LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana 25
Sistem Persamaan Linear, Kuadrat, dan Pertidaksamaan Satu Variabel Kompetensi Dasar 1. Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel. 2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya 4. Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar 5. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel 6. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya Indikator 1. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dan sistem persamaan linear-kuadrat dua variabel 2. Warga belajar dapat merumuskan sistem persamaan linear yang merupakan model matematika dari masalah 3. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dari model matematika 4. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar 5. Warga belajar dapat merumuskan sistem pertidaksamaan satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah 6. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan satu variabel dari model matematika 7. Warga belajar dapat memberikan tafsiran terhadap solusi masalah Kasus Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 bulan. Pak Wayan dan Putu dapat menyelesaikan keempat jenis ukiran di atas dalam waktu 7 bulan. Jika Pak Wayan bekerja bersama Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 bulan. Karena Putu dan Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan waktu 8 bulan untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan, sesuai batas waktu yang diberikan? Kamu dapat membantu menyelesaikan masalah tersebut setelah mempelajari bab ini. Created By Ita Yuliana 26
Ringkasan Materi A. Sistem Persamaan Linear dan Linear 1. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV) Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel : { Contoh : a. x + y = 5 b. 2x + y = 5 -x + 2y = 4 3x 4y = 2 Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear ada beberapa metode diantaranya: a. metode grafik b. metode substitusi c. metode eliminasi a. Metode Grafik Langkah-langkahnya: 1) Gambarlah grafik ax + by = c dan px + qy = r pada suatu bidang koordinat 2) Tentukan koordinat titik potong antara garis ax + by = c dan px + qy = r. Dari langkah (2) terdapat tiga kemingkinan penyelesaian, yaitu: a) Kedua garis berpotongan pada satu titik Dalam hal ini sistem persamaan linear mempunyai tepat satu penyelesaian b) Kedua garis sejajar Dalam hal ini sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian c) Kedua garis berimpit Dalam hal ini sistem persamaan linear mempunyai tak hingga penyelesaian Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut, { Jawab: Untuk mempermudah menggambar grafik, buat tabel seperti berikut Persamaan x + 2y = 4 x 0 4 Y y 2 0 (x,y) (0,2) (4,0) Persamaan 2x + 2y = 6 x 0 3 y 3 0 (x,y) (0,3) (3,0) (2,1) X Created By Ita Yuliana 27
Dari gambar terlihat bahwa kedua garis berpotongan di titik (2,1) Jadi HP = { 2, 1 } b. Metode Subtitusi (mengganti) Langkah-langkahnya 1) Ambil salah satu persamaan yang sederhana, dari persamaan tersebut nyatakanlah salah satu variabel ke dalam variabel yang lain 2) Dari hasil (1) substituusikan ke persamaan yang lain Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut { Jawab: Dari persamaan 1) x + 2y = 4 x = 4 2y Substitusikan nilai x ke persamaan (2) 2x + 2y = 6 diperoleh : 2 (4 2y) + 2y = 6 8 4y + 2y = 6 8 2y = 6 2y = 2 y = 1 Substitusikan y = 1 ke persamaan (1) x = 4 2 (1) = 2 Jadi, HP {2, 1} c. Metode Eliminasi Langkahnya adalah dengan menghilangkan salah satu variabel terlebih dulu Dengan metode eliminasi tentukan HP dari : { Jawab: Eliminasi variabel y sehingga diperoleh variabel x x + 2y = 4 2x + 2y = 6 -x = -2 x = 2 Eliminasi variabel x sehingga diperoleh variabel y x + 2y = 4 x 2 2x + 4y = 8 2x + 2y = 6 x 1 2x + 2y = 6 2y = 2 y = 1 Jadi, HP {2, 1} Created By Ita Yuliana 28
Aktivitas 1 1. Dengan metode grafik tentukan HP dari : a. x y = 5 b. 2x + 3y = 11 2x + y = 4 3x y = 1 2. Dengan metode substitusi tentukan HP dari : a. 2x 3y = 7 b. 3x + 4y 17 = 0 3x + 2y = 7 2x 2y 8 = 0 3. Dengan metode eliminasi tentukan HP dari : a. 3x + 5y = 5 b. x 2y = 4 2x + 3y = 3 3x + y = 5 2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV) Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel : { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l R Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV ada beberapa cara yaitu: a. metode substitusi b. metode eliminasi A. Metode substitusi Langkah-langkahnya sama dengan langkah-langkah penyelesaian SPLDV Tentukan Hp dari SPL berikut : { Jawab : Dari persamaan x 2y + z = 6 x = 2y z + 6 Variabel x disubstitusikan ke persamaan 3x + y 2z = 4 dan 7x 6y z = 10 sehingga diperoleh: 3(2y z + 6) + y 2z = 4 6y 3z + 18 + y 2z = 4 7y 5z = -14 Created By Ita Yuliana 29
