Aplikasi Aljabar Lanjar pada Metode Numerik IF223 Aljabar Geometri Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Informatika, STEI-ITB Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri
Apa itu Metode Numerik? Numerik: berhubungan dengan angka Metode: cara yang sistematis untuk menyelesaikan persoalan guna mencapai tujuan yang ditentukan Metode numerik: cara sistematis untuk menyelesaikan persoalan matematika dengan operasi angka (+, -, *, /) Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 2
Cara penyelesaian persoalan matematika ada dua:. Secara analitik solusinya eksak (tepat) 2. Secara numeric solusinya hampiran (aproksimasi) Secara analitik: menggunakan rumus dan teorema yang sudah baku di dalam matematika metode analitik Secara numerik: menggunakan pendekatan aproksimasi untuk mencari solusi hanya dengan operasi aritmetika biasa metode numerik. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 3
Contoh: Menghitung integral Metode analitik: 2 ) ( 4 x dx Rumus: ax n dx ax n n C (4 x 2 [4() ) dx 3 [4x x 3 3 ()] [4( ) ] x x 3 ( )] 22 / 3 7.33 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 4
Metode numerik Nilai integral = luas daerah di bawah kurva y Rumus luas trapesium = (jumlah sisi sejajar x tinggi )/2 p q r s y = 4 - x 2-2 -/2 0 /2 2 x 2 ) (4 dx p + q + r + s x {[f(-) + f(-/2)] 0.5/2} + {[f(-/2) + f(0)] 0.5/2} + {[f(0) + f(/2)] 0.5/2} + {[f(/2) + f()] 0.5/2} 0.5/2 {f(-) + 2f(-/2) + 2f(0) + 2f(/2) + f()} 0.5/2 {3 + 7.5 + 8 + 7.5 + 3} 7.25 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 5
Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) Hampiran terhadap solusi eksak Oleh karena itu, solusi numerik mengandung galat. Galat (): perbedaan antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Definisi: a aˆ Salah satu sumber galat adalah galat pembulatan (rounding error). Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 6
Galat pembulatan: galat yang timbul akibat keterbatasan komputer dalam merepresentasikan bilangan riil. Contoh 6: /6 = 0.666666666, dalam mesin dengan 6-digit direpresentasikan sebagai 0.66667. Galat pembulatan = /6 0.66667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya /0 = 0.000000000000000 2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 7
Representasi bilangan riil di dalam komputer:. Bilangan titik-tetap (fixed-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap Contoh: 62.358, 0.03,.000. 2. Bilangan titik-kambang (floating-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap Contoh: 0.6238 0 3, 0.74 0-3 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 8
Bilangan Titik-Kambang Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang Bilangan titik-kambang a ditulis sebagai a = m B p = 0.d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6...d n B p m = mantisa (riil), d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6...d n adalah digit mantisa. B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 0, 6, dsb) p = pangkat (berupa bilangan bulat), dari P min sampai +P maks Contoh: 245.7654 0.2457654 0 3 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 9
Pembulatan pada Bilangan Titik-Kambang Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas. Bilangan titik-kambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai-nilai di dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan ke salah satu nilai di dalam rentang. Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat pembulatan. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 0
Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) Misalkan a = 0.d d 2 d 3... d n d n+... 0 p fl round (a) = 0. dd 2d3... ˆ 0 p d n dˆn d n d n d n d n, jika d, jika d, jika d, jika d n n n n 5 5 5 dan 5 dan n genap n ganjil Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri
Contoh: a = 0.568278575287 0-4 : di dalam komputer dengan mantissa 7 digit dibulatkan menjadi fl round (a) = 0.5682786 0-4 di dalam komputer dengan mantissa 8 digit dibulatkan menjadi fl round (a) = 0.56827857 0-4 di dalam komputer dengan mantissa 6 digit dibulatkan menjadi fl round (a) = 0.568278 0-4 di dalam komputer dengan mantissa 9 digit dibulatkan menjadi fl round (a) = 0.568278572 0-4 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 2
Dua persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numerik berdasarkan teori di dalam aljabar lanjar:. Solusi sistem persamaan lanjar 2. Interpolasi polinom Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 3
Sistem Persamaan Lanjar (SPL) Persoalan: Carilah solusi X yang memenuhi sistem persamaan lanjar AX = B, yang dalam hal ini, A = [a ij ] adalah matriks berukuran n n X = [x j ] adalah matriks berukuran n B = [b j ] adalah matriks berukuran n (vektor kolom) a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 : : : : a n x + a n2 x 2 +... + a nn x n = b n a a a an 2 3 a a a a 2 22 32 n2 a a a a 3 23 33 n3............ a a a a n 2n 3n nn x x x x 2 3 n b b b b 2 3 n Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 4
Pemecahan SPL secara numerik Aspabila SPL diselesaikan dengan computer, maka akan timbul galat pembulatan pada solusinya karena operasi aritmerika bilangan titik-kambang. Untuk memperoleh solusi SPl yang mengandung galat yang minimal akibat pembulatan, maka digunakan tatancang pemorosan (pivoting strategy). (pivot = poros, pivoting = pemorosan) Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 5
Tatancang pemorosan: Pilih pivot dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar, a k, p = max{ a p,p, a p+,p,, a n-,p, a n,p } lalu pertukarkan baris ke-k dengan baris ke-p. x x x x x 0 x x x x 0 x x x x 0 x x x x Cari x terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 6
Contoh: Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss yang menerapkan tatancang pemorosan: 0.00044x + 0.0003x 2-0.000x 3 = 0.00046 Penyelesaian: 4x + x 2 + x 3 =.5 3x - 9.2x 2-0.5x 3 = -8.2 0.00044 4 3 0.0003 9.2 0.000 0.5 0.00046.5 R 8.2 4 R2 0.00044 3 0.0003 9.2 0.000 0.5.5 0.00046 8.2 R/ 4 0.00044 3 0.25 0.0003 9.2 0.25 0.000 0.5 0.375 R2 0.00044R 0.00046 0 R3 3R 8.2 0 0.25 0.00090 9.95 0.25 0.0002.25 0.375 0.000295 9.32 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 7
Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 8 0.5 0 0 0.937 0.26 0 0.375 0.25 0.25 0.000234) 3/( 0.0007 0.000234 0 0 0.937 0.26 0 0.375 0.25 0.25 2 0.00090 3 0.000295 0.0002 0.00090 0 0.937 0.26 0 0.375 0.25 0.25 9.95) 2 /( 0.000295 0.0002 0.00090 0 9.32.25 9.95 0 0.375 0.25 0.25 3 2 R R R R R R
Diperoleh sistem persamaan: x + 0.25x 2 + 0.25x 3 = 0.375 x 2 + 0.26x 3 = 0.937 x 3 = -0.5 Selesaikan dengan teknik sulih mundur, diperoleh: x = 0.250; x 2 =.00; x 3 = -0.500 Jika SPL di atas diselesaikan tanpa tatancang pemorosan, maka solusinya: x = 0.245; x 2 =.0; x 3 = -0.492 Bandingkan dengan solusi eksaknya adalah: x = ¼; x 2 = ; x 3 = -/2 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 9
Interpolasi Persoalan: Diberikan n buah titik berbeda, (x 0, y 0 ), (x, y ),..., (x n, y n ). Tentukan polinom p n (x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga y i p n (x i ) untuk i 0,, 2,, n Setelah polinom interpolasi p n (x) ditemukan, p n (x) dapat digunakan untuk menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = p n (a). y y = p n (x) x Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 20
