BAB II KAJIAN PUSTAKA

Transkripsi

1 Bab II : Kajian Pustaka 3 BAB II KAJIAN PUSTAKA Mateial bedasakan sifat popetinya dibagi menjadi bebeapa jenis, yaitu:. Isotopik : mateial yang sifat popetinya sama ke segala aah, misalnya baja.. Othotopik : mateial dengan dua plane of symmety yang saling tegak luus, sehingga popetinya tedefinisi menjadi dua aah, misalnya mateial komposit dengan aah seat 9 deajat. 3. Anisotopik : mateial yang tidak memiliki plane of symmety, popetinya bisa didefinisikan dalam dua aah juga sepeti pada mateial othotopic, misalnya mateial komposit dengan aah seat 3 deajat.. Mateial Othotopik Pada mateial othotopik popetinya tedefinisi dalam dua aah yang saling tegak luus, sepeti gamba di bawah ini : Gamba. Besanya stain adalah : σ ε E υσ ε υ. ε E (..)

2 Bab II : Kajian Pustaka 4 Pesamaan konstitutif untuk mateial othotopik : υ E E σ ε υ ε σ E E τ G (..) Dai pesamaan di atas dipeoleh matiks kekakuan untuk mateial othotopik : E υ. E ( υ. υ) ( υ. υ) σ ε υe E σ ε ( υ. υ) ( υ. υ) τ G E υ. υ E (..3) (..4) Dengan mendefinisikan Q, matiks kekakuan di atas dapat ditulis lebih sedehana : σ Q Q ε σ Q Q ε τ Q 66 Q E υ E υ E ; Q υυ υυ υυ E Q ; Q G 66 υυ (..5) (..6). Mateial Anisotopik Mateial othotopik memiliki aah seat tetentu (bukan atau 9 deajat). Matiks kekakuannya dipeoleh dengan caa mentasfomasikan matiks kekakuan mateial othotopik sesuai aah oientasi seat.

3 Bab II : Kajian Pustaka 5 Gamba. Tansfomasi tegangan dan egangan kea ah dan y : σ σ ε ε σ [ T] σ y ε [ T] εy τ τ y y m n mn m n mn T n m mn T n m mn mn mn m n mn mn m n [ ] [ ] m cos θ n sinθ Dai matiks kekakuan : { σ} [ Q]{ ε} Dipeoleh : Definisikan : Dipeoleh : Atau : { σ} [ T ] [ Q][ T ]{ ε} { Q} [ T ] [ Q][ T] { σ} Q {} ε σ Q Q Q 6 ε σ y Q Q Q6 ε y τ y Q6 Q6 Q 66 y (..) (..) (..3) (..4) (..5) (..6) (..7)

4 Bab II : Kajian Pustaka 6 Q Q m + ( Q + Q ) m n + Q n Q Q n + ( Q + Q ) m n + Q m Q ( Q + Q 4 Q ) m n + Q ( n + m ) Q ( Q Q Q ) m n+ ( Q Q + Q ) n m Q ( Q Q Q ) mn + ( Q Q + Q ) nm Q ( Q + Q Q Q ) m n 66 + Q n + m ( 4 4 ) 66 (..8).3 Lamination Theoy Teoi lamina mendeskipsikan espon linea popeti pada komposit lamina tehadap gaya lua yaitu in-plane loads dan bending moments. Teoi ini digunakan untuk mencai matiks ABD yang meepesentasikan popeti mateial pada susunan dan aah seta tetentu. Gamba.3 Pesamaan konstitutif lamina : N A A A6 B B B6 ε N A A A B B B ε y 6 6 y N y A6 A6 A66 B6 B6 B 66 y M B B B6 D D D κ 6 M y B B B6 D D D κ 6 y M B B B D D D κ y y (.3.)

5 Bab II : Kajian Pustaka 7 n B n Q ij k k z z D n Q ij 3 k k z z Untuk simetik lamina : (.3.) [ B ] (.3.3) { N} [ A]{ ε o } (.3.4) Tegangan ata-ata lamina : { σ} [ A ]{ ε } (.3.5) h dan { ε } h[ A] { σ} (.3.6) Definisikan laminate compliance : [ a] [ ] * h A (.3.7) Dipeoleh : ( ) A Q z z ij ij k k k k ( ) ij k k 3 3 ( ) ij k k ε a a a σ * * * 6 * * * ε y a a a6 σ y * * * y a6 a6 a 66 τ y Dai pesamaan-pesamaan di atas dapat dipeoleh popeti : E E y G y a * a * a * 66 (.3.8) v y a (.3.9) a * *

