PELUANG. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.

Transkripsi

1 LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PELUANG Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 13

2 Peluang Kompetensi Dasar 1. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah 2. Menentukan ruang sampel suatu percobaan 3. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya Kasus Di awal pertandingan olah raga kartu bridge, seorang pemain mencabut sebuah kartu untuk mendapatkan kartu as untuk menjadi tambahan nilainya. Jika dalam satu set kartu bridge ingin dicabut kartu as sekop. Tentukan nilai ruang sampel dan nilai peluang terambilnya kartu as sekop! Berapa peluang terambilnya kartu bernomor 10? Kamu akan dapat menemukan jawabannya jika telah mempelajari bab ini Ringkasan Materi A. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi 1. Kaidah pencacahan Kaidah pencacahan merupakan suatu cara untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu a. Kaidah perkalian Kaidah perkalian disebut juga aturan pengisian tempat. Jika suatu kejadian terdiri dari k tahap, kejadian pertama dapat terjadi dengan n 1 cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dengan n 2 cara yang berbada, dan seterusnya, hingga kejadian ke-k dapat terjadi dengan n k cara yang berbeda, maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dengan kaidah perkalian k = n 1 x n 2 x... x n k Sebuah restoran menyediakan 3 pilihan makanan pembuka, 5 pilihan makanan utama, dan 2 pilihan makanan penutup. Berapa banyak cara seorang pengunjung memilih menu makanan terdiri dari makanan pembuka, utama, dan penutup, masing-masing satu macam? Terdapat tiga tahap dalam menentukan menu makanan tersebut. Ada 3 cara memilih makanan pembuka, 5 cara memilih makanan utama, dan 2 cara memilih makanan penutup. Total banyaknya cara adalah 3 x 5 x 2 = 30 b. Notasi faktorial Misalkan n suatu bilangan positif (bilangan asli). n! (dibaca n faktorial) merupakan hasil kali bilangan asli yang terurut dari n sampai dengan 1. n! = n x (n 1) x (n 2) x... x 3 x 2 x 1 0! = 1 Created By Ita Yuliana 14

3 Tentukan nilai dari bentuk berikut: (a) 5! (b) 3!. 4! (c) (a) 5! = = 120 (b) 3!. 4! = = 144 (c) = = 30 Aktivitas 1 1. Cahaya mempunyai 4 celana dan 5 baju yang berlainan warna dan motifnya. Berapa banyak pasangan celana dan baju yang dapat dikenakan? 2. Berapa banyak bilangan ganjil terdiri dari tiga angka berlainan dapat disusun dengan angka-angka 3,4,5,7,8,dan 9? 3. Hitung nilai dari bentuk berikut: a. b. 4. Nyatakan dalam bentuk yang memuat notasi faktorial a b Permutasi Permutasi merupakan susunan dari semua atau sebagian unsur suatu himpunan dengan memperhatikan urutan unsur a. Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda. Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda dinotasikan n P r atau P (n,r), atau (dibaca permutasi r dari n), ditentukan dengan rumus : np r =, r n contoh: Akan dibentuk bilangan terdiri dari tiga angka berlainan dengan menggunakan angka-angka 2,3,4,5,6,dan 7. Berapa banyak bilangan berlainan dapat diperoleh? Created By Ita Yuliana 15

