ALJABAR DAN TRIGONOMETRI MENUJU

Transkripsi

1 ALJABAR DAN TRIGONOMETRI MENUJU Berisi kumpulan soal yang pernah dilombakan pada Olimpiade Matematika SMA tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, Nasional, dan Internasional (United States of America Mathematics Olympiad (USAMO)) Materi diulas secara tuntas, konkret, dan terstruktur sehingga mudah dipahami oleh siswa Penulis: Bimmo Dwi Baskoro, S.Si.

2 SINOPSIS N askah ini disusun untuk membantu siswa-siswi ataupun khalayak umum yang berminat besar dalam bidang matematika. Perlu disadari bahwa tidak semua materi soal yang muncul pada kompetisi sekelas olimpiade matematika tercakup dalam kurikulum reguler di SD, SMP, bahkan SMA. Oleh karena itu, diperlukan upaya lebih besar dalam mengenalkan soal olimpiade matematika dengan berbagai solusi yang sifatnya dapat merangsang siswa ataupun khalayak umum untuk berpikir secara kreatif. Naskah ini diharapkan dapat dipelajari untuk digunakan sebagai alat bantu dalam menghadapi kompetisi matematika, khususnya olimpiade matematika. Rincian pembahasan dalam naskah ini terdiri atas kumpulan berbagai soal aljabar dan trigonometri yang digunakan dalam berbagai kompetisi olimpiade matematika nasional maupun internasional. Penulis sengaja memisahkannya dalam bertahap agar para siswa dapat dengan mudah mempelajari naskah ini secara bertahap. Kemudian, setelah dibekali taktik dan strategi pemecahan masalah, penulis sertakan pula latihan soal tanpa pembahasan di akhir bab untuk mengevaluasi pemahaman siswa. Sasaran yang ingin dicapai setelah siswa mempelajari naskah ini dengan baik adalah: memperoleh pengetahuan dasar dan pola pikir bermatematika; memperoleh daya nalar dan kreativitas yang tinggi setelah diberikan taktik dan strategi dalam pemecahan soal olimpiade matematika khususnya aljabar dan trigonometri; dapat dengan mudah menerjemahkan suatu kasus ke dalam bahasa matematika; dan siswa mendapatkan prestasi yang tinggi dalam kompetisi matematika, khususnya dalam olimpiade matematika.

3 OUTLINE NASKAH ALJABAR DAN TRIGONOMETRI MENUJU OLIMPIADE MATEMATIKA Bab 1 Soal Pendahuluan Aljabar Bab Soal Lanjutan Aljabar Bab Pembahasan Soal Pendahuluan Aljabar Bab 4 Pembahasan Soal Lanjutan Aljabar Bab 5 Latihan Soal Aljabar Bab 6 Soal Pendahuluan Trigonometri Bab 7 Soal Lanjutan Trigonometri Bab 8 Pembahasan Soal Pendahuluan Trigonometri Bab 9 Pembahasan Soal Lanjutan Trigonometri Bab 10 Latihan Soal Trigonometri Daftar Pustaka

4 1 Soal Pendahuluan Aljabar 1. Misalkan 4! Berarti Carilah digit terakhir dari 1! +! +! !.. Diketahui persamaan: x 1 y 1 y z 0 z x 1 15 dan x, y, z > 0. Carilah nilai dari x + y + z.. Buktikan bahwa 1 1 x y 1 1 y x 1 1 x y 1 1 y x Suatu bilangan x terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, maka didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika diantara angka puluhan dan angka satuan disisipkan angka nol, maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 kali bilangan x. Carilah bilangan x tersebut! 5. Pada dasar sebuah tong terdapat buah keran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran pertama dan kedua saja, tong tersebut dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit; jika yang dibuka keran pertama dan ketiga saja, tong tersebut kosong dalam waktu 84 menit; jika yang dibuka keran kedua dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Tentukanlah waktu yang diperlukan untuk mengosongkan tong tersebut jika ketiga keran dibuka bersama! 1

5 6. Diketahui bahwa a c e 64. Tentukan nilai dari b d f 5a c 4c e e 5b d 4d f f. x n 1 x n 0 7. Akar-akar persamaan adalah n dan nilai dari n. Tentukanlah. 8. Diketahui bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan real yang memenuhi persamaan a b c d 6 b c d a a b c d 8 c d a b Tentukan nilai dari a c. b d 9. Misalkan x dan y suatu bilangan real. Jika diketahui bahwa x y y x, tentukan pada suku ke berapa dimana x dan y mempunyai pangkat yang sama! Diketahui bahwa p dan q adalah bilangan real dimana p > 1999 dan q > 000. Hitunglah nilai p + q jika diketahui bahwa p 1999p p 000p 000 p q. 11. Buktikanlah bahwa

6 1. Diketahui bahwa Tentukan nilai dari a b c! a b c a b c 9 a b c 4 1. Diketahui bahwa Tentukan nilai a + b + c + d. 1 ab 6, bc 7, cd 5, de 4, ea. 14. Buktikan bahwa p > q > 0, jika n1 x 1 p p p p dan 1 p p p p n p n1 p n n1 y 1 q q q q maka x < y. 1 q q q q n q n1 q n 15. Suatu pertunjukkan musik dihadiri oleh sejumlah penonton. Setiap penonton dewasa membayar tiket seharga Rp ,-, sedangkan setiap penonton anakanak membayar Rp ,-. Jika jumlah uang penjualan tiket adalah Rp ,- dan banyaknya penonton dewasa adalah 40% dari seluruh penonton, tentukan banyaknya penonton anak-anak. 16. Diketahui a dan b suatu bilangan-bilangan bulat dan x x 1 merupakan faktor dari ax + bx + 1. Carilah nilai b yang mungkin! 17. Bimo berlari tiga kali lebih cepat dari kecepatan Kiki berjalan kaki. Misalkan Kiki, yang lebih cerdas dari Bimo menyelesaikan ujian pada pukul :00 dan mulai berjalan pulang. Bimo menyelesaikan ujian pada pukul :1 dan berlari mengejar Kiki. Tentukan pada pukul berapakah Bimo tepat akan menyusul Kiki! 18. Misalkan p dan q bilangan real yang berbeda sehingga:

7 p p 10q. q q 10p Tentukan nilai dari p. q 19. Misalkan a dan b Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat dengan a b. 0. Diketahui bahwa 0 < b < a dan a + b = 6ab. Tentukan nilai dari a b. a b 4

8 Soal Lanjutan Aljabar 1. Suatu pesawat terbang sejauh L mil setiap perjalanannya. Kecepatan angin pada bagian kepala pesawat 160 m jam -1 dan pada bagian ekor pesawat 40 m jam -1. Berapakah kecepatan rata-rata pesawat dalam perjalanan tersebut?. Sebuah jam berhenti untuk 15 menit setiap jam. Berapa banyak waktu yang hilang selama jam menunjukkan pukul 1 siang sampai pukul 1 malam?. John lahir pada abad ke-18 dan berusia x tahun pada x. Berapakah umurnya pada tahun 1776? 4. Diketahui bahwa simbol x bermakna nilai x jika x 0, dan nilai x jika x < 0. Tentukan x y dalam max(x,y) dan min(x,y) dimana max(x,y) berarti x jika x > y, dan y jika x < y, dan min(x,y) berarti x jika x < y, dan y jika x > y. 5. Diketahui bahwa x bermakna bilangan bulat terbesar lebih kecil dari atau sama dengan x. Tentukanlah nilai y1 y. 6. Tentukan nilai positif terkecil dari n untuk prima! n n 41 adalah bukan bilangan 5 7. Tentukan digit terakhir dari (a) dan (b) 5 7! 8. Carilah nilai maksimum dari x yang mana x dapat dibagi 1! 9. Tiga buah siswa dalam suatu komite, A, B, dan C, bertemu dan menyetujui bahwa A akan kembali setiap 10 hari, B setiap 1 hari, dan C setiap 15 hari. Carilah paling sedikit banyaknya hari sebelum C bertemu kembali dengan A dan B. 5

