 0 ubtituikan aing-aing nilai j pada pada (, kalikan dengan a j, ehingga dipeoleh Q = 3 3 Matik polinoial yang tebentuk adalah : 3 3 Q( = + Peaaan Diophantin Matik Polinoial Peaaan Diophantin epunyai bentuk: X ( D( + Y ( N( = Q( (6) dengan D( R [] q,n( R [ ] p Q( R [ ] k adalah atik polinoial yang dibeikan, X( R [] k q, Y( R[ ] k p adalah atik polinoial yang dicai. Dala teoi ite kontol biaanya peaaan (6) uncul dengan k = q=, ehingga X(), D() Q () aing-aing beupa atik polinoial peegi beukuan ( ). Definii Dua atik polinoial D( N( diebut ebagai dua atik yang aling kopia kanan jika pebagi kanan peekutuan tebea dai D( N( adalah uatu atik uniodula. Teoea. [4] Peaaan (6) epunyai olui [ X (, Y ( ] jika hanya jika etiap pebagi kanan peekutuan tebea (geatet coon ight divio = gcd) dai D( N( yaitu G R ( adalah pebagi kanan ( ight divio) dai Q(. Bukti : ( ) Mialkan atik polinoial beukuan (x) G R ( adalah gcd dai D( N(, aka tedapat atik polinoial U( yang uniodula, ehingga eenuhi peaaan: U() U() D () GR() U3() U4() = N () 0 elanjutnya G R ( enjadi pebagi kanan dai Q(, ehingga dapat dituli Q () = Q0 () GR () aka dipeoleh peaaan : Q0() U() D() + Q0() U() N() = Q() (7) ehingga dipeoleh olui X() = Q () U () 0 Y() = Q0() U() ( ) Mialkan D( N( dapat ditulikan dala bentuk peaaan D() = V() GR(), N() = V3() GR() eta dengan enubtituikan peaaan (7) ke dala peaaan (6), aka dipeoleh: [ X( V( + Y( V3( ] GR ( = Q( Maka telihat bahwa G R ( adalah pebagi kanan dai Q(. 0

4 Laila Itiani R. Hei oelityo Utoo (Kebeadaan olui Peaaan Diophantin Matik Polinoial...) Akibat Jika D( N( adalah kopia kanan ( ight copie ), aka peaaan (6) elalu epunyai olui. Bukti: Jika D( N( adalah kopia kanan, aka pebagi kanan peekutuan tebea G R ( adalah atik uniodula. Dai peaaan (7) dipeoleh peaaan beikut GR () U() D() + GR () U() N() = I. Jika peaaan di ata dikalikan dengan Q(, aka oluinya adalah X() = Q() GR () U() Y() = Q() G () U (). R Konep untuk enyeleaikan peaaan atik polinoial dijabakan dala uaian beikut: Peaaan (6) dapat dituli kebali dala bentuk peaaan : D () [ X(, Y( ] = Q( N (). (8) Dai peaaan (8), telihat bahwa peaaan diophantin dapat diubah ke dala peaaan atik polinoial yang bebentuk M ( L( = Q(, (9) dengan M ( = [ X (, Y ( ] D( L ( =. N( Matik M( diubah ke dala: M () = M0 + M+ L + M (0) dengan adalah bilangan bulat tak negatif yang eupakan deajat tetinggi dai atik polinoial M (). Peaaan (0) dituli kebali dala peaaan : M () = M[ I I L T I] dengan M = [ M0 M L M ] adalah atik koefiien dai enti-enti atik polinoial M () yang beukuan [k ((p+)(+))] I adalah atik identita beukuan ((p+) (p+)). Jika d i = deg ci [L(], i =,..., Q ˆ( = M ( L(, aka deg ci [ Q ˆ( ) ] = di +, i =,...,. Bedaakan konep intepolai atik polinoial pada Teoea, dengan engabil l = (d i + )+ = d i +(+) titik titik intepolai ( j, aj, bj), j =, L, l, aka atik polinoial Q ˆ( ) yang beukuan (k ) dapat dituli ebagai: Q ˆ( ) = Qˆ ( ), dengan ( ) = blk diag [,,, d i L + ] Qˆ adalah atik koefiien dai enti-enti atik polinoial Q ˆ( ) yang beukuan (k d i +(+)). Akhinya dapat dibentuk atik l beukuan d i + (+) x l beikut: l = [ ( ) a ( ) a... ( l ) al ]. Matik l epunyai ank penuh untuk j kala yang bebeda a j vekto tak nol beukuan ( x ). Dengan deikian enuut Teoea tedapat dengan tunggal atik polinoial Q ˆ( ) yang eenuhi Q ˆ ( j ) a j = b j, j =,,..., l () Peaaan (9) dapat dituli kebali ke dala peaaan : T M[ I I L I] L( = Q( T T T T M[ L ( L ( L L ( ] = Q( ML () = Q() () dengan T T T L ( = [ L ( L ( L L ( ] ( p+ )( + ) L ( [ R] Dengan engabil ebanyak l titiktitik intepolai ( j, a j ), aka dipeoleh peaaan: M L( j) aj = Q( j) aj, j =, L, l ehingga didapatkan: MLl = Bl (3) dengan 03

