PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL BERDASARKAN SENSOR TIPE I Rizka Anggraini Mahasiswa Program Stui S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus Bina Wiya, Pekanbaru 28293 rizkaanggraini213@gmail.com ABSTRACT This article iscusses parameters of Weibull istribution type-i censore. The estimators are obtaine through maximum likelihoo metho. The estimators of Weibull istribution type-i censore oes not have explisit solution. Then the numerical approach is applie, which is calle approximate maximum likelihoo estimators through numerical metho, so that the estimators are obaine explicit form. Keywors: Type-I censore, Weibull istribution, extreme value istribution, maximum likelihoo metho, Taylor theorem ABSTRAK Artikel ini membahas parameter istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I. Penaksir parameter istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I iperoleh engan metoe maksimum likelihoo. Penaksir istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I tiak berbentuk eksplisit. Selanjutnya ilakukan penekatan secara numerik yang isebut penekatan penaksir maksimum likelihoo, sehingga penaksir parameter yang iperoleh berbentuk eksplisit. Kata kunci: Sensor tipe I, istribusi Weibull, istribusi nilai ekstrim, metoe maksimum likelihoo, teorema Taylor 1. PENDAHULUAN Di alam buku Kleinbaum an Klein [7, h. 4] isebutkan bahwa analisis survival aalah proseur untuk menganalisa ata imana variabel yang iperhatikan yaitu waktu sampai terjainya suatu kejaian. Paa analisis survival, waktu yang iukur isebut waktu survival karena variabel tersebut menunjukkan waktu objek apat bertahan selama ilakukan pengamatan. 1
Kleinbaum an Klein [7, h. 5] menjelaskan alam bukunya bahwa analisis survival harus mempertimbangkan masalah analitis yaitu sensor. Sensor terjai ketika iperoleh informasi mengenai waktu hiup objek, tetapi tiak iketahui pasti waktu hiupnya. Di alam buku Lee an Wang [10, h. 2] sensor ibagi menjai tiga tipe yaitu sensor tipe I, tipe II an tipe III. Sensor tipe I merupakan pengamatan akan ihentikan apabila mencapai waktu penyensoran tertentu. Sensor tipe II terjai apabila pengamatan akan ihentikan setelah kerusakan atau kegagalan objek ke-r telah iperoleh. Sensor tipe III merupakan suatu pengamatan yang ilakukan terhaap beberapa objek paa waktu yang berbea paa jangka waktu tertentu. Di alam buku Kleinbaum an Klein [7, h. 260], terapat beberapa istribusi yang igunakan paa analisis survival yaitu istribusi Weibull, istribusi Eksponensial, istribusi Log-normal an istribusi Gamma. Dari beberapa istribusi tersebut, artikel ini menggunakan istribusi Weibull. Lai [8, h. 1] menjelaskan alam bukunya bahwa istribusi Weibull merupakan istribusi peluang kontinu yang iperkenalkan oleh Waloi Weibull paa tahun 1951. Sejak saat itu, istribusi Weibull menjai salah satu istribusi waktu hiup yang paling baik alam teknik keanalan an ibiang lain. Paa artikel ini, penaksir parameter iperoleh engan metoe maksimum likelihoo an ilanjutkan engan teorema Taylor yang igunakan untuk memperoleh penaksir parameter yang berbentuk eksplisit. Pembahasan tersebut merupakan tinjauan sebagian ari artikel Joarer et al. [6]. 