PENGENALAN ABABIL: PROGRAM FINIE ELEMEN ANALYSIS (FEA) 3-DIMENSI UNUK SRUKUR RANGKA-BAANG Introducton of Ababl : 3 Dmntonal Fnt Elmnt Analss Program for russ Structur Sugng Waluo Sugng_Waluo@daad-alumn.d D3 knk Industr, Unvrstas Jndral Sodrman, Purwokrto Abstract Ababl s an opn sourc computr program workng on th bass of fnt lmnt mthod (FEM) whch s amd to analz fram structurs. It s manl dsgnd as a solvr wthout mbddd pr- or/and post-procssng unts. Rcntl, th solvr s compatbl onl for radng and wrtng n th Gmsh [1] pr- and post-procssng softwar nvronmnt. h FEM knmatcs formulaton appld hr s rld on th moshnko Bam hor (B) usng lnar shap functon. Fnall, th wll-known FEM softwar MSC.Nastran s usd to nsur th capablt of Ababl n th prdcton of fram dformaton b mans of FEM smulaton Kword Ababl, opn sourc, fnt lmnt, fram, Gmsh, moshnko Bam hor (B) PENDAHULUAN Pross pnusunan kod program Ababl dmula pada prtngahan tahun 008. ujuan utamana adalah mnghaslkan sbuah produk brupa program sumbr trbuka (opn sourc) dalam bahasa Fortran untuk mnganalss struktur rangka-batang dalam ruang 3-dmns. D Indonsa, hngga kn blum ada satupun program FEM untuk struktur rangka-batang 3-Dmns ang brsfat sumbr trbuka. Adapun ang trsda saat n hana kod dalam -D dan tdak mmlk antar-muka dngan prangkat lunak pr- dan post-procssng. Ababl ddsan untuk dgunakan utamana olh mahasswa sbaga sarana pmblajaran dan pnltan. Untuk mncapa tujuan trsbut, struktur program Ababl dsandarkan kpada prnsp ttbookstl. Yatu, susunan program pada Ababl dssuakan dngan susunan pada ttbook tanpa mngalam optmas pmrograman. Pada artkl n akan dsajkan scara komprhnsf struktur program Ababl, trmasuk d dalamna pmbahasan tkns mplmntas B d tahap pmrograman. SRUKUR PROGRAM ABABIL Struktur program Ababl dsusun olh 3 subroutn atau sub program utama ang dtulls dalam Fortran 90 atu MESH_BEAM(), ELEMEN_SIFF_BEAM_IMOSH(), dan BOUNDARY_CONDIION_BEAM(). Dsampng ktga subroutn trsbut, trdapat pula sjumlah subroutn lan ang mlakakan opras-opras matmatka sprt aljabar matrks dan LU Dcomposton. A. Subroutn MESH_BEAM() ugas utama dar subroutn n adalah mnusun matrks kkakuan global k dar pross msh ang dlakukan Gmsh. Dalam mlakukan tugasna, subroutn n mmbaca fl hasl pross msh, atu gomtr lmn dan koordnat nodal, dan mnmpanna dalam varabl ang ddfnskan sblumna. Untuk stap lmn, nantna akan dpanggl subroutn ELEMEN_SIFF_BEAM_IMOSH() sbaga pnupla matrks kkakuan lmn tunggal k. Scara prnsp, jka trjad modfkas trhadap formulas lmn, subroutn n tdak mngalam prubahan apapun spanjang modfkas ang nantna dlakukan ada dalam batasan trtntu. Batasan trsbut adalah, prtama, lmn ang dgunakan brupa lmn gars (1-D) dngan nodal dan, kdua, mnggunakan fungs prpndahan lnar. Struktur modular sprt n dmaksudkan untuk mmbrkan klluasaan kpada pngguna mnggunakan formulas lmn lan slan bawaan dar Ababl tanpa harus mrubah ksluruhan program. B. Subroutn ELEMEN_SIFF_BEAM_IMOSH() or moshnko Bam dtrapkan pada subroutn n dngan mnggunakan pndkatan soparamtrk lnar N N N N... (1) z N z N z Dnamka Rkaasa Vol. 7 No. 1 Fbruar 011
