PEANGKAT PEMBELAJAAN MATA KULIAH KODE : KALKULUS LANJUT : MKK415515 DOSEN PENGAMPU : ISNA FAAHSANTI, M.Pd. POGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGUUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVESITAS VETEAN BANGUN NUSANTAA SUKOHAJO
KONTAK PEMBELAJAAN PENILAIAN HASIL BELAJA MATEMATIKA MKK415515 Semester IV / 3 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : Isna Farahsanti, M.Pd. Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
I. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah Kode Matakuliah SKS Semester Prodi Dosen : Kalkulus Lanjut : MKK415515 : 3 SKS : IV : Pendidikan Matematika : Isna Farahsanti, M.Pd. II. Manfaat Matakuliah Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi. Menggambar grafik dari fungsi 3. Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi 4. Menentukan kekontinuan fungsi 5. Menjelaskan pengertian turunan parsial 6. Menyelesaikan soal-soal turunan parsial 7. Menjelaskan pengertian diferensial total 8. Menyelesaikan soal-soal turunan total 9. Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 10. Menjelaskan konsep integral fungsi 11. Menyelesaikan integral rangkap dua 1. Menyelesaikan integral rangkap tiga III. Deskripsi Matakuliah Mata kuliah ini sebagai bentuk pengembangan atau kelanjutan dari mata kuliah Kalkulus-1 dan Kalkulus-. Topik utama dalam jabaran tatap muka: (1) Turunan Fungsi lebih dari Satu Variabel: sistem koordinat kartesius, silinder dan bola () fungsi-fungsi lebih dari satu variabel, turunan parsial, makna geometri turunan parsial, (3) diferensial total dan diferensial fungsi komposisi, (4) diferensial deajad tinggi. (5) Eksremum Fungsi Lebih dari Satu Variabel, tinjauan secara geometri, eksrem bersyarat, pengali Lagrange. (6) Integral ganda: integral lipat dua, pengertian, notasi, (7) integral lipat tiga, (8) Penggunaan integral lipat dua: menghitung luas bidang datar, volume benda
IV. Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi Dasar 1. Memahami konsep fungsi. Memahami konsep limit dan kekontinuan untuk fungsi. 3. Memahami konsep diferensial fungsi peubah banyak dan menerapknnya dalam pemecahan masalah. 4. Memahami konsep integral fungsi peubah banyak dan menerapkanya dalam pemecahan masalah Indikator 1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi. 1. Menggambar grafik dari fungsi.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi. Menentukan kekontinuan fungsi. 3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial. 3. Menyelesaikan soal-soal turunan parsial. 3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total. 3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total 3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 3.6 Menyelesaikan soal-soal dengan metode Lagrange 4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak. 4. Menyelesaikan integral rangkap dua. 4.3 Menyelesaikan integral rangkap tiga V. Organisasi Materi KD 1 KD KD 3 KD 4 VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, tanya jawab, diskusi, juga pemberian tugas). VII. Sumber Belajar 1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid. Jakarta: Erlangga.. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu. 3. Handout
VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran JENIS TES BOBOT a. Presensi dan keaktifan : 40% b. Tugas terstruktur & Kuis : 30% c. UTS : 30% d. UAS : 40% IX. Jadwal Pembelajaran Pertemuan Ke- 1 Fungsi dua peubah atau lebih P E M B E L A J A A N Domain fungsi dua peubah atau lebih 3 Limit fungsi 4 Turunan parsial 5 Turunan parsial tingkat tinggi 6 Aturan rantai/ deferensial total 7 Quiz 1 Materi : pertemuan 1-6 8 Ujian Tengah Semester Nilai maksimum dan minimum untuk fungsi peubah 9 banyak 10 Metode Lagrange 11 Metode Lagrange 1 Integral rangkap dua 13 Integral rangkap tiga 14 Quiz Materi : KD 4 15 EVIEW: Persiapan Ujian Semester 16 Ujian Akhir Semester
