III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka dalam betuk Persamaa Diferesial Abelia. Agar validitas metode ii terjami maka pada bagia ii aka dikaji beberapa cotoh kasus. Metode Dekomposisi Adomia yag diterapka dalam tulisa ii megikuti pustaka ( Adomia 99).. Formulasi Masalah Utuk megkaji lebih lajut Metode Dekomposisi Adomia maka tijau terlebih dahulu persamaa diferesial takliear berikut F[ yx ( )] = Gx ( ) (.) dega F meyataka operator turua yag betukya takliear da G merupaka fugsi yag diketahui sedagka y meyataka fugsi yag aka ditetuka. Misalka bagia liear dari F dipisah mejadi dua bagia yaitu L da R dega L suatu operator yag mempuyai ivers da R operator liear laiya. Bagia takliear dari F dimisalka N. Jadi persamaa diferesial (.) dapat ditulis mejadi ( L R N) y = G (.) atau dapat juga ditulis mejadi Ly = GRy Ny. (.) Selajutya dipilih operator turua L yag memuat turua dega orde tertiggi da mempuyai ivers sedagka R operator turua liear laiya yag mempuyai orde lebih kecil dari L. Metode Dekomposisi Adomia dikostruksi berdasarka eksistesi dari ivers L yaitu L - d (sebagai cotoh jika L = dx x maka L () = () ds ). Jika kedua ruas pada persamaa (.) dikeaka operator L - dari kiri maka diperoleh solusi takhomoge dari persamaa (.) berbetuk y = L GL Ry L Ny. Misalka fugsi hx ( ) merupaka solusi homoge dari persamaa (.) atau persamaa Ly = maka solusi umum dari persamaa diferesial (.) adalah y = h L GL Ry L Ny. (.) Dega demikia solusi persamaa diferesial yag diberika pada persamaa (.) bergatug pada betuk takliear L Ny. Karea adaya betuk takliear tersebut maka persamaa diferesial (.) sulit diselesaika secara aalitik. Berdasarka hal tersebut maka disaraka megguaka metode yag disebut Metode Dekomposisi Adomia dega betuk takliear Ny aka didekomposisi dega cara yag diuraika pada bagia selajutya.. Metode Dekomposisi Adomia Pada metode ii solusi persamaa diferesial (.) dimisalka dalam betuk uraia deret berikut y = y λ λ y = λ y = (.5) dega λ suatu parameter sedagka y y... y fugsi yag aka ditetuka. Jika operator takliear N dikeaka pada y maka diperoleh Ny = N( y λ λ y ). (.6) Dega megguaka uraia deret Maclauri pada fugsi Ny dalam persamaa (.6) terhadap λ diperoleh Ny = A λa λ A = λ A dega A = Ny λ = d A = Ny dλ λ = d A = Ny! dλ λ =. = (.7) Selajutya misalka Ny = f ( y) sehigga fugsi f merupaka fugsi poliomial yag diberika oleh persamaa (.7) da f juga merupaka fugsi aalitik. Fugsi poliomial ii disebut poliomial Adomia. Dega demikia betuk
6 Ai i = pada persamaa (.7) dapat diyataka sebagai berikut A = f ( y) A = f '( y) A = y f '( y) f ''( y) A = y f '( y) y f ''( y) f '''( y)! (.8) Peurua persamaa (.8) dapat dilihat pada Lampira. Selajutya misalka L Ry da L Ny berorde λ maka persamaa (.) dapat ditulis y = h L GλL Ry λl Ny. (.9) Jika y pada persamaa (.5) da Ny pada persamaa (.7) disubstitusika ke dalam persamaa (.9) maka diperoleh y λ y λ λ y = h L GλL R λ y λl ( A λa λ A ) (.) Jika koefisie dari perpagkata λ dari persamaa (.) disamaka pada kedua ruas maka koefisie dari λ λ λ... masigmasig memberika persamaa berikut y = h L G =L ( Ry) L ( A) y =L ( R) L ( A) (.) Secara umum betuk y adalah y =L ( Ry-) L ( A-). Peurua persamaa (.) dapat dilihat pada Lampira. Selajutya berikut ii aka ditujukka bahwa y = y y = y = (.) merupaka solusi dari persamaa diferesial (.) atau persamaa diferesial (.). Jika y pada persamaa (.) disubstitusika ke dalam ruas kiri persamaa (.) maka diperoleh ruas kiri persamaa (.) berikut [ Ly ( ) Ly ( ) Ly ( ) ] Ry ( ) Ry ( ) Ry ( ) [ N( y) N( ) N( y) ] (.) Berdasarka persamaa (.) diperoleh L Ry ( ) ( ) ( ) = ( ) Ly L Ly Lh LG L L A L R L L A = Lh ( ) GRy A Ry A (.) Selai itu dari persamaa (.6) da (.7) diperoleh N( y λ λ y ) = A λa λ A (.5) atau N( y) λn( ) λ N( y) = A λa λ A (.6) Jika koefisie dari perpagkata λ dari persamaa (.6) disamaka pada kedua ruas maka koefisie dari λ λ λ... masigmasig memberika persamaa berikut A = N( y) A = N( ) A = N( y) (.7) Jika persamaa (.) da persamaa (.7) disubstitusika ke dalam persamaa (.) maka diperoleh persamaa berikut Ry ( ) Ry ( ) [ Ly ( ) Ly ( ) Ly ( ) ] Ry ( ) [ N( y) N( ) N( y) ] = [ Lh ( ) GRy A R A ] [ Ry ( ) Ry ( ) Ry ( ) ] [ A A A ] = G dega Lh ( ) = karea h solusi homoge dari persamaa (.).. Aplikasi pada Persamaa Diferesial Abelia Betuk umum Persamaa Diferesial Abelia adalah y' = f( x) f( x) y f( x) y f( x) y. (.8) Persamaa (.8) dapat ditulis mejadi Ly f( xy ) f( xn ) ( y) f( xn ) ( y) = f( x) (.9) dega
7 d L = N( y) = y N( y) = y. dx Dalam Metode Dekomposisi Adomia dimisalka solusi persamaa diferesial (.8) diyataka dalam betuk deret berikut yx ( ) = y( x) (.) = dega y y... aka ditetuka berikut ii. Betuk takliear yag dipilih adalah N ( y) = y da N ( y) y = yag masigmasig memiliki poliomial Adomia sebagai berikut. N ( y) = A = N ( y) = B = (.) dega A da B berturut-turut merupaka uraia poliomial Adomia dari fugsi N da N. Berdasarka persamaa (.9) diperoleh empat suku dari poliomial Adomia utuk masig-masig deret A da B sebagai berikut A = y A = y A = yy A = yy yy da B = y B= y B = y y y B = y y 6y yy y. (.) Selajutya jika kedua ruas pada persamaa (.9) dikeaka operator L dari kiri maka diperoleh betuk f( x) y f ( x) N( y) y L = h L f ( x) f( x) N( y) (.) Kemudia persamaa (.) da persamaa (.) disubstitusika ke dalam persamaa (.) maka diperoleh betuk f() x A = y() x L f() x y() x L = = f() x B = = h L f() x (.) Jika kedua ruas dibadigka maka diperoleh y = h L f( x) = L ( f( x) y f( x) A f( x) B) y = L ( f( x) f( x) A f( x) B) atau secara umum berbetuk y = h L f( x) f ( x) y- f( x) A - y = L f( x) B - (.5) Peurua persamaa (.) da (.) masig-masig dapat dilihat pada Lampira da 5. Dega demikia solusi Persamaa Diferesial Abelia (.8) adalah yx ( ) = y( x) ( x) y( x) dega y y... diberika oleh persamaa (.5) sedagka A i da B i ( i = ) diberika oleh persamaa (.). Utuk memahami metode yag diberika di atas maka berikut ii aka diberika dua cotoh kasus. Pada cotoh kasus pertama Metode Dekomposisi Adomia aka dibadigka dega metode Ruge-Kutta orde empat. Pada cotoh kasus kedua Metode Dekomposisi Adomia aka dibadigka dega solusi eksak masalah ilai awal. Cotoh : Misalka diberika Persamaa Diferesial Abelia berikut y' = xy xy x y (.6) dega ilai awal y () =. Secara aalitik solusi masalah ilai awal (.6) sulit utuk diselesaika. Oleh karea itu masalah ilai awal (.6) aka diselesaika dega megguaka metode umerik. Berikut ii aka ditetuka solusi hampira masalah ilai awal (.6) dega megguaka Metode Dekomposisi Adomia yag telah diuraika sebelumya. Rumus utuk solusi hampira dari masalah ilai awal (.6) yag didasarka pada persamaa (.5) adalah y = x y = L ( xy- xa- x B- ) (.7) dega solusi homoge h =. Dega megguaka atura rekursif pada persamaa (.) diperoleh empat suku
