-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id
Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini dikenal sebagai suatu proses tak hingga yang merupakan ciri khas dari kalkulus.
Diberikan ungsi Nilai tak tertentu, tetapi untuk, akan mendekati nilai dan untuk = adalah 6, maka 6 I L U S T R A S I
Deinisi : LIMIT Misalkan ungsi yang terdeinisi pada setiap bilangan dalam suatu interval terbuka memuat a, kecuali mungkin di bilangan a sendiri. Limit untuk mendekati a adalah L ditulis : a L Jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan positip >, selalu ada > shg a δ L ε
Limit SEPIHAK L a nilai pada interval yang memuat a tetapi tidak di a sendiri. a dilihat dari dua arah kanan dari a >a kiri dari a <a
LIMIT KANAN Jika adalah ungsi yang terdeinisi pada interval terbuka a,c, maka it untuk mendekati a dari kanan adalah L, LIMIT KIRI Jika adalah ungsi yang terdeinisi pada interval terbuka d,a, maka it untuk mendekati a dari kiri adalah L, : a L a L
KETUNGGALAN Limit a ada & a L jika dan hanya jika a ada a ada dan a a Jika tidak berlaku it tidak ada.
Tentukan it ungsi berikut di titik mendekati jika jika jika p p Contoh Jawab p ada karena p p p
Tentukan it ungsi berikut di titik mendekati jika jika jika h h Contoh Jawab h tidak ada karena h h h
Diberikan ungsi yang dideinisikan Cari it untuk mendekati jika jika Contoh Jawab
. Jika k konstanta dan Siat-siat : LIMIT :,maka ; jika M g L a a dengan d. c. b. a. M M L g g M L g g M L g g kl k k a a a a a a a a a a a
Siat-siat : LIMIT. Jika n bilangan bulat positip dan jika L,maka : a a. b. a a n n a L n n L, dengan L, jika n genap a n n. Jika m, b, dan k konstanta, maka a m b ma b; k k; a a a
7. 5 6 9. 8 8. 9 7. 6. 5..... 9 y y y y Contoh
8 7. 5 6 9. 8 8. 5 9 7. 5 6. 5.. 6... 9 y y y y
Limit TAK HINGGA. L, jika dan hanya jika untuk > selalu ada bilangan A> sehingga untuk >Adipenuhi L ε. L, jika dan hanya jika untuk > selalu ada bilangan A> sehingga untuk <-A dipenuhi L ε
d. c. b. sin a. Contoh 5
Limit SEMU Jika untuk a ternyata maka dikatakan mempunyai it semu termasuk tidak ada itnya, ditulis atau a a
Contoh 6 a. b. c. d.
b. a.
d. c.
K O N T I N U I T A S Diberikan ungsi dan dipertimbangkan tiga kejadian. ungsi tak terdeinisi pada = [ tidak ada]. dideinisikan = sehingga ungsi terdeinisi untuk semua tetapi tidak ada. dideinisikan =5 maka ungsi terdeinisi untuk semua.
y 5 Graik tiga kejadian y 5 y 5 ada tidak ada ada tetapi 5 dan ada
Deinisi : KONTINU ungsi dikatakan kontinu di =a jika dan hanya jika : i a ii a iii a terdeinisi ada a Jika salah satu dari ketiga syarat ini tak dipenuhi di a maka ungsi dikatakan diskontinu di a
Contoh 7 Selidiki kekontinuan ungsi berikut di titik = Jawab ii iii p i p ada jika jika jika p p Fungsi p kontinu di = ada
Contoh 8 Selidiki kekontinuan ungsi berikut di titik = Jawab ii jika h jika jika i h ada h tidak ada Fungsi h diskontinu di =
Contoh 9 Selidiki kekontinuan ungsi berikut di titik = Jawab i ada ii iii jika jika Jadi ungsi kontinu di = ada
Siat-siat : FUNGSI KONTINU Jika dan g ungsi-ungsi yang kontinu di =a, maka. g kontinu di a. g kontinu di a. g kontinu di a. g kontinu di a, asal g a
Barisan adalah ungsi yang domain-nya N himpunan bilangan asli. Misal : maka Deinisi : BARISAN n dengan n N n n ; ; ; n n disebut suku-suku barisan, sedang graik barisan diatas adalah,;, ;, ; ; n, 9 n
Sebuah barisan {a n } dikatakan mempunyai it L jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan >, selalu ada M> shg untuk n>m dipenuhi LIMIT barisan a L ε n Dan ditulis a n n L L ada barisan konvergen L tidak ada barisan divergen.
CONTOH.... n n n n n n n n n n - n n n it semu tidak ada tak ada it
BILANGAN ALAM e Bilangan alam e adalah salah satu contoh bilangan yang diperoleh dari it barisan tak hingga yaitu : Begitu juga e e e n y y n y n p p! dengan,788,y real