DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS U N I F O R M ( S E R A G A M ) B E R N O U L L I B I N O M I A L P O I S S O N MA 4085 Pengantar Statistika 26 Februari 2013 Utriweni Mukhaiyar M U L T I N O M I A L H I P E R G E O M E T R I K G E O M E T R I K B I N O M I A L N E G A T I F
DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM) Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x 1, x 2,, x k ) memiliki peluang yang sama. Distribusi peluang X : Rataan : Variansi : 1 P X x x x x x k ( ), 1, 2,..., k 1 k xi k i1 2 1 k i k i1 x 2 2
BUKTI : MEAN DAN VARIANSI UNTUK P.A DISTRIBUSI SERAGAM. Berdasarkan definisi ekspektasi, x 1 E[ X ] x P( X x ) x, k k k i i i i i1 i1 k k i1 k k 2 2 2 2 E X x ( ) i P X xi xi i1 k i1 1 3
P(X=x) CONTOH 1 Pelantunan sebuah dadu. 1 P( X x), x 1,2,3,4,5,6 6 0.18 1 2 3 4 5 6 6 3,5 0.175 0.17 1 2 3 4 5 6 6 15.17 12.25 2.92 2 2 2 2 2 2 2 2 3.5 0.165 0.16 1 2 3 4 5 6 x 4
PERCOBAAN BERNOULLI Percobaan terdiri dari 1 usaha Usaha Sukses Gagal Peluang sukses p Peluang gagal 1-p Misalkan 1, jika terjadi sukses X 0, jika terjadi tidak sukses (gagal) 5
DISTRIBUSI BERNOULLI X berdistribusi Bernoulli, x 1 x p (1 p), x 0,1 P( X x) ber( x; p) 0, x lainnya Rataan Variansi : E[X] = µ x = p : Var(X)= x 2 = p(1-p) 6
PERCOBAAN BINOMIAL n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas. 7
DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi binomial, parameter n dan p Notasi X ~ B(n,p) F.m.p: n x P( X x) b( x; n, p) p (1 p) x nx Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) 1 o Rataan n n! x x!( n x)! : E[X] = µ x = np untuk x = 0,1,, n o Variansi : var(x)= 2 X = np(1-p) 8
CONTOH 2 Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu? 9
JAWAB Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. Maka X~B(5, 0.7) Yang ingin dicari adalah P(X 3). P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 5 3 2 5 4 1 5 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 5 0.3 0 3 4 5 5! 5! 5! (0,343)(0, 09) (0, 240)(0,30) (0,168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! 0,309 0,360 0,168 0,837 E D I T E D 2 0 1 1 B Y U M 10
PERCOBAAN POISSON Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL. Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial) Panjang selang waktu Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US - Banyak batu Apung ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai A 11
PROSES POISSON Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan. 12
DISTRIBUSI POISSON Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(t) F.m.p : t e t P( X x), x 0,1,2,... x! o Rataan : E[X] = X = t o Variansi : var(x)= 2 X = t x e = tetapan Euler (2.71828 ) 13
CONTOH 3 Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu. b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan. 14
JAWAB Jenis kasus Kasus Diskrit Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah Distribusi Poisson Satuan Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4 Parameter distribusi Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7 Pertanyaan a. t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... Pertanyaan b. t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka =... t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka =... 15
... Ingat definisi: sehingga a. t e t P( X x), x 0,1,2,... x! P( X 2) 1 2 P X 1 P X 0 P X 1 P X 2 x 3,5 3,5 3,5 3,5 0 3,5 1 3,5 2 t0,5 e e e 1 0! 1! 2! 1 0.030 0,106 0,370 0, 494 16 b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.
HUBUNGAN DISTRIBUSI BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL Misalkan p.a X Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p) n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ 2 ) μ = np, σ 2 = np(1- p) μ =, σ 2 = n >>> Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p) n >>>, p <<< n >>> DLP Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1- p) 17
BEBERAPA DISTRIBUSI DISKRIT LAINNYA Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Binomial Negatif Distribusi Geometri 18
DISTRIBUSI MULTINOMIAL Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E 2,, E k dengan peluang p 1, p 2,, p k, maka distribusi peluang peubah acak X 1, X 2,, X k yang menyatakan banyak terjadinya E 1, E 2,, E k dalam n usaha bebas ialah, n P X x X x X x x, x,..., x x1 x2 x (,,..., ) p p p k 1 1 2 2 k k 1 2 k 1 2 k dengan, k x n dan p 1 i i1 i1 k i Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil. 19
CONTOH 4 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturutturut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. Jawab: Misalkan X i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. 9 P( X1 3, X 2 3, X 3 1, X 4 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3,3,1, 2 9! 3!3!1!2! 3 3 1 2 5 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 20
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK X ~ h(n, n, k) X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. k N k x n x P( X x) h( x; N, n, k), x 0,1,2,..., n N n Rataan : nk N Variansi : 2 N n k n 1 k N 1 N N 21
CONTOH 5 Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! Jawab : Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran. X ~ h(50, 10, 12) 1238 3 7 22012620256 P( X 3) h(3;50,10,12) 0.2703 50 10272278170 10 22
KAITANNYA DENGAN DISTRIBUSI BINOMIAL Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal. Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian. Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/n. 23
DISTRIBUSI GEOMETRIK X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). P X x g x p p p x x1 ( ) ( ; ) (1 ), 1,2,... Rataan : Variansi : 1 p 2 1 p 2 p 24
CONTOH 6 Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama! Jawab : X ~ Geom(0.2) P X 2 ( 3) g(3;0.2) 0.2(0.8) 0.128 25
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF X ~ b*(k, p) X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x 1 k xk P( X x) b*( x; k, p) p (1 p), x k, k 1, k 2... k 1 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acakpeubah acak Geometrik. X = Y 1 + Y 2 +... + Y k dimana Y 1, Y 2,..., Y k adalah peubah acak saling bebas, masingmasing berdistribusi Geom(p). k 2 k(1 p) 2 p p Rataan : Variansi : 26
CONTOH 7 Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! Jawab : P X 7 2 3 5 ( 8) b*(8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505 27
REFERENSI Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. 28