Sugng Waluo Pngnalan Ababl : Program Fnt Elmnt Analss (FEA) 3 Dmns untuk Struktur Rangka Batang: 9-13 untuk ntrpolas sstm koordnat dan u N u N u u N u N u 1 1... () u N u N u z 1 z1 z untuk fungs prpndahan, dngan fungs bntukna adalah N1 1 (1 ) dan N 1 (1 ) pada 1 1. Mnggunakan notas vktor u u u u z untuk prsamaan () dprolh fungs pndkatan uh sbaga brkut u h Nd (3) dngan w w (lhat Gbr.1). d untuk nodal 1 dan w Dsn, dan brturut-turut mwakl translas dan rotas trhadap. Smntara tu, matrks fungs prpndahan dbrkan sbaga N N N (5a) 1 N N N N 0 0 0 dngan 1,. nod Z Y 0 0 0 N N N nod 1 C (5b) nod 1 nod X z Gambar. Elmn batang pada koordnat 3-dmns dwakl olh (a) koordnat global X, Y, dan Z dan koordnat lokal lmn, dan z., (b) Gambar 1. Dflks w pada batang (bam) dgambarkan sjajar dngan sumbu koordnat lokal lmn (a). Knmatka batang akbat dformas gsr dan bndng (b) dwakl olh dan w w' dmana w'. Untuk bkrja pada ruang 3-dmns (Gbr.), dprlukan modfkas d sbaga brkut 1 d d d (4a) z z d w w untuk 1,. (4b) Mnggunakan prsamaan (3) dan (4), rgangan z z dapat tntukan mlalu prsamaan Bd... (5) B B B dbrkan sbaga 1 dmana N 0 0 0 0 0 0 0 0 N 0 0 N 0 0 0 0 N 0 0 0 0 0 N N 0 0 0 N 0 0 0 0 0 N 0 B... (6) Mnggunakan prnsp krja maa (vrtual work) untuk sluruh panjang batang L, sstm prsamaan lnar FEM adalah 10
Dnamka Rkaasa Vol. 7 No. 1 Fbruar 011 L B Bd d f... (7) dmana f adalah gaa pada nodal dan ddfnskan sbaga paramtr matral (lhat Prs.7) EA 0 0 0 0 0 0 GJ 0 0 0 0 0 0 GA 0 0 0 0 0 0 EI 0 0 0 0 0 0 GA 0 0 0 0 0 0 EI z... (8) Pada Prsamaan 7, gaa pada nodal f umumna ddfnskan untuk koordnat global X, Y, dan Z, smntara prpndahan d umuna trdfns dalam koordnat lokal,, dan z. Untuk mngatas prbdaan n, ddfnskan sbuah matrks transformas koodnat dngan ukuran 11 ang dbrkan sbaga brkut 1... (9) 3 4 dngan 3 4 (1) () (3) 1 (1) () (3)... (10) z(1) z () z(3) Akhrna, mngunakan (9), ruas kr prsamaan (7) dapat dtransformaskan k global koordnat, atu B Bd d f... (11) L C. Subroutn BOUNDARY_CONDIION_BEAM() Subroutn n mmpuna tugas untuk mmbntuk matrks (11) mnjad prsamaan matrks ang dapat dcar solusna, dngan mmanfaatkan masukan (nput) dar pngguna. Masukan trsbut trbag mnjad dua atu bban pada nodal (nodal forcs) dan tumpuan pada nodal (nodal constrants). Pada saat pnulsan makalah n, Ababl hana dapat mnghtung prsamaan (11) dngan mnggunakan bban pada nodal. Hal n mngakbatkan prhtungan brat struktur tdak dapat dwakl scara trdstrbus. Untuk mngatas hal trsbut, brat struktur