Abstract

Ideedet Domiatio Number Pada Graf Oerasi Siti Amiatus Solehah 1,, Ika Hesti Agusti 1,, Dafik 1,3 1 CGANT- Uiversity of Jember Deartmet of Mathematics Educatio - Uiversity of Jember 3 Deartmet of Iformatio System - Uiversity of Jember amiatussolehah93@gmail.com; hestyari@gmail.com; d.dafik@uej.ac.id Abstract Let G be a simle, udirected ad coected grah. A ideedet set or stable set is a set of vertices i a grah i which o two of vertices are adjacet. A set D of vertices of grah G is called a domiatig set if every vertex u V (G) D is adjacet to some vertex v D. A set S of vertices i a grah G is a ideedet domiatig set of G if S is a ideedet set ad every vertex ot i S is adjacet to a vertex i S. A miimum ideedet domiatig set is a ideedet set of smallest ossible size for a give grah G. This size is called the ideedece umber of G, ad deoted i(g). Oeratio Grah is a techical to get a ew grah tyes by erformig the oeratio of two or more grahs. Power Grah is a oeratio grah where let the grah G ad H, otatio of the ower grah is (G H ). Keywords: r-dyamic colorig, r-dyamic chromatic umber, grah oeratios. Pedahulua Teori graf adalah bagia dari matematika diskrit yag bayak diguaka sebagai alat batu utuk meggambarka suatu ersoala agar lebih mudah dimegerti da diselesaika. Teori graf ertama kali dierkealka oleh Leohard Euler, seorag matematikawa berkebagsaa Swiss ada tahu 1736 melalui tulisaya yag berisi uaya emecaha masalah Jembata Koigsberg yag sa-gat sulit diecahka ada masa itu. Meskiu ada awalya graf dicitaka utuk diteraka dalam eyelesaia kasus, amu graf telah megalami erkembaga yag sagat luas didalam teori graf itu sediri. Graf G adalah asaga himua (V, E) dimaa V adalah himua tidak kosog dari eleme yag disebut titik (vertex), da E adalah himua sisi (boleh kosog) dari asaga tidak terurut dua titik (v 1,v ) dimaa v 1,v V, yag disebut sisi (edges). V disebut himua titik dari G, da E disebut himua sisi dari G. Serigkali kita meuliska V (G) adalah himua titik dari graf G da E(G) adalah himua sisi dari graf G. Jadi sebuah graf dimugkika tidak memuyai sisi satu buah u, tetai Vertexya harus ada miimal satu. Graf yag haya memuyai satu buah titik taa sebuah sisi u diamaka graf trivial [4]. Bayakya titik (order) ada suatu graf G daat diotasika dega V (G) da bayakya sisi (size) yag diotasika dega E(G). Secara umum graf daat digambarka dega suatu diagram dimaa verteks yag ditujukka sebagai titik yag diotasika dega v i,i = 1,,3... da sisi yag digambarka

Siti, et.al: Ideedet Domiatio Number Pada Graf Oerasi 48 dega sebuah garis lurus atau dega garis legkug yag meghubugka dua verteks v i,v j da diotasika e k,k = 1,,3,...,q. Dega kata lai titik ada graf daat diomori dega huruf, dega bilaga asli, atau dega megguaka huruf da agka (bilaga asli). Misalka v i da v j adalah titik ada suatu graf, maka sisi yag meghubugka titik v i da v j diyataka dega asaga (v i, v j ) atau dega lambag e 1, e, e 3,..., e []. Salah satu teori yag dikembagka dalam teori graf adalah ideedet domiatig set. Ideedet domiatig set dielajari sejak tahu 1960 yag kemudia berkembag ada berbagai alikasi. Ideedet domiatig set meruaka suatu kose eetua titik semiimal mugki ada graf dega ketetua titik sebagai Ideedet domiatig set mejagkau titik yag ada di sekitarya da tidak adjacet. Kardialitas terkecil dari Ideedet domiatig set disebut Ideedet domiatio umber yag diotasika dega i(g). Saat ii ideedet domiatig set tidak haya diteraka ada graf khusus saja, tetai juga diteraka ada hasil oerasi graf. Oerasi graf meruaka oerasi terhada dua buah graf atau lebih sehigga meghasilka graf baru. Pada eelitia ii, eeliti aka megembagka teori ideedet domiatig set ada hasil oerasi graf eksoesial. Meurut Hayes da Heig dalam Agusti da Dafik (014) [1], himua D dari titik graf sederhaa G diamaka domiatig set jika setia titik u V (G) D adjacet ke beberaa titik v D. Kardialitas terkecil dari domiatig set disebut domiatio umber yag diotasika dega γ (G). Domiatig set D dega D = γ (G) diamaka miimum domiatig set. Meurut Hayes da Heig (00) [3], batas atas dari domiatio umber adalah bayakya titik di graf. Ketika alig sedikit satu titik yag dibutuhka utuk himua domiasi di graf, maka 1 γ (G) utuk setia graf ber-order. Nilai dari domiatio umber selalu γ (G) V (G). Lemma 1 Utuk sebarag graf G, maka: 1+ (G) γ(g) (G) Bukti. Misalka S adalah sebuah domiatig set dari G. Utuk batas bawahya, setia titik daat sebagai domiatig set da memuyai (G) ke titik yag lai. Berakibat, γ(g). Utuk batas atasya, misalka v adalah titik dega derajat maksimum ( (G)) da N[v] meruaka titik yag adjacet dega v. Maka v sebagai domiatig set dari N[v] da titik-titik di V N[v] meruaka domiatig set mereka sediri. Berakibat, V N[v] meruaka domiatig set dega kardialitas (G), sehigga γ(g) (G). Maka γ(g) (G).