SILABUS MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : MKK415515 Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Bobot : 3 SKS Semester : IV Mata Kuliah Prasyarat : Kalkulus I dan Kalkulus II Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah ini sebagai bentuk pengembangan atau kelanjutan dari mata kuliah Kalkulus-1 dan Kalkulus-. Topik utama dalam jabaran tatap muka: (1) Turunan Fungsi lebih dari Satu Variabel: sistem koordinat kartesius, silinder dan bola () fungsi-fungsi lebih dari satu variabel, turunan parsial, makna geometri turunan parsial, (3) diferensial total dan diferensial fungsi komposisi, (4) diferensial deajad tinggi. (5) Eksremum Fungsi Lebih dari Satu Variabel, tinjauan secara geometri, eksrem bersyarat, pengali Lagrange. (6) Integral ganda: integral lipat dua, pengertian, notasi, (7) integral lipat tiga, (8) Penggunaan integral lipat dua: menghitung luas bidang datar, volume benda Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap Kompetensi Dasar 1. Memahami konsep fungsi peubah banyak Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok 1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi peubah banyak 1. Menggambar grafik dari fungsi Tatap muka Memberikan deskripsi tentang fungsi dua peubah atau lebih Memberi contoh fungsi peubah banyak Menjelaskan tentang domain fungsi Menjelaskan cara menggambar grafik dari fungsi peubah banyak Kegiatan terstruktur Konsep fungsi Grafik fungsi Alokasi Waktu (menit) Sumber/ Bahan/ Alat 6 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah kalkulus lanjut Handout Alat : Whiteboard Spidol Laptop LCD Penilaian/ Evaluasi Partisipasi dalam diskusi Postest
. Memahami konsep limit dan kekontinuan untuk fungsi peubah banyak 3. Memahami konsep diferensial fungsi peubah banyak dan menerapknn ya dalam pemecahan masalah.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi. Menentukan kekontinuan fungsi 3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial 3. Menyelesaikan soal-soal turunan parsial 3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total 3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total 3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi peubah banyak 3.6 Menyelesaikan Mendiskusikan domain dan nilai dari fungsi serta gambar grafiknya Tatap muka Menjelaskan tentang konsep limit untuk fungsi peubah banyak Menjelaskan tentang konsep kekontinuan untuk fungsi Kegiatan terstruktur Mendiskusikan soal-soal limit untuk fungsi dan menentukan kekontinuan fungsi Tatap muka Menjelaskan pengertian turunan parsial Menjelaskan pengertian diferensial total Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi Menjelaskan tentang metode lagrange Kegiatan terstruktur Mendiskusikan soal-soal turunan parsial Mendiskusikan soal-soal deferensial total Mendiskusikan soal-soal maksimum minimum fungsi Limit Kekontinuan Turunan parsial Aturan rantai Maksimum dan minimum Metode lagrange 3 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah kalkulus lanjut Handout Alat : Whiteboard Spidol Laptop LCD 1 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah kalkulus lanjut Handout Alat : Whiteboard Spidol Laptop LCD Partisipasi dalam diskusi Bentuk evaluasi : Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar diskusi kelompok
soal-soal dengan metode Lagrange Mendiskusikan soal-soal metode lagange Post test 4. Memahami konsep integral fungsi peubah banyak dan menerapkan ya dalam pemecahan masalah 4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi peubah banyak 4. Menyelesaikan integral rangkap dua 4.3 Menyelesaikan integral rangkap tiga Tatap muka Menjelaskan konsep integral fungsi Kegiatan terstruktur Mendiskusikan soal-soal integral rangkap dua dan tiga Quiz Integral rangkap 9 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah kalkulus lanjut Handout Alat : Whiteboard Spidol Laptop LCD Bentuk evaluasi : Quiz Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar diskusi kelompok