dapat dtransfr scara mrata pada masng-masng nodal pnusun lmn. Namun dmkan, modfkas subroutn n dalam rangka mmfasltas bban trdstrbus sangat mmungknkan. Smntara tu, tumpuan ang dgunakan ddfnskan brharga 0 (nol) jka prgrakan pada arah trtntu dbatas, dan sbalkna 1 (satu) jka dbbaskan (unconstrant). Sbaga contoh, untuk tumpuan putar (pnnd) pada sbuah nodal, msalkan nodal 1, dalam 3-dmns ddfnskan olh vktor d 1 1 1 0 0 0 dan tumpuan jpt tumpuan 1 (fd) olh vktor 1 1 1 1 1 1 D. Antar-Muka Dngan Gmsh d. 1 Gmsh mnggunakan fl brkstns.msh sbaga mda pnmpanan hasl msh brupa nodal (nods) dan lmn (lmnt). Namun dmkan, fl n skalgus dapat pula mnmpan data gomtr brupa ttk (ponts), gars (lns), bdang (surfacs), dan s (volums). Jns data dluar ang dsbutkan datas dapat dsspkan pada fl slama possna brada stlah data asl mlk Gmsh. Ababl mmlk antar-muka dngan Gmsh mlalu fl PrGMsh_1D.msh dan PostGMsh_1D.msh. Fl PrGMsh_1D.msh brtugas mnmpan data msh, paramtr matral, bban, dan tumpuan dar pngguna. Smntara tu, dsampng ttap mnmpan data hasl msh, PostGMsh_1D.msh juga mnmpan data hasl prhtungan solvr Ababl. CONOH HASIL PERHIUNGAN UNJUK KERJA PROGRAM ABABIL Unjuk krja program ababl dlakukan trhadap prangkat lunak komrsal MSC Nastran pada prhtungan anals struktur rangka-batang pada Gambar 3. Matral ang dgunakan adalah baja karbon dngan E = 00000 MPa dan = 0.3. Elmn batang mmlk pnampang prsg panjang brukuran 100mm150mm dngan mwakl orntas batang dngan momn nrsa tkuk trbsar atu I. (a) 11
Sugng Waluo Pngnalan Ababl : Program Fnt Elmnt Analss (FEA) 3 Dmns untuk Struktur Rangka Batang: 9-13 atau ss kr djpt dan tp atau ss kanan mnggunakan pn (lhat Gbr.3b). Hasl ang dprolh dapat dsajkan pada abl 1,, dan 3 sbaga bkut ABEL 1. PERBANDINGAN HARGA DEFLEKSI ARAH-X GLOBAL ANARA ABABIL DAN MSC.NASRAN Dflks arah Ababl MSC.Nastran Dvas Gambar 3. Hasl pross msh mnggunakan Gmsh (a) dgunakan sbaga nput solvr Ababl. Hasl prhtungan slanjutna dbandngkan dngan kasus ang sama pada MSC.Nastran (b) atu dngan konds batas tumpuan dan bban sprt trlhat pada gambar. (b) Untuk mndfnskan mtoda ang umum dgunakan adalah mncar vktor ang tgak lurus. Pada Ababl, pngguna tdak dharuskan mncar vktor ang tgak lurus, namun cukup dngan mndfnskan vktor ang brada pada bdang (Gbr.3). Mnggunakan r sbaga vktor proks pada arah sbaga brkut, vktor dapat dhtung r... (11) dngan r =. r = z Gambar 4. Pnntuan dar smbarang vktor ang ddfnskan olh pngguna Gambar 5 Bban ang dgunakan dltakan pada nodal bagan bawah (lhat Gbr.3b) dngan bban total sbsar 100 kn. Struktur dtumpu pada bagan bawah dngan tp -0.0161-0.01598 0.8 % -0.03-0.0951 1.7 % -0.097-0.095 1.5 % -0.018-0.01794 0.33 % ABEL. PERBANDINGAN HARGA DEFLEKSI ARAH-Y GLOBAL, SEARAH BEBAN, ANARA ABABIL DAN MSC.NASRAN Dflks arah Dvas Ababl