9 10. Diketahui bahwa tiga digit bilangan N = a 1 a a, dituliskan dalam basis 10. Carilah nilai absolut m 1, m, m dimana N dapat dibagi dengan 7 jika m 1 a 1 + m a + m a dapat dibagi dengan Jika x + a dapat dibagi dengan x +, maka sisanya adalah 15. Carilah nilai numerik dari a! 1. Misalkan y 1 = x 1. Misal y x 1 dapat diperoleh dari menyederhanakan persamaan dengan mengganti x dalam y 1 dengan x 1 Misal y dapat diperoleh dari menyederhanakan persamaan dengan mengganti x dalam y dengan x 1 x 1. pula yang keempat. Tentukan y 6, y 100, dan y 501!, x1 begitu 1. Bilangan B 5% lebih dari bilangan A, bilangan C 0% lebih dari bilangan B, dan bilangan D x% lebih kecil dari C. Tentukan nilai x jika bilangan D sama dengan bilangan A! 14. Arif membeli x bunga untuk y dollar, dimana x dan y suatu bilangan. Sebelum meninggalkan toko, pedagang berkata, Jika kamu membeli 18 bunga lagi, saya akan menjual semuanya untuk enam dollar. Kamu bisa berhemat 60 sen per lusin. Tentukan nilai x dan y yang tepat dalam kondisi ini! 15. Buktikan bahwa untuk pasangan yang sama dari nilai integral x dan y, antara x + y dan 5x + 6y dapat dibagi dengan 1! 16. Dalam suatu segitiga, diketahui kelilingnya adalah 0 cm dan jumlah kuadrat panjang sisinya adalah 8. Tentukan panjang tiap sisinya! 17. Misal (x,y) adalah koordinat titik P dalam bidang xy dan misalkan (X,Y) adalah koordinat titik Q dalam bidang XY. Jika X = x + y dan Y = x y, tentukan persamaan yang sederhana untuk titik dalam bidang XY yang merupakan gambaran dari titik x + y = 1 dalam bidang xy. 6

10 18. Diketahui bahwa x y z k, x y z k, dan x y z k, k 0. Tentukan nilai dari x y z dalam k! 19. Tunjukkan hubungan yang sederhana antara a, b, dan c dimana semuanya berbeda jika a bc b ca c ab. 0. Jika f = mx + ny, dimana m dan n adalah bilangan bulat positif, dan x, y adalah variabel konstan positif. Tentukan nilai minimum f! 1. Suatu bilangan bulat p merupakan bilangan prima yang faktornya hanya p dan 1. Misalkan M menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 (nol) di akhir bilangan M?. Misalkan 1 p 10 9!, 1 q 9 10!, dan 1 r 11!, dimana n! 1 n 1 n. Tentukan urutan yang benar dari ketiga bilangan ini!. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi bentuk x 8 + y 8 kurang dari ? 4. Berapa jumlah digit-digit bilangan ? 5. Tentukan bilangan n terkecil sehingga setiap sub-himpunan dari 1,,,,0 yang beranggotakan n unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya adalah 8! 7

11 Pembahasan Soal Pendahuluan Aljabar 1. Misalkan 4! Berarti Carilah digit terakhir dari 1! +! +! !. Perhatikan bahwa untuk 5!, 6!, 7!, dan seterusnya mempunyai digit terakhir 0 dimana: 1! = 1! = 1. =! = 1.. = 6 4! = = 4. Jadi, digit terakhir dari 1! +! +! ! adalah = 1 dimana digit terakhirnya.. Diketahui persamaan: x 1 y 1 y z 0 z x 1 15 dan x, y, z > 0. Carilah nilai dari x + y + z. Misalkan a = x 1, b = y, dan c = z. Dengan demikian, persamaan tersebut menjadi dimana Kemudian, substitusikan 1 b bc 0 a ab 1 bc 0 ca 15 1 ab 1 b. a 1 b ke persamaan bc 0, diperoleh a 8

12 1 c 0 a 0 5 c a a 1 Dengan mensubstitusikan nilai 5 c a ca 15 a 9 a 5 c a ke persamaan ca = 15 akan diperoleh Karena x, y, z > 0 maka dipilih a =. Kemudian dengan mensubstitusikan a = pada ca = 15 akan diperoleh ca = 15 c 15 c 5 Substitusi c = 5 ke persamaan bc = 0 akan diperoleh bc = 0 b5 0 b 4 Jadi, diketahui bahwa a =, b = 4, dan c = 5, maka nilai x + y + z = = 48.. Buktikan bahwa 1 1 x y 1 1 y x 1 1 x y 1 1 y x x y 1 1 y x 1 1 x y 1 1 y x 1 9

13 1 1 y x x y y x 1 1 x y x y y x 1 y x x y y x x y x y y x Jadi, terbukti bahwa pernyataan diatas sama dengan Suatu bilangan x terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, maka didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika diantara angka puluhan dan angka satuan disisipkan angka nol, maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 kali bilangan x. Carilah bilangan x tersebut! Misalkan bilangan yang dimaksud yaitu x yang dapat dinyatakan dengan 10x + y. Jika bilangan itu ditambah dengan 46, maka akan didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu pula dalam urutan terbalik. Sehingga xy + 45 = yx 10x y 45 10y x 9x 9y 45 x y 5 1 Jika diantara angka puluhan dan angka satuan disisipkan angka nol, maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 kali bilangan x. Sehingga x0y 7 xy 100x y 10x y 00x y 0x y 70x 0y 7x y 10

14 Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan () akan diperoleh 7 y 5 y 7y 5 y 5y 5 y7 Kemudian y = 7 disubstitusikan ke persamaan (1) akan diperoleh x = y 5 = 7 5 =. Jadi, bilangan yang dimaksud adalah Pada dasar sebuah tong terdapat buah keran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran pertama dan kedua saja, tong tersebut dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit; jika yang dibuka keran pertama dan ketiga saja, tong tersebut kosong dalam waktu 84 menit; jika yang dibuka keran kedua dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Tentukanlah waktu yang diperlukan untuk mengosongkan tong tersebut jika ketiga keran dibuka bersama! Misalkan banyaknya air yang mengalir pada tong adalah p. Kecepatan air mengalir dari keran 1: v 1 Kecepatan air mengalir dari keran : v Kecepatan air mengalir dari keran : v Dengan demikian, maka akan diperoleh persamaan v v v v p 70 v p 84 v p Ketiga persamaan tersebut dijumlahkan dan diperoleh p p p v1 v v1 v v v p v1 v v 40 7p v1 v v 40 11

15 p v1 v v 60 Jadi, waktu yang diperlukan tong untuk kosong jika ketiga keran dibuka bersama adalah 60 menit. 6. Diketahui bahwa a c e 64. Tentukan nilai dari b d f Diketahui bahwa Sehingga 5a c 4c e e 5b d 4d f f. a c e 64, maka a = 64b, c = 64d, dan e = 64f. b d f 5a c 4c e e 5b d 4d f f 5 64b 64d 4 64d 64f 64f 5b d 4d f f 64 5b d 4d f f 5b d 4d f f x n 1 x n 0 7. Akar-akar persamaan adalah n dan nilai dari x n 1 x n 0 Diketahui persamaan kuadrat persamaannya adalah n dan n. b n 1 n n n 1 a 1 c n nn n a 1 n. Tentukanlah dengan akar-akar. 1

16 1 1 1 n n n n n n n n 1 1 n n n n Diketahui bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan real yang memenuhi persamaan a b c d 6 b c d a a b c d 8 c d a b Tentukan nilai dari a c. b d Diketahui bahwa a b c d 6 (1) b c d a a b c d 8 () c d a b Misalkan bahwa a c p b d dan b d c a q. Jadi, persamaan (1) menjadi p + q = 6 q = 6 p... () dan persamaan () menjadi 1