ENCANA MUTU PEKULIAHAN (MP) Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Kode Mata Kuliah : MKK415515 Bobot : 3 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 1 dan Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap Kompetensi Dasar : 1. Memahami konsep fungsi Indikator : 1.1 Membedakan konsep fungsi satu peubah dangan fungsi 1. Menggambar grafik dari fungsi A. MATEI Fungsi Dua Peubah atau Lebih Definisi fungsi dua peubah: Fungsi dua peubah artinya suatu fungsi f yang memadankan setiap pasangan (x, dari himpunan D (Domain) ke suatu bilangan real, dinotasikan dengan: f : D ( x, f ( x, z x dan y merupakan peubah bebas, sedangkan z merupakan peubah tak bebas. Daerah asal/domain dari fungsi f, dinotasikan dengan D f, yaitu kumpulan semua pasangan (x, sedemikian hingga f (x, terdefinisi atau punya nilai. Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, kita ambil D berupa daerah asal mulanya (natural domain), yakni himpunan semua titik ( x, pada bidang di mana aturan fungsi berlaku dan mengasilkan suatu bilangan riil. Untuk mencari domain fungsi dua peubah dilakukan dengan cara mencari nilai x dan y yang memenuhi f ( x, untuk x dan y yang terletak di dalam domainnya. D f x, y f x, y Daerah hasil/range dari fungsi f, dinotasikan dengan f. z z f ( x,,( x, f D f Sketsa Gambar Fungsi Dua Peubah
Grafik fungsi merupakan hasil pengkaitan antara himpunan pasangan terurut (x, dengan z. x 1, y 1 dikaitkan dengan z 1 x, y dikaitkan dengan z.. x, y n n dikaitkan dengan z n Apabila titik-titik z,..., 1, z zn dihubungkan maka akan membentuk suatu grafik atau permukaan atau bidang. Secara umum gambar grafik atau permukaan atau z f x, y tersebut sebagai berikut. bidang B. METODE PEMBELAJAAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction), diskusi, dan pembelajaran kooperatif tipe two stay two stray (TSTS)
C. LANGKAH PEMBELAJAAN Pertemuan ke-1 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi a. Mengingat kembali tentang fungsi satu peubah. b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.. Kegiatan Inti Pembelajaran (15 menit) Eksplorasi (10 menit) Memberikan permasalahan fungsi kemudian meminta mahasiswa untuk bersama-sama menyelesaikannya. Elaborasi (100 menit) a. Mahasiswa dibagi dalam beberapa kelompok secara heterogen. b. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok dan meminta mahasiswa menyelesaikan permasalahan yang diberikan. c. Setiap kelompok mengirimkan perwakilan anggotanya untuk berpindah ke kelompok lain untuk memperoleh penjelasan mengenai persoalan yang ada dalam kelompok lain tersebut. d. Mahasiswa yang berpindah kembali ke kelompok asalnya kemudian memberikan penjelasan ke anggota yang lain dalam kelompoknya tentang hasil diskusi yang diperoleh dari kelompok lain. e. Dosen memanggil salah satu kelompok untuk menjelaskan hasil diskusinya di depan kelas dan mahasiswa lain diberi kesempatan berpendapat atau bertanya. Eksplanasi (15 menit) Dosen mengoreksi setiap jawaban hasil diskusi yang dipresentasikan oleh mahasiswa. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (5 menit) b. Dosen memberikan tugas kepada mahasiswa. (5 menit) Pertemuan ke- 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi a. Mengingat kembali tentang fungsi. b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah. (5 menit)
. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi (30 menit) Menjelaskan materi dan contoh persoalan tentang domain fungsi dan menjelaskan cara menggambar grafik fungsi. Elaborasi (90 menit) a. Memberikan persoalan mengenai domain fungsi dan menggambar grafik fungsi. b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. Eksplanasi (10 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas persoalan yang telah didiskusikan 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran Dosen memberikan postest kepada mahasiswa untuk dikerjakan secara individual (15 menit) D. MEDIA PEMBELAJAAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBE BELAJA 4. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid. Jakarta: Erlangga. 5. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu. 6. Handout F. PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Soal Instrumen : Diketahui f x, y x 5 x y, tentukanlah domain dari fungsi tersebut dan carilah nilai dari, 5 f!