2. LANDASAN TEORI Lai [8, h. 1] menjelaskan alam bukunya bahwa istribusi Weibull merupakan istribusi peluang kontinu yang iperkenalkan oleh Waloi Weibull paa tahun 1951. Sejak saat itu, istribusi Weibull menjai salah satu istribusi waktu hiup yang paling baik alam teknik keanalan an ibiang lain. Di alam buku Klein an Moeschberger [?, h. 45] isebutkan bahwa istribusi Weibull biasanya igunakan alam pembahasan uji hiup yang sering igunakan alam berbagai biang seperti biomeik an inustri. Definisi 1 [1, h. 116] Misalkan variabel ranom X beristribusi Weibull engan parameter bentuk an skala masing-masing α an. Fungsi kepaatan peluang ari X aalah f(x; α, = α α xα 1 e ( x α, (1 engan x > 0, α > 0, an > 0. Fungsi istribusi kumulatif untuk istribusi Weibull yaitu F (x = 1 e ( x α. (2 2
Di alam buku Lawless [9, h. 20] isebutkan bahwa istribusi nilai ekstrim isebut juga sebagai istribusi Gumbel. Distribusi nilai ekstrim iperoleh engan melakukan transformasi variabel terhaap istribusi Weibull. Teorema 2 [1, h. 198] Misalkan X aalah variabel ranom kontinu engan fungsi kepaatan peluang f(x, an asumsikan bahwa Y = u(x menefinisikan transformasi satu-satu ari A = x f(x > 0 paa B = y f(y > 0 engan invers transformasi x = w(y. Jika turunan ari w(y kontinu an tiak nol paa B, maka fungsi kepaatan peluang ari Y aalah f(y = f(w(y y w(y (3 Bukti. Terapat paa Bain an Engelhart [1, h. 198]. Definisi 3 [6] Jika variabel ranom X mempunyai fungsi kepaatan peluang beristribusi Weibull, maka variabel ranom Y = ln X beristribusi nilai ekstrim engan fungsi kepaatan peluang yaitu f(y; µ, = 1 e engan < y <, µ = ln, an = 1 α. ( y µ e( y µ, (4 Fungsi istribusi kumulatif untuk istribusi nilai ekstrim sebagai berikut: y µ e( F (y = 1 e. Jika X merupakan variabel ranom menyatakan waktu bertahan hiup, maka Y merupakan variabel ranom menyatakan logaritma ari waktu bertahan hiup. Fungsi survival untuk istribusi nilai ekstrim, yaitu S(y = 1 F (y y µ S(y = e e(. (5 Metoe maksimum likelihoo merupakan metoe yang igunakan untuk menaksir parameter seemikian hingga penaksir yang iperoleh memaksimumkan fungsi likelihoo. Penaksir yang iperoleh isebut penaksir maksimum likelihoo. Definisi 4 [1, h. 293] Fungsi likelihoo merupakan fungsi kepaatan peluang bersama ari n variabel ranom X 1, X 2,..., X n an inyatakan alam bentuk f(x 1, x 2,..., x n ; θ. Jika X 1, X 2,..., X n itetapkan, maka fungsi likelihoo aalah fungsi ari parameter θ an inotasikan engan L(θ. Jika X 1, X 2,..., X n 3
menyatakan suatu sampel ranom ari f(x; θ, maka L(θ = f(x 1 ; θ.f(x 2 ; θ..f(x n ; θ n = f(x i, θ. Definisi 5 [1, h. 294] Misalkan f(x 1, x 2,..., x n ; θ, θ Ω, aalah fungsi kepaatan peluang bersama ari X 1, X 2,..., X n. Untuk suatu himpunan pengamatan, x 1, x 2,..., x n, nilai ˆθ alam Ω yang memaksimumkan f(x1, x 2,..., x n ; θ isebut suatu penaksir maksimum likelihoo ari θ yang memenuhi f(x 1, x 2,..., x n ; ˆθ = max θ Ω f(x 1, x 2,..., x n ; θ. Jika L(θ memiliki turunan an maksimum paa Ω imana Ω aalah interval terbuka, maka penaksir maksimum likelihoo iperoleh engan menyelesaikan persamaan L(θ = 0. (6 θ Setiap nilai θ yang memaksimumkan L(θ juga akan memaksimumkan fungsi logaritma natural-likelihoo, ln L(θ. Sehingga penaksir maksimum likelihoo ari L(θ iperoleh engan menyelesaikan persamaan ln L(θ = 0. (7 θ Bartle an Sherbert[4, h. 188] menyatakan bahwa setiap fungsi apat iekati engan polinomial. Teorema yang menggunakan polinomial aalah teorema Taylor. Teorema 6 [4, h. 188] Misalkan n N, I = [a, b] an f : I R seemikian hingga f an f, f, f,..., f (n kontinu paa I an f (n+1 aa paa (a, b. Jika x 0 I maka untuk sebarang x I terapat suatu titik c iantara x an x 0, sehingga f(x =f(x 0 + f (x 0 (x x 0 + f (x 0 2! (x x 0 2 +... + f (n (x 0 (x x 0 n n! + f (n+1 (c (n + 1! (x x 0 (n+1. (8 Bukti.Terapat paa Bartle an Sherbert [4, h. 189]. 3. PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL BERDASARKAN SENSOR TIPE I Parameter istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I itaksir menggunakan metoe maksimum likelihoo. Selanjutnya akan itaksir parameter ari 4
istribusi nilai ekstrim. Kemuian ilanjutkan engan melakukan komputasi numerik menggunakan teorema Taylor, hingga iapatkan bentuk penaksir yang bersifat eksplisit. Di alam buku Lee an Wang [10, h. 162] isebutkan bahwa misalkan X 1,..., X, X+1,..., X n merupakan waktu yang iamati ari n objek, engan waktu eksak an (n waktu tersensor kanan. Jika waktu survival iskrit, f(x, θ menyatakan peluang ari pengamatan X an S(x, θ menyatakan peluang untuk waktu survival lebih besar ari X, maka f(x i, θ menyatakan peluang bersama ari waktu survival tiak tersensor an n i=+1 S(x i, θ menyatakan peluang bersama ari waktu survival sensor kanan. Fungsi kepaatan peluang bersama isebut sebagai fungsi likelihoo untuk parameter θ yang inotasikan L(θ apat inyatakan sebagai berikut: L(θ = n f(x i, θ S(x i, θ (9 i=+1 Di alam artikel Joarer et al. [6], isebutkan bahwa asumsikan n objek inyatakan oleh X 1, X 2,..., X n an waktu sensor T iketahui terlebih ahulu. Waktu hiup terurut ari objek penelitian inyatakan oleh X (1, X (2,..., X (n. Misalkan ( n merupakan banyak objek yang gagal an beraa sebelum waktu T, maka berasarkan sensor tipe I apat inyatakan oleh { X(1, X (2,..., X n } engan0 n anx( < T < X +1. (10 Meskipun X +1 tiak teramati tetapi X ( < T < X +1 mempunyai arti bahwa kegagalan terjai sebelum T an tiak aa kegagalan iantara X ( an T, engan kata lain X +1,..., X n tiak teramati. Teorema 7 [1, h. 223] Jika X (1, X (2,..., X ( merupakan nilai-nilai ari sampel ranom berukuran n ari f(x yaitu sensor kanan tipe I i T, maka fungsi kepaatan peluang bersama ari X (1, X (2,..., X ( yaitu f(x (1, x (2,..., x ( = n! [1 F (T ]n (n! engan x (1, x (2,..., x ( < T, = 1, 2,..., n, P [R = 0] = [1 F (T ] n. f(x (i, (11 Dengan menggunakan persamaan (11 iperoleh fungsi kepaatan peluang bersama ari X 1, X 2,..., X, yang merupakan sampel ranom sebelum waktu T, yaitu f(x (1, x (2,..., x ( = n! (n! L(α, = n! (n! ( α α ( α α ( x α 1 (i e ( x α 1 (i e ( x(i ( x(i α+(n ( T α. (12 α+(n ( T α. (13 5