17 pq = 8 p 6 p 8 6p p 8 p 6p 8 0 dimana p = atau p = 4. Jadi, nilai a c p dimana p adalah atau 4. b d 9. Misalkan x dan y suatu bilangan real. Jika diketahui bahwa x y y x, tentukan pada suku ke berapa dimana x dan y mempunyai pangkat yang sama! 1 Diketahui suatu polinomial x y y x x y 6 6 x y x y y x Misalkan x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke-(k + 1), sehingga 1 1 1k 1 1 k 6 6 Pangkat x = pangkat y, sehingga Jadi, k + 1 = = 10. x y x y x y x y 1k 1k k k 6 6 4k 4k1 6 6 x y 4 k 4k k 4k 1 7k 6 k 9 14

18 10. Diketahui bahwa p dan q adalah bilangan real dimana p > 1999 dan q > 000. Hitunglah nilai p + q jika diketahui bahwa p 1999p p 000p 000 p q. p dan q adalah bilangan real dimana p > 1999 dan q > 000. Diketahui bahwa p 1999 p p 000 p 000 p q 1999 p p 000 p q Misalkan: a p 1999 p a 1999 b q 000 q b 000 Sehingga diperoleh, 1999a 000b a 1999 b 000 a 1999a 1999 b 000b a 1999 b a a 1999 b b 000 Untuk a = 1999, diperoleh p a p 1999 Untuk b = 000, diperoleh q b q 000 Jadi, p + q = = Buktikanlah bahwa

19 Diketahui bahwa Tentukan nilai dari a b c! Diketahui sistem persamaan Pada persamaan a b c a b c 9 a b c 4 a b c a b c 9 a b c 4 a b c 9, diperoleh a b c a b c ab bc ac 9 ab bc ac ab bc ac 0 (1) Pada persamaan a b c 4, diperoleh a b c a b c a b c ab ac bc abc 4 0 abc abc abc 1 () Dengan menggunakan persamaan (1) dan persamaan (), maka nilai untuk a b c, diperoleh 16

20 a b c a b c a b a c b c a b c 9 ab bc ac abc a b c a b c a b c a b c Diketahui bahwa Tentukan nilai a + b + c + d. Jika maka: 6 ab 6 b a 1 1 ab 6, bc 7, cd 5, de 4, ea. 1 ab 6, bc 7, cd 5, de 4, ea a 5 bc 7 c c c a a cd 5 ad 5 d 4 a de 4 e e a a ea aa a 16 a 4 Untuk a = 4, akan diperoleh: 6 6 b, a 4 Jadi, a + b + c + d = 5 5 c a 4 5, Untuk a = 4, akan diperoleh: 8 8 d 7, a b, c a 4 5, d 7, a a 4 e 1 a Jadi, a + b + c + d = e a

21 14. Buktikan bahwa p > q > 0, jika n1 x 1 p p p p dan 1 p p p p n p n1 p n n1 y 1 q q q q maka x < y. 1 q q q q n q n1 q n Diketahui bahwa a, b > 0, n1 x 1 p p p p dan 1 p p p p n p n1 p n n1 y 1 q q q q 1 q q q q q q n n1 n Dalam persoalan ini akan ditunjukkan bahwa x < y dengan p > q > 0, sehingga 1 1 p q i 1 1 p q ii 1 1 n n p q iii Dengan menjumlahkan persamaan (i), (ii), dan (iii) akan diperoleh n n p p p q q q n1 n1 p p p 1 q q q 1 n p 1 p p p 1 q q q n n p q n1 n1 n n p q 1 p p p 1 q q q n1 n1 n n p q 1 1 n1 n1 1 p p p 1 q q q 1 p p p p 1 q q q q n1 n1 1 p p p 1 q q q n1 n n1 n q n 18

22 n1 n1 1 p p p 1 q q q 1 p p p p 1 q q q q x y n1 n n1 n 15. Suatu pertunjukkan musik dihadiri oleh sejumlah penonton. Setiap penonton dewasa membayar tiket seharga Rp ,-, sedangkan setiap penonton anakanak membayar Rp ,-. Jika jumlah uang penjualan tiket adalah Rp ,- dan banyaknya penonton dewasa adalah 40% dari seluruh penonton, tentukan banyaknya penonton anak-anak. Perhatikan bahwa jumlah orang dewasa adalah 40% dari jumlah penonton sehingga jumlah anak-anak adalah 60% dari jumlah penonton. Perbandingan antara jumlah orang dewasa dengan anak-anak adalah :. Misalkan jumlah penonton dewasa adalah a dan jumlah penonton anak-anak adalah b sehingga a : b = :. a a b (i) b Setiap penonton dewasa membayat tiket seharga 40 ribu rupiah, sedangkan setiap penonton anak-anak membayar 15 ribu rupiah dan jumlah uang penjualan tiket 5 juta rupiah, sehingga a b a b (ii) Dengan mensubstitusikan persamaan (i) ke persamaan (ii) akan diperoleh 8a b b b b 9b.000 5b.000 b 10 Jadi, banyaknya penonton anak-anak adalah 10 orang. 19

23 16. Diketahui a dan b suatu bilangan-bilangan bulat dan x x 1 merupakan faktor dari ax + bx + 1. Carilah nilai b yang mungkin! Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat dan x x 1 merupakan faktor dari ax + bx + 1, maka ax bx 1 x x 1 f x ax + bx + 1 mempunyai nilai orde 0 adalah 1 sehingga nilai orde 0 pada f(x) adalah 1. Orde tertinggi pada ax + bx + 1 adalah sehingga nilai orde tertinggi pada f(x) = 1. Jika f(x) = (x 1), maka (x x 1)(x 1) = (x x + 1). Bentuk (x x + 1) memenuhi bentuk ax + bx + 1 sehingga diketahui bahwa nilai b =. 17. Bimo berlari tiga kali lebih cepat dari kecepatan Kiki berjalan kaki. Misalkan Kiki, yang lebih cerdas dari Bimo menyelesaikan ujian pada pukul :00 dan mulai berjalan pulang. Bimo menyelesaikan ujian pada pukul :1 dan berlari mengejar Kiki. Tentukan pada pukul berapakah Bimo tepat akan menyusul Kiki! Misalkan: Kecepatan Kiki berjalan kaki: v K Kecepatan Bimo berlari: v B = v k Perlu diketahui bahwa kecepatan merupakan fungsi dari jarak dan waktu sehingga vkecepatan s jarak t waktu ini, digunakan ilustrasi berikut ini.. Untuk memudahkan menjawab persoalan Kiki Berangkat Pukul 0.00 Vk Sekolah Budi Berangkat Pukul 0.1 B Vb=Vk 0

24 Misalkan tempat Bimo menyusul Kiki adalah B. Waktu yang diperlukan Bimo sampai ke B adalah t. Waktu yang diperlukan Kiki sampai ke B adalah t + 1. Perlu diketahui bahwa jarak Bimo dari sekolah ke B sama dengan jarak Kiki dari sekolah ke B. v t v t 1 B K K v t v t 1 t t 1 t 1 t 6 menit K Jadi, Bimo menyusul Kiki pada pukul menit = pukul Misalkan p dan q bilangan real yang berbeda sehingga: Tentukan nilai dari p. q Diketahui bahwa p q. p p 10q (i) q q 10p p p 10q. q q 10p Dengan mengalikan persamaan (i) dengan q(q + 10p) akan diperoleh pq 10p qp 10q q q 10p pq 10p pq 10q q 0pq 10p 18pq 8q 0 (ii) Dengan membagi persamaan (ii) dengan b akan diperoleh p p p p q q q q p 4 q 5 1

25 p 1 (tidak memenuhi karena p q) q Jadi, nilai a 4. b Misalkan a dan b Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat dengan a b a b suku 1000 suku , ,5 500,5 Jadi, bilangan bulat yang paling dekat nilainya ke a b adalah Diketahui bahwa 0 < b < a dan a + b = 6ab. Tentukan nilai dari a b. a b Jika 0 < b < a, maka a b bernilai positif. Diketahui bahwa a + b = 6ab, a b maka a b a b ab 6ab ab. a b a b ab 6ab ab