ENCANA MUTU PEKULIAHAN (MP) Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Kode Mata Kuliah : MKK415515 Bobot : 3 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 3 Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap Kompetensi Dasar :. Memahami konsep limit dan kekontinuan untuk fungsi Indikator :.1 Menyelesaikan soal-soal limit untuk fungsi. Menentukan kekontinuan fungsi A. MATEI Limit fungsi. B. METODE PEMBELAJAAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi. C. LANGKAH PEMBELAJAAN Pertemuan ke-3 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi a. Mengingat kembali tentang aturan limit fungsi satu peubah. b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.. Kegiatan Inti Pembelajaran (15 menit) Eksplorasi (40 menit) Menjelaskan materi dan contoh persoalan tentang limit fungsi. Elaborasi a. Memberikan persoalan mengenai limit fungsi b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan secara individu. (55 menit)
Eksplanasi (30 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas persoalan yang telah diberikan. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (5 menit) b. Dosen memberikan tugas kepada mahasiswa. (5 menit) D. MEDIA PEMBELAJAAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBE BELAJA 1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid. Jakarta: Erlangga.. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu. 3. Handout F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
ENCANA MUTU PEKULIAHAN (MP) Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Kode Mata Kuliah : MKK415515 Bobot : 3 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 4, 5, 6, 9, 10, 11 Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap Kompetensi Dasar : 3. Memahami konsep diferensial fungsi dan menerapknnya dalam pemecahan masalah. Indikator : 3.1 Menjelaskan pengertian turunan parsial. 3. Menyelesaikan soal-soal turunan parsial. 3.3 Menjelaskan pengertian diferensial total. 3.4 Menyelesaikan soal-soal turunan total 3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 3.6 Menyelesaikan soal-soal dengan metode Lagrange A. MATEI TUUNAN PASIAL Definisi turunan parsial Misalkan f fungsi dengan dua peubah x dan y. Turunan parsial dari f terhadap x merupakan suatu fungsi, ditulis dengan simbol f, yang pada (x, di daerah definisi f didefinisikan oleh: x x, y f x, y f D1 f x, y lim...(1) x0 x apabila limit di ruas kanan ada nilainya. Turunan parsial dari f terhadap y merupakan suatu fungsi, ditulis dengan simbol D f x, y, yang pada (x, di daerah definisi f didefinisikan oleh: x, y y f x, y f D f x, y lim...() y0 y apabila limit di ruas kanan ada nilainya. D 1
Proses mendapatkan turunan parsial disebut penurunan parsial. D satu f, merupakan lambang fungsi turunan parsial. D f x, y D 1 f dibaca 1 dibaca D satu f di x dan y merupakan nilai fungsi turunan parsial di (x,. Lambang lain untuk menyatakan D 1 f x, y adalah: f 1 x, y, x y f x, y x Lambang lain untuk menyatakan D f x, y adalah: f x, y, x y f x, y y f x,, dan f y,, dan Untuk membedakan fungsi dengan banyak peubah dengan satu peubah, turunan fungsi dengan satu peubah kita sebut dengan turunan biasa (ordinary derivatives). Dengan melihat definisi di atas, tampak bahwa D 1 f x, y sama dengan turunan biasa dari f apabila f dipandang sebagai fungsi dengan satu peubah x (y dianggap tetap), dan D f x, y sama dengan turunan biasa dari f apabila f dipandang sebagaiu fungsi dengan satu peubah y (x dianggap tetap). Dalam perhitungan turunan parsial fungsi f x, yterhadap x maupun y dapat