MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 893 masnidaesraelisabet@yahoo.com ABSTRACT This article discusses two modification of Cauchy s method by using Taylor s expansion of second and third order to solve nonlinear equations. Both methods have order of convergence four and need three function evaluations per step, so that theirs efficiency index is 1.587. Furthermore, the computational results show that the methods converge faster in obtaining a simple root of the nonlinear equations compared to Newton and Cauchy s method. Keywords: Newton s method, Cauchy s method, order of convergence, efficiency index, nonlinear equation ABSTRAK Artikel ini membahas dua modifikasi metode Cauchy dengan menggunakan ekspansi Taylor orde dua dan tiga untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Kedua metode iterasi ini memiliki orde konvergensi empat dan untuk setiap iterasinya memerlukan tiga kali perhitungan fungsi, sehingga indeks efisiensinya adalah 1.587. Selanjutnya, uji komputasi menunjukkan bahwa modifikasi metode Cauchy lebih cepat konvergen ke akar pendekatan dibandingkan dengan metode Newton dan Cauchy. Kata kunci: Metode Newton, metode Cauchy, orde konvergensi, indeks efisiensi, persamaan nonlinear 1
1. PENDAHULUAN Mencari akar sederhana dari suatu persamaan nonlinear fx = 0, 1 adalah topik yang selalu dibahas dalam penelitian di bidang analisis numerik. Hal ini dikarenakan tidak semua kasus persamaan 1 dapat diselesaikan secara analitik, sehingga metode numerik menjadi alternatif. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan nonlinear. Menurut Herceg dan Herceg [4], beberapa metode memiliki bentuk umum formula iterasi yang dinyatakan sebagai dengan x n+1 = F x n, n = 0, 1,,, F x n = x n ux n ϕx n, 3 ux n = fx n f x n, 4 tetapi hanya berbeda dalam fungsi ϕ. Metode Newton merupakan suatu metode iterasi dengan orde konvergensi dua yang sering digunakan untuk mencari akar pendekatan α menggunakan persamaan - 4 dengan ϕx n = 1. Beberapa modifikasi telah dilakukan terhadap metode Newton. Tujuan dari modifikasi Metode Newton ini adalah untuk meningkatkan orde konvergensinya. Salah satu bentuk modifikasi dari metode Newton adalah metode Cauchy yang dikemukakan oleh Kou [5] dengan orde konvergensi tiga yang didefinisikan oleh persamaan dan 3 dengan dan ϕx n = 1 + 1 Lx n, Lx n = f x n fx n f x n. 5 Selanjutnya untuk mempercepat konvergensi dan memperkecil tingkat kesalahan dari metode Cauchy tersebut, beberapa modifikasi dilakukan pada metode Cauchy yaitu dengan cara mengubah Lx n pada persamaan 5 dengan fungsi berikut L 1 x n = 3 1 f x n ux 3 n, 6 f x n L x n = fx n f x n f x n 1 3 ux n. 7
Menurut Herceg [4] metode modifikasi Cauchy memiliki orde konvergensi empat dengan indeks efisiensinya adalah 4 1 3 1.587. Pada bagian selanjutnya akan dibahas modifikasi dari metode Cauchy untuk menyelesaikan persamaan nonlinear beserta analisis konvergensinya. Kemudian dilanjutkan di bagian tiga dengan melakukan uji komputasi terhadap lima contoh persamaan nonlinear. Diasumsikan dan. MODIFIKASI METODE CAUCHY y n = x n fx n f x n, 8 z n = x n + θy n x n, 9 dimana θ R dan θ 0. Menggunakan pendekatan beda hingga antara turunan kedua pada persamaan 5 diperoleh f x n f z n f x n = f z n f x n. 10 z n x n θy n x n Dengan mensubstitusikan nilai y n pada persamaan 8, z n pada persamaan 9 ke persamaan 10 dan dengan mengambil θ = diperoleh 3 f x n fx n 3 1 f x n fx n 3 f x n, f x n f x n sehingga x n+1 = x n fx n f x n 1 + 1 L 1 x n, 11 dengan L 1 x n seperti pada persamaan 6. Persamaan 11 merupakan metode iterasi baru yang diperoleh dari modifikasi metode Cauchy, yang selanjutnya dikenal dengan Modifikasi Pertama Cauchy MC1. Modifikasi metode Cauchy selanjutnya menggunakan ekspansi Taylor dari fx di sekitar x = x n sampai dengan orde tiga yaitu 0 = fx n + f x n x x n + f x n x x n + f x n x x n 3. 1 3! 3
Persamaan 1 juga dapat ditulis seperti berikut fx n + f x n x x n + 1 [ f x n + 1 ] 3 f x n x x n x x n = 0. 13 Solusi dari persamaan 13 memberikan bentuk implisit baru dengan x n+1 = x n fx n f x n 1 + 1 L f x n, 14 L f x n = [ f x n + 1 3 f x n x n+1 x n ] fx n f x n. 15 Untuk memperoleh bentuk eksplisit, maka iterasi x n+1 di ruas kanan persamaan 15 diganti dengan iterasi pada persamaan 8, sehingga diperoleh L f x n [ f x n + 1 3 f x n y n x n ] fx n f x n. 16 Untuk menghindari perhitungan dari turunan ketiga f x n, digunakan pendekatan beda hingga antara turunan kedua yaitu f x n f z n f x n = f z n f x n, z n x n θy n x n dimana masing-masing y n dan z n didefinisikan oleh persamaan 8 dan 9, sehingga diperoleh f x n + 1 3 f x n y n x n 1 3θ f z n + 1 1 f x n. 17 3θ Jika diambil θ = 1 maka persamaan 17 menjadi 3 f x n + 1 3 f x n y n x n f x n 1 fx n, 18 3 f x n sehingga diperoleh metode baru x n+1 = x n fx n f x n 1 + 1 L x n, 19 dengan L x n seperti pada persamaan 7. Persamaan 19 merupakan metode Modifikasi Kedua Cauchy MC. Teorema 1 Orde Konvergensi Metode Modifikasi Pertama Cauchy Misalkan α I adalah akar sederhana dari fungsi terdiferensial secukupnya 4
f : I R R untuk interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat ke α, maka metode iterasi yang didefinisikan oleh persamaan 11 mempunyai orde konvergensi empat dengan persamaan tingkat kesalahan yaitu 1 e n+1 = 9 C 4 C C 3 e 4 n + Oe 5 n, 0 dimana e n = x n α dan C k = 1 k! f k α, k =, 3, 4, 5. f α Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari persamaan nonlinear fx = 0 maka fα = 0, f α 0 dan nyatakan e n = x n α. Kemudian dengan menggunakan ekspansi Taylor [, h. 189] terhadap fx n di sekitar x n = α sampai orde empat, diperoleh fx n = f αe n +C e n + C 3 e 3 n + C 4 e 4 n + Oe 5 n. 1 Selanjutnya dengan cara yang sama, f x n diekspansikan di sekitar x n = α sampai orde empat dan setelah disederhanakan, maka diperoleh f x n = f α 1 + C e n + 3C 3 e n + 4C 4 e 3 n + 5C 5 e 4 n + Oe 5 n. Kemudian persamaan 1 dibagi dengan persamaan, sehingga dengan menggunakan deret geometri diperoleh fx n f x n = e n C e n + C C 3 e 3 n + 4C 3 3C 4 + 7C C 3 e 4 n + Oe 5 n. fx n 3 Pada persamaan 6, misalkan w n = x n 3 f x n, dengan cara yang sama, ekspansi Taylor dilakukan terhadap fw n dan f w n di sekitar w n = α sampai orde empat dan setelah disederhanakan diperoleh [ f w n = f α 1 + 1 3 C e n + 3 C 3 + 4 3 C e n + 4C C 3 8 3 C3 + 4 7 C 4 e 3 n 44 + 9 C C 4 + 8 3 C 3 + 16 3 C4 3 ] 3 C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 4 Dengan mensubstitusikan persamaan 4 dan ke persamaan 6, dengan menggunakan identitas geometri diperoleh f w n f x n = 1 4 3 C e n + 8 40 3 C 3 + 4C e n + 3 C C 3 3 3 C3 104 7 C 4 e 3 n + 148 3 C C 3 + 484 7 C C 4 + 80 3 C4 + 3 3 C 3 5C 5 e 4 n + Oe 5 n. 5 5