dan 7(2y z + 6) 6y z = 10 14y 7z + 42 6y z = 10 8y 8z = -32 y z = -4 menghasilkan persamaan linear dua variabel sbb. : { dari persamaan y z = -4 y = z 4, variabel y subtitusikan ke persamaan 7y 5z = -14 sehingga diperoleh : 7z 28 5z = -14 2z = 14 z = 7 Substitusikan nilai z ke persamaan y = z 4 y = 7 4 = 3 Substitusikan nilai y dan z ke persamaan x 2y + z = 6 maka diperoleh x 2(3) + 7 = 6 x 6 + 7 = 6 x = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)} B. Metode Eliminasi Dalam SPLTV untuk mengeliminasi suatu variabel diperoleh dari setiap dua persamaan, sehingga akan diperoleh SPLDV Tentukan Hp dari : { Jawab: Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2) dari persamaan (2) dan (3) 2x y + z = 6 x 3y + z = -2 x 3y + z = -2 x + 2y z = 3 x + 2y = 8... (4) 2x y = 1...(5) persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV : { Eliminasi variabel y x + 2y = 8 x 1 x + 2y = 8 2x y = 1 x 2 4x 2y = 2 5x = 10 x = 2 Created By Ita Yuliana 30
Eliminasi variabel x x + 2y = 8 x 2 2x + 4y = 16 2x y = 1 x 1 2x y = 1 5y = 15 y = 3 Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula. Misalnya, dipilih x + 2y z = 3 diperoleh 2 + 2(3) z = 3 z = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)} Aktivitas 2 1. Tentukan HP dari persamaan berikut dengan metode substitusi a. 2x + z = 7 b. x + y + z = 1 y 2 = -2 2x y + 3z = 2 x + y = 2 2x y z = 2 2. Tentukan HP dari persamaan berikut dengan metode eliminasi a. x + y + 2z = 0 b. x + 2y 3z = -4 2x 2y + z = 8 2x y + z = 3 3x + 2y + z = 2 3x + 2y + z = 10 B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Sistem persamaan linear dan kuadrat yang dimaksud adalah sistem persamaan dengan dua peubah yaitu persamaan linear dan persamaan kuadrat Bentuk umumnya : } a, b, p, q, dan r R Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat salah satunya adalah dengan cara substitusi, yaitu : 1. salah satu variabel dari persamaan linear dinyatakan dengan variabel yang lain. Misalnya variabel y dinyatakan sebagai variabel x atau sebaliknya 2. kemudian substitusikan ke persamaan kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat dengan satu variabel. Created By Ita Yuliana 31
Secara geometris, grafik fungsi linear merupakan garis lurus dan fungsi kuadrat merupakan parabola Substitusi y = ax + b ke penyelesaian persamaan tersebut ditentukan oleh banyaknya akar persamaan tersebut, sedangkan banyaknya akar persamaan tersebut ditentukan oleh diskriminan (D) yaitu D = (q a) 2 4p(r b) Ada tiga kemungkinan nilai diskriminan, yaitu 1. jika D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan sehingga sistem persamaan memiliki dua penyelesaian yang berbeda 2. jika D = 0, persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar real sehingga sistem persamaan mempunyai tepat satu penyelesaian 3. jika D < 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real sehingga sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian Uraian di atas dapat digambarkan sebagai berikut. D > 0 D = 0 D < 0 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut y = 2x + 1...(1) y = x 2 + 1...(2) Jawab: Dari persamaan (1) y = 2x + 1 disubstitusikan ke persamaan 92) diperoleh y = x 2 + 1 2x + 1 = x 2 + 1 x 2 2x = 0 x (x 2) = 0 x = 0 atau x = 2 Nilai x = 0 dan x = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh: Untuk x = 0 y = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1 Untuk x = 2 y = 2x + 1 = 2.2 + 1 = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1) dan (2, 5)} Created By Ita Yuliana 32
Aktivitas 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut 1. y = 4x y = x 2 5 2. y + 3x = 1 y = x 2 2x + 1 C. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat Sistem perrsamaan ini terdiri dari dua persamaan kuadrat, yaitu } a, b, c, p, q, dan r R Untuk menyelesaikan sistem persamaan kuadrat dan kuadrat ini, pada dasarnya sama dengan sistem persamaan linear dan kuadrat yang menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Penyelesaian dari sistem persamaan ini merupakan koordinat titik potong kedua parabola. Ada tiga kemungkinan penyelesaian, yaitu: 1. jika D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan sehingga sistem persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian yang berbeda 2. jika D = 0, persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar real sehingga sistem persamaan mempunyai tepat satu penyelesaian 3. jika D < 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real sehingga sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian Grafik geometri dari uraian di atas dapat digambarkan sbb. D > 0 D = 0 D < 0 Created By Ita Yuliana 33