MSC.Nastran -0.00168-0.000965 74 % 0.037 0.03499 6.5 % 0.0338 0.03645 7.3 % 0.00083 0.001445 80 % ABEL 3. PERBANDINGAN HARGA DEFLEKSI ARAH-Z GLOBAL ANARA ABABIL DAN MSC.NASRAN Dflks arah z Ababl MSC.Nastran Dvas 0.033 0.04 1 % 0.039 0.0417 1 % 0.037 0.0415 1 % 0.035 0.0413 1 % Prbandngan langsung mnunjukan prbdaan harga dflks ang bragam. Untuk dflks arah- prbdaan ang trjad rata-rata 1 %, arah- rataratana sktar 50 %, dan arah-z rlatf konstan pada 1 %. Prbandngan n hana dmaksudkan sbaga stud awal (fasblt stud) untuk mngukur kbrhaslan mplmntas solvr Ababl. Mskpun blum mmbrkan hasl ang sangat akurat, dukur trhadap MSC.Nastran, namun Ababl mampu mmbrkan solus ang masuk akal. Salah satu ndkatorna adalah tdak adana prbdaan arah dflks, ang mana dtanda dngan dflks ngatf (-) dan postf (+). Prbdaan harga dflks utamana dsbabkan olh pnggunaan fungs prpndahan tambahan (bubbl functon) pada MSC.Nastran, slan fungs pada prsamaan (). Hal trsbut dapat ddtks dar dstrbus momn ang lnar pada MSC.Nastran. Prlu dktahu bahwa mnggunakan fungs prpndahan lnar pada () akan mnghaslkan dstrbus momn tkuk (bndng momnt) ang konstan spanjang lmn batang karna scara 1
Dnamka Rkaasa Vol. 7 No. 1 Fbruar 011 umum M EI, dngan d d. Hal n tntuna tdak ralsts mngngat momn adalah fungs lnar dar jarak trhadap ttk krja gaa. Modfkas Ababl mnggunakan fungs prpndahan tambahan dapat dlakukan pada prsamaan () dngan mnambahkan N N ( ) 3 3. Pndkatan n dknal sbaga supr paramtrk dan akan mnjad prhatan utama dalam pngmbangan Ababl kdpan. KESIMPULAN Ababl adalah solvr FEM ang dtuls dalam Fortran 90 dmana kodna brsfat sumbr trbuka (opn sourc) dan tdak dsusun dalam bntuk program troptmas. Brdasarkan contoh prbandngan dngan MSC.Nastran, or moshnko bam dapat dmplmntaskan dngan bak pada solvr FEM Ababl. Namun dmkan, prbdaan ang ada, akn mcapa 50 % untuk dflks arah-, mmrlukan modfkas. Salah satu aspk modfkas ang akan dlakukan kdpan adalah mnambahkan fungs prpndahan kuadratk sbag fungs ntrnal (bubbl functon). DAFAR PUSAKA Guzan, C., Rmacl, JF. (009). Gmsh: a thr dmnsonal fnt lmnt gnrator wth bult-n pr- and postprocssng faclts. Intrnatonal Journal for Numrcal Mthods n Engnrng, 0:1-4. Krszg, E. (1993). Advanc Engnrng Mathmatcs,. John Wl & Sons, Inc. Sngapor, 7th Edton. MSC. Softwar Corporaton Inc. (1999). MSC. Nastran Documntaton. MSC. Nastran for Wndows 4.5. Prss, W. H., ukolsk, S. A., Vttrlng, W.., and Flannr, B. P. (1986). Numrcal Rcps n Fortran 77: h Art of Scntfc Computng. Cambrdg Unvrst Prss, nd Edton moshnko, S. P. (191). On th corrcton factor for shar of th dffrntal quaton for transvrs vbratons of bars of unform cross-scton, Phlosophcal Magazn, p. 744 Znkwcz, O. C., alor, R. L. (000). h Fnt Elmnt Mthod: h Bass, vol. 1. Buttrworth-Hnmann, Oford, 5th Edton. 13