4 Persoalan menyusun angka dalam membentuk bilangan merupakan persoalan permutasi, sebab urutan yang berbeda akan memberikan hasil yang berbeda pula. Karena tersedia 6 angka dan tiap susunan terdiri dari 3 angka maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah : P (6,3) = = = = 120 Jadi dapat dibentuk sebanyak 120 bilangan b. Permutasi yang memuat unsur yang sama. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat r 1 unsur yang sama, r 2 unsur yang sama, r 3 unsur yang sama, dan seterusnya hingga r n unsur yang sama, dengan r 1 + r 2 + r r n = n ditentukan dengan rumus : n = contoh: Berapa banyak susunan dari semua huruf pada kata berikut dapat dibuat? (a) KRISIS (b) STATISTIK (a) Terdapat 6 huruf pada kata KRISIS; ada 2 huruf I dan 2 huruf S, hurufhuruf lainnya berlainan. Banyaknya susunan huruf dapat dibuat adalah: = = 180 (b) Terdapat 9 huruf pada kata STATISTIK; ada 2 huruf S, 3 huruf T, dan 2 huruf I, sedangkan huruf-huruf lainnya berlainan. Banyaknya susunan huruf dapat dibuat adalah: = Kombinasi Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian unsur dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan unsur. Banyaknya kombinasi dari r unsur yang berbeda yang diambil dari n unsur yang berbeda dinotasikan n C r atau C (n,r), atau (dibaca kombinasi r dari n), ditentukan dengan rumus : nc r =, r n Created By Ita Yuliana 16

5 contoh: 1. Dari 10 orang warga belajar akan dipilih 4 orang sebagai utusan kelompok dalam suatu acara di kantor kecamatan. Berapa banyak cara memillih utusan tersebut Dalam memilih 4 orang utusan, urutan tidak diperhatikan, jadi merupakan kombinasi. Banyaknya cara memilih keempat orang tersebut adalah : C (10,4) = = = 210 Jadi terdapat 210 cara 2. Tiga buah bola akan diambil dari dalam kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola biru. a. Berapa banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut b. Berapa banyak cara pengambilan tiga bola terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola putih c. Berapa banyak pengambilan tiga bola sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola merah a. Dalam kotak terdapat 10 bola. Banyak cara pengambilan adalah: C (10,3) = = 120 b. Tersedia 5 bola merah, diambil 2 bola Banyak cara pengambilan 2 bola merah C (5,2) = = 10 Tersedia 3 bola putih, diambil 1 bola Banyak cara pengambilan 1 bola putih C (3,1) = 3 Banyak cara pengambilan 2 bola merah dan 1 bola putih adalah: 10 x 3 = 30 c. Kemungkinan-kemungkinan terambil sedikitnya 2 bola merah adalah 2 merah dan 1 putih, atau 2 merah dan 1 biru, atau ketiganya merah. Jadi banyak cara pengambilan adalah : C (5,2). C (3,1) + C (5,2). C (2,1) + C (5,3) = = 60 Aktivitas 2 1. Terdapat 10 orang calon pada pembentukan pengurus kelas terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara, masing-masing dijabat oleh satu orang. Berapa banyak susunan pengurus berlainan yang dapat dibentuk? 2. Berapa banyak susunan huruf berlainan yang dapat dibuat dari kata MATEMATIKA 3. Akan dibentuk sebuah tim beranggotakan 3 orang yang dipilih dari 9 orang calon. Berapa banyak cara tim yang berlainan dapat dibentuk? Created By Ita Yuliana 17

6 B. Peluang Suatu Kejadian 1. Ruang sampel dan titik sampel Ruang sampel adalah semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan, dinotasikan dengan S. Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel. Banyaknya titik sampel dinotasikan dengan n(s). 2. Kejadian atau peristiwa Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Pada percobaan mengundi sebuah dadu satu kali, tentukan: a. ruang sampelnya b. kejadian muncul hasil prima c. kejadian muncul hasil tidak kurang dari 3 d. kejadian muncul hasil prima atau tidak kurang dari 3 e. kejadian muncul hasil prima dan tidak kurang dari 3 a. Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6} b. Misalkan A adalah kejadian muncul hasil prima maka A = {2,3,5} c. Misalkan B adalah kejadian muncul hasil tidak kurang dari 3 maka B = {3,4,5,6} d. Misalkan C adalah kejadian muncul hasil prima atau tidak kurang dari 3 maka C = {2,3,4,5,6} e. Misalkan D adalah kejadian muncul hasil prima dan tidak kurang dari 3 maka D = {3,5} 3. Peluang suatu kejadian Peluang kejadian A ditentukan dengan rumus: P(A) = dengan P(A) = peluang kejadian A n(a) = banyaknya anggota dalam kejadian A n(s) = banyaknya titik sampel Nilai peluang suatu kejadian adalah 0 P(A) 1. Peluang bernilai 0 untuk suatu kejadian mustahil, dan bernilai 1 untuk suatu kejadian pasti. 1. Percobaan mengundi sebuah dadu satu kali. Tentukan peluang dari setiap kejadian berikut. a. muncul hasil prima b. muncul hasil lebih dari 2 Created By Ita Yuliana 18