6 Bab II : Kajian Pustaka 8.4 Laminated Tube Theoy Laminated Tube Theoy meupakan teoi tentang stuktu silinde belubang yang tesusun dai bebeapa lamina. P T P Ro θ R T P Gamba.4.4. Regangan pada Sistem Koodinat Silinde Pepindahan yang tejadi pada tabung dinyatakan dalam aah aksial, tangensial dan adial, yaitu : u u(, θ, ) v v(, θ, ) w w(, θ, ) Hubungan egangan-pepindahan pada tata acuan koodinat silinde : u ε v ε + w w θ θ ε w v + () u w v u v θ θ + + d θ θ (.4..) (.4..)

7 Bab II : Kajian Pustaka 9 Untuk tabung yang simetis, pepindahan, egangan,dan tegangan tidak tegantung pada θ. Dan pada sepanjang tabung, pepindahan adial,w, juga tidak tegantung pada koodinat. Maka : u u(, ) v v(, ) (.4..3) w w(, ) Hubungan egangan-pepindahan menjadi : ε θ u w ε w θ ε v v u θ v (.4..4).4. Pesamaan Konstitutif Pada lapisan othotopik, pesamaan konstitutif pada sumbu-sumbu dengan aah sejaja seat (), tegak luus seat (), dan tegak luus bidang (3) adalah : σ 3 ε σ ε σ 33 τ τ τ 66 ε (.4..) Pesamaan konstitutif pada tata acuan koodinat silinde dengan oientasi seat membentuk sudut φ tehadap sumbu- (aksial) adalah : ' ' ' ' 3 6 ε σ ' ' ' ' 3 6 ε θ σ θ ' ' ' ' ε σ 36 ' ' τ θ θ τ ' ' τ θ ' ' ' ' θ (.4..)

8 Bab II : Kajian Pustaka [ ] [ ][ ] ' T T T dan T adalah matiks tansfomasi yang behaga : [ T ] [ T ] m n mn n m mn m n n m mn mn m n m n mn n m mn m n n m mn mn m n (.4..3) (.4..4) dan v v EEΔ m cosθ dan n sinθ v + v v EEΔ v v EEΔ v + v v EEΔ v + v v EEΔ v v EEΔ G 44 3 G 55 3 G 66 Definisikan : [ ε ] [ S][ σ ] (.4..5) (.4..6)

9 Bab II : Kajian Pustaka Dipeoleh matiks komplians : S S S S ' ' ' ' ε 3 6 σ ' ' ' ' ε θ S S S 3 S 6 σ θ ' ' ' ' ε S 3 S 3 S33 S 36 σ ' ' θ S 44 S τ 45 θ ' ' S 45 S τ 55 ' ' ' ' τ θ θ S S S S (.4..7).4.3 Pesamaan Kesetimbangan dσ σ σθ + d dτθ τθ + d dτ τ + d Integasikan sehingga dipeoleh : E τ θ F τ E dan F adalah konstanta integasi. (.4.3.) (.4.3.).4.4 Pesamaan Pepindahan Pesamaan egangan gese : u ' E ' F S45 + S 55 Integasi pesamaan diatas akan didapat : (.4.4.) ' E ' u (, ) S45 + S55Fln + f( ) (.4.4.) f ( ) adalah fungsi sembaang, besanya sama dengan ε ditambah konstanta, misal F, sehingga didapatkan :

10 Bab II : Kajian Pustaka ' E ' u (, ) ε S45 + S55Fln+ F (.4.4.3) Pesamaan kompatibilitas untuk egangan gese : d d ( ) d d θ (.4.4.4) Integasikan, dipeoleh : K K θ + (.4.4.5) K dan K adalah konstanta integasi Kombinasikan dengan hubungan egangan-pepindahan, didapat : K v K + + g () g() adalah fungsi sembaang θ v v ' K g( ) g () (.4.4.6) (.4.4.7) Kombinasi pesamaan konstitutif dan kesetimbangan, didapatkan : ' E ' F θ S44 + S 45 (.4.4.8) Haga K dan g() haus memenuhi pesamaan diffeensial d g() ' E ' F g () S44 + S 45 (.4.4.9) d Solusinya adalah : ' S44E ' g() S45F + G (.4.4.) G adalah konstanta integasi. Definisikan K, sudut twist (adian) pe satuan panjang, didapatkan : ' E ' v (, ) S44 S45F + G (.4.4.) Kombinasi antaa pesamaan petama dai pesamaan-pesamaan kesetimbangan, pesamaan egangan-pepindahan dan pesamaan pepindahan akan mendapatkan pesamaan diffeensial ode dua dai w sebagai fungsi dai, ε o,g : ' ' ' dw dw (.4.4.) w ( 3 ) ε ' ' + + ( ' ' 6 36) d d 33 33

