METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (893), Indonesia ilissuryani9@gmail.com ABSTRACT This paper discusses a derivation of the corrected Simpson-like method using a difference operator to approximate a definite integral, as a review of the article Ujević, N. & A. J Roberts ANZIAM Journal, 45 (004): 4 56. The computational results show that the corrected Simpson-like method is better than Simpson method that is the method is exact for a fifth-order polynomial. Keywords: corrected Simpsons-like method, numerical integration, Simpsons method. ABSTRAK Artikel ini membahas tentang penurunan metode Simpson-like terkoreksi dengan menggunakan bantuan operator pembeda untuk mengaproksimasi integral tentu, yang merupakan review sebagian dari artikel Ujević, N. & A. J Roberts ANZIAM Journal, 45 (004): 4 56. Melalui perbandingan komputasi terlihat bahwa metode Simpson-like terkoreksi lebih baik dari metode Simpson yaitu metode ini eksak untuk polinomial berorde lima. Kata kunci: integrasi numerik, metode Simpson, metode Simpson-like terkoreksi.. PENDAHULUAN Dalam kalkulus didiskusikan teknik dasar untuk menghitung integral tentu I(f) = yaitu Teorema Dasar Kalkulus, yang dapat dinyatakan dengan b a b a f(x)dx, () f(x)dx = F(b) F(a),
dengan F(x) anti turunan dari f(x). Teknik ini tidak dapat digunakan jika anti turunan dari f(x) tidak dapat disajikan dalam bentuk fungsi-fungsi elementer. Untuk mengatasi hal ini dalam menyelesaikan masalah () dapat dilakukan secara numerik, yaitu dengan mengaproksimasi fungsi f dengan suatu polinomial sehingga nilai hampiran yang diperoleh mendekati eksak. Bila digunakan polinomial kuadratik, P (x), untuk mengaproksimasi f(x) pada persamaan () maka diperoleh metode Simpson yang eksak untuk polinomial berorde tiga, h. 06. Dari literatur analisis numerik diketahui bahwa bila fungsi f(x) mempunyai turunan di ujung interval a,b, yaitu f (a) dan f (b), maka metode trapesium dapat ditingkatkan keakuratannya yang dikenal dengan metode trapesium terkoreksi 5, h. 6. Hal inilah yang melatarbelakangi penulis sehingga tertarik untuk membahas metode Simpson-like terkoreksi yang merupakan pendetailan dari sebagian artikel Nenad Ujević & A. J.Roberts yang berjudul A corrected Quadrature Formula and Applications. Struktur sajian artikel ini adalah pada bagian kedua diturunkan metode Simpsonlike terkoreksi dalam bentuk satu interval, kemudian dikembangkan ke bentuk komposit. Pada bagian ketiga diberikan perbandingan numerik untuk melihat keunggulan dari metode yang didiskusikan. Di akhir pembahasan diberikan kesimpulan.. METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Misalkan fungsi f(x) kontinu pada interval a,b dengan jarak h = (b a). Didefinisikan a =, b = x j+ dan c = x j = (a+b). Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, maka integral tentu dari fungsi f(x), dapat ditulis sebagai h f(x)dx = h (F(x j+) F( )). () Berdasarkan aturan invers dari operator turunan 3, h. 75, f(x j ) = F(x j )+C, maka persamaan () dapat ditulis menjadi xj+ f(x)dx =(h ) h f(x j+) f( ). (3) Selanjutnya dengan menggunakan definisi central difference 3, h. 75 dan operator rata-rata 3, h. 75 δf(x j ) = f(x j+/ ) f(/ ), µf(x j ) = f(x j+/)+f(/ ), (4)
