Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan metode operator diferensial. Sebelumnya akan dibicarakan terlebih dahulu tentang operator diferensial. Misalkan x fungsi dari t yang mempunyai turunan sampai tingkat n. Operator diferensial (terhadap t), ditulis dengan D, didefinisikan sebagai operasi penurunan terhadap t. Dalam hal ini turunan x terhadap t ditulis dengan Dx, dengan kata lain: Dx: =. Secara umum turunan tingkat n (n = 1,2,...) dari x terhadap t akan dinyatakan dengan D x, yaitu D x, n = 1,2, Dengan notasi di atas, ekspresi diferensial linear order 2 dengan koefisien konstan, yaitu a + a + a x = F(t) dapat dinyatakan dengan a D x + a Dx + a x = F(t) (a D + a D + a )x = F(t) Contoh 1. Tentukan penyelesaian umum sistem + x 6y = e + 2 2x 6y = t dengan metode operator diferensial. (D 1)x + (D 6)y = e (D 2)x + (2D 6)y = t Selanjutnya, dikerjakan dengan metode eliminasi: (i) Mencari x(t): Menyamakan koefisien y, yaitu operator (2D 6) dan (D 6) masing-masing diaplikasikan pada persamaan perta-ma dan kedua, maka diperoleh: (2D 6)(D 1)x + (2D 6)(D 6)y = (2D 6)e (D 6)(D 2)x + (D 6)(2D 6)y = (D 6)t
(ii) [(2D 6)(D 1) (D 6)(D 2)]x = (2D 6)e (D 6)t [2D 8D + 6 (D 8D + 12)]x = 6e 6e 1 + 6t (D 6)x = 6 1 x = c e + c e t +. Mencari y(t): Menyamakan koefisien x, yaitu operator (D 2) dan (D 1) masing-masing diaplikasikan pada persamaan pertama dan kedua, maka diperoleh: (D 2)(D 1)x + (D 2)(D 6)y = (D 2)e (D 1)(D 2)x + (D 1)(2D 6) y = (D 1)t [(D 2)(D 6) (D 1)(2D 6)]y = (D 2)e (D 1)t [D 8D + 12 (2D 8D + 6)]y = 3e 2e 1 + t ( D + 6)y = e + 1 (D 6)y = e t + 1 y = k e + k e +. Selanjutnya, dicari hubungan antara c 1, c 2 dengan k 1, k 2. Dari proses di atas diperoleh x = c e + c e t + y = k e + k e +. Oleh karena itu, = c 6e 6c e 1 = k 6e k 6e e +. Selanjutnya disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan pada sistem persamaan, misal persamaan pertama: + x 6y = e c 6e 6c e 1 + k 6e k 6e e + c e + c e t + 6 k e + k e + = e3t 6 1c + 6 6k e + 6 + 1c + 6 + 6k e = 0
Jadi supaya persamaan di atas dipenuhi, haruslah: Diperoleh 6 1c + 6 6k = 0 6 + 1c + 6 + 6k = 0 k = c = c k = c = c. Jadi, penyelesaian sistem persamaan di atas : x = c e + c e t + y = c e + c e +, dengan c dan c konstanta-konstanta sebarang. Contoh 2. Tentukan penyelesaian umum sistem 2 2 2 + 2 + 3x + 8y = 2 dengan metode operator diferensial. (2D 3)x 2Dy = t (2D + 3)x + (2D + 8)y = 2 Selanjutnya, dikerjakan dengan metode eliminasi: (i) Mencari x(t): Menyamakan koefisien y, yaitu operator (2D + 8) dan 2D masingmasing diaplikasikan pada persamaan pertama dan kedua, maka diperoleh: (2D + 8)(2D 3)x (2D + 8)2Dy = (2D + 8)t 2D(2D + 3)x + 2D(2D + 8)y = 2D2 Apabila persamaan pertama ditambah persamaan kedua, maka [(2D + 8)(2D 3) + 2D(2D + 3)]x = (2D + 8)t + 2D2 [4D + 10D 24 + (4D + 6D)]x = 2 + 8t (8D + 16D 24)x = 8t + 2 (D + 2D 3)x = t + x = c e + c e.
(ii) Mencari y(t): Menyamakan koefisien x, yaitu operator (2D + 3) dan (2D 3) masing-masing diaplikasikan pada persamaan pertama dan kedua, maka diperoleh: (2D + 3)(2D 3)x (2D + 3)2Dy = (2D + 3)t (2D 3)(2D + 3)x + (2D 3)(2D + 8)y = (2D 3)2 [ (2D + 3)2Dy (2D 3)(2D + 8)]y = (2D + 3) (2D 3)2 [ 4D 6D (4D + 10D 24)]y = 2 + 3t + 6 ( 8D 16D + 24)y = 3t + 8 (D + 2D 3)y = 1 y = k e + k e + t +. Selanjutnya, dicari hubungan antara c 1, c 2 dengan k 1, k 2. Dari proses di atas diperoleh x = c e + c e y = k e + k e + t +. Oleh karena itu, = c e 3c e = k e 3k e +. Selanjutnya disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan pada sistem persamaan, misal persamaan pertama: 2 2 2 c e 3c e 2 k e 3k e + 3 c e + c e = t ( c 2k )e + ( 9c + 6k )e = 0 Jadi supaya persamaan di atas dipenuhi, haruslah: c 2k = 0 dan 9c + 6k = 0 Diperoleh k = c dan k = c. Jadi, penyelesaian sistem persamaan di atas : x = c e + c e y = c e + c. e + t +. dengan c dan c konstanta-konstanta sebarang.
B. Cara Alternatif Dalam hal ini x dicari dengan cara yang sama seperti di atas. Sedangkan untuk mencari y, dilakukan prosedur alternatif berikut. Pertama-tama dilakukan eliminasi semua suku yang memuat turunan y dari sistem, sehingga didapat suatu relasi yang memuat y, x dan atau turunan-turunan dari x, tetapi tidak memuat turunan-turunan dari y. Karena x sudah diketahui, maka dengan mensubstitusikan x dan atau turunan-turunan dari x ke dalam relasi tersebut akan didapat persamaan linear dengan satu variabel y. Contoh 3. Tentukan penyelesaian umum sistem 2 2 2 + 2 + 3x + 8y = 2 dengan prosedur alternatif. (2D 3)x 2Dy = t (2D + 3)x + (2D + 8)y = 2 Pada Contoh 2 (dengan cara yang sama) telah diperoleh x = c e + c e, dengan c dan c konstanta sebarang. Diperoleh juga = c e 3c e. Selanjutnya, akan ditentukan y dengan prosedur alternatif. Jika persamaan pertama ditambah persamaan kedua (agar Dy hilang) diperoleh [(2D 3) + (2D + 3)]x + [ 2D + (2D + 8)]y = t + 2 4Dx + 8y = t + 2 yang tidak memuat turunan dari y, yaitu Dy. Sehingga diperoleh 4 c e 3c e + 8y = t + 2 8y = 4c e + 12c e + + t + 2 8y = 4c e + 12c e + t + y = c e + c. e + t +. Jadi, penyelesaian sistem persamaan di atas : x = c e + c e y = c e + c. e + t +. dengan c dan c konstanta-konstanta sebarang.