26 Jadi, a b a b =.

27 4 Pembahasan Soal Lanjutan Aljabar 1. Suatu pesawat terbang sejauh L mil setiap perjalanannya. Kecepatan angin pada bagian kepala pesawat 160 m jam -1 dan pada bagian ekor pesawat 40 m jam -1. Berapakah kecepatan rata-rata pesawat dalam perjalanan tersebut? Secara jelas dapat dikatakan bahwa kecepatan rata-rata pesawat tersebut 1 1 adalah m jam. Hal ini salah karena lamanya penerbangan tidaklah sama pada tiap perjalanan. Dengan rumus dasar bahwa R T D, dimana R adalah kecepatan ratarata (m per jam), T adalah waktu total (jam), dan D adalah jarak total (mil). Misalkan T 1 dan T adalah waktu untuk tiap perjalanan sehingga T. L 40 L L 1 Oleh karena itu, L R 19 m per jam. L L T1 160 dan T T T L. Jika jarak total L, maka. Sebuah jam berhenti untuk 15 menit setiap jam. Berapa banyak waktu yang hilang selama jam menunjukkan pukul 1 siang sampai pukul 1 malam? Waktu yang hilang adalah 1 ditambah banyaknya waktu yang hilang dimana jam.. John lahir pada abad ke-18 dan berusia x tahun pada x. Berapakah umurnya pada tahun 1776? Pendahuluan: Dalam rentang tahun , hanya bilangan 1764 = 4 yang tepat. Kemudian, tahun kelahirannya adalah = 17. Jadi, dalam tahun 1776, dia berusia = 54 tahun. 4

28 4. Diketahui bahwa simbol x bermakna nilai x jika x 0, dan nilai x jika x < 0. Tentukan x y dalam max(x,y) dan min(x,y) dimana max(x,y) berarti x jika x > y, dan y jika x < y, dan min(x,y) berarti x jika x < y, dan y jika x > y. Jika x > y, x y = x y = max(x,y) min(x,y). Jika x < y, x y = y x = max(x,y) min(x,y). Jadi, x y = max(x,y) min(x,y) dalam setiap kasus. 5. Diketahui bahwa x bermakna bilangan bulat terbesar lebih kecil dari atau sama dengan x. Tentukanlah nilai y1 y. (a) Jika y suatu bilangan, maka y1 y y 1 y 1. (b) Jika y bukan suatu bilangan, misalkan y = a + h dimana 0 < h < 1, dan a suatu bilangan. Kemudian Perhatikan bahwa y 1 y a h 1 a h a a 0. 1 a h a 1 h a. 6. Tentukan nilai positif terkecil dari n untuk prima! Persoalan ini mungkin terlihat sulit, tetapi persamaan n n 41 adalah bukan bilangan n n 41 secara umum menggambarkan bilangan prima untuk bilangan asli n dari 1 sampai 9. Akan tetapi, jika n n n n 1, maka tidak berlaku bahwa n n 41 adalah prima ketika n + 1 = 41; nilai n = 40. Sehingga kita dapatkan bahwa 40(41) + 41 = 41, yang dapat dibagi dengan Tentukan digit terakhir dari (a) dan (b) 5 7 5

29 5 (a) 5 8 = (0,65) 5 = Tinjau bahwa 65 5 memiliki 5 digit terakhir 5. Jadi, digit terakhir dari 5 8 adalah 5. 4 (b) 5 7 = ( ) 5 ; sehingga akhir bilangan desimalnya adalah Jika (57148) 5, maka digit terakhirnya adalah Carilah nilai maksimum dari x yang mana x dapat dibagi 1! Bagilah pada 1 dan secara berturut-turut dibagi sampai hasil bagi kurang dari. Kemudian menambahkan hasil baginya. 1 memberikan q1 10; 10 memberikan q = 5; 5 memberikan q = ; memberikan q 4 = 1. Jadi, q1 q q q Tiga buah siswa dalam suatu komite, A, B, dan C, bertemu dan menyetujui bahwa A akan kembali setiap 10 hari, B setiap 1 hari, dan C setiap 15 hari. Carilah paling sedikit banyaknya hari sebelum C bertemu kembali dengan A dan B. Kita harus mencari bilangan terkecil yang dapat dibagi dengan 10, 1, dan 15. Perkalian umum terkecil 10, 1, dan 15 dinotasikan dengan M. Jika10 5, 1, dan 15 5, M Sehingga, A, B, dan C akan bersama kembali setelah 60 hari. Sebagai jalan lain, C akan bertemu A dan B dalam 4 (empat) kali. 10. Diketahui bahwa tiga digit bilangan N = a 1 a a, dituliskan dalam basis 10. Carilah nilai absolut m 1, m, m dimana N dapat dibagi dengan 7 jika m 1 a 1 + m a + m a dapat dibagi dengan 7. N a 10 a 10 a a 7 a 7 a 1 1 6

30 7 14a a a a a. 1 1 Jika N dapat dibagi dengan 7, maka a1 a a. Hal ini berlaku pula pada N yang dapat dibagi dengan 7 jika a1 a a dapat dibagi dengan 7. Jadi, m1, m, dan m Jika x + a dapat dibagi dengan x +, maka sisanya adalah 15. Carilah nilai numerik dari a! Dengan menggunakan Teorema Sisa (Remainder Theorem), kita akan mendapatkan bahwa a 15, a Misalkan y 1 = x 1 Misal y dapat diperoleh dari menyederhanakan persamaan x 1. dengan mengganti x dalam y 1 dengan x 1. Misal y x 1 dapat diperoleh dari menyederhanakan persamaan dengan mengganti x dalam y dengan x 1 pula yang keempat. Tentukan y 6, y 100, dan y 501! Soal tersebut nampak terlihat sulit padahal tidak. Perhatikan bahwa y y 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x1 x1 x1 x1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x1 x1 x1 x1, x1 begitu x1 y, y4 x, x1 dan juga yang kelima. Untuk semua bilangan genap tersebut, berlaku bahwa x1 y k = x. Untuk semua bilangan ganjil, berlaku bahwa yk 1. Jadi, x 1 y 6 = x, y 100 = x, dan y 501 = x 1. x1 7

31 1. Bilangan B 5% lebih dari bilangan A, bilangan C 0% lebih dari bilangan B, dan bilangan D x% lebih kecil dari C. Tentukan nilai x jika bilangan D sama dengan bilangan A! x x 0 D C1 1 1 B x A x 0 5 Untuk D sama dengan A, harus sama dengan Sehingga, x , dimana x 1, x. 14. Arif membeli x bunga untuk y dollar, dimana x dan y suatu bilangan. Sebelum meninggalkan toko, pedagang berkata, Jika kamu membeli 18 bunga lagi, saya akan menjual semuanya untuk enam dollar. Kamu bisa berhemat 60 sen per lusin. Tentukan nilai x dan y yang tepat dalam kondisi ini! 100y ; x x x 1, y y 6 1 x x Buktikan bahwa untuk pasangan yang sama dari nilai integral x dan y, antara x + y dan 5x + 6y dapat dibagi dengan 1! Misal k = x + y, k suatu bilangan, sehingga sebagai bilangan, maka k y x = u dan y = k u. x, Jika x didefinisikan ky haruslah suatu bilangan. Misal u, sehingga Dengan substitusi akan didapatkan 5x 6y 5u 6k 18u 6k 1u. Kemudian, untuk membuktikan sesuatu yang dapat dibagi dengan 1, kita ky 8