diperoleh µδf(x j ) = f(x j+) f( ). (5) Sehingga persamaan (3) dapat ditulis menjadi h f(x)dx =(h ) µδf(x j ). (6) Untuk mendapatkan persamaan integrasi tiga titik dengan koreksi titik akhir, maka ruas kanan dari persamaan (6) haruslah berbentuk +αδ +µδβ(h )f(x j ) sehingga persamaan (6) menjadi h f(x)dx = +αδ +µδβ(h )f(x j ), (7) untuk suatu konstanta α dan fungsi β(h ). Pada persamaan (7) suku +αδ f(x j ) adalah simetris dan hanya memuat f(x j ) dan f(x j± ) saja. Suku µδβ(h )f(x j ) hanya melibatkan turunan dari f pada titik akhir x j±. Dari (6) dan (7) diperoleh β(h ) = h µδ αδ µ. (8) Dengan menggunakan bentuk hiperbolik dari δ, µ dan µδ 3, h. 86, yaitu δ = sinh h, µ = cosh h, µδ = sinhh, persamaan (8) dapat dinyatakan dengan β(h ) = h sinhh αtanh h. (9) Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor, h. 89-90 dari ruas kanan persamaan (9) disekitar h = 0 maka diperoleh ( β(h ) = α+ ) ( h + 6 α 7 ) (h ) 3 360 ( + ) 3 α+ (h ) 5 +. (0) 0 50 Pada persamaan (0), jika α =, maka suku yang memuat h tereliminasi. Untuk 6 mendapatkan pendekatan dengan orde yang lebih tinggi, maka dipilih α = 7, agar 30 suku yang memuat (h ) 3 tereliminasi, sehingga persamaan (0) menjadi β(h ) = ( 5 h + 9450 (h )5 + ). () 3
Selanjutnya pensubstitusian persamaan () ke persamaan (7), menghasilkan f(x)dx =h + 7 30 δ f(x j )+hµδ 5 h + 9450 (h )5 + f(x j ). () Berdasarkan sifat operator turunan 3, h. 75, maka persamaan () menjadi f(x)dx =h + 7 30 δ f(x j )+hµδ 5 hf (x j ) + 9450 h5 f (5) (x j )+ dengan menggunakan operator central difference orde dua 5, h. 40 δ f(x j ) = f(x j+ ) f(x j )+f( ),, (3) maka persamaan (3) menjadi f(x)dx =h f(x j )+ 7 30 f(x j+) 4 30 f(x j)+ 7 30 f() +hµδ 5 hf (x j )+ 9450 h5 f (5) (x j )+. (4) Penerapan persamaan (5) ke persamaan (4), menghasilkan f(x)dx = h 5 7f()+6f(x j )+7f(x j+ ) h 5 f (x j+ ) f ( ) + h6 9450 f(5) (x j+ ) f (5) ( )+. (5) Dengan mengabaikan suku yang memuat h (i), i 3, dan mengingat h = (b a) pada persamaan (5), maka diperoleh formula metode Simpson-like terkoreksi yang dinotasikan dengan CS(f) sebagai berikut: b a f(x)dx = b a 30 ( ) a+b 7f(a)+6f +7f(b) (b a) 60 f (b) f (a). Untuk mendapatkan formula metode Simpson-like Terkoreksi Komposit, misalkan interval a, b dipartisi sebanyak n subinterval dengan n bilangan genap, kemudian misalkan h = b a adalah panjang dari setiap subinterval dan titik-titik n partisi x j = a+jh, j = 0,,,,n. (6) 4
Selanjutnya dengan menerapkan metode Simpson-like terkoreksi untuk setiap subinterval pada jumlah Riemann pendekatan integral tentu pada persamaan () dengan titik ujung partisi (6), dan setelah penyederhanaan diperoleh xn x 0 f(x)dx = h 5 7f(x 0)+4f(x )+4f(x 4 )+ +4f(x n ) +6f(x )+6f(x 3 )+ +6f(x n )+7f(x n ) h 5 f (x n ) f (x 0 ). (7) Misalkan x j,x j adalah subinterval dari x 0,x n, dengan titik tengah dari subinterval diberikan oleh x j = x j +x j, j =,,3,, n, dan h = (xn x 0), n maka diperoleh Metode Simpson-like Terkoreksi Komposit CS n (f), yaitu xn f(x)dx = (x n x 0 ) x 0 5n f(x 0 )+4 (n/) j= f(x j )+6 n/ f(x j )+f(x n ) (x n x 0 ) 5n f (x n ) f (x 0 ) =: CS n (f). (8) j= 3. PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini disajikan komputasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan nilai hampiran dari metode Simpson S n S n (f) = h 3 f(x 0 )+ (n/) j= dan error aproksimasinya ES n, h. 06 f(x j )+4 n/ f(x j )+f(x n ), j= ES n (b a)5 80n 4 f(4) (η), η (a,b) dengan metode Simpson-like terkoreksi CS n persamaan (8) dan error aproksimasinya ES n yang dijabarkan dari 4 yang diberikan oleh ECS n (f) (b a)6 8900n 5f(6) (ξ), ξ (a,b). (9) Perbandingan juga dilakukan dengan menghitung selisih solusi analitik (eksak) yang diperoleh dengan Teorema Dasar Kalkulus untuk masing-masing metode dinotasikan berturut-turut dengan ErS n dan ErCS n. Adapun integral-integral yang akan ditentukan nilainya yang digunakan sebagai perbandingan adalah 5