dilakukan dengan menggunakan rumus turunan fungsi satu peubah. z f x, y, maka cara penulisan lain untuk turunan parsial terhadap x, Jika y, di titik x, y 0 0 adalah sebagai berikut. z x, y D D 1 f x, y f x, y D f x x, y f x x z x, y x, y y y y x, y f x y D f x, y f x y 1 f 0 0 x 0, 0 z x Turunan Parsial Tingkat Tinggi x0, y0 0 0 y 0, 0 z y Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f. Keempat turunan parsial tersebut adalah sebagai berikut. f f f f f xx x, y f yy x, y x x x y y y f f f f f xy x, y f yx x, y y x yx x y xy x0, y0
Aturan antai Versi Pertama: Andaikan x x t dan yt f x y dapat dideferensialkan di x t, yt, maka z f xt, yt z, dideferensialkan di t, maka: Versi Kedua x x s, t y dapat dideferensialkan di t dan andaikan dz dt z x dx dt z y dy dt dapat Misalkan dan y ys, t mempunyai turunan pertama di t misalkan z f x, y dapat dideferensialkan di x s t, ys, t z f xs, t, ys, t (i) (ii) s, dan,. Maka mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh: z z x z y ; s x s y s z z x z y. t x t y t Metode Lagrange Untuk memaksimumkan atau meminimumkan x y g x, y 0, selesaikan persamaan: f x, y gx, y dan g x, y 0 x dan. Tiap titik f, terhadap kendala untuk, y 0 0 x, y 0 0 yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan yang berpadanan disebut pengali Lagrange. B. METODE PEMBELAJAAN Pembelajaran kooperatif tipe think pair share (TPS), pembelajaran kooperatif tipe Student Team Achievement Divison (STAD), pembelajaran kooperatif tipe Numbered Heads Together (NHT) dimodifikasi dengan pendekatan Quantum Learning, Pebelajaran langsung (ceramah). C. LANGKAH PEMBELAJAAN Pertemuan ke-4 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi (10 menit) a. Mengulang kembali materi tentang definisi turunan fungsi satu peubah. b. Mengingat kembali tentang aturan/ rumus langsung turunan fungsi satu peubah c. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.
. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi (30 menit) Memberikan wawasan tentang definisi turunan untuk dua peubah dan tentang rumus langsung turunan fungsi dua peubah. Elaborasi (55 menit) a. Mahasiswa dibagi dalam beberapa kelompok secara heterogen dan setiap kelompok dibagi menjadi dua tim untuk menyelesaikan dua permasalahan yang berbeda. b. Setiap tim menyelesaikan permasalahan yang disajikan dalam LKM c. Setiap tim bergabung dengan kelompok awal untuk berbagi atau saling menjelaskan hasil diskusinya. d. Dosen memanggil mahasiswa secara acak untuk menjelaskan hasil diskusi di depan kelas. Eksplanasi (30 menit) a. Dosen bersama mahasiswa bersama-sama mengkoreksi hasil presentasi. b. Dosen memberikan contoh permasalahan lain pada mahasiswa yang berkaitan dengan turunan parsial 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (10 menit) b. Dosen memberikan postet kepada mahasiswa. (15 menit) Pertemuan ke-5 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi (5 menit) a. Mengulang kembali materi tentang definisi turunan parsial pertama. b. Mengingat kembali tentang aturan/ rumus langsung turunan parsial pertama. c. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi (10 menit) Memberikan wawasan tentang rumus/ aturan turunan parsial kedua untuk fungsi dua peubah Elaborasi (100 menit) a. Mahasiswa dibagi dalam 4 kelompok secara heterogen. Setiap kelompok menentukan turunan kedua dari tiap fungsi yang diberikan. b. Tiap kelompok mempresentasikan hasil diskusi secara bergantian. c. Mahasiswa dari kelompok lain, diberikan kesempatan untuk bertanya dan memberikan koreksi jika ada kesalahan.