7 Ruang sampel : S ={1,2,3,4,5,6} a. misalkan A adalah kejadian munculnya hasil prima maka A = {2,3,5}. Jadi n(a) = 3. Dengan demikian P(A) = = = b. misalkan B adalah kejadian munculnya hasil lebih dari 2 maka B = {3,4,5,6}. Jadi n(b) = 4. Dengan demikian P(B) = = = 2. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah, 3 kelereng putih, dan 2 kelereng biru. Diambil secara acak 3 kelereng sekaligus. Tentukan peluang kelereng yang terambil terdiri dari: a. 2 bola kelereng dan 1 kelereng biru b. 1 kelereng merah, 1 biru, dan 1 putih c. ketiganya berwarna merah Banyak kelereng seluruhnya 9. Cara pengambilan 3 kelereng dari dalam kotak adalah: N(S) = C (9,3) = = 84 a. Banyak cara pengambilan 2 kelereng merah dari 4 kelereng merah C (4,2) = 6 Banyak cara pengambilan 1 kelereng biru C (2,1) = 2 Jadi banyak cara pengambilan 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah: 6 x 2 = 12 Dengan demikian peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah: P (2m,1b) = = b. Peluang terambilnya 1 kelereng merah, 1 biru, dan 1 putih adalah: P (1m,1b,1p) = = = c. Dengan cara yang sama, peluang yang terambil ketiganya merah adalah: P (3m) = = = 4. Frekuensi harapan (F h ) Frekuensi harapan suatu kejadian A pada suatu percobaan adalah hasil kali peluang kejadian A dengan banyaknya percobaan A, ditentukan dengan rumus: F h (A) = P(A) x n Sebuah dadu mata enam dilempar sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu ganjil Created By Ita Yuliana 19

8 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {1, 3, 5} n(a) = 3 P(A) = = = F h (A) = P(A) x n = x 100 = 50 Jadi frekuensi harapan munculnya mata dadu ganjil adalah 50 kali Aktivitas 3 1. Dua buah dadu diundi bersama-sama satu kali. Tentukan a. banyaknya anggota sampel b. kejadian munculnya hasil berjumlah 8 c. kejadian muncul hasil berjumlah kurang dari 5 2. Akan dibentuk sebuah tim beranggotakan 3 orang. Terdapat 8 orang calon anggota tim terdiri dari 3 pria dan 5 wanita. Berapa peluang bahwa tim yang terbentuk beranggotakan: a. 2 orang pria dan seorang wanita b. sedikitnya terdapat seorang wanita 3. Dua buah dadu diundi bersama-sama sebanyak 720 kali. Hitung frekuensi harapan dari kejadian dadu pertama muncul genap dan dadu kedua muncul hasil prima C. Kejadian Majemuk Kejadian mejemuk adalah kejadian baru yang terjadi dari kombinasi beberapa kejadian. a. Komplemen suatu kejadian Misalkan A suatu kejadian, komplemen kejadian A adalah A c, berlaku : P(A c ) = 1 P(A) Pada percobaan mengundi dua buah dadu satu kali, tentukan peluang kejadian: 1. dadu pertama muncul 3 atau hasilnya berjumlah 5 2. hasil berjumlah kurang dari 11 Created By Ita Yuliana 20