Contoh persoalan interpolasi: Sebuah pengukuran fisika telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah. Delapan nilai tegangan yang berbeda dicobakan, dan data yang dihasilkan adalah [CHA9]: Tegangan yang diterapkan, x, kg/mm 2 5 0 5 20 25 30 35 40 Waktu patah, y, jam 40 30 25 40 8 20 22 5 Persoalan: Berapa waktu patah y jika tegangan x yang diberikan kepada baja adalah 2 kg/mm 2. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 2
Interpolasi Polinom interpolasi derajat n yang menginterplolasi titik-titik (x 0, y 0 ), (x, y ),..., (x n, y n ) adalah p n (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + + a n x n Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 22
. Interpolasi Lanjar Interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x 0, y 0 ) dan (x, y ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah p (x) = a 0 + a x y (x, y ) y 0 = a 0 + a x 0 y = a 0 + a x (x 0, y 0 ) Pecahkan SPL ini dengan metode eliminasi Gauss untuk memperoleh nilai a 0 dan a x Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 23
2. Interpolasi Kuadratik Misal diberikan tiga buah titik data, (x 0, y 0 ), (x, y ), dan (x 2, y 2 ). Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk: p 2 (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentuk parabola y (x, y ) (x 2, y 2 ) (x 0, y 0 ) x Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 24
Polinom p 2 (x) ditentukan dengan cara berikut: ) Sulihkan (x i, y i ) ke dalam persamaan p 2 (x), i = 0,, 2. Dari sini diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui, yaitu a 0, a, dan a 2 : a 0 + a x 0 + a 2 x 02 = y 0 a 0 + a x + a 2 x 2 = y a 0 + a x 2 + a 2 x 22 = y 2 2) hitung a 0, a, a 2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 25
Contoh: Diberikan titik (8.0, 2.0794), (9.0, 2.972), dan (9.5, 2.253). Tentukan polinom interpolasi kuadratik dan estimasi nilai fungsi di x = 9.2. Penyelesaian: Sisten persamaan lanjar yang terbentuk adalah a 0 + 8.0a + 64.00a 2 = 2.0794 a 0 + 9.0a + 8.00a 2 = 2.972 a 0 + 9.5a + 90.25a 2 = 2.253 Penyelesaian sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a 0 = 0.6762, a = 0.2266, dan a 3 = -0.0064. Polinom kuadratnya adalah p 2 (x) = 0.6762 + 0.2266x - 0.0064x 2 sehingga p 2 (9.2) = 2.292 Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 26
3. Interpolasi Kubik Misal diberikan empat buah titik data, (x 0, y 0 ), (x, y ), (x 2, y 2 ), dan (x 3, y 3 ). Polinom yang menginterpolasi keempat buah titik itu adalah polinom kubik yang berbentuk: p 3 (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 y (x, y ) (x 3, y 3 ) (x 2, y 2 ) (x 0, y 0 ) x Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 27
Polinom p 3 (x) ditentukan dengan cara berikut: ) sulihkan (x i,y i ) ke dalam persamaan (P.5.9), i = 0,, 2, 3. Dari sini diperoleh empat buah persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui, yaitu a 0, a, a 2, dan a 3 : a 0 + a x 0 + a 2 x 02 + a 3 x 03 = y 0 a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = y a 0 + a x 2 + a 2 x 22 + a 3 x 23 = y 2 a 0 + a x 3 + a 2 x 32 + a 3 x 33 = y 3 2) hitung a 0, a, a 2, dan a 3 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 28
Dengan cara yang sama kita dapat membuat polinom interpolasi berderajat n untuk n yang lebih tinggi: p n (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + + a n x n asalkan tersedia (n+) buah titik data. Dengan menyulihkan (x i, y i ) ke dalam persmaan polinom di atas y = p n (x) untuk i = 0,, 2,, n, akan diperoleh n buah sistem persamaan lanjar dalam a 0, a, a 2,, a n, a 0 + a x 0 + a 2 x 02 +... + a n x 03 = y 0 a 0 + a x + a 2 x 2 +... + a n x 3 = y a 0 + a x 2 + a 2 x 22 +... + a n x 23 = y 2...... a 0 + a x n + a 2 x n2 +... + a n x n3 = y n Solusi sistem persamaan lanjar ini diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi Gauss yang sudah anda pelajari. Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri 29