32 misalkan bahwa k = 1m. Jadi, x y u k u 1m, dan 5x 6y 1 6m u, keduanya dapat dibagi dengan 1 untuk nilai x = u dan y = 1m u (m suatu bilangan). Dimulai dengan pernyataan kedua yakni 5x + 6y dan digunakan dalam cara yang sama untuk mendapatkan 5x + 6y = 1n dan x + y = 1( n + v), keduanya dapat dibagi dengan 1 untuk x = 1n + 6v dan y = 1n 5v (v suatu bilangan). Sebagai bukti, misalkan u =, m =, kemudian x =, y = 6 9 = 17. Sehingga, x + y = = 1, dan 5x + 6y = = Dalam suatu segitiga, diketahui kelilingnya adalah 0 cm dan jumlah kuadrat panjang sisinya adalah 8. Tentukan panjang tiap sisinya! Misalkan panjang sisi miring segitiga dinotasikan sebagai c dan yang lainnya sebagai a dan b. Berdasarkan teorema Phytagoras berlaku bahwa sehingga dapat dituliskan sebagai c a b, c a b c 8 c 169, c 1, dan a b 169. Dengan menggunakan informasi diatas akan didapatkan a b c 0 a b 1 0 a b b b 169 b 17b 60 0 b 1 b 5 0. Sehingga, b bernilai 1 atau 5, dan berdasarkan perhitungan, a bernilai 5 atau 1. Sisi-sisi segitiga tersebut memiliki panjang masing-masing yaitu 5, 1, dan 1. 9

33 17. Misal (x,y) adalah koordinat titik P dalam bidang xy dan misalkan (X,Y) adalah koordinat titik Q dalam bidang XY. Jika X = x + y dan Y = x y, tentukan persamaan yang sederhana untuk titik dalam bidang XY yang merupakan gambaran dari titik x + y = 1 dalam bidang xy. Perhatikan bahwa X = x + y sehingga X = x + xy + y. Jika Y = x y, maka X = x xy + y. Sehingga, X Y x y. Jika x + y = 1, maka (x + y ) =. Jadi, X Y. Dalam hal geometri, gambaran yang sesuai untuk lingkaran tersebut yaitu mempunyai titik pusat di (0,0) dan memiliki panjang jari-jari (radius). 18. Diketahui bahwa x y z k, x y z k, dan x y z k, k 0. Tentukan nilai dari x y z dalam k! Dengan menambahkan ketiga persamaan yang diketahui akan didapatkan k Sehingga, x y z ; 4 x y z k x y z k x y z k 4 x y z k 9k x y z x y z xy yz zx. 16 Dengan menggunakan eliminasi pada pasangan persamaan akan didapatkan y z = 0, x y = 0, dan x z = 0. Karena y + z = yz, x + y = xy, x + z = xz, sehingga (xy + yz + xz) = ( x y z ). Jadi, dan x y z x y z, 16 9k k. 16 0

34 19. Tunjukkan hubungan yang sederhana antara a, b, dan c dimana semuanya berbeda jika Diketahui bahwa a bc b ca c ab. a bc b ca c ab, sehingga ca b b ab a. Jika a b, maka c b a, dimana a b c Jika f = mx + ny, dimana m dan n adalah bilangan bulat positif, dan x, y adalah variabel konstan positif. Tentukan nilai minimum f! Jika m, n, x, dan y tetap, maka mxny mnxy adalah sama besarnya. Kita akan menggunakan teori bahwa hasil perkalian dua angka yang sama adalah konstan, penjumlahan minimum dari keduanya adalah sama. Jadi, f minimum terjadi ketika mx = ny dan ketika x n. y m Ilustrasi hal diatas sebagai berikut: Misal m = 5, n =, xy = 60. Jadi, x:y = 60 : 5, x : x :5. f min x 6, x 6, y Suatu bilangan bulat p merupakan bilangan prima yang faktornya hanya p dan 1. Misalkan M menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 (nol) di akhir bilangan M? Perkalian bilangan prima yang menghasilkan angka 0 hanya bilangan prima dan 5. Dengan demikian, banyaknya angka nol di akhir bilangan perkalian 100 bilangan prima yang pertama adalah 1.. Misalkan 1 p 10 9!, 1 q 9 10!, dan 1 r 11!, dimana n! 1 n 1 n. Tentukan urutan yang benar dari ketiga bilangan ini! 1

35 Dalam menyelesaikan soal ini, terlebih dahulu kita ubah menjadi 1 p 10 9! 10 9! 100 9! 1 q 9 10! 9 10! ! 810 9! 1 r 11! 11109! 110 9! Jadi, urutan yang benar dari ketiga bilangan ini adalah p < r < q.. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi bentuk x 8 + y 8 kurang dari ? Diketahui bahwa 8 8 x y x y 10 Banyaknya pasangan bilangan positif yang memenuhi adalah 8 pasang, yaitu: (1,1), (1,), (1,), (,1), (,), (,), (,1), dan (,) Berapa jumlah digit-digit bilangan ? Bilangan dituliskan sebagai Banyaknya digit bilangan adalah 000 digit. 5. Tentukan bilangan n terkecil sehingga setiap sub-himpunan dari 1,,,,0 yang beranggotakan n unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya adalah 8! Terlebih dahulu kita harus mencari unsur yang paling banyak tetapi tidak mengandung selisihnya 8, yakni: 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 18, 19, dan 0 (1 unsur). Jadi, banyaknya anggota terkecil sehingga setiap sub-himpunan

36 1,,,,0 pasti mengandung dua anggota yang selisihnya 8 yakni = 1 anggota.

37 5 Latihan Soal Aljabar 1. Diketahui bahwa a dan b suatu bilangan bulat yang memenuhi b a b 0a 517 Tentukan nilai dari a b. Jawaban: 588. Misalkan a, b, c, dan d bilangan rasional. Diketahui persamaan 4 p ap bp cp d 0 mempunyai 4 (empat) akar real, dimana dua diantaranya adalah dan 008. Tentukan nilai dari a + b + c + d. Jawaban: 006. Diketahui f(x) = x + 4. Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi persamaan Tentukan nilai minimum dari x + y. f xy f y x f y x. Jawaban: 4. Suatu polinom f(x) memenuhi persamaan f x x f x x 1 untuk setiap x bilangan real. Tentukan derajat tertinggi (pangkat tertinggi x) f(x). Jawaban: 5. Diketahui suatu polinom real dan P x x a x a x a x a Qx x x

38 Misalkan persamaan P(x) = 0 mempunyai 008 penyelesaian real dan P(008) 1. Tunjukkan bahwa persamaan P(Q(x)) = 0 mempunyai penyelesaian real. Jawaban: Sudah jelas 6. Tentukan semua tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan berikut sekaligus x y y 8 y z z 8 z x x 8 Jawaban: (x, y, z) = (,, ) 7. Tentukan semua fungsi f : N N yang memenuhi untuk semua m, n N. f mn f m n f mf n 1 Jawaban: f (n) = 1 dan f (n) = n + 1 untuk semua n N. 8. Tentukan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan x 1 y y 1 y y 1 z z 1 z z 1 x x 1 x Jawaban: (x, y, z) = (1, 1, 1) 9. Diketahui a, b, c, dan d suatu bilangan real positif dengan Tentukan bilangan a, b, c, dan d. ab ac ad bc bd cd 54 dan abcd = 81. Jawaban: a = b = c = d = 10. Hasil kali dua akar persamaan Tentukan nilai k. 4 x 18x kx 00x adalah. Jawaban: k = 86 5

39 11. Diketahui a, b bilangan real positif dan a + b = 1. Buktikan bahwa a b. a b Jawaban: terbukti 4 1. Misalkan S x 8 x 4 x x 16. Tentukan S jika dituliskan dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan! Jawaban: x 4 1. Buktikan bahwa untuk x,y real positif berlaku 1 1. x y 1 x 1 y Jawaban: terbukti 14. Diberikan bahwa x 5x 6 0. Tentukan nilai dari x 15x 17. Jawaban: Carilah nilai x kompleks yang berlaku pada persamaan 7 4 x x 0. Jawaban: i i,. 6