5 Junal Mateatika Vol., No., Agutu 008:00-05 Ll = [ L ( ) a L ( ) a L L ( l ) al ] Bl = [ b b L bl ] Dengan deikian, peaaan () dapat dieleaikan dengan encai olui dai peaaan (3). Peaaan (3) eupakan ite peaaan linie, ehingga olui M ada Ll jika hanya jika ank = ank L l Bl Pang peaaan Diophantin () dengan D( R [ ] N( R [ ] p adalah kopia kanan ialkan d i = deg ci Q(. Jika diabil l = di +(+) titik-titik intepolai ( j,a j ), j=,, l, aka dapat dibentuk teoea beikut. Teoea 3.[4] Diketahui atik polinoial L ( Q ( pada peaaan (9), ialkan d i =deg ci [ L (],,,, pilih ehingga eenuhi: deg ci [Q(] d i +,,, Peaaan Diophantin () epunyai olui M ( dengan deajat jika hanya jika olui M dai peaaan (3) T ada, dengan M ( = M[ I, I, K, I]. Bukti. ( ) Kaena M( = M M M = [ M 0,..., M ] aka dipeoleh koepondeni atu atu antaa M( dengan M. ( ) Diketahui ua kii dai peaaan (3) dapat ditulikan MLl = Qˆ l (4) diana Qˆ (=M( L(=Qˆ (, elanjutnya, dengan elihat peaaan (), ua kanan dai peaaan () dapat dituli enjadi B l = Q l (5) diana l = [ ( ) a ( ) a... ( l ) al ] beukuan ( d i +(+)xl) epunyai ank penuh ehingga enuut Teoea Q( adalah tunggal. Dai peaaan (4) peaaan (5) dipeoleh Qˆ l = Q l atau Qˆ =Q yang beati Q juga tunggal. Kaena Q( tunggal aka Qˆ (=Q( ehingga M(L(= Qˆ (=Q(. Kaena l adalah atik yang epunyai ank penuh M(L( = Qˆ (=Q( aka M(= M M = M[I, I,..., I] T adalah olui dai peaaan (9), dengan M adalah olui dai peaaan (3). Contoh 3 Dibeikan atik-atik polinoial D ( =, N ( = Q ( = Dengan enggunakan Maple 8 didapatkan gcd G R ( dai atik D( N( adalah G R ( = 0 det(g R ()=, ehingga atik D( N( adalah kopia kanan bedaakan Akibat, peaaan Diophantin teebut epunyai olui. oluinya adalah: M( = PENUTUP Kebeadaan olui peaaan diophantin ditentukan oleh pebagi kanan peekutuan tebea dai atik polinoial D( N(. egkan olui X( Y( dipeoleh dengan enggunakan titik titik intepolai ( j,a j ). Peba-haan lebih lanjut engenai peaaan diophantin aplikainya dapat dijupai pada teoi ite kontol. 4. DAFTAR PUTAKA []. Antakli, P.J. and Gao, Z. (993), Polynoial and Rational Matix Intepolation : Theoy and Contol Application, Intenational Jounal of Contol, 58(),

6 Laila Itiani R. Hei oelityo Utoo (Kebeadaan olui Peaaan Diophantin Matik Polinoial...) []. Kailath, T. (980), Linie yte, Englewood Cliff, New Yok. [3]. upanto, J. (998), Penganta Matik, Rineka Cipta, Jakata. [4]. Vadulaki. A.I.G, (99), Linea Multivaiable Contol, John Wiley & on, Chicete, England. 05