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut y = x 2 + 2x + 8 y = 2x 2 + 4x 7 jawab: Dari kedua persamaan di atas kita eliminir variabel y sehingga diperoleh: y = x 2 + 2x + 8 y = 2x 2 + 4x 7 0 = -x 2 2x + 15 atau x 2 + 2x 15 = 0 x 2 + 2x 15 = 0 a = 1, b = 2, c = -15 jika dilihat D = b 2 4ac maka diperoleh D = 4 4.1.(-15) = 4 + 60 = 64 D > 0 (terdapat 2 titik yang berbeda) x 2 + 2x 15 = 0 (x 3) (x + 5) = 0 x = 3 atau x = -5 Untuk x = 3 y = 23 (3, 23) Untuk x = -5 y = 23 (-5, 23) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-5, 23), (3, 23)} Aktivitas 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut 1. y = 3x 2 5x 5 y = 2x 2 6x + 7 2. y = 4x 2 + 3x + 6 y = 3x 2 + 12x 8 Created By Ita Yuliana 34
D. Pertidaksamaan Linear 1. Pengertian pertidaksamaan linear Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama yang dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan yaitu <, >,, Pada garis bilangan, semua bilangan positif terletak di sebelah kanan 0 (nol) dan semua bilangan negatif terletak di sebelah kiri 0 (nol), sehingga dapat dinyatakan sbb. untuk x bilangan positif, ditulis x > 0 untuk x bilangan negatif, ditulis x < 0 2. Sifat pertidaksamaan linear a. Untuk a, b, c R berlaku : a > b dan b > c maka a > c a < b dan b < c maka a < c b. Tanda atau notasi ketidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan atau dikurangi bilangan yang sama } a,b, c R c. Tanda ketidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi bilangan positif yang sama a,b, c R } d. Tanda ketidaksamaan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi bilangan negatif yang sama a,b, c R } 3. Menyelesaikan pertidaksamaan linear Menyelesaikan sebuah pertidaksamaan linear satu variabel dapat diartikan mencari bentuk paling sederhana dari pertidaksamaan linear. Bentuk paling sederhana itu disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel. Created By Ita Yuliana 35
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut kemudian gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya a. 3x 2 > 13 c. x 6 2x 2 b. 4x + 3 < 2x 5 d. x + 2 3x 4 Jawab : a. Cara 1 Cara 2 3x 2 > 13 3x 2 > 13 3x 2 + 2 > 13 + 2 3x > 13 + 2 3x > 15 3x > 15 x > 5 x > 5 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x > 5, x R} Grafik himpunan penyelesaiannya adalah: 2 3 4 5 6 7 8 b. 4x + 3 < 2x 5 4x 2x < -5 3 2x < -8 x < -4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x < -4, x R} Grafik himpunan penyelesaiannya adalah: -7-6 -5-4 -3 c. x 6 2x 2 6 + 2 2x x -4 x Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x -4, x R} Grafik himpunan penyelesaiannya adalah: -5-4 -3-2 -1 0 1 d. x + 2 3x 4 2 + 4 3x x 6 2x 3 x Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x 3, x R} Grafik himpunan penyelesaiannya adalah: -1 0 1 2 3 4 5 Created By Ita Yuliana 36
Aktivitas 4 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut, kemudian gambarlah himpunan penyelesaiannya a. x + 3 > 0 b. 3x 9 < 0 c. 4x 12 d. 14 7x 0 e. 8 2x 0 2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut a. 1 x < 2 + 7x b. 2x 1 5x + 8 c. d. 2 5 4. Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel Langkah-langkah memecahkan masalah pertidaksamaan linear adalah: a. menentukan besaran dalam yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaan b. merumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah c. memberi penyelesaian dari model matematika d. memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh contoh: Jumlah dua mata dadu tidak kurang dari 8. Jika bilangan kedua adalah tiga kalinya bilangan yang pertama, tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu. Jawab: Misalkan, bilangan yang pertama adalah x maka bilangan yang kedua adalah 3x sehingga diperoleh pertidaksamaan x + 3x 8 x + 3x 8 4x 8 x 2 Jadi, batas-batas mata dadu pertama adalah tidak kurang dari 2 dan batas mata dadu kedua tidak kurang dari 6 Aktivitas 5 Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 150 dan bilangan kedua sama dengan dua kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu. Created By Ita Yuliana 37