40 6 Soal Pendahuluan Trigonometri 1. Misal x merupakan bilangan real dimana sec x tan x =. Tentukan sec x + tan x.. Misal 0 < θ < 45. Susunlah t 1 = (tan θ) tan θ, t = (cot θ) tan θ, dalam orde yang menurun. t = (tan θ) cot θ t 4 = (cot θ) cot θ. Hitunglah (a) sin 1, cos 1, dan tan 1 ; (b) cos 4 4 sin 4 4 ; (c) cos 6 cos 7 ; dan (d) sin 10 sin 50 sin Sederhanakan persamaan berikut 4 4 sin x 4cos x cos x 4sin x. 5. Buktikan bahwa 1 cot. 1 cot 6. Carilah semua nilai x dalam interval (0, ) dalam sin x cos x 7. Himpunan Z memiliki nilai (x, y) dimana daerah himpunan Z. x y 100 dan sin x y 0. Carilah 8. Dalam segitiga ABC, tunjukanlah bahwa 7

41 sin A a b c 9. Misal untuk k = 1,,... Buktikan bahwa 1 fk x sin x cos x k k k 1 f4x f6x 1 berlaku untuk semua x bilangan real. 10. Dalam segitiga ABC, Carilah besar sudut C. sin A 4cos B 6 dan 4sin BcosA Buktikan bahwa tana tan a tana tana tan a tana untuk semua a k, dimana k merupakan Z. 1. Misal a, b, c, dan d suatu bilangan dalam interval [0, π] dimana sin a 7sin b 4 sin c sin d cosa 7cos b 4 cosc cosd Buktikan bahwa cos a d 7cos b c.. 1. Jelaskan bahwa sebagai suatu monomial. sin x y sin y z sin z x 14. Buktikan bahwa 4cos 9 4cos 7 tan 9. 8

42 15. Buktikan bahwa a b ab sin x cos x berlaku untuk semua bilangan real a, b, x dengan a, b 0 dan 0x. 16. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa (a) A B B C A C tan tan tan tan tan tan 1 (b) A B C tan tan tan Misal ABC merupakan segitiga lancip. Buktikan bahwa (a) tan A tan B tanc tan Atan BtanC (b) tan A tan Btan C 18. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa cot Acot Bcot Bcot Ccot Ccot A 1. Kemudian, buktikan jika x, y, dan z adalah bilangan real dengan xy + yz + zx = 1 dimana dalam segitiga ABC diketahui bahwa cot A = x, cot B = y, dan cot C = z. 19. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa A B C A B C. sin sin sin sin sin sin 1 Kemudian, buktikan jika x, y, dan z bilangan real positif dalam dimana dalam segitiga ABC berlaku x y z xyz 1, A x sin, B y sin, dan C z sin. 0. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa (a) A B C 1 sin sin sin ; dan 8 9

43 (b) A B C sin sin sin Dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa (a) sin A sin Bsin C 4sin Asin BsinC ; (b) cos A cos B cos C 1 4cos Acos BcosC ; (c) (d) sin A sin B sin C cos Acos Bcos C ; cos A cos B cos C cos Acos Bcos C 1. Kemudian, jika x, y, dan z suatu bilangan real positif dimana x y z xyz 1, tunjukkan bahwa terdapat segitiga ABC lancip dengan x = cos A, y = cos B, dan z = cos C.. Dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa A B C cos A cos B cos C 1 4sin sin sin. Buktikan bahwa Untuk semua x tanx tan x tan x tan x k, dimana k terdapat dalam Z Diketahui bahwa tentukan nilai n yang memenuhi. n 1 tan11 tan... 1 tan 45, 5. Buktikan bahwa dalam segitiga ABC berlaku a b A B C tan tan. a b 40

44 6. Dalam segitiga ABC, a dan C 60. Carilah nilai sudut A dan B. b 7. Misal a, b, dan c bilangan real diantara 1 dan 1 dimana a + b + c = abc. Buktikan bahwa a b c 4abc 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c. 8. Taksirlah nilai dimana a = cosa cosa cosa...cos999a, 9. Tentukan nilai minimum dari sec tan sec tan 4 4 dengan α, β k, dimana k merupakan suatu Z. 0. Buktikan bahwa cos1 merupakan bilangan irasional. 1. Buktikan bahwa berlaku untuk 0 < a dan b >. sin a cos a seca b sin b cos b. Jika sin α cos β = 1, tentukan nilai yang mungkin untuk cos α sin β!. Misal a, b, dan c suatu bilangan real. Buktikan bahwa ab bc ca 1 a 1b 1c Buktikan bahwa 41

45 a b sin x a cos x sin x bcos x 1 5. Buktikan bahwa sin a sin a... sin a cos a a... a 1. 1 n 1 n 6. Buktikan bahwa 4 sin x cos x cos x csc x sin x. 7. Jika tan 15 = p. Buktikan bahwa tan165 tan105 1 p. 1 tan165 tan Diketahui cos α tan α + 1 = 0 untuk. Carilah nilai sec α. 9. Diketahui tan x =. Tentukan nilai dari 5sin x 6cos x. cos x sin x 40. Tentukan nilai dari sin.sin.sin.sin Jika A + B = 5. Tentukan nilai dari cot A cot B. 1cot A 1cot B 4. Buktikan bahwa sin 744 sin1854 = sec 6. cos 774 cos Suatu segitiga ABC dengan A + B + C = 180. Buktikan bahwa 4

46 1 cos A cos B cosc 1 1 tan Bcot C. 1 cos A cos B cosc 44. Jika cos A = 4. Tentukan A 5A sin sin. 45. Diketahui bahwa a sin sin x y sin x y. b cos cos x y cos x y Tentukan nilai cos (cos x) jika dinyatakan dengan a dan b. 4

47 7 Soal Lanjutan Trigonometri 1. Tentukan bilangan positif n terkecil yang memenuhi persamaan sin 45sin 46 sin 47sin 48 sin1 sin14 sin n.. Misal x, y, z suatu bilangan riil positif. Buktikan bahwa x y z, 1 x 1 y 1 z bila x + y + z = xyz.. Misal x, y, z suatu bilangan riil dengan x y z 1 dimana x y z. Carilah nilai minimum dari cos x sin y cos z. 4. Misal ABC suatu segitiga lancip dengan sisi-sisi a, b, c, dan wilayah K. Buktikan bahwa a b c a b 4K b c 4K c a 4K 5. Hitunglah penjumlahan antara dan n n n sin a sin a... sin na 1 n n n n cos a cos a... cos na 1 n 6. Carilah nilai minimum dari untuk setiap bilangan riil x. sin x cos x tan x cot x secx cscx 7. Misal a, b, dan c suatu bilangan riil dimana 44

48 Buktikan bahwa sin a sin b sin c sin a sin b sin c Misal a dan b bilangan riil dalam interval 0,. Buktikan bahwa jika dan hanya jika a = b. 6 6 sin a sin a cos b cos b 1 9. Sudut-sudut dalam segitiga ABC kurang dari 10. Buktikan bahwa cos A cos B cosc sin A sin B sin C 10. Buktikan bahwa rerata dari sin, 4sin 4, 6sin6,,180sin180 adalah cot Misalkan {a n } suatu bagian dari bilangan riil yang didefinisikan dengan a 1 = t dan a n+1 = 4a n (1 a n ) untuk n 1. Untuk berapa banyak nilai t yang diketahui jika a 1998 = 0? 1. Segitiga ABC diketahui mempunyai hal berikut ini: didalamnya terdapat titik P dengan PAB 10, PBA 0, PCA 0, dan PAC 40. Buktikan bahwa segitiga ABC samasisi. 1. Misalkan a0 6 dan bahwa a n1 an 5 a n untuk bilangan n > 0. Buktikan untuk semua nilai n. n an cot 45

49 14. Misal n suatu bilangan dengan n. Buktikan bahwa tan 1 cot 1. n k n k n n k1 1 k1 1 46