11 Bab II : Kajian Pustaka 3 Solusi dai pesamaan diffeensial di atas adalah : w () A + A + + λ Definisikan : 4 ' ' ' ' λ λ ' ' ε ' ' ' ' 33 ' ' 3 ' ' 33 ' ' 6 36 ' ' 33 Γ Ω (.4.4.3) (.4.4.4) (.4.4.5) Jika konstanta geak benda padat F dan G sama dengan nol maka didapatkan : ' E ' u (, ) ε S45 + S55Fln ' E ' v (, ) S44 S45F (.4.4.6) λ w (, ) A + A +Γ ε +Ω λ.4.5 Pesamaan Regangan Dengan mensubstitusikan hubungan egangan-pepindahan dengan pesamaan pepindahan, dipeoleh : w λ λ ε λa λa +Γ ε + Ω v w A λ A λ εθ + + +Γ ε +Ω θ u ε ε w v v θ + θ w u + + v u θ + θ (.4.5.)

12 Bab II : Kajian Pustaka Pesamaan Tegangan Dengan mensubstitusikan pesamaan konstitutif dan pesamaan egangan, didapatkan hasil : τ θ Substitusi dengan pesamaan egangan, dipeoleh : θ τ τ ε + ε + ε + ' ' ' θ 6 6 θ { 6 ( 6 36) } { 66 ( 6 36) } τ + + Γ ε Ω ' ' ' ' ' ' + ( + λ ) A + ( λ ) A ' ' λ ' ' λ Pesamaan tegangan nomalnya { } σ ' ' ' ' ' ' + ( 3 + ) Γ ε + ( + 3) Ω+ 6 ' ' λ ' ' λ + ( + λ ) A + ( λ ) A 3 3 { } σ ' ' ' ' ' ' θ + ( + 3) Γ ε + ( + 3) Ω+ 6 ' ' λ ' ' λ + ( + λ ) A + ( λ ) A 3 3 { } σ ' ' ' ' ' ' 3 + ( ) Γ ε + ( ) Ω ( + λ ) A + ( λ ) A ' ' λ ' ' λ (.4.6.) (.4.6.) (.4.6.3) (.4.6.4) (.4.6.5) Pada pesamaan di atas tedapat empat vaiabel yang tidak diketahui yaitu ε,,a, dan A..4.7 Pesamaan Simultan Pesamaan kondisi batas pada pemukaan dalam dan pemukaan lua tabung: { } p ' ' ' ' ' ' 3 + ( ) Γ ε + ( ) Ω ( + λ ) A + ( λ ) A ' ' λ ' ' λ { } p + ( + ) Γ ε + ( + ) Ω+ ' ' ' ' ' ' ( + λ ) A + ( λ ) A ' ' λ ' ' λ (.4.7.) (.4.7.)

13 Bab II : Kajian Pustaka 5 Pesamaan kesetimbangan gaya aksial R P πσ d R R R θ d (.4.7.3) Subtitusi dengan pesamaan gaya nomal, dipeoleh : 3 3 ' ' ' R R ' ' ' R R P π ( + ( 3 + ) Γ ) ε ( 6 ( 3) ) Ω 3 ' ' ' ' ( + λ3) λ+ λ+ λ+ λ+ ( λ3) + A( R R ) + A R R λ+ λ+ (.4.7.4) Pesamaan kesetimbangan momen : T π τ (.4.7.5) Subtitusi dengan pesamaan gaya nomal, dipeoleh : ' ' ' R R ' ' ' R R T π ( 6 + ( ) Γ ) ε + ( 66 + ( ) Ω) 3 4 ' ' A λ+ ' ' A λ + ( 6 + λ36) + ( 6 λ36) λ+ λ (.4.7.6) Dengan empat pesamaan simultan tesebut, dapat dipeoleh empat vaiabel yang tidak diketahui pada pesamaan tegangan sehingga distibusi tegangan bisa diketahui dengan caa mensubtitusikan pesamaan-pesamaan tesebut.