Kemudian persamaan 5 disubstitusikan ke persamaan 6 sehingga diperoleh L 1 x n = C e n + 4C 3 6C e n + 0C C 3 + 16C 3 + 5 9 C 4 e 3 n + 74CC 3 4 9 C C 4 40C 4 16C3 + 15 C 5 e 4 n + Oe 5 n. 6 Dengan mensubstitusikan persamaan 6 ke bentuk akar pada persamaan 11, diperoleh 1 L1 x n = 1 C e n + 4C 3 + 4C e n + 1C C 3 8C 3 5 9 C 4 e 3 n + 34CC 3 + 46 3 C C 4 + 16C 4 + 8C3 15 C 5 e 4 n + Oe 5 n. 7 Selanjutnya persamaan 7 disubstitusikan ke ruas kanan persamaan 11, sehingga diperoleh 6 1 + 1 L 1 x n = 1 + C e n + C 3 Ce n + 9 C 4 C C 3 + C 3 e 3 n + 3CC 3 17 9 C C 4 C 4 15 4 C 5 e 4 n + Oe 5 n. 8 Kemudian dengan menggunakan persamaan 3 dan 8 diperoleh C C 3 1 9 C 4 fx n f x n 1 + 1 L 1 x n = e n + Menggunakan persamaan 11, diperoleh x n+1 = x n e n + C C 3 1 9 C 4 e 4 n + Oe 5 n. 9 e 4 n + Oe 5 n. 30 Karena x n = e n + α maka persamaan 30 menjadi 1 e n+1 = 9 C 4 C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 31 Persamaan 31 merupakan persamaan tingkat kesalahan dari metode Modifikasi Pertama Cauchy. Berdasarkan Definisi orde konvergensi [3, h. 79], maka persamaan 11 atau metode Modifikasi Pertama Cauchy memiliki orde konvergensi empat. Banyak fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasi untuk metode Modifikasi 6
Pertama Cauchy adalah tiga yaitu fx n, f x n dan f w n, sehingga indeks efisiensinya adalah 4 1 3 1.587. Teorema Orde Konvergensi Metode Modifikasi Kedua Cauchy Misalkan α I adalah akar sederhana dari fungsi terdiferensial secukupnya f : I R R untuk interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat ke α, maka metode iterasi yang didefinisikan oleh persamaan 19 mempunyai orde konvergensi empat dengan persamaan tingkat kesalahan yaitu 1 e n+1 = 3 C 4 C C 3 e 4 n + Oe 5 n, 3 dimana e n = x n α dan C k = 1 k! f k α, k =, 3, 4, 5. f α Bukti. Menggunakan hasil pada Teorema 1, yaitu pada persamaan 3 dan misalkan t n = x n 1 fx n 3 f x n pada persamaan 18, diperoleh bentuk t n α = 3 e n + 1 3 C e n + 3 C + 3 C 3 e 3 n 4 + 3 C3 + C 4 7 3 C C e 4 n + Oe 5 n. 33 Melalui cara yang sama dengan menggunakan persamaan 33 ekspansi Taylor dilakukan terhadap f t n di sekitar t n = α, selanjutnya dikalikan dengan persamaan 1 dan setelah disederhanakan diperoleh f t n fx n = f α [C e n + 4C 3 + C e n + 8C C 3 + 16 3 C 4 e 3 n + C C 3 + 38 ] 3 C C 4 + 8C3 e 4 n + Oe 5 n. Kemudian persamaan dikuadratkan dan setelah disederhanakan diperoleh 34 f x n = f α [ 1 + 4C e n + 6C 3 + 4C e n + 8C 4 + 1C C 3 e 3 n + 16C C 4 + 10C 5 + 9C 3e 4 n + Oe 5 n ]. 35 Dengan mensubstitusikan persamaan 34 dan 35 ke dalam persamaan 19, diperoleh bentuk persamaan baru yang dapat diselesaikan dengan 7
menggunakan identitas geometri, sehingga persamaan 7 menjadi 16 L x n = C e n + 4C 3 6Ce n + 3 C 4 0C C 3 + 16C 3 e 3 n + 743 C C 4 40C 4 16C 3 + 74C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 36 Dengan mensubstitusikan persamaan 36 ke bentuk akar pada persamaan 19, diperoleh 1 L x n = 1 C e n + 4C 3 + 4Ce n + 1C C 3 8C 3 16 3 C 4 e 3 n + 14C C 4 + 16C 4 + 8C 3 34C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 37 Selanjutnya persamaan 37 disubstitusikan ke ruas kanan persamaan 19, sehingga diperoleh 1 + 1 L x n = 1 + C e n + C 3 Ce n + C C 3 + C 3 + 8 3 C 4 e 3 n + 53 C C 4 C 4 + 3C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 38 Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 3 dan 38 diperoleh fx n f x n 1 + 1 L x n = e n + 13 C 4 + C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 39 Menggunakan persamaan 19, diperoleh x n+1 = x n e n + 13 C 4 + C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 