Selanjutnya melakukan transformasi logaritma natural terhaap persamaan (13, yaitu ln L(α, = (ln α α ln + (α 1 ln x (i ( x(i α (n ( T α. (14 Kemuian persamaan (14 iturunkan secara parsial terhaap α an selanjutnya isamakan engan nol, iperoleh 0 = ( α ln + x(i α ln x (i (ln x(i ln ( α T (n (ln T ln. (15 0 = α + α x α (i α αt + (n. (16 α+1 α+1 Penaksir parameter α an iperoleh engan metoe eliminasi, sehingga ˆα = ln x (i + ( x(i α (ln x(i ln T + ln T, (17 ˆ = α xα (i + (n T α. (18 Dari persamaan (17 an (18, apat ilihat bahwa penaksir parameter beristribusi Weibull berasarkan sensor tipe I iperoleh engan metoe maksimum likelihoo. Namun, ˆα an ˆ tiak berbentuk eksplisit sehinga penaksir parameter itentukan engan menggunakan istribusi nilai ekstrim, yaitu engan melakukan transformasi variabel Y = ln X. Dengan mensubtitusikan fungsi kepaatan peluang an fungsi survival ari nilai ekstrim ke persamaan (9 iperoleh fungsi likelihoo yaitu L(µ, = 1 e ( y(i µ y (i µ ( e e (n e ( W µ, (19 engan µ = ln, = 1 α an W = ln T. Selanjutnya melakukan transformasi 6
logaritma natural terhaap persamaan (19, yaitu ln L(µ, = ln + 1 ( y(i µ e ( y(i µ (n e ( W µ. (20 Kemuian persamaan (20 iturunkan secara parsial terhaap µ an selanjutnya isamakan engan nol, iperoleh 0 = + 0 = e ( y(i µ + (n e ( W µ. (21 (y (i µ + ( y (i µ e ( y(i µ + (n (W µe ( W µ. (22 Penaksir parameter µ an, iperoleh engan metoe eliminasi. Sehingga iperoleh ( W ( y (i µ e (y (i µ + ( y(i µ y (ie ˆµ =, (23 ˆ = 1 ( ( y(i µ (y (i µ + (y (i µ e + (n (W µe ( W µ. (24 Penaksir parameter ˆµ an ˆ paa persamaan (23 an (24 iperoleh alam bentuk implisit, oleh karena itu penekatan numerik ijaikan sebagai cara alternatif untuk memperoleh penaksir parameter yang berbentuk eksplisit. Metoe numerik yang igunakan aalah eret Taylor ore satu. Langkah pertama ialah memisalkan persamaan (19 engan z (i = y (i µ, i = 1, 2,,, V = W µ, g(y =e y ey, (25 Ḡ(y =e ey, D =n. Kemuian iperoleh persamaan sebagai berikut: L(µ, = 1 g(z (i (Ḡ(V D. (26 Selanjutnya melakukan transformasi logaritma natural terhaap persamaan (26, 7
yaitu ln L(µ, = ln + ln(g(z (i + D ln(ḡ(v. (27 Kemuian persamaan (27 iturunkan secara parsial terhaap µ an selanjutnya isamakan engan nol, iperoleh 0 = 0 = g (z (i g(z (i + D g(v Ḡ(V. (28 g (z (i g(z (i z (i + D g(v V. (29 Ḡ(V Penaksir parameter ˆµ an ˆ iperoleh engan menyelesaikan g (z (i g(z (i an g(v Ḡ(V menggunakan eret Taylor ore satu yaitu f(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0 (30 Di alam artikel Balakrishnan an Varaan [3] isebutkan bahwa penekatan teorema Taylor ore satu untuk g (z (i g(z (i an g(v berturut-turut iekspansikan i sekitar µ i an µ. Berasarkan persamaan (30, iperoleh penekatan g (z (i g(v Ḡ(V g(z (i an Ḡ(V yaitu ( g (z (i g(z (i g (µ i g(µ i + g (µ i g(µ i g(v Ḡ(V g(µ Ḡ(µ + ( g (µ Ḡ(µ ( g 2 (µ i (z (i µ i, (31 g(µ i ( g(µ 2 Ḡ(µ (V µ. (32 Kemuian persamaan (31 an (26 isubtitusikan ke alam persamaan (28 yaitu ( ( ( g (µ i g(µ i + g (µ i g 2 g(µ i (µ i (z (i µ i g(µ i ( ( g(µ + D Ḡ(µ + g (µ ( g(µ 2 Ḡ(µ Ḡ(µ (V µ 0. (33 Sehubungan engan permisalan paa persamaan (25 an isubtitusikan ke alam 8