Siti, et.al: Ideedet Domiatio Number Pada Graf Oerasi 49 Hasil Peelitia Dari hasil eelitia ii dieroleh 3 teorema yaitu ideedet domiatio umber ada graf G. Peelitia berikut aka meujukka bahwa jumlah domiatio umber aka mecaai batas bawah dari γ(g). Teorema 1 Utuk da m 3, ideedet domiatio umber dari eragkata graf P adalah i(p ) = { 1, utuk gajil, utuk gea Bukti. Graf eksoesial P adalah graf terhubug dega himua titik V (P ) = {A i ;1 i } {x ij ;1 i 1;1 j m}, da himua sisi E(P ) = {A i A i+1 ;1 i 1} {A i x ij ;1 i 1;1 j m} {A i+1 x i,j ;1 i 1;1 j m}. Sehigga = V (P ) = m + m, q = E(P Berdasarka teorema 1, yaitu γ = m+ m m+3 = 1 ) = m + m + 1, da (P ) = m +. sehigga γ(p ) m+ m 1+m+ utuk gajil. Selajutya diilih himua titik domiator dari P yaitu D = {A i,i gea} yag medomiasi titik laiya yag ditujukka ada sisi berikut {(A i x ij ),(A i x i,j )} maka setia titik di (P adjacet dega D = {A i,i gea}, sehigga γ(p ) D = 1 ). Oleh ) = 1. Himua karea γ(p ) 1 da γ(p ) 1, maka γ(p D memuat {A i } eleme yaitu D = {A i,i gea}. Jika ilai-ilai i dimasuka, aka didaat eleme D = {A,A 4,A 8,...,A i ;i gea}, karea ada sisi yag berhubuga atara A sediri adalah {A i A i+1 } maka A tidak mugki bertetagga dega A 4 serta A 4 tidak mugki bertetagga dega A 8 da seterusya. Sehigga {A i,i gea} utuk setia i ada eleme dari D tidak bertetagga maka D adalah himua yag ideedet. Dega demikia didaatka ilai i(p ) = γ(p ) = 1. Berdasarka teorema 1, yaitu γ m+ m m+3 = dari P sehigga γ(p ) m+ m utuk gea. Selajutya diilih himua titik domiator 1+m+ = yaitu D = {A i,i gea} yag medomiasi titik laiya yag ditujukka ada sisi berikut {(A i x ij ),(A i x i,j )} maka setia titik di (P ) adjacet dega D = {A i,i gea}, sehiga γ(p ) D =. Oleh karea γ(p ) da γ(p ), maka γ(p ) =. Himua D memuat {A i} eleme yaitu D = {A i,i gea;1 i }. Jika ilai-ilai i dimasuka, aka didaat eleme D = {A,A 4,A 8,...,Ai gea}, karea ada sisi yag berhubuga atara {A} sediri adalah {A i A i+1 } maka {A } tidak mugki bertetagga dega {A 4 }.karea ada sisi yag berhubuga atara A sediri adalah {A i A i+1 }