50 8 Pembahasan Soal Pendahuluan Trigonometri 1. Misal x merupakan bilangan real dimana sec x tan x =. Tentukan sec x + tan x. Perhatikan bahwa sec x tan xsec x tan x 1 1 sec x tan x sec x tan x sec x tan x sec x tan x 1 sec x tan x 1 sec x tan x. Misal 0 < θ < 45. Susunlah t 1 = (tan θ) tan θ, t = (tan θ) cot θ t = (cot θ) tan θ, t 4 = (cot θ) cot θ dalam orde yang menurun. x Misalkan persamaan diatas adalah y a, maka untuk a > 1 merupakan fungsi meningkat sebagai berikut 0 45 cot 1 tan 0. t t 4 Untuk a < 1, fungsi y a x adalah fungsi menurun sebagai berikut t t 1 cot 1 tan 0. t 1 t 1 t t t t 4 1. Hitunglah (a) sin 1, cos 1, dan tan 1 ; (b) cos 4 4 sin 4 4 ; (c) cos 6 cos 7 ; dan (d) sin 10 sin 50 sin

51 (a) cos cos cos cos sin sin (b) cos sin cos sin cos sin cos 1 4 (c) Perhatikan bahwa cos6 cos7 cos6 cos7 cos6 cos7 cos6 cos7 cos 6 cos 7 cos 6 cos 7. cos6 cos7 cos6 cos7 Dengan menggunakan rumus sudut ganda, persamaan menjadi cos 7 1 cos144 1 cos6 cos7 cos6 cos7 cos 7 cos 6 1. cos6 cos7 (d) Penggunaan rumus sudut ganda memberikan 8sin 0sin10 sin50 sin70 8sin 0cos0 cos40 cos80 4sin 40cos 40cos80 sin 80 cos80. sin160 sin 0 Sehingga, 1 sin10sin50sin Sederhanakan persamaan berikut 4 4 sin x 4cos x cos x 4sin x. Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut 48

52 4 4 sin x 4 cos x cos x 4sin x 4 4 sin x 4 1 sin x cos x 4 1 cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x 5. Buktikan bahwa Diketahui bahwa 1 cot. 1 cot 1 cot 1 cot 1 cot 1 cot. Pembuktian menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan sudut merupakan cara yang tepat dalam kasus ini dimana cos cos 1 cot 1 cot 1 1 sin sin sin cos sin cos sin sin sin 45 sin 45 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin. 6. Carilah semua nilai x dalam interval (0, ) dalam sin x cos x 49

53 Dari pembahasan sebelumnya, diketahui bahwa 6 cos 1 4 Sehingga, dan 6 sin sin x cos x sin x cos x sin cos 1 1 sin x cos x sin cos x cos sin x sin x cos x 1 1 sin x sin x 1 x x x x x x 1 6 Kedua nilai x dapat digunakan dalam persamaan diatas. 7. Himpunan Z memiliki nilai (x, y) dimana daerah himpunan Z. x y 100 dan Misal C menotasikan lingkaran (x, y) dengan sin x y 0 x y k; k bilangan bulat. sin x y 0. Carilah x y 100 dimana Lingkaran C dipotong oleh garis x y k dan didalamnya terdapat nilai (x, y) dimana salah satunya memberikan harga sin x y 0 atau sin x y 0. Karena sin x y sin x y, nilai (x, y) terdapat dalam wilayah dengan simetris dengan sin x y 0 sin x y 0. 50

54 Gambar. Area Wilayah Z 8. Dalam segitiga ABC, tunjukanlah bahwa sin A a b c Berdasarkan hukum Sinus, diketahui bahwa a sin A. b c sin B sin C Penggunaan rumus sudut ganda dan penjumlahan sudut digunakan pada hubungan berikut A A A sin cos sin a A sin, b c B C B C B C sin cos cos B C dengan catatan bahwa 0 cos 1 karena 0 B C Misal untuk k = 1,,... Buktikan bahwa 1 fk x sin x cos x k k k 1 f4x f6x 1 51

55 berlaku untuk semua x bilangan real. 1 f4x f6x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x 1 6sin x cos x sin x cos x sin x cos Dalam segitiga ABC, Carilah besar sudut C. sin A 4cos B 6 dan 4sin BcosA 1. sin A 4cos B 6 sin A 4cos B 6 9sin A 16 cos B 4sin A cos B 6 (1) 4sin B cos A 1 4sin B cos A 1 16sin B 9 cos A 4sin Bcos A 1 () Penjumlahan persamaan (1) dan () memberikan 9 sin A cos A 16 sin B cos B 4 sin A cos B sin Bcos A 7 4 sin A cos B sin Bcos A 1 1 sin A cos B sin Bcos A 1 sin A B Karena C = 180 A B, didapatkan harga sin C = sin (A + B) = ½. Sudut C yang sesuai 0 atau 150. Tetapi, jika C = 150, A < 0, maka sin A 4cos B 4 6, hal ini berlawanan. Jawaban yang tepat yaitu C = 0. 5

56 11. Buktikan bahwa tana tan a tana tana tan a tana untuk semua a k, dimana k merupakan Z. Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk lain yakni tan a tan a tan a tan a tan a tan a tan a 1 tan a tan a tan a tan a tan a tan a tan a 1 tan a tan a tan a tan a a 1. Misal a, b, c, dan d suatu bilangan dalam interval [0, π] dimana sin a 7sin b 4 sin c sin d cosa 7cos b 4 cosc cosd Buktikan bahwa cos a d 7cos b c. Kedua persamaan diatas dituliskan sebagai sin a 8sin d 4sin c 7sin b, cosa 8cosd 4cosc 7cos b. Dengan mengkuadratkan kedua persamaan tersebut dan menjumlahkan keduanya, didapat cosa cosd sin a sin d cos bcos sin bsinc cosa cosd sin a sin d cos bcos sin bsin c 16 cosa cosd sin a sin d 56 cos bcos sin bsin c cos a d 7cos b c. 1. Jelaskan bahwa sebagai suatu monomial. sin x y sin y z sin z x Dengan menggunakan rumus penjumlah sudut, kita mempunyai x z x z y sin x y sin y z sin cos. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, kita dapatkan 5

57 Sehingga, z x z x sin z x sin cos. sin x y sin y z sin z x x z x z y z x sin cos cos x z z y x y 4sin sin sin x y y z z x 4sin sin sin 14. Buktikan bahwa Diketahui bahwa 4cos 9 4cos 7 tan 9. cosx cosx 4cos x cos x 4cos x cos x untuk semua nilai x k 1 90,k Z. Jadi, cos 7 cos81 cos81 cos9 cos 7 cos9 4cos 9 4cos 7 = sin 9 tan 9 cos9 15. Buktikan bahwa a b ab sin x cos x berlaku untuk semua bilangan real a, b, x dengan a, b 0 dan 0x. Pertidaksamaan diatas dapat dijabarkan menjadi a b ab sin x cos x 54

58 a b ab 1 1 ab ab sin x cos x sin x cos x a b ab sin x cos x sin x cos x Dengan menggunakan rumus sudut ganda, kita tahu bahwa sin x cos x = 1 1 sin x dimana ab ab ab ab sin x cos x sin x cos x. Kombinasi antara tiga pertidaksamaan sebelumnya akan memberikan hasil yang diinginkan. 16. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa (a) (b) A B B C A C tan tan tan tan tan tan 1 A B C tan tan tan 9 (a) Dengan menggunakan rumus pengurangan dan penjumlahan, kita mendapatkan dengan A + B + C = 180, terbukti. A B A B A B tan tan tan 1 tan tan AB C 90, dan tan cot. Jadi, A B C A B B C C A tan tan tan tan tan tan A B C C A B tan tan tan cot 1 tan tan, A B A B tan tan 1 tan tan 1 (b) Dengan menggunakan pertidaksaman aritmatika-geometri, kita mendapatkan dimana A B B C C A A B C, 1 tan tan tan tan tan tan tan tan tan 55