8 poliomial Adomia A da B yag selajutya diguaka utuk membetuk solusi yx ( ). Empat suku dari solusi yx ( ) atau utuk = diperoleh y = x 6 6x x = 8x 5 6 7 8 9 6x 76x 8x x 66x y = 5 9 7 7 5x 7 8 9 56x x 57x 5859x y = 5 5 567 55 89x 8x 6x 97 567 9 6 9596x 7x 69 9 x 696x 8x y = 95 575 85 57686x 86976x 55 5975 587x 8586766x 659 575 6 7 75768x 778x 77 969 8 9 96787x 8x 58 95 7656x. 67 5 (.8) Jadi utuk = diperoleh solusi hampira masalah ilai awal (.6) dega Metode Dekomposisi Adomia sebagai berikut yx ( ) = y y y y. Utuk suku-suku ke- dapat dicari berdasarka atura rekursif pada persamaa (.7). Peurua persamaa (.7) da (.8) masig-masig dapat dilihat pada Lampira 6 da 7. Solusi hampira masalah ilai awal (.6) aka ditetuka dega megguaka software MATLAB utuk memperoleh solusi y ( ) x utuk ilai yag berbeda. Berikut ii diberika grafik solusi masalah ilai awal (.6) dega Metode Dekomposisi Adomia utuk = 5 = = 5. Validitas metode ii diperlihatka dega membadigka solusi hampira dega metode Ruge-Kutta orde empat. 8 6.....5.6.7 Gambar Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.6) dega metode dekomposisi Adomia utuk = 5 da metode Ruge-Kutta orde empat. 8 6 metode Ruge-Kutta metode dekomposisi Adomia.....5.6.7 Gambar Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.6) dega metode dekomposisi Adomia utuk = da metode Ruge-Kutta orde empat. 8 6 metode Ruge-Kutta metode dekomposisi Adomia metode Ruge-Kutta metode dekomposisi Adomia.....5.6.7 Gambar 5 Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.6) dega metode dekomposisi Adomia utuk = 5 da metode Ruge-Kutta orde empat.
9 Dari Gambar da 5 disimpulka bahwa solusi hampira dega Metode Dekomposisi Adomia medekati solusi dega Ruge-Kutta orde empat dega ketelitia yag tiggi utuk orde yag maki besar. Ketelitia metode ii pada masalah ilai awal (.6) diberika pada Tabel. Tabel Galat hampira solusi masalah ilai awal (.6) utuk orde yag berbeda x Orde ke- 5 5.........5........5........5.....8.6.6.5.7.5.5.5.7.86.7 Cotoh : Misalka diberika Persamaa Diferesial Abelia berikut y' = y y y (.9) dega ilai awal y () =. Solusi eksak dari persamaa diferesial (.9) dega ilai awal y () = diyataka dalam betuk implisit berikut l y l y l y = x l(). 6 Berikut ii aka ditetuka solusi hampira masalah ilai awal (.9) berdasarka Metode Dekomposisi Adomia yag telah diuraika sebelumya. Oleh karea itu rumus utuk solusi hampira dari masalah ilai awal (.9) yag didasarka pada persamaa (.5) adalah y = -x - y = L ( y- A- B- ) (.) dega solusi homoge h =. Dega megguaka atura rekursif pada persamaa (.) diperoleh empat suku poliomial Adomia A da B yag selajutya diguaka utuk membetuk solusi yx ( ). Empat suku dari solusi yx ( ) atau utuk = diperoleh y= -x 8x = x x 5 7 x 8x x 6 x y = 8x 5 7 5 6 7 x x 76x x y = 5 5 5 8 9 57x 5x 8x 5 7 5 5 6 7 8 x 6x 58x 5x y = 6 5 5 5 9 8599x 76x 76x 85 89 55 5896x 5896x 5 55 (.) Jadi utuk = diperoleh solusi hampira masalah ilai awal (.9) dega Metode Dekomposisi Adomia sebagai berikut yx ( ) = y y y y. Utuk suku-suku ke- dapat dicari berdasarka atura rekursif pada persamaa (.). Peurua persamaa (.) da (.) masig-masig dapat dilihat pada Lampira 9 da. Solusi hampira masalah ilai awal (.9) aka ditetuka dega megguaka software MATLAB utuk memperoleh solusi y ( ) x utuk ilai yag berbeda. Berikut ii diberika grafik solusi masalah ilai awal (.9) dega Metode Dekomposisi Adomia utuk = 5 = da = 5. Validitas metode ii diperlihatka dega membadigka solusi hampira dega Metode Dekomposisi Adomia da solusi eksak. -. -. -. -. -.5 -.6 -.7 -.8 -.9 metode Ruge-Kutta metode dekomposisi Adomia solusi eksak -.....5.6.7 Gambar 6 Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.9) metode dekomposisi Adomia utuk = 5 da solusi eksak.
