MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI DISUSUN OLEH : Nama Kelompok : Nurul Fadhila Larasati Nur Faizah Mujahidah Azzam Safitri Ramadhani Sitti Masyita Sitti Rabithatul Jannah Kelas Guru Mata Pelajaran : XI IPA : Syarifah, Spd SMA IT WAHDAH ISLAMIYAH TAHUN AJARAN 2014-2015
DAFTAR ISI Judul... Halaman Daftar Isi... i Kata Pengantar... ii BAB I PENDAHULUAN A Latar Belakang......1 B Rumusan Masalah......1 C Tujuan......1 BAB II PEMBAHASAN A Ukuran Sudut......2 B Pengertian Trigonometri......2 C Perbandingan Trigonometri......3 D Nilai Perbandingan Trigonometri Beberapa Sudut Istimewa......4 E Grafik Fungsi Trigonometri......6 F Aturan-aturan Pada Segitiga ABC......8 BAB III KESIMPULAN DAN SARAN A Kesimpulan......14 B Saran......14 Daftar Pustaka... 15 1
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta ala yang telah memberikan kami berbagai macam nikmat kepada kami, di antaranya nikmat iman, nikamt islam, nikmat umur, terlebih lebih lagi nikmat kesempatan sehingga kami masih dapat menyelesaikan makalah ini sebagaimana yang di harapakan. Shalawat serta salam kami curahkan kepada junjungan kami, Rasulullah, nabi yang mengajarkan kepada kami bahwa yang hak itu benar dan yang bhatil itu salah, semoga prinsip semacam ini dapat kita realisasikan dalam kehidupan nyata sehari-hari. Selanjutnya saran serta kritik sangat kami harapkan dari berbagai pihak, terutama kepada guru matematika serta teman-teman sekalian yang kami banggakan, untuk perbaikan-perbaikan pembuatan makalah untuk kedepannya sehingga pembuatan makalah ke depannya sesuai yang di harapkan. Pada kesempatan ini, kami mohon maaf yang sebesar-besarnya, karena sangat kami sadari bahwa banyak kekurangan-kekurangan serta kesalahankesalahan yang kami lakukan dalam pembuatan makalah ini. 2
Makassar, 3 Maret 2015 Kelompok Trigonometri 3
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradabanlembah Indus adalah awal trigonometri dapat dilacak.matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Sekitar 150 SM matematikawan Yunani Hipparchus menyusun table trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang juga merupakan matematikawan yunani sekitar tahun 100 yang mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Kemudian pada tahun 1595 matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis. Hingga saat ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat jalan, pembuat jembatan dan mereka yang menghasilkan bangunan. B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana fungsi trigonometri? 2. Apa saja rumus-rumus dalam trigonometri? C. Tujuan 1. Mengetahui definisi dan rumus-rumus trigonometri. 2. Mengetahui rumus-rumus dalam trigonometri 1
BAB II PEMBAHASAN Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal. Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif. Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah. Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. A. Pengertian Trigonometri Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsitrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis 2
pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi. B. Perbandingan trigonometri Dari gambar tersebut dapat diperoleh: Contoh: Dari segitiga berikut ini : Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A! 3
menggunakan rumus Phytagoras Jawab : Pertama, hitung dulu panjang BC dengan C. Nilai Perbandingan Trigonometri Beberapa Sudut Istimewa * tambahan: sin 37 = cos 53 = 0,6 Identitas Trigonometri Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masingmasing memiliki fungsi dasar, yaitu: 4
Identitas Kebalikan Cosec A = 1/sin A Sec A = 1/cos A Cot A = 1/ tan A Identitas Perbandingan Tan A = Sin A/ Cos A Cot A = Cos A / Sin A Identitas Phytagoras Cos 2 A + Sin 2 A = 1 1 + tan 2 A = Sec 2 A 1 + Cot 2 A = Cosec 2 A Kuadran Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius, dibagi dalam 4 daerah. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar : Untuk sudut b > 360 b = (k. 360 + a) b = a (k = bilangan bulat > 0) Mengubah Fungsi Trigonometri Suatu Sudut Ke Sudut Lancip Jika menggunakan 90 ± α atau 270 α ± maka fungsi berubah: 5
sin cos tan cot sec csc Jika menggunakan 180 ± α atau 360 ± α maka fungsi tetap Sudut Dengan Nilai Negative Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam. Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV. Contoh: Cos 120º = cos (180 60)º = cos 60º = 1 2 * (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif) Cos 120º = cos (90 + 30)º = sin 30º = 1 2 6
Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 * (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif) Sin 315º = sin 315º = sin (360 45)º = ( sin 45)º = sin 45º = 1 2 2 Identitas Trigonometri Sehingga, secara umum, berlaku: sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α 7
D. Grafik Fungsi Trigonometri y = sin x y = cos x 8
y = tan x y = cot x y = sec x 9
y = csc x E. Aturan-Aturan pada Segitiga ABC 10
Aturan Sinus Dari segitiga ABC di atas: Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus: Aturan Cosinus Dari segitiga ABC di atas: Sehingga, secara umum: Luas Segitiga 11
Dari segitiga ABC di atas diperoleh: umum: Sehingga, secara Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Dari gambar segitiga ABC berikut : AD = b.sin α BD = a.sin β CD = a.cos β = b.cos α Untuk mencari cos (α+β) = sin (90 (α+β)) 12
Untuk fungsi tangens 13
Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah: Rumus Sudut Rangkap Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah: 14
Penurunan dari rumus cos 2α Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut: 15
Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh : Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus. 16
Maka akan diperoleh rumus-rumus : 17
BAB III KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsitrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik 18
listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi. B. Saran Diharapkan para siswa agar lebih memahami apa itu trigonometri beserta rumus-rumus dan pemanfaatannya dalam kehidupan sehari-hari. Dengan makalah ini diharapkan siswa dapat belajar secara mandiri konsep trigonometri negeri dengan atau tanpa bimbingan guru. DAFTAR PUSTAKA Santoso, Nurul. 2013. Makalah Matematika Trigonometri. http://nuz4nt.blogspot.com/. Diakses pada 03 Maret 2015. 19