9 Pada percobaan ini n(s) = 36 a. Misalkan A = kejadian dadu pertama muncul 3 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} Jadi n(a) = 6 sehingga P(A) = B = kejadian muncul hasil berjumlah 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} Jadi n(b) = 4 sehingga P(B) = Jelas bahwa kejadian A dan B, yaitu A B = (3,2), jadi P(A B) = Peluang kejadian dadu pertama muncul 3 atau hasil berjumlah 5 adalah P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = b. P(jumlah kurang dari 11) = 1 P(jumlah tidak kurang dari 11) = 1 P {(5,6),(6,5),(6,6)} = 1 b. Kejadian saling lepas Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan himpunan kosong. Kejadian A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas jika A B =. Peluang kejadian A atau B ditentukan dengan rumus: P (A B) = P(A) + P(B) P(A B). Pada dua kejadian saling lepas A B = atau P(A B) = 0. Jadi peluang kejadian A atau B yang saling lepas ditentukan dengan rumus: P (A B) = P(A) + P(B) Pada pelemparan dua dadu biru dan hitam bersama-sama, A adalah kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 dan B adalah kejadian munculnya mata dadu berjumlah 10. Hitunglah peluang kejadian A atau B S = {(1,1),(1,2),..., (6,5),(6,6)} = maka n(s) = 36 A = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}, maka n(a) = 4 B = {(4,6),(5,5),(6,4)}, maka n(b) = 3 Perhatikan bahwa A B =, maka A dan B saling lepas P (A B) = P(A) + P(B) = + = Jadi, peluang kejadian A atau B adalah Created By Ita Yuliana 21

10 c. Kejadian saling bebas Dua kejadian disebut saling bebas jika kejadian yang satu tidak memengaruhi kejadian yang lain. Peluang dua kejadian A dan B yang saling bebas ditentukan dengan rumus: P (A B) = P(A) x P(B) Dinda akan mendirikan perusahaan di dua tempat yaitu A dan B, dengan peluangnya berturut-turut 0,8 dan 0,75. Carilah peluang perusahaan jika didirikan: a. di dua kota itu b. tidak kedua-duanya c. di kota A tetapi tidak di kota B A = perusahaan A didirikan A c = perusahaan A tidak didirikan B = perusahaan B didirikan B c = perusahaan B tidak didirikan P(A) = 0,8 maka P(A c ) = 1 0,8 = 0,2 P(B) = 0,75 maka P(B c ) = 1 0,75 = 0,25 a. P (perusahaan didirikan di kota A dan B) = P(A) x P(B) = 0,8 x 0,75 = 0,6 b. P(perusahaan tidak didirikan di kota A dan B) = P(A c ) x P(B c ) = 0,2 x 0,25 = 0,05 c. P(perusahaan didirikan di kota A tetapi tidak di kota B) = P(A) x P(B c ) = 0,8 x 0,25 = 0,2 Aktivitas 4 1. Dari 100 orang warga belajar, 30 orang mengambil kursus komputer, 20 orang mengambil kursus Bahasa Inggris, dan 10 orang mengambil kedua kursus itu. Jika seorang warga belajar dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa ia mengambil kursus komputer atau Bahasa Inggris 2. Sebuah kartu diambil dari satu set kartu bridge. Jika A peluang muncul As dan B peluang muncul King, berapa peluang terambil satu kartu As atau King? 3. Diketahui bahwa peluang seorang anak dijangkiti penyakit campak 0,13 a. Berapakah diantara 1200 anak diperkirakan dijangkiti penyakit campak? b. Berapakah peluang seorang anak tidak dijangkiti penyakit campak? c. Berapakah di antara 1200 anak diperkirakan tidak dijangkiti penyakit campak? 4. Sebuah mata uang dan dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan prima ganjil pada dadu Created By Ita Yuliana 22