-. -. -.6 -.8 - -. -......5.6.7 Gambar 7 Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.9) metode dekomposisi Adomia utuk = da solusi eksak. -. -. -.6 -.8 - -. metode Ruge-Kutta metode dekomposisi Adomia solusi eksak metode Ruge-Kutta metode dekomposisi Adomia solusi eksak -......5.6.7 Gambar 8 Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.9) metode dekomposisi Adomia utuk = 5 da solusi eksak. Dari Gambar 6 7 da 8 disimpulka bahwa solusi hampira dega Metode Dekomposisi Adomia medekati solusi eksak utuk orde yag maki besar. Ketelitia metode ii pada masalah ilai awal (.9) diberika pada Tabel. Tabel Galat hampira solusi masalah ilai awal (.9) utuk orde yag berbeda x Orde ke- 5 5.................5........5....5.9...55.78...6.7.75..65.998.9.6. Aplikasi pada Model Pertumbuha Populasi Rusa Persamaa Diferesial Abelia juga mucul dalam pemodela dari pertumbuha populasi rusa pada suatu wilayah (Giordao da Weir 99). Misalka Y meyataka jumlah populasi rusa maka rata-rata pertumbuha populasi rusa dalam wilayah tersebut diyataka dalam model persamaa berikut dy ky ( M Y )( Y m) dt = (.) dega k meyataka kostata pembadig sedagka M da m masig-masig meyataka jumlah maksimum populasi rusa da jumlah miimum populasi rusa. Berikut ii ilustrasi megeai pemakaia Metode Dekomposisi Adomia utuk meyelesaika model yag diberika pada persamaa (.). Berdasarka persamaa (.) model matematika utuk pertumbuha populasi rusa dalam wilayah tersebut adalah y' = 5y 5.5y.5y. (.) Asumsika pada awal pegamata terdapat 5 ekor rusa sehigga diperoleh ilai awal berikut y () = 5. Berikut ii aka ditetuka solusi hampira masalah ilai awal (.) berdasarka Metode Dekomposisi Adomia yag telah diuraika sebelumya. Oleh karea itu rumus utuk solusi hampira dari masalah ilai awal (.) yag didasarka pada persamaa (.5) adalah y = 5 y = L ( 5y 5.5A.5 B ) (.) dega solusi homoge h =. Dega megguaka atura rekursif pada persamaa (.) diperoleh empat suku poliomial Adomia A da B yag selajutya diguaka utuk membetuk solusi yx ( ). Empat suku = dari solusi yx ( ) adalah y = 5 = 575t y = 598t 6 y =6.7755x t 9 y =.979x t. (.5)
Jadi utuk = diperoleh solusi hampira masalah ilai awal (.) dega Metode Dekomposisi Adomia sebagai berikut yx ( ) = y y y y. Utuk suku-suku ke- dapat dicari berdasarka atura rekursif pada persamaa (.). Peurua persamaa (.) da (.5) masig-masig dapat dilihat pada Lampira da. Solusi hampira masalah ilai awal (.) aka ditetuka dega megguaka software MATLAB utuk memperoleh solusi y ( ) x utuk ilai yag berbeda. Berikut ii diberika grafik solusi masalah ilai awal (.) dega Metode Dekomposisi Adomia utuk = 5 = da = 5. Validitas metode ii diperlihatka dega membadigka solusi hampira dega Metode Dekomposisi Adomia da solusi eksak. populasi rusa 8 6..5..5. waktu Gambar 9 Perbadiga grafik solusi masalah ilai awal (.) metode dekomposisi Adomia da solusi umerik. Simbol: blue;solusi umerik: red; = 5 : yellow; = :gree; = 5 Dari Gambar 9 disimpulka bahwa solusi hampira dega Metode Dekomposisi Adomia medekati solusi umerik utuk orde yag maki besar. Gambar berikut ii meujukka bidag fase pertumbuha populasi rusa berdasarka model matematika pada persamaa (.). Gambar Bidag fase pertumbuha populasi rusa dega M = da m = 7. Berdasarka Gambar disimpulka bahwa populasi rusa aka megalami kepuaha jika populasi rusa berada di bawah jumlah m = 7. Jika populasi rusa berada di atara 7 yt ( ) maka populasi rusa aka megalami peigkata higga jumlah. Jika populasi rusa berada di atas maka populasi rusa aka meuru kemudia meigkat higga mecapai jumlah.