I. I. I 3. I 4. 0 x sinx dx solusi eksak 0.583853634585765 0 e x + dx solusi eksak.6305588855770 0 ex x dx solusi eksak.384948495570 0 x5 dx solusi eksak 0.6666666666666666. Dalam melakukan komputasi numerik untuk keempat intergral digunakan aplikasi pemrograman MATLAB versi 7.6.0. Tabel : Perbandingan error metode Simpson, error metode Simpson-like terkoreksi dan error analitik untuk fungsi I,I,I 3 dan I 4. Integral n Metode Simpson Metode Simpson-like terkoreksi ErS n ES n ErCS n ECS n 8.9 0 3. 0.7 0 4.06 0 4 4 5.07 0 4 6.94 0 4.4 0 6 3.3 0 6 8 3.0 0 5 4.34 0 5 3.69 0 8.03 0 7 I 6.9 0 6.7 0 6 5.73 0 0 3.3 0 9 3.0 0 7.70 0 7 8.94 0.0 0 0 64 7.50 0 9.06 0 8.40 0 3 3.5 0 8 4.69 0 0 6.6 0 0.33 0 5 9.86 0 4.3 0 4 3.47 0 4.0 0 6.65 0 6 4.36 0 5.7 0 5.6 0 8 5.7 0 9 8 8.56 0 7.36 0 6.55 0 0.6 0 9 I 6 5.36 0 8 8.48 0 8 3.99 0 5.05 0 3 3.35 0 9 5.30 0 9 6.0 0 4.58 0 64.09 0 0 3.3 0 0 8.88 0 6 4.93 0 4 8.3 0.07 0 8.88 0 6.54 0 5 5.79 0 4 9.44 0 4.75 0 6 4.49 0 6 4 3.70 0 5 5.90 0 5 4.40 0 8.40 0 7 8.33 0 6 3.69 0 6 6.9 0 0 4.39 0 9 I 3 6.46 0 7.30 0 7.08 0.37 0 0 3 9.0 0 9.44 0 8.69 0 3 4.9 0 64 5.69 0 0 9.00 0 0.00 0 5.34 0 3 8 3.56 0 5.63 0 8.88 0 6 4.9 0 5.08 0 4.7 0.78 0 7 0.00 0 +00 4.30 0 3.60 0 3 0.00 0 +00 0.00 0 +00 8 8.4 0 5.63 0 4 0.00 0 +00 0.00 0 +00 I 4 6 5.09 0 6.0 0 5 0.00 0 +00 0.00 0 +00 3 3.8 0 7 6.36 0 7 0.00 0 +00 0.00 0 +00 64.99 0 8 3.97 0 8 0.00 0 +00 0.00 0 +00 8.4 0 9.48 0 9 0.00 0 +00 0.00 0 +00 Dari Tabel dapat dilihat bahwa secara umum semakin banyak partisi yang digunakan maka error yang dihasilkan oleh kedua metode semakin kecil. Akan tetapi, metode Simpson-like terkoreksi menghasilkan solusi yang lebih baik dibandingkan metode Simpson. Hal ini terlihat pada tabel, dimana secara umum metode Simpsonlike terkoreksi untuk keempat integral dengan 6 buah partisi telah mendapatkan solusi yang mendekati solusi eksak, yaitu mencapai ketelitian.0 0 0 sedangkan metode Simpson yang menggunakan partisi lebih dari 00 untuk menghasilkan solusi mendekati solusi eksak. Dari Tabel juga terlihat bahwa error dari metode 6
Simpson lebih besar dibandingkan dengan error metode Simpson-like terkoreksi. Integral I 4 menunjukkan kesesuaian antara error analitik persamaan (9) dengan hasil komputasi untuk metode Simpson-like terkoreksi, yaitu metode ini eksak untuk polinomial berorde 5. 4. KESIMPULAN Berdasarkan diskusi pada bagian sebelumnya dapat disimpulkan bahwa secara umum metode Simpson-like terkoreksi yang hanya memerlukan tambahan perhitungan turunan di ujung interval yang dipertimbangkan lebih baik dibandingkan dengan metode Simpson. Hal ini dapat dilihat dari keakuratan metode Simpson yang eksak untuk polinomial orde 3 sedangkan metode Simpson-like terkoreksi eksak untuk polinomial orde 5. DAFTAR PUSTAKA Bartle, R. G. & D. R. Shebert. 00. Introduction to Real Analysis, Fourth Edition. John Wiley & Sons, Inc., New York. Burden, R. L. & J. D. Faires 005. Numerical Analysis, Ninth Edition. Brooks Cole, Boston. 3 Hildebrand, F. B. 974. Introduction To Numerical Analysis. McGraw-Hill, Inc., New York. 4 Pećarić. J. & I. Franjić. 006. Generalisation of A corrected Simpson s Formula. ANZIAM J. 47: 367-385. 5 Phillips, G. M. 003. Interpolation and Approximation by Polynomials. Springer-Verlag, New York. 7