Lecture 4. Limit A A. Definition of Limit Definisi 4.1 (a). Jika f adalah suatu fungsi, maka kita mengatakan bahwa jika nilai f(x) mendekati L saat x dipilih mendekati a. Dengan kata lain, bilangan L merupakan it dari fungsi f(x) untuk x mendekati a. Definisi 4.1 (b). jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif ε yang dipilih, meskipun kecil, ada satu bilangan δ sedemikian rupa sehingga, ketika 0 < x a < δ maka f(x) L < ε Berikut adalah dalam tiga kasus. Pada kasus (a), f(x) terdefinisi pada x = a, dengan f(a) = L. Diperoleh Pada kasus (b), meskipun f(x) terdefinisi pada x = a, dengan f(a) L, namun kita tetap mengatakan Pada kasus (c), meskipun fungsi f(x) tidak terdefinisi pada x = a, yaitu f(a) tidak ada, tetapi kita tetap mengatakan Gambar 4.1. Contoh 1 (Pendekatan Matematis) (a) x = 9, karena x mendekati 9 saat x sedekat mungkin ke 3. (b) Tentukan nilai dari. Meskipun tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh
x 1 x 1 = x 1 (x 1)(x + 1) = = = 0,5 (Pencoretan sah karena x hanya mendekati 1, sehingga x 1 0). Pendekatan dari kiri Pendekatan dari kanan Gambar 4.2. = 0,5 (c) Tentukan nilai dari g(x), dengan g(x) =, jika x 1 2, jika x = 1. Karena x 1 artinya x hanya mendekati 1 (tidak mencapai x = 1), sehingga x 1. Dengan demikian diperoleh g(x) = = 0,5.
Gambar 4.3. g(x) = 0,5 Contoh 2 (Pendekatan Numerik) (a) Tentukan. Tabel berikut memberikan nilai pendekatan fungsi untuk beberapa nilai t yang cukup dekat dengan 0. Gambar 4.4. =. Perhatikan bahwa untuk t mendekati 0, maka nilai fungsi mendekati 0.1666666, sehingga diperoleh t + 9 3 t = 1 6
(b) Tentukan. Fungsi f(x) = tidak terdefinisi pada x = 0. Tabel berikut memberikan nilai pendekatan fungsi untuk beberapa nilai t yang cukup dekat dengan 0. Gambar 4.5. = 1. Berdasarkan tabel dan gambar di atas, diperoleh = 1. Contoh 3 (Pendekatan Definisi): Mari kita gunakan definisi yang tepat untuk menunjukkan bahwa (4x 5) = 3. Misalkan ε > 0 dipilih. Kita harus menghasilkan δ > 0 sedemikian rupa sehingga, ketika 0 < x 2 < δ maka (4x 5) 3 < ε. Pertama kita catat bahwa (4x 5) 3 = 4x 8 = 4 x 2 Jika kita mengambil δ =, maka, ketika 0 < x 2 < δ diperoleh (4x 5) 3 = 4 x 2 < 4δ = ε Teorema 4.1 (Ketunggalan Limit). Jika dan, maka L = L.
Berdasarkan Teorema 4.1, kita dapat menyatakan bahwa jika suatu it fungsi f memiliki suatu it L di suatu bilangan a, maka L adalah satusatunya it dari f di a. B. Calculating Limits Using the Limit Laws Limit Laws. Diberikan suatu konstanta c dan it-it f(x) dan g(x) ada. Maka berlaku (1) [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) (2) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) (3) [cf(x)] = c f(x) (4) [f(x)g(x)] = f(x). g(x) () (5) = (), jika () () g(x) 0 (6) [f(x)] = [ f(x)], dengan n bilangan bulat positif. (7) c = c (8) x = a (9) x = a, dengan n bilangan bulat positif. (jika n genap, diasumsikan a > 0) (10) f(x) = f(x), dengan n bilangan bulat positif. (jika n ganjil, diasumsikan f(x) > 0) Contoh 1. Gunakan aturan-aturan it (it laws) dan grafik f dan g untuk mengevaluasi it-it berikut (jika itnya ada). (a) [f(x) + 5g(x)] (b) [f(x)g(x)] (c) () () (a) Dari grafik f dan g diperoleh f(x) = 1 dan g(x) = 1. Sehingga diperoleh [f(x) + 5g(x)] = f(x) + [5g(x)] = f(x) + 5 g(x) = 1 + 5( 1) = 4 (b) Dari grafik f dan g diperoleh f(x) = 2, tetapi g(x) tidak ada, karena it kiri tidak sama dengan it kanan, yaitu
g(x) = 2 dan g(x) = 1. Sehingga aturan it ke (4) tidak bisa digunakan (c) Dari grafik f dan g diperoleh f(x) 1.4 dan g(x) = 0. Karena g(x) = 0, maka aturan it ke (5) tidak dapat digunakan. Jadi itnya tidak ada. Contoh 2. Evaluasi it-it berikut dengan aturan it. (2x 3x + 4) (2x 3x + 4) = (2x ) (3x) + 4 = 2 x 3 x + 4 = 2(5 ) 3(5) + 4 = 39 Contoh 3. Tentukan nilai dari. Misal f(x) =. Kita tidak dapat mencari itnya dengan langsung mensubstitusi x = 1, karena f(1) tidak terdefinisi. Selanjutnya, karena f(1) = (remember this), sehingga bisa disederhanakan terlebih dahulu. = ()() = (x + 1) = 1 + 1 = 2. () Contoh 4. Tentukan nilai dari. Misal f(h) = (). Kita tidak dapat mencari itnya dengan langsung mensubstitusi h = 0, karena f(0) tidak terdefinisi. Selanjutnya, karena f(0) =, sehingga bisa disederhanakan terlebih dahulu. () = ( ) = = (6 + h) = 6. Contoh 5. Tentukan nilai dari.
Misal f(t) =. Kita tidak dapat mencari itnya dengan langsung mensubstitusi t = 0, karena f(0) tidak terdefinisi. Selanjutnya, karena f(0) =, sehingga bisa disederhanakan terlebih dahulu. =. ( = ) = = C. Left and Right-Hand Limits = =. Teorema. jika dan hanya jika = f(x) Contoh 1. Tunjukkan bahwa x = 0. x, jika x 0 Diketahui x = x, jika x < 0. Karena x = x untuk x > 0, maka x = x = 0. Karena x = x untuk x < 0, maka x = ( x) = 0. Berdasarkan teorema di atas, diperoleh x = 0 Contoh 2. Tunjukkan bahwa tidak ada. x, jika x 0 Diketahui x = x, jika x < 0. Karena x = x untuk x > 0, maka = = 1 = 1. Karena x = x untuk x < 0, maka = = 1 = 1. Karena, sehingga tidak ada.