Lecture 4. Limit C A. Infinite Limits Definisi 4.1 Notasi lim f(x) = Menyatakan bahwa nilai f(x) membesar tanpa batas jika nilai x semakin dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. lim f(x) = lim f(x) = Definisi 4.2 Notasi lim f(x) = Menyatakan bahwa nilai f(x) mengecil tanpa batas jika nilai x semakin dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak. x a berarti x mendekati a dari sebelah kiri, yaitu semua nilai x lebih kecil dari a. x a berarti x mendekati a dari sebelah kanan, yaitu semua nilai x lebih besar dari a.
Definisi 4.3. Garis x = a disebut asimtot tegak (vertical asymptote) dari kurva y = f(x) jika minimal dipenuhi salah satu pernyataan berikut: lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = Contoh 1. Tentukan lim. Dicari limit dengan pendekatan numerik dan grafik: Perhatikan bahwa jika nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai semakin besar tanpa batas. Contoh 2. Tentukan lim dan lim. Jika x dekat dengan 3 tetapi lebih besar dari 3, maka x 3 merupakan bilangan positif yang kecil dan 2x dekat dengan 6. Sehingga merupakan bilangan positif yang besar: lim =. Jika x dekat dengan 3 tetapi lebih kecil dari 3, maka x 3 merupakan bilangan negatif yang kecil dan 2x dekat dengan 6. Sehingga merupakan bilangan negatif yang besar: lim =.
Garis x = 3 merupakan asimtot tegak (vertical asymtote). B. Limits at Infinity Definisi 4.4 Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada interval (a, ). Maka lim f(x) = L menyatakan bahwa nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L jika mengambil nilai x cukup besar (x membesar tanpa batas). lim f(x) = L Definisi 4.5 Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada interval (a, ). Maka lim f(x) = L menyatakan bahwa nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L jika mengambil nilai x semakin mengecil tanpa batas. lim f(x) = L Definisi 4.6. Garis y = L disebut asimtot datar (horizontal asymptote) dari kurva y = f(x) jika minimal dipenuhi salah satu pernyataan berikut: lim f(x) = L atau lim f(x) = L
Contoh. Tentukan limit tak hingga (infinite limits), limit di tak hingga (limits at infinite), dan asimtot dari grafi fungsi f berikut. Perhatikan bahwa nilai f(x) semakin besar jika x 1 dari kedua sisi, sehingga diperoleh lim f(x) =. Nilai f(x) semakin kecil tanpa batas (membesar ke arah negatif) jika x mendekati 2 dari kiri, tetapi semakin besar jika x mendekati 2 dari kanan, yaitu lim f(x) = dan lim f(x) =. Dengan demikian, garis x = 1 dan x = 2 merupakan vertical asymptotes. Jika x semakin besar, maka nilai f(x) semakin mendekati 4. Tetapi jika x semakin mengecil ke arah negatif, maka nilai x semakin mendekati 2, sehingga diperoleh lim f(x) = 4 dan lim f(x) = 2. Dengan demikian, garis y = 4 dan garis y = 2 merupakan horizontal asymptotes. Sifat. Jika n bilangan bulat positif, maka lim = 0 dan lim = 0 Contoh 1. Tentukan nilai dari lim. Pembilang dan penyebut dibagi dengan x dengan derajat tertinggi yang ada pada penyebut, yaitu x.
Contoh 2. Evaluasi nilai dari lim ( x + 1 x). C. Infinite Limits at Infinity Notasi berikut: lim f(x) = Menyatakan bahwa nilai f(x) semakin besar jika x semakin besar. Pernyataan yang hampir sama juga berlaku untuk notasi-notasi berikut. lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) =
Contoh 1. Tentukan lim (x x). Tidak boleh ditulis: lim (x x) = lim x lim x =. Aturan limit tidak dapat digunakan karena bukan suatu bilangan ( tidak dapat didefinisikan). Tetapi kita dapat menulis: lim (x x) = lim x(x 1) =, karena x dan x 1 semakin membesar. Contoh 2. Tentukan lim. Pembilang dan penyebut dibagi dengan x dengan derajat tertinggi yang ada pada penyebut, yaitu x. lim = lim =.