persamaan (33, lantas iperoleh (( ( e µ i + De µ µ i e µ i + Dµ e µ ( ( + y (i e µ i + DW e µ µ e µ i + De µ 0. (34 Setelah itu persamaan (31 an (26 isubtitusikan ke alam persamaan (29 yaitu ( ( ( g (µ i g(µ i + g (µ i g 2 g(µ i (µ i (z (i µ i z (i g(µ i ( ( g(µ + D Ḡ(µ + g (µ ( g(µ 2 Ḡ(µ Ḡ(µ (V µ V 0. (35 Persamaan (25 isubtitusikan ke alam persamaan (35 iperoleh ( ( ( 2 + y (i e µ i + DW e µ + (y (i µ + y (i µ i e µ i + DW µ e µ (( ( + µ e µ i + De µ µ i e µ i + Dµ e µ ( ( µ 2 e µ i + De µ + 2µ y (i e µ i + DW e µ ( y(ie 2 µ i + DW 2 e µ 0 (36 Berasarkan penekatan (34 an penekatan (36 itulis menjai (c 1 c 2 + c 3 µc 1 0, (37 A 2 + B + C 0, (38 yang mana c 1 = eµ i + De µ, c2 = µ ie µ i + Dµ e µ, c3 = y (ie µ i + DW e µ, 1 = y (iµ i e µ i + DW µ eµ, 2 = y2 e µ i + DW 2 e µ, 3 = (y (i µ, A =, B = c 3 + 1 + 3 + µ(c 1 + c 2, C = µ 2 c 1 + 2µc 3 2 an D = n. Solusi ari penekatan yang iperoleh yaitu ˆµ (c 1 c 2 ˆ + c 3 c 1, (39 9
ˆ B + B 2 4AC. (40 2A Dari persamaan (39 an (40 apat ilihat persamaan suah berbentuk eksplisit. Parameter µ an merupakan parameter ari istribusi nilai ekstrim. Hubungan istribusi nilai ekstrim engan istribusi Weibull ialah µ = ln an = 1. Sehingga iperoleh = α eµ an α = 1. Balakrishnan an Varaan [3] menjelaskan alam artikelnya bahwa berasarkan teorema Taylor g (z (i g(z (i berturut-turut iekspansikan isekitar titik µ i = ln( ln q i an µ = ln( ln q engan p i = i, q n+1 i = 1 p i, i = 1, 2,...,, p = (p +p +1, q 2 = 1 p. an g(v Ḡ(V 4. Langkah Menaksir Parameter Distribusi Weibull Berasarkan Sensor Tipe I engan MATLAB Untuk memberikan gambaran tentang teori yang berkaitan engan penekatan penaksir maksimum likelihoo untuk parameter istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I. Berikut isajikan sebuah contoh yang iambil ari buku Collett [5, h. 9]. Data paa Tabel 1 ibawah ini merupakan pengamatan waktu survival terhaap 48 pasien yang mengalami penyakit myeloma paa usia antara 50 hingga 80 tahun. Myeloma aalah sel kanker ganas yang berasal ari sel plasma. Waktu penelitian ibatasi hingga 30 bulan. Dalam waktu 30 bulan, iperoleh ata 35 pasien yang meninggal engan waktu yang berbea-bea. Solusi iperoleh engan menggunakan program MATLAB 7.10.0. Hasil perhitungan apat ilihat paa Tabel 2. Paa Tabel 2 kolom pertama menyatakan urutan iterasi, kolom keua merupakan nilai ari ˆµ, kolom ketiga merupakan nilai ari ˆ, kolom keempat merupakan eror yang iperoleh ari parameter ˆ an kolom terakhir aalah eror yang iperoleh ari parameter ˆ. Batas eror ˆµ an ˆ yaitu 10 6. Terlihat ari Tabel 2, iperlukan 15 kali iterasi untuk memperoleh nilai ari ˆµ an ˆ. 4. KESIMPULAN Berasarkan pembahasan yang telah ikemukakan sebelumnya, maka apat isimpulkan bahwa penaksir parameter istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I iperoleh engan melakukan transformasi variabel Y = ln X, yang menghasilkan istribusi nilai ekstrim. Penaksir parameter istribusi nilai ekstrim iperoleh engan metoe maksimum likelihoo an kemuian ilakukan penekatan engan eret Taylor ore 1. Penaksir parameter istribusi nilai ekstrim tersebut suah berbentuk eksplisit. Berasarkan transformasi variabel iperoleh hubungan parameter istribusi Weibull engan parameter istribusi nilai ekstrim yaitu = e µ an α = 1. Dari hubungan tersebut iperoleh penaksir parameter istribusi Weibull berasarkan sensor tipe I yang berbentuk eksplisit. 10