Eksplanasi Dosen bersama mahasiswa bersama-sama menyimpulkan hasil diskusi. (5 menit) 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran a. Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. (10 menit) b. Dosen memberikan postet secara individu kepada mahasiswa. (0 menit) Pertemuan ke-6 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi (5 menit) a. Memutarkan musik berirama riang ketika mahasiswa memasuki ruang kuliah. b. Masing-masing mahasiswa diberi nomor dada yang telah ditentukan pada pertemuan sebelumnya.. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi (30 menit) Memberikan wawasan tentang teorema aturan rantai untuk fungsi dua peubah atau lebih. Elaborasi (80 menit) a. Mahasiswa dibagi dalam 8 kelompok secara heterogen. Setiap kelompok menyelesaikan soal dari LKM yang diberikan. b. Selama diskusi, diputarkan musik instrumental dengan volume kecil. c. Setelah diskusi selesai, musik dimatikan. d. Dosen memanggil nomor yang berbeda untuk mempresentasikan hasil diskusi. Mahasiswa lain yang tidak presentasi, diberikan kesempatan untuk bertanya dan memberikan koreksi jika ada kesalahan.. Eksplanasi Dosen bersama mahasiswa bersama-sama menyimpulkan hasil diskusi. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran Dosen memberikan postet secara individu kepada mahasiswa. Pertemuan ke-9 1. Kegiatan Awal Pembelajaran (15 menit) (0 menit) Apersepsi dan Motivasi (15 menit) a. Mengingat kembali tentang nilai maksimum dan minimum fungsi satu peubah. b. Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi (30 menit)
Memberikan wawasan tentang nilai maksimum dan minimum fungsi dua peubah. Elaborasi (80 menit) a. Memberikan persoalan mengenai nilai maksimum dan minimum fungsi dua peubah. b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan. Eksplanasi (15 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama mengkoreksi jawaban dari persoalan yang diberikan. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. Pertemuan ke-10 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi Menjelaskan tujuan dan pentingnya mata kuliah.. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi Memberikan wawasan tentang turunan berarah dan metode lagrange. Elaborasi a. Memberikan persoalan mengenai metode lagrange. b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan. (10 menit) (5 menit) (30 menit) (80 menit) Konfirmasi (30 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan yang diberikan. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. Pertemuan ke-11 1. Kegiatan Awal Pembelajaran (5 menit) Apersepsi dan Motivasi Mengingat kembali tentang metode lagrange. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi Memberikan wawasan tentang metode lagrange. (10 menit) (30 menit)
Elaborasi a. Memberikan persoalan mengenai metode lagrange. b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan. (75 menit) Eksplanasi (30 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan yang diberikan. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. D. MEDIA PEMBELAJAAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBE BELAJA 1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid. Jakarta: Erlangga.. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu. 3. Handout (5 menit) F. PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Soal Instrumen : Pertemuan ke-4 Carilah turunan parsial pertama dari fungsi f x, y peubah bebasnya! Pertemuan ke-5 5 4 Carilah turunan parsial kedua dari fungsi x, y cosx y peubah bebasnya! Pertemuan ke-6 Jika t! z x y; x t s, y 1 st, tentukanlah x y terhadap tiap xy f terhadap tiap z dan s z t dalam bentuk s dan
ENCANA MUTU PEKULIAHAN (MP) Nama Dosen : Isna Farahsanti, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Kode Mata Kuliah : MKK415515 Bobot : 3 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 1 dan 13 Standar Kompetensi : Memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari satu variabel dan intregral rangkap Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep integral fungsi dan menerapkanya dalam pemecahan masalah. Indikator : 4.1 Menjelaskan konsep integral fungsi. 4. Menyelesaikan integral rangkap dua A. MATEI INTEGAL ANGKAP Definisi integral rangkap dua Misalkan f fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi n panjang tertutup. Jika lim f x k P 0 k 1 x diintegralkan di. Disamping itu, x y integral) dari f atas, yang dapat dinyatakan dengan: f n x, yda lim f x k, y p 0 k 1 k A k k ada, kita katakan bahwa f dapat f, da disebut integral lipat dua (double