Siti, et.al: Ideedet Domiatio Number Pada Graf Oerasi 50 maka A tidak mugki bertetagga dega A 4 serta A 4 tidak mugki bertetagga dega A 8 da seterusya. Sehigga {A i,i gea} utuk setia i ada eleme dari D tidak bertetagga maka D adalah himua yag ideedet. Dega demikia didaatka ilai i(p ) = γ(p ) =. Teorema Utuk = 3 da m 3, ideedet domiatio umber dari eragkata graf L 3 adalah i(l 3 ) =. Bukti. Graf eksoesial L 3 adalah graf terhubug dega himua titik V (L 3 ) = {A i, B i ;1 i 3} {x ij, z ij ;1 i ;1 j m} {y ij ;1 i 3;1 j m}, da himua sisi E(L ) = {A i A i+1 ;1 i } {B i B i+1 ;1 i } {A i B i ;1 i 3} {A i x ij ;1 i ;1 j m} {A i+1 x ij ;1 i ;1 j m} {A i y i,j ;1 i 3;1 j m} {B i y i,j 1 i 3;1 j m} {B i x i,j ;1 i ;1 j m} {B i+1 z i,j ;1 i ;1 j m}. Sehigga = V (L 3 ) = 7m + 6, q = E(L3 ) = 14m + 7, da (L 3 ) = 3m + 3. Berdasarka teorema 1, yaitu γ sehigga γ(l 3 ) 7m+6 1+3m+3 = 7m+6 3m+4 =. Selajutya diilih himua titik domiator dari L 3 yaitu D = {A i,i gajil} {B i,i gea} yag medomiasi titik laiya yag ditujukka ada sisi berikut {(A i A i+1 ),(B i B i+1 ),(A i x ij ),(A i+1 x ij ),(A i y i,j ), (B i y i,j ),(B i x i,j ),(B i+1 z i,j )} maka setia titik di G(L3 ) adjacet dega D = {A i,i gajil} {B i,i gea} D sehigga γ(l 3 ) D =. Oleh karea γ(l 3 ) da γ(l 3 ), maka γ(l3 ) =. Himua D memuat A i ;B i eleme yaitu D = {A i,i gajil} {B i,i gea}. Jika ilai-ilai i dimasuka, aka didaat eleme D = {A 1,B,A 3,B 4,...,A ;B }, karea ada sisi yag berhubuga atara A da B sediri adalah {A i,b i } maka {A 1 } tidak mugki bertetagga dega {B }. Sehigga D = {A i,i gajil} {B i,i gea} utuk setia i ada eleme dari D tidak bertetagga maka D adalah himua yag ideedet. Dega demikia didaatka ilai i(l 3 ) = γ(l 3 ) =. Teorema 3 Utuk 4, gea da m 3, ideedet domiatio umber dari eragkata graf C adalah i(c ) =. Bukti. Graf eksoesial C adalah graf terhubug dega himua titik V (C ) = {x i,y i,j ;1 i ;1 j m}, da himua sisi E(C ) = {x i x i+1 ;1 i 1} {x x 1 } {x i y i,j ;1 i ;1 j m} {x i+1 y i,j ;1 i 1;1 j m} {x 1 y,j ;;1 j m}. Sehigga = V (C ) = m+, q = E(C ) = m +, da (C ) = m +. = Berdasarka Teorema 1, yaitu γ sehigga γ(c ) m+ 1+m+ utuk gea. Selajutya diilih himua titik domiator dari C

Siti, et.al: Ideedet Domiatio Number Pada Graf Oerasi 51 yaitu D = {x i,i gea} yag medomiasi titik laiya yag ditujukka ada sisi berikut {(x i y i,j ),(x i+1 y i,j )} maka setia titik di C adjacet dega D = {x i,i gea}, sehigga γ(c ) D =. Oleh karea γ(c ) da γ(c ), maka γ(c ) =. Himua D memuat x i eleme yaitu D = {x i,i gea}. Jika ilai-ilai i dimasuka, aka didaat eleme D = {x,x 4,x 8,...,x }, karea ada sisi yag berhubuga atara x sediri adalah {(x i x i+1 ),(x x i )} maka x tidak mugki bertetagga dega x 4. Sehigga {x i,igea} utuk setia i ada eleme dari D tidak bertetagga maka D adalah himua yag ideedet. Dega demikia didaatka ilai i(c ) = γ(c ) =. Kesimula Berdasarka hasil dari embahasa ada bagia sebelumya, daat disimulka bahwa: 1. i(p ) = { 1, utuk gajil, utuk gea. i(l ) = 3. i(c ) = Oe Problem 1 Berdasarka hasil eelitia megeai ideedet domiatig umber ada beberaa graf oerasi, maka eeliti memberika sara keada embaca agar daat megembagka teori ideedet domiatio set ada hasil oerasi dari graf eksoesial utuk sebarag graf khusus yag mecaai ada batas bawah domiatio umber. Refereces [1] Agusti, I. H. da Dafik. 014. O The Domiatio Number of Some Families of Secial Grahs.Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember, 1 (1). [] Douglas. W. B. 1996. Itroductio to Grah Theory. New Jersey: Pretice- Hall. [3] Hayes, T.W ad Heig, M.A.00. Total Domiatio Good Vertices i Grahs. Australasia Joural of Combiatorics, 6: 305-315.

Siti, et.al: Ideedet Domiatio Number Pada Graf Oerasi 5 [4] Muir, R. 009.Matematika Diskrit Edisi 3. Badug: Iformatika Badug.