40 Karena x n = e n + α, maka persamaan 40 menjadi 1 e n+1 = 3 C 4 C C 3 e 4 n + Oe 5 n. 41 Persamaan 41 merupakan persamaan tingkat kesalahan dari metode Modifikasi Kedua Cauchy. Berdasarkan Definisi orde konvergensi [3, h. 79], maka persamaan 19 atau metode Modifikasi Kedua Cauchy memiliki orde konvergensi empat. Banyak fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasi untuk metode Modifikasi Kedua Cauchy adalah tiga yaitu fx n, f x n dan f t n sehingga indeks efisiensinya adalah 4 1 3 1.587. 8
3. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini akan dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Modifikasi Pertama Cauchy MC1, metode Modifikasi Kedua Cauchy MC untuk menyelesaikan persamaan nonlinear fx = 0 dan membandingkan hasilnya dengan metode Newton MN dan metode Cauchy MC. f 1 x = x sinx cosx, f x = x 3 + 4x 10, f 3 x = 3x e x, f 4 x = cosx xe x + x, f 5 x = sin x x + 1. Untuk melakukan uji komputasi dari contoh-contoh persamaan nonlinear di atas digunakan program Maple 13 dengan toleransi =1.0 10 0. Dalam melakukan uji komputasi juga digunakan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode seperti sebelumnya, yaitu 1 jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan, jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan, dan 3 jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. Hasil komputasi dapat dilihat pada Tabel 1 berikut. Tabel 1: Perbandingan Uji Komputasi untuk MN, MC, MC1 dan MC f n x x 0 Metode n x n fx n x n x n 1 MN 6 0.89506045384318501 7.649e 41 6.3450e 1 1.5 MC 4 0.89506045384318501.941e 4.1684e 14 MC1 3 0.89506045384318501 4.4893e 38 6.8540e 10 MC 3 0.89506045384318501 4.796e 50 1.4397e 1 MN 7 0.89506045384318501.4707e 36 1.1403e 18 f 1 x.0 MC 4 0.89506045384318501 8.7783e 3 6.7393e 08 MC1 3 0.89506045384318501 1.1747e 5.3884e 06 MC 4 0.89506045384318501 4.8651e 63 8.149e 16 MN 5 0.89506045384318501 1.573e 37.835e 19 1.0 MC 3 0.89506045384318501 1.875e 37 8.6754e 13 MC1 0.89506045384318501 7.0836e 8.4439e 06 MC 0.89506045384318501 1.3191e 4 3.968e 06 MN 6 1.365300134140968458 1.361e 37 1.356e 19.0 MC 4 1.365300134140968458 3.45e 63 1.5113e 1 MC1 3 1.365300134140968458 1.3090e 46 4.043e 1 MC 3 1.365300134140968458 1.3090e 46 4.043e 1 MN 5 1.365300134140968458 3.665e 1.169e 11 f x 1.0 MC 3 1.365300134140968458 4.6347e 7 1.6673e 09 MC1 3 1.365300134140968458.093e 57 8.1933e 15 MC 3 1.365300134140968458.093e 57 8.1933e 15 MN 7 1.365300134140968458 5.4545e 8 8.08e 15 0.5 MC 4 1.365300134140968458 8.4645e 5 9.4595e 18 MC1 3 1.365300134140968458 7.78e 9 1.105e 07 MC 3 1.365300134140968458 7.78e 9 1.105e 07 9
f 3 x f 4 x f 5 x 1.0.0 0.5 1.0 0.5 0.0 1.0.5 3.5 MN 4 0.910007574887090607 6.3660e 1 6.0179e 11 MC 3 0.910007574887090607.518e 39 1.7586e 13 MC1 0.910007574887090607 1.0867e 4.6467e 06 MC 0.910007574887090607 6.73e 3 4.1568e 06 MN 5 0.910007574887090607 6.3660e 1 6.0179e 11 MC 4 0.910007574887090607.644e 9 3.9871e 10 MC1 3 0.910007574887090607 1.3649e 35.7663e 09 MC 4 0.910007574887090607 1.80e 53 9.650e 14 MN 6 0.910007574887090607 3.9138e 9 4.7186e 15 MC 4 0.910007574887090607 3.1785e 3 4.500e 08 MC1 3 0.910007574887090607 1.1887e 4 4.751e 11 MC 3 0.910007574887090607 1.3579e 43.8354e 11 MN 6 0.639154096330075811 4.483e 38 1.559e 19 MC 4 0.639154096330075811 9.135e 43 9.5459e 15 MC1 3 0.639154096330075811 1.9969e 37 7.098e 10 MC 3 0.639154096330075811 3.490e 38 4.7043e 10 MN 5 