Tabel 1: Data Waktu Survival Penyakit Myeloma paa Tahun 1975 i Pusat Kesehatan Universitas Virginia Barat, Amerika Serikat Pasien ke-i Waktu Survival Pasien ke-i Waktu Survival (alam bulan (alam bulan 1 13 19 5 2 6 20 16 3 10 21 1 4 7 22 5 5 10 23 10 6 10 24 18 7 14 25 1 8 16 26 18 9 4 27 6 10 5 28 1 11 11 29 23 12 10 30 15 13 15 31 18 14 5 32 12 15 24 33 12 16 4 34 17 17 8 35 3 18 18 Sumber : Pusat Kesehatan Universitas Virginia Barat, Amerika Serikat Tabel 2: Hasil Komputasi Data Waktu Survival Penyakit Myeloma paa Tahun 1975 i Pusat Kesehatan Universitas Virginia Barat, Amerika Serikat n ˆµ ˆ error µ error 1-6.1106 2.4721 1.79729261 0.28007975 2-6.4526 2.7521 0.34196071 0.09108257 3-6.5638 2.8432 0.11120639 0.03163033 4-6.6024 2.8748 0.03861875 0.01120210 5-6.6161 2.8861 0.01367710 0.00399372 6-6.6210 2.8900 0.00487609 0.00142714 7-6.6227 2.8915 0.00174245 0.00051040 8-6.6233 2.8920 0.00062317 0.00018260 9-6.6235 2.8922 0.00022294 0.00006533 10-6.6236 2.8922 0.00007976 0.00002337 11-6.6237 2.8923 0.00002854 0.00000836 12-6.6237 2.8923 0.00001021 0.00000299 13-6.6237 2.8923 0.00000365 0.00000107 14-6.6237 2.8923 0.00000131 0.00000038 15-6.6237 2.8923 0.00000047 0.00000014 11
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepaa osen Pembimbing Haposan Sirait, M.Si yang telah memberikan arahan alam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] L. J. Bain an M. Engelhart, Introuction to Probability an Mathematical Statistics, Secon Eition, Warsworth Publishing Company, Belmont, 1991. [2] L. J. Bain an M. Engelhart, Statistical Analysis of Reliability an Life-testing Moels, Marcel Dekker, New York, 1991. [3] N. Balakrishnan an J. Varaan, Approximate MLEs for the location an scale parameters of the extreme value istribution with censoring, IEEE Transaction on Reliability, 40 (1991, 146-151. [4] R. G. Bartle an D. R. Sherbert, Introuction to Real Analysis, Thir Eition, John Wiley an Sons, New York, 1999. [5] D. Collett, Moelling Survival Data in Meical Research, Secon Eition, Chapman an Hall, New York, 2003. [6] A. Joarer, H. Krishna an D. Kunu, Inference on Weibull parameters with conventional type-i censoring, Computational Statistics an Data Analysis, 55 (2011, 1-11. [7] D. G. Kleinbaum an M. Klein, Survival Analysis: A Self-Learning Text, Secon Eition, Springer Science Bussiness Meia, New York, 2005. [8] C. D. Lai, Generalize Weibull Distributions, Springer, New York, 2014. [9] J. F. Lawless, Statistical Moels an Methos for Lifetime Data, Secon Eition, John Wiley an Sons, Hoboken, 2003. [10] E. T. Lee an J. W. Wang, Statistical Methos for Survival Data Analysis, Thir Eition, John Wiley an Sons, Hoboken, 2003. 12