Sifat-Sifat Integral Lipat Dua Integral lipat dua mewarisi banyak sifat dari integral tunggal. 1. Integral lipat dua bersifat linear, yaitu: a. ( x, da k kf f ( x, da b. [ ( x, g( x, ] da f ( x, da f g( x, da. Integral lipat dua bersifat aditif (penjumlahan) pada persegi panjang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis: f ( x, da f ( x, da 1 3. Sifat pembanding berlaku. Jika f x y gx, y f ( x, da, untuk seluruh (x, di, maka: f ( x, da g( x, da Perhitungan Pada Integral Lipat Dua Perhatikan bahwa jika f x, y 1 di maka integral lipat dua merupakan luas dari maka integral lipat dua merupakan luas dari dan dari sini diperoleh: k da k 1 da k A Sekarang kita akan menghadapi persoalan yang sesungguhnya dalam menghitung f x, yda dimana adalah persegi panjang x y Andaikan x 0, : a x b, c y d. f pada sehingga kita dapat menginterprestasikan integral lipat dua sebagai volume V dari benda padat di bawah permukaan seperti gambar di bawah ini, sehingga f x y V, da. a a b b
Terdapat cara lain untuk menghitung volume benda padat. Irislah benda padat tersebut menjadi lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz. Luas muka lempengan ini bergantung pada seberapa jaug lempengan tersebut dari bidang xz, yaitu bergantung y. Oleh karena itu, kita menyatakan luas ini dengan A(. Volume V dari lempengan tersebut dapat dipadankan dengan V Ayy dan dengan menggunakan teori yang terdahulu, maka kita dapat menuliskan dengan: V d c A y dy... (i) Di sisi lain, untuk y yang tetap kita dapat menghitung A( dengan menggunakan integral biasa, yaitu: b A, a y f x y Jadi, kita mempunyai benda padat dimana luas penampang melintangnya adalah A(. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa: d d b V Aydy f x, ydx dy...(ii) c c a Persamaan ini disebut dengan integral berulang (iterated integral). Ketika kita menyusun persamaan V dengan menggabungkan (i) dan (ii), maka kita akan memperoleh: f d dx x, yda f x, ydx dy c b a Apabila kita memulai proses di atas dengan mengiris benda padat tersebut dengan menggunakan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang yz, maka kita akan memperoleh sebuah integral berulang lainnya, dengan pengintegralan yang terjadi dalam urutan yang berlawanan, yaitu: f b x, yda f x, ydy dx a d c Sejak saat ini, kita akan selalu menghilangkan penggunaan tanda kurung di dalam integral berulang.
Integral angkap Tiga Konsep yang diwujudkan dalam integral tunggal, integral lipat dua dapat diperluas dengan cara yang alamiah menjadi integral lipat tiga atau bahkan integral lipat-n. Seperti dengan teori yang sebelumnya, maka kita dapat mendefinisikan integral lipat tiga (triple integral) sebagai sebuah integral berulang sebagai berikut: S f d b x, y, zdv f x, y z f, e c a dxdy dz Atau dalam bentuk batasan yang dilingkupi bukan oleh sebuah kotak, maka bentu integral berulang untuk integral lipat tiga adalah sebagai berikut: x x, y, zdv f x, y, z f S a x a1 1 x, y 1 x, y dxdy dz B. METODE PEMBELAJAAN Pembelajaran konvensional (ceramah dan tanya jawab). C. LANGKAH PEMBELAJAAN Pertemuan ke-1 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi Mengingat kembali tentang integral fungsi satu peubah. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi Memberikan wawasan tentang integral rangkap dua Elaborasi a. Memberikan persoalan mengenai integral rangkap dua b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan. (0 menit) (30 menit) (60 menit) Eksplanasi (30 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan yang diberikan. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran Dosen memberikan kesimpulan dan memberikan tugas. (10 menit)
Pertemuan ke-13 1. Kegiatan Awal Pembelajaran Apersepsi dan Motivasi Mengingat kembali tentang integral rangkap dua. Kegiatan Inti Pembelajaran Eksplorasi Memberikan wawasan tentang integral rangkap tiga Elaborasi a. Memberikan persoalan mengenai integral rangkap tiga. b. Mahasiswa mengerjakan persoalan yang diberikan. (5 menit) (0 menit) (70 menit) Eksplanasi (30 menit) Dosen bersama mahasiswa bersama-sama membahas jawaban dari persoalan yang diberikan. 3. Kegiatan Akhir Pembelajaran a. Dosen memberikan kesimpulan. (10 menit) b. Dosen memberikan postest kepada mahasiswa secara individu. (15 menit) D. MEDIA PEMBELAJAAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBE BELAJA 1. Purcell, Edwin J & Dale Vanberg. 010. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid. Jakarta: Erlangga.. Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo. 007. Kalkulus, Edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu. 3. Handout F. PENILAIAN 4. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 5. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 6. Soal Instrumen : Pertemuan ke-13 6 y Tentukan nilai dari: 0 4y 0 z dz dxdy