Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA. Distribusi Normal. 1-Sep-14

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA Distribusi Normal 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 1

Distribusi Binomial Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai Distribusi Binomial Histogram Distribusi Probabilitas Sukses 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 2

Distribusi Binomial (2) Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5, 4, 3, 2, 1, 0? 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 3

Distribusi Binomial (3) Setiap kali pemilihan prob(as) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(as) = ¼ = 0.25 = p prob(ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(ag) = 1 p = 0.75 = q Dalam 5 kali pemilihan peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah f X 5 3 2 x; n, p f 3;5,0.25 0.25 0.75 0. 088 X 3 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 4

Distribusi Binomial (4) Dalam 5 kali pemilihan, n = 5 Koefisien binomial Jumlah sukses Jumlah perolehan sukses Peluang perolehan sukses 0 1 0.237 1 5 0.396 2 10 0.264 3 10 0.088 4 5 0.015 5 1 0.001 Σ = 1.000 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 5

Probabilitas 0.45 0.40 0.35 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.396 n = 5 0.30 0.25 0.20 0.237 0.264 0.15 0.10 0.05 0.00 0.088 0.015 0.001 0 1 2 3 4 5 Frekuensi perolehan dana 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 6

Distribusi Binomial Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang 10 tahun 20 tahun n tahun diperoleh n + 1 kemungkinan hasil Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n 1 kali,... 0 kali 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 7

Probabilitas 0.30 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.282 0.25 0.250 n = 10 0.20 0.188 0.15 0.146 0.10 0.05 0.056 0.058 0.00 0.016 0.003 0.000 0.000 0.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frekuensi perolehan dana 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 8

Probabilitas 0.25 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.20 0.19 0.20 n = 20 0.17 0.15 0.13 0.11 0.10 0.07 0.06 0.05 0.02 0.03 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Frekuensi perolehan dana 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 9

Distribusi Binomial vs Kurva Normal Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >> histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram kurva mulus berbentuk seperti lonceng Kurva Normal 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 10

Probabilitas 0.25 0.20 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana n = 20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20-0.05 Frekuensi perolehan dana 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 11

Kurva Normal Distribusi Normal Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah dalam MS Excel 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 12

Distribusi Normal Karakteristik simetri terhadap nilai rata-rata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rata-rata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 13

Distribusi Normal Luas = 1 + - - - - X 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 14

Luas = 0.00135 Luas = 0.00135 Distribusi Normal Luas = 0.9973 + - - - - X 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 15

pdf p X (x) N(μ,σ 2 ) + p X -1 2 2-1 2 2 x- x e 2 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 16

pdf p X (x) N(μ 1,σ 12 ) N(μ 2,σ 22 ) μ 1 = μ 2 = μ 3 σ 1 < σ 2 < σ 3 N(μ 3,σ 32 ) + 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 17

pdf N(μ 1,σ 12 ) N(μ 2,σ 22 ) N(μ 3,σ 32 ) p X (x) μ 1 < μ 2 < μ 3 σ 1 = σ 2 = σ 3 μ + 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18

Distribusi Normal Jika X berdistribusi normal, N(, 2 ), maka probabilitas X x dapat dicari dengan: prob x 2-1 2-1 2 t- X x PX x 2 e - 2 2 dt luas di bawah kurva pdf cdf 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 19

pdf - cdf p X (x) cdf P X (x) 1 pdf + 0 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 20

Distribusi Normal Luas di bawah kurva menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank prob(x x) = prob( X x) = luas di bawah kurva antara s.d. x prob( X + ) = 1 = luas di bawah kurva antara s.d. + prob(x x) = prob(+ X x) = luas di bawah kurva antara x s.d. + = 1 prob(x x) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 21

Distribusi Normal Probabilitas prob(x ) = prob(x ) = 0.50 prob(-x X ) = prob( X x) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 22

Distribusi Normal Probabilitas prob(x = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x = 0 prob(x x) = prob(x < x) prob(x x) = prob(x > x) prob(x a X x b ) = prob(x a < X < x b ) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 23

Distribusi Normal Standar Distribusi normal umumnya disajikan dalam bentuk distribusi normal standar dipakai nilai z scores z X X - Z berdistribusi normal dengan = 0 dan = 1, N(0,1) distribusi normal standar 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24

1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 25 Distribusi Normal Standar - - z e z p z Z 2 2 2 1 - - z t Z t e z P z Z d 2 1 prob 2 2

Distribusi Normal Standar + - - -1 0 1 Z - - - X 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 26

Tabel Distribusi Normal Standar Tabel z vs ordinat kurva normal standar z vs ordinat pdf (probability density function) Tabel z vs luas di bawah kurva z vs cdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. z x luas kurva dari s.d. z x 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 27

Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative) x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya mean = nilai rata-rata (aritmetik) standard_dev = nilai simpangan baku cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf NORM.INV(probability,mean,standard_dev) probability = probabilitas suatu distribusi normal mean = nilai rata-rata (aritmetik) standar_dev = nilai simpangan baku 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 28

Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal Standar Ingat NORM.S.DIST(z) menghitung nilai cdf distribusi normal standar NORM.S.INV(probability) kebalikan dari NORM.S.DIST(z) mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui Distribusi Normal Standar mean = 0 simpangan baku = 1 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 29

Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 1 NORM.DIST(15,12,3,TRUE) rata-rata = 12 simpangan baku = 3 prob(x < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.841 NORM.INV(0.8,12,3) prob(x < x) = 0.8 x = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.52 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 30

Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 2 NORM.S.DIST(3) rata-rata = 0 simpangan baku = 1 prob(z < 3) = NORM.S.DIST(3) = 0.9987 prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3) 0.5 = 0.4987 prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3) NORM.S.DIST(1) prob(z > 1.5) = 1 NORM.S.DIST(1.5) NORM.S.INV(0.65) prob(z < z) = 0.65 z = NORM.S.INV(0.65) = 0.385 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 31

Perintah (Fungsi) MS Excel Tugas Buatlah tabel distribusi normal standar tabel pdf tabel cdf Dapat memakai perintah MS Excel untuk mengerjakannya 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 32

Fungsi Linear Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, N(, 2 ) Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal N(a+b, b 2 2 ) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 33

Teorema Limit Sentral X i, i = 1,2,,n masing-masing variabel random yang berdistribusi n normal N(, 2 ) s n X i i1 Jika n distribusi s n mendekati (asimtotis) distribusi normal N(n,n 2 ) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 34

Kurva Normal KURVA PENGAMATAN VS KURVA TEORETIK 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 35

Kurva Normal Data Pengamatan Perbandingan antara data pengamatan vs distribusi normal Contoh data debit puncak tahunan (lihat tabel) klas ke-2: 200 300 m 3 /s 250 m 3 /s debit rata-rata 659 m 3 /s 660 m 3 /s simpangan baku debit 212 m 3 /s 210 m 3 /s 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 36

Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) 1 473 23 1110 45 843 2 544 24 717 46 450 3 872 25 961 47 284 4 657 26 925 48 460 5 915 27 341 49 804 6 535 28 690 50 550 7 678 29 734 51 729 8 700 30 991 52 712 9 669 31 792 53 468 10 347 32 626 54 841 11 580 33 937 55 613 12 470 34 687 56 871 13 663 35 801 57 705 14 809 36 323 58 777 15 800 37 431 59 442 16 523 38 770 60 206 17 580 39 536 61 850 18 672 40 708 62 829 19 115 41 894 63 887 20 461 42 626 64 602 21 524 43 1120 65 403 22 943 44 440 66 505 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 37

Debit (m 3 /s) Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ 1200 1000 800 600 400 200 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Tahun ke- 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 38

Tabel Frekuensi Debit (m 3 /s) Frekuensi Frekuensi Relatif 100 200 150 1 0.02 200 300 250 2 0.03 300 400 350 3 0.05 400 500 450 10 0.15 500 600 550 9 0.14 600 700 650 12 0.18 700 800 750 10 0.15 800 900 850 11 0.17 900 1000 950 6 0.09 1000 1100 1050 0 0.00 1100 1200 1150 2 0.03 66 1.00 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 39

Frekuensi relatif Histogram Data Pengamatan 0.20 Data pengamatan 0.15 0.10 0.05 0.00 Debit (m 3 /s) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 40

Frekuensi relatif Histogram Data Pengamatan 0.20 0.15 Distribusi normal teoretik Data pengamatan 0.10 0.05 0.00 Debit (m 3 /s) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 41

Pengamatan vs Teoretik Expektasi frekuensi relatif klas ke-2 f Q 300 2-1 2q-Q q 250 2s Q e 200 300-1 2 2-1 2q-660 2 210 e 200 F Q F Z F Z -1 2 300- F 200 Q 300-660 - F 210 2 Q 200-660 210-1.7143- F - 2.1905 0.0432-0.0142 0.0290 Z Z 2 s dq 2 210 2 dq 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 42

Tabel Frekuensi (Distribusi Normal) Debit (m 3 /s) F Q (q atas ) F Q (q bawah ) Frek. Rel. 100 200 150 0.0142 0.0038 0.0104 200 300 250 0.0432 0.0142 0.0290 300 400 350 0.1078 0.0432 0.0646 400 500 450 0.2231 0.1078 0.1152 500 600 550 0.3875 0.2231 0.1645 600 700 650 0.5755 0.3875 0.1880 700 800 750 0.7475 0.5755 0.1720 800 900 850 0.8735 0.7475 0.1259 900 1000 950 0.9473 0.8735 0.0738 1000 1100 1050 0.9819 0.9473 0.0346 1100 1200 1150 0.9949 0.9819 0.0130 0.9911 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 43

1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 44 Pengamatan vs Teoretik Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas Q i Z i Z i Q i Q i i Q z p q z z p q p q p q q f d d

Pengamatan vs Teoretik Cara lain (lanjutan) i 2 : q q i p f Z Q i 100 m z 250 m i 3 3 s 0.0593 0.0593 210 250-660 210 q 100 0. 028 i s z i -1.95 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 45

Tabel Frekuensi (Distribusi Normal) Debit (m 3 /s) p Q (q) Frek. Rel. 100 200 150 9.95E-05 0.0100 200 300 250 2.82E-04 0.0282 300 400 350 6.39E-04 0.0639 400 500 450 1.15E-03 0.1152 500 600 550 1.66E-03 0.1656 600 700 650 1.90E-03 0.1898 700 800 750 1.73E-03 0.1733 800 900 850 1.26E-03 0.1262 900 1000 950 7.32E-04 0.0732 1000 1100 1050 3.39E-04 0.0339 1100 1200 1150 1.25E-04 0.0125 0.9917 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 46

Hitungan dan Penggambaran Hitungan dan penggambaran dilakukan dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 47

Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Umumnya distribusi normal cukup baik untuk mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu khususnya di bagian tengah distribusi kurang baik di sisi pinggir (tail) Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi koreksi tengah interval, x ½, x + ½ misal: prob(x = x) prob(x ½ < X < x + ½) 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 48

Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Diskrit X = x x X y X x X x X < x X > x Kontinu x ½ X x + ½ x ½ < X < y + ½ X < x ½ X > x + ½ X x ½ X x + ½ 1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 49

1-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id 50