KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)

Transkripsi

1 KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) 1

2 4 Kuantor Jenis Lain Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P. ( x)(p(x) ( y)(p(y) = y = x)) Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi sifat p, maka y sama dengan x. Simbol: (!x)p(x) Dibaca: Terdapat dengan tunggal x yang mempunyai sifat p. Contoh: S P Himpunan semua bilangan real (!x)( y)(x + y = y + x = x) 2

3 Contoh: Simbol: Terdapat tepat dua bilangan nyata yang memenuhi x 2 x 6 = 0. ( u, v)(u v u 2 u 6 = 0 v 2 v 6 = 0 ( w)(w 2 w 6 = 0 (w = u w = v))), Terdapat u dan v yang berbeda yang memenuhi x 2 x 6 = 0 dan untuk setiap w yang memenuhi x 2 x 6 = 0, maka w sama dengan u atau v. Bagaimana Untuk: Terdapat n unsur yang bersifat p 3

4 5 Kuantor dengan Pembatasan Contoh: Diberikan kalimat-kalimat berikut ini : 1. Terdapat x yang positif dan bersifat P. 2. Terdapat u yang merupakan elemen A dan bersifat P. 3. Semua x yang positif mempunyai sifat P. 4. Semua u anggota A mempunyai sifat P. Ditulis: 1. ( x)(x > 0 P (x)) Atau: ( x > 0).P (x) 2. ( x)(x A P (x)) Atau: ( x A).P (x) 3. ( x)(x > 0 P (x)) Atau: ( x > 0).P (x) 4. ( x)(x A = P (x)) bf Atau: ( x R).P (x) 4

5 5.1 Ingkaran Kalimat Berkuantor Terbatas Bentuk ingkaran kalimat: 1. ( x > 0).P (x) yaitu ( x > 0).P (x) Dibaca : Semua x positif tidak mempunyai sifat P. 2. ( x A).P (x) yaitu ( x A).P (x) Dibaca : Semua x elemen R tidak mempunyai sifat P. 3. ( x > 0).P (x) yaitu ( x > 0).P (x) Dibaca : Terdapat x positif yang tidak mempunyai sifat P. 4. ( x A).P (x)) yaitu ( x A).P (x) Dibaca : Terdapat x elemen R yang tidak mempunyai sifat P. 5

6 Contoh: Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini. 1. Paling banyak ada satu x yang mempunyai sifat P. 2. Hanya ada satu x yang mempunyai sifat P. 3. Paling banyak ada satu bilangan positif yang bersifat P. 4. Sekurang-kurangnya ada dua x bersifat P. 5. Paling banyak ada dua elemen D yang bersifat P. Penyelesaian: 1. ( x)( y)(p (x) P (y) x = y) ( x)( y)(x y P (x) P (y)). 2. ( x)(p (x) ( y)(p (y) = x = y). 3. ( x)( y)(x > 0 y > 0 P (x) P (y) x = y). 4. ( x)( y)(x y P (x) P (y)). 5. ( x)( y)( z)((p (x) P (y) P (z)) (x = y x = z y = z)). 6

7 Contoh S P : Himpunan semua bilangan real. Tulislah simbolisma logika kalimatkalimat berikut ini. 1. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat δ < ϵ. 2. Ada bilangan L yang memenuhi untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat δ < ϵ. 3. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota D f yang memenuhi 0 < x a < δ berlaku f(x) L < ϵ. 4. Ada bilangan L sedemikian hingga untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota D f yang memenuhi 0 < x a < δ berlaku f(x) L < ϵ. 7

8 Penyelesaian: 1. ( ϵ > 0)( δ > 0). δ < ϵ. 2. ( L)( ϵ > 0)( δ > 0). δ < ϵ. 3. ( ϵ > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ = f(x) L < ϵ). 4. ( L)( ϵ > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ = f(x) L < ϵ). Pernyataan ini merupakan definisi dari fungsi f mempunyai limit di x = a. 8

9 5.2 Ingkaran Kuantor Jamak Dengan Pembatasan Teorema 5.1 Diketahui A dan B bagian dari semesta pembicaraan: 1. ( x A)( y B).p(x, y) ( x A)( y B).p(x, y) 2. ( x A)( y B).p(x, y) ( x A)( y B).p(x, y) 3. ( x A)( y B).p(x, y) ( x A)( y B).p(x, y) 4. ( x A)( y B).p(x, y) ( x A)( y B).p(x, y) Bagaimana Cara memperolehnya? 9

10 Untuk x yang bersifat P terdapat y yang bersifat Q, sehingga x dan y memenuhi r dapat dinyatakan dengan ( P (x))( Q(y)).r(x, y) Contoh: Pernyataan Untuk setiap ϵ yang bersifat ϵ > 0 terdapat δ yang memenuhi δ > sehingga jika 0 < x x 0 < δ, maka f(x) L < ϵ dapat ditulis ( ϵ > 0)( δ > 0).[0 < x x 0 < δ f(x) L < ϵ] 10

11 Teorema 5.2 Ingkaran kuantor jamak dengan pembatasan berbentuk pernyataan: 1. ( P (x))( Q(y)).r(x, y) ( P (x))( Q(y)).r(x, y) 2. ( P (x))( Q(y)).r(x, y) ( P (x))( Q(y)).r(x, y) 3. ( P (x))( Q(y)).r(x, y) ( P (x))( Q(y)).r(x, y) 4. ( P (x))( Q(y)).r(x, y) ( P (x))( Q(y)).r(x, y) Bagaimana memperolehnya? 11

12 Contoh: Tentukan ingkaran pernyataan 1. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat δ < ϵ. 2. Ada bilangan L yang memenuhi untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat δ < ϵ. 3. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota D f yang memenuhi 0 < x a < δ berlaku f(x) L < ϵ. 4. Ada bilangan L sedemikian hingga untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota D f yang memenuhi 0 < x a < δ berlaku f(x) L < ϵ. 12

13 Penyelesaian: 1. ( ϵ > 0)( δ > 0). δ < ϵ. ( ϵ > 0)( δ > 0). δ ϵ 2. ( L)( ϵ > 0)( δ > 0). δ < ϵ ( L)( ϵ > 0)( δ > 0). δ ϵ 3. ( ϵ > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ = f(x) L < ϵ). ( ϵ > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ f(x) L ϵ) 4. ( L)( ϵ > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ = f(x) L < ϵ). ( L)( ϵ > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ f(x) L ϵ) 13

14 Latihan 1. Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real. Tentukanlah nilai kebenaran dari kalimat: berikut ini: 1.1 ( x)(( ϵ > 0) x < ϵ = x = 0). 1.2 ( ϵ > 0)( N 0 N )( 1 N 0 < ϵ). 1.3 ( M > 0)( x)(e x < M). Tulislah dalam bentuk simbolisma logika 2. Tulislah definisi lim f = L untuk x c 3. Tulislah definisi lim f = L untuk x c 4. Tulislah definisi fungsi f tidak mempunyai limit di x = c. 5. Tulislah definisi fungsi f kontinu di x = c. 6. Tulislah definisi fungsi f tidak kontinu x = c. 14

15 11. Paling banyak ada dua x dimana f tidak kontinu di x. 12. Fungsi f kontinu pada interval I. 13. Fungsi f mempunyai derivatif di setiap x I kecuali mungkin di c. 14. Tulislah definisi barisan {x i } i 1 konvergen, kemudian tentukan ingkarannya. 15. Tentukan nilai kebenaran dan beri alasan kalimat [( ε > 0)( δ > 0)( x x o < 0 f(x) f xo < ε)] f (x o ) ada 15