0.639154096330075811 1.745e 30 8.1866e 16 MC 3 0.639154096330075811 1.90e 8 4.9741e 10 MC1 3 0.639154096330075811 1.4114e 65 6.5084e 17 MC 3 0.639154096330075811 1.488e 66 3.769e 17 MN 7 0.639154096330075811 4.483e 38 1.559e 19 MC 4 0.639154096330075811 1.5583e 3.4576e 11 MC1 3 0.639154096330075811.349e 4 1.983e 06 MC 3 0.639154096330075811 7.991e 6 5.7755e 07 MN 6 1.4044916481534160 1.8191e 5 3.0580e 13 MC 3 1.4044916481534160 6.4388e 1 3.097e 07 MC1 3 1.4044916481534160.7038e 40 1.9044e 10 MC 3 1.4044916481534160.7075e 38.7075e 38 MN 6 1.4044916481534160 3.8375e 4 1.4045e 1 MC 4 1.4044916481534160 1.773e 40 9.581e 14 MC1 3 1.4044916481534160 8.15e 8.5095e 07 MC 3 1.4044916481534160 8.983e 8.345e 07 MN 6 1.4044916481534160 9.8039e.450e 11 MC 4 1.4044916481534160.9479e 4.3836e 14 MC1 4 1.4044916481534160 1.075e 77 8.4989e 0 MC 4 1.4044916481534160 6.083e 63 3.874e 16 Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari semua contoh persamaan nonlinear yang diberikan. Selanjutnya untuk nilai awal x 0 yang dipilih cukup dekat ke akar, semua metode yang didiskusikan konvergen relatif lebih cepat dibanding jika x 0 lebih jauh dari akar. Hal ini menunjukkan bahwa nilai awal berpengaruh terhadap kecepatan metode dalam menemukan akar pendekatan yang diharapkan. Secara umum, MC1 dan MC memerlukan iterasi yang lebih sedikit untuk mendapatkan akar pendekatan dibanding metode pembanding disamping metode yang dikemukakan lebih efisien dengan efisiensi indeks 1.587. Oleh karena itu, modifikasi metode Cauchy pada artikel ini dapat dijadikan alternatif yang baik untuk mencari akar pendekatan dari suatu persamaan nonlinear. 10
4. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa modifikasi metode Cauchy dengan menggunakan ekspansi Taylor memperoleh dua metode iterasi baru yang diturunkan yaitu MC1 dan MC. Analisis konvergensi menunjukkan bahwa modifikasi metode Cauchy memiliki orde konvergensi empat. Berdasarkan uji komputasi dapat disimpulkan bahwa nilai awal berpengaruh terhadap keberhasilan dalam menghampiri akar pendekatan. Hasil komputasi MC1 dan MC dengan orde konvergensi empat untuk menyelesaikan persamaan nonlinear lebih cepat dalam menemukan akar dibandingkan metode pembanding. Hal ini dapat dilihat dari jumlah iterasi yang dihasilkan MC1 dan MC lebih kecil dibandingkan dengan metode-metode pembanding. MC1 dan MC juga memiliki indeks efisiensi yang lebih besar dibandingkan MN dan MC, sehingga MC1 dan MC lebih efisien dibandingkan dengan metode-metode pembanding. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] K. Atkinson dan W. Han, Theoretical Numerical Analysis, Second Edition, Springer Science, New York, 005. [] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, New York, 011. [3] J. D. Faires dan R. L. Burden, Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks Cole, New York, 011. [4] D. Herceg dan D. Herceg, A family of methods for solving nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 59 015, 88-895. [5] J. Kou, Some variants of Cauchy s method with accelerated fourth-order convergence, Applied Mathematics, 13 008, 71-78. [6] J. H. Mathews, Numerical Method for Mathematical Science and Engineer, Prentice-Hall International, New York, 1987. [7] J. R. Sharma dan R. K. Guha, Some modified Newtons methods with fourth-order convergence, Advance in Science Research, 011, 40-47. [8] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1964. 11