59 A B C A B C cot cot cot cot cot cot. 17. Misal ABC merupakan segitiga lancip. Buktikan bahwa (a) tan A tan B tanc tan Atan BtanC (b) tan A tan Btan C (a) Perlu diperhatikan bahwa karena A, B, dan C 90, semua pernyataan matematis dapat ditentukan. Persoalan ini sejenis dengan bagian (a) soal 16. Dengan menggunakan pertidaksamaan aritmatik-geometri didapatkan, (b) Dari jawaban (a), kita mendapatkan dari persamaan (b). tan A tan B tan C tan A tan Btan C tan A tan BtanC tan A tan BtanC Catatan: Perhatian! Persamaan (a) berlaku untuk semua sudut A, B, dan C dengan A + B + C = mπ dan A, B, dan C, dimana k dan m terdapat dalam Z. k 18. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa cot Acot Bcot Bcot Ccot Ccot A 1. Kemudian, buktikan jika x, y, dan z adalah bilangan real dengan xy + yz + zx = 1 dimana dalam segitiga ABC diketahui bahwa cot A = x, cot B = y, dan cot C = z. Jika ABC suatu segitiga beraturan, maka secara umum, asumsikan bahwa A = 90. Lalu cot A = 0 dan B + C = 90, sehingga cot B cot C = 1. Hal ini menggambarkan hasil yang akan didapatkan nantinya. Jika A, B, C 90, dimana tan A tan B tan C dapat ditentukan, maka tan A tan B tan C tan A tan Btan C. Kemungkinan ini dapat dianggap benar karena cot x merupakan fungsi bijektif dari interval (0, 180 ) menuju (, ). 19. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa 56

60 A B C A B C. sin sin sin sin sin sin 1 Kemudian, buktikan jika x, y, dan z bilangan real positif dalam dimana dalam segitiga ABC berlaku x y z xyz 1, A x sin, B y sin, dan C z sin. Penyelesaian persamaan x y z xyz 1 secara kuadratik dalam x menghasilkan yz 4y z 4 y z 1 x yz 1 y 1 z. Kemudian, dengan melakukan substitusi trigonometri dengan y = sin u dan z = sin v, dimana 0 < u, v < 90 akan menghasilkan Misalkan B u, Selanjutnya didapatkan bahwa sehingga Kemudian, x sin usin v cosucos v cos u v. C v, dan A 180 B C. Diketahui bahwa B C 1 y z sin sin dan cos B C sin. B 0, C 90, dan B C C cos sin cos 90 B C 90 atau B + C < 180. A x cosu v sin B y sin C z sin dengan A, B, dan C merupakan sudut segitiga tersebut. Jika ABC suatu segitiga, seluruh langkah diatas akan memberikan hasil yang diinginkan. 0. Misal ABC suatu segitiga. Buktikan bahwa 57

61 (a) A B C 1 sin sin sin ; dan 8 A B C (b) sin sin sin. 4 (a) Dari soal no. 8, kita mendapatkan A B C abc sin sin sin a b b c c d Dengan menggunakan pertidaksamaan aritmatik-geometri didapatkan a bb cc a ab bc ac 8abc. Kombinasi antara dua persamaan tersebut akan dapat membuktikan persamaan diatas. (b) Pemecahan masalah dapat dilakukan mengikuti cara (a) dan jawaban soal no Dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa (a) sin A sin Bsin C 4sin Asin BsinC ; (b) cos A cos B cos C 1 4cos Acos BcosC ; (c) (d) sin A sin B sin C cos Acos Bcos C ; cos A cos B cos C cos Acos Bcos C 1. Kemudian, jika x, y, dan z suatu bilangan real positif dimana x y z xyz 1, tunjukkan bahwa terdapat segitiga ABC lancip dengan x = cos A, y = cos B, dan z = cos C. Bagian (c) dan (d) dapat diselesaikan dengan melihat jawaban soal (b) karena cos x = 1 sin x 1. Kami hanya menyelesaikan soal (a) dan (b). (a) Dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus dan mengetahui bahwa A + B + C = 180, kita mendapatakan sin A sin B sin C sin A B cos A B sin C 58

62 sin Ccos A B sin CcosC sin C cos A B cos A B sin C sin Asin B 4sin Asin Bsin C (b) Dengan menggunakan rumus penjumlahan cosinus, kita mendapatakan cosa cosb cos A Bcos A B cosccos A B karena A + B + C = 180. Perhatikan bahwa atau cos C 1 cos C sehingga cosc cos A B cosc 4cosAcosBcosC, cosc cos A B cos A B cosacosbcosc dimana persamaan tersebut didapatkan dengan dasar cos A B cos A B cosacosb. Dari persamaan yang diberikan, kita mendapatkan 1 x, 1 y, dan memisalkan x cos A, y cosb dimana 0 A, B 90. Karena x y z xyz merupakan fungsi z yang selalu naik, akan didapatkan nilai c postif dari persamaan tersebut. Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa z = cos C, dimana C = 180 A B. Karena cos A cos B x y 1, akan diketahui bahwa cos B sin A. Karena 0 A, B 90, harga cosb sin A cos 90 A yang menandakan bahwa A + B 90. Jadi, C 90 dan cosc 0. Catatan: Penyelesaian soal (d) dapat menggunakan cara yang tidak biasa. Pertama, sistem persamaan pada soal tersebut diubah menjadi x cos B y cosc z 0 cos B x y cos A z 0 cos C x cos A y z 0 Misalkan (x, y, z) = (sin A, sin B, sin C) sehingga determinan dari sistem adalah 0; dengan 59

63 1 cos B cosc 0 cos B 1 cos A cosc cos A 1 1 cos Acos Bcos C cos A cos B cos C. Dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa A B C cos A cos B cos C 1 4sin sin sin. Dengan menggunakan rumus penjumlahan trigonometri dan rumus sudut ganda, kami dapatkan bahwa dan A B A B C A B cos A cos B cos cos sin cos Dari persamaan tersebut didapatkan atau C C A B 1 cos C sin sin cos. C A B A B A B C sin cos cos 4sin sin sin A B A B A B cos cos sin sin. Dengan menjumlahkan persamaan diatas, hasil akan dapat diketahui.. Buktikan bahwa tanx tan x tan x tan x k Untuk semua x, dimana k terdapat dalam Z. 6 Dari rumus sudut tripel, didapatkan tan x tan x tan x 1tan x 60

64 Berlaku untuk semua nilai x tan x tan x tan x 1 tan x 1 tan x tan x tan x tan x 1 tan x 1 tan x tan x tan x tan x k, dimana k merupakan Z Diketahui bahwa tentukan nilai n yang memenuhi. Perhatikan bahwa Sehingga n 1 tan11 tan... 1 tan 45, sin k cos k sin k 1 tan k 1 cos k cos k sin 45 k cos 45 k cos k cos k cos 45 k cos k 1 tan k 1 tan 45 k. cos k cos 45 k Hasil tersebut digunakan untuk menentukan nilai n sebagai berikut 1 tan11 tan 1 tan 45 1 tan11 tan 441 tan 1 tan 4 1 tan 1 tan 1 tan 45, nilai n =. 5. Buktikan bahwa dalam segitiga ABC berlaku a b A B C tan tan. a b Dari hukum sinus dan rumus penjumlahan sudut akan didapatkan a b sin A sin B sin cos a b sin A sin B sin cos AB AB AB AB 61

65 A B A B A B C tan cot tan tan 6. Dalam segitiga ABC, a dan C 60. Carilah nilai sudut A dan B. b Dari persoalan sebelumnya kita ketahui bahwa Sehingga dengan a b a b 1 A B C tan tan. 1 1 A B 1 tan, A B tan 1. Diketahui bahwa A B 90 dan A + B = 180 C = 10 sehingga A = 105 dan B = Misal a, b, dan c bilangan real diantara 1 dan 1 dimana a + b + c = abc. Buktikan bahwa a b c 4abc 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Misalkan a = tan x, b = tan y, c = tan z dimana x, y, z. k 4, untuk semua bilangan k. Pada keadaan a + b + c = abc berarti bahwa tan (x + y + z) = 0. Dari penggunaan rumus sudut rangkap didapatkan Jadi, tan x y z tan x y z 0. 1 tan x y z tan x tan y tan z tan x tan ytan z, hal ini mirip dengan no. 17 (a) yang disederhanakan menjadi tan x tan y tan z 1 tan x 1 tan y 1 tan z tan x tan y tan z 1 tan x 1 tan y 1 tan z Jawaban dapat ditentukan dengan mensubstitusikannya.. 6