1 PELUANG & ATURAN BAYES BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK UTRIWENI MUKHAIYAR
Eksperimen 2 Ciri-ciri i ii eksperimen acak (Statistik): ti tik) Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasil- hasil sebelumnya. Bisa diukur (diamati). Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya galat/error.
Ruang Sampel 3 Ruang sampel S, yaitu himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik).
Ruang Sampel Diskrit 4 A. Diskrit: it banyaknya (number) b elemen pada S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. Contoh 1.S pada (percobaan) pemeriksaan jenis kelamin mencit di suatu tempat pengembangbiakan mencit untuk percobaan. Setiap mencit dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai mencit jantan atau betina.
Ruang Sampel Kontinu 5 B. Kontinu: elemen-elemen l dari S tsb adalah bagian dari suatu interval. Contoh 2. S pada percobaan pengukuran suhu maksimum setiap jam pada suatu reaksi kimia (satuan o C), misalnya S={x: 30<x < 40}. Jika kita pilih jam-jam secara acak, maka mungkin ditemukan jam-jam dengan suhu 31 o C atau 30,5 o C atau 37,5 o C atau nilai lainnya yang berkisar antara 30 < x < 40.
Kejadian (Event) 6 Himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S. Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal E 1, E 2,...dst.
Ruang Sampel dan Kejadian Ruang sampel, dinotasikan ik S Ruang Sampel Diskrit Ruang Sampel Kontinu S = {,,..., } Event (kejadian) 7 E = {,, } 7
Populasi dan sampel 8 Pada Contoh 1: Semua mencit di tempat pengembangbiakan tersebut adalah populasi, sedangkan beberapa mencit yang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah semua jenis kelamin mencit yang mungkin, yaitu {jantan, betina} dan termasuk jenis diskrit, i karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(s ) = 2.
Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian 9 Dua pasien diberi obat untuk satu minggu. Sukses atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien dicatat setelah 1 minggu. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya. Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, ST TS TT} dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) Contoh kejadian, mis kejadian E 1 dimana kedua pasien pengobatannya sukses, maka E 1 ={SS}; dan E 2 dimana salah satu pasien tetap sakit E 2 ={ST,TS}
Contoh 4 10 Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan. Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan (mm), ruang sampel S = { x 0 x 600, x R} dan E 2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm, maka E 2 = {x 200 < x 600, x R} Perhatikan a bahwa E 2 S
Gabungan 11 Ui Union dua peristiwa i E 1 dan E 2 ditulis E 1 EE 2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 atau di dalam E 2 (termasuk di dalam keduanya jika ada). Contoh. Perhatikan Contoh 3. Misal E 1 adalah kejadian salah seorang pasien 1 sembuh, dan E 2 adalah kejadian tidak ada pasien yang sembuh. Maka E 1 E 2 = {ST,TS,TT}.
Irisan 12 Ii Irisan dua peristiwa i E 1 dan E 2, ditulis E 1 E 2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 dan di dalam E 2. Contoh. Perhatikan Contoh 2. Misalkan E 1 : himpunan suhu maksimum suatu percobaan lebih dari 36,5 o C, dan E 2 : himpunan suhu maksimum percobaan kurang dari 37,9 o C. Maka a E 1 E 2 = {x 36,5 < x < 37,9}.
Komplemen 13 Komplemen suatu peristiwa E 1, ditulis E 1c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E 1. Contoh. Perhatikan Contoh 4. E 2c = {0 x 200}, yaitu himpunan tingkat curah hujan dari 0 sampai dengan 200 mm.
Peluang Suatu Kejadian 14 Prinsip i dasar : frekuensi relatif Jika suatu ruang sampel mempunyai n(s ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(e) elemen, maka probabilitas E adalah: PE ( ) ne ( ) ns ( )
Contoh 5 15 Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam hari). Kantor tempat t pengusaha tersebut t bekerja 7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari? Jawab: n(s) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(e) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des} PE ( ) n ( E ) 7 ns ( ) 12
Aksioma Peluang 16 1. 0 P(E) 1. 2. P(S) = 1. 3. Jika E 1 dan E 2 adalah dua kejadian yang saling lepas,maka berlaku: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) 4. Jika E 1, E 2,,E n adalah kejadian yang saling lepas mutual, maka berlaku : P(E 1 EE 2 EE n ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + + + P(E n )
Peluang Bersyarat 17 Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah dibatasi. Jika event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya y adalah: PBA ( ) P( A B) P( A)
Peluang Bersyarat 18 Dalam P(B A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka P(B A) = P(B)
Contoh 6 19 Jenis Rambut Hitam Warna Tidak Hitam Lurus 2 0 Ikal 2 4 Keriting 1 2 P(Lurus Hitam) 2 5 2 P(Lurus Hitam) = : P(Hitam) 11 11 5
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas 20 Dua kejadian E dan F dikatakan k saling bebas b (independent) jika berlaku: PEF ( ) PE ( ). PF ( ) Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku: PEF ( ) 0
Contoh 7-- 21 Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa E dan F saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?
--Contoh 7 22 Jawab: PEF ( ) 1/52 karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati. PE ( ) 4/52 karena terdapat 4 As dalam kartu bridge PF ( ) 13/52 karena terdapat 13 kartu bergambar hati 4 13 52 1 P( E). P( F). P( EF) 52 52 52.52 52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
Peluang Bersyarat Banyak kejadian 23 B 1 A B 5 A B 1 B 5 A A B2 A B 3 A B 4 B 4 S B 2 B 3
24 Peluang Bersyarat Banyak kejadian
25 Aturan Bayes
Contoh 8 26 Suatu u perusahaan aa besar menggunakan a tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik. b. Seseorang gyang mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S.
27 Solusi
Referensi 28 Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Rosner, Bernard, Fundamentals of Biostatistics, 6 th edition, Thomson Brooks/Cole, 2006. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, g, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference,, USA: John Wiley&Sons,Inc.,, 2000.