PENGARUH JARIJARI LINGKARAN SYARAT BATAS PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM POTENSIAL LISTRIK GEOMETRI KARTESIAN Aji Wira Tama, M. Arief Bustomi, M.Si. Jurusa Fisika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Tekologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya Email: aji_wiratama@ymail.com; a_bustomi@physics.its.ac.id Abstrak Sistem potesial listrik dalam koordiat kartesia dapat diaalisa dega megguaka pedekata polar. Dalam peelitia ii haya dibatasi pegaruh jarijari ligkara syarat batas pedekata polar. Ada beberapa tahap yag harus dilakuka, yaitu: melakuka perhituga aalitik dalam koordiat kartesia, meetuka syarat batas utuk pedekata polar, meghitug potesial listrik dega pedekata polar masigmasig jarijari ligkara syarat batas da membadigkaya dega hasil perhituga koordiat kartesia. Dalam peelitia ii jarijari ligkara syarat batas yag diguaka adalah,;,;,3;,4 da,5 m. Hasil yag didapat yaitu perhituga potesial listrik dega pedekata koordiat polar sagat baik diguaka utuk perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia. Hasil peelitia meujukka bahwa besar jarijari ligkara syarat batas dimaa titik tijaua berada di dalamya tidak berpegaruh aalisa perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia dega pedekata polar. Sedagka besar jarijari ligkara syarat batas dimaa titik tijaua berada di luarya berpegaruh aalisa perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia dega pedekata polar. Kata kuci : selisih potesial listrik, pedekata polar, jarijari ligkara syarat batas, sistem geometri kartesia I. Pedahulua Sebagia besar persoala fisika berkaita dega suatu persamaa differesial yag merupaka suatu represetasi matematis dari hukum fisika utuk suatu persoala fisika tersebut. Salah satu metode peyelesaia persamaa differesial utuk sistem fisis yag memperhatika kodisi syarat batas dari bagiabagia batas (ujug) dari sistem adalah dega megguaka trasformasi persamaa laplace. Utuk meggambarka kodisi dari sistem geometri biasaya diguaka suatu sistem koordiat, sebagai cotoh yaitu; sistem koordiat kartesia da sistem koordiat polar. Da pegguaa dari masigmasig sistem koordiat disesuaika dega betuk geometri sistemya. Permasalaha sistem dega betuk geometri campura merupaka topik yag mearik utuk diteliti. Sebagai lagkah awal pegembaga metode aalisa utuk sistem dega betuk geometri campura adalah mecoba megembagka suatu metode aalisa utuk suatu sistem dega betuk geometri tertetu megguaka sistem koordiat yag tidak sesuai dega betuk geometriya tersebut. Dalam peelitia ii, aka diteliti pegaruh jarijari ligkara syarat batas dega pedekata aalisa sistem koordiat polar utuk peyelesaia sistem geometri kartesia. II. Dasar Teori. Metode Separasi Variabel Koordiat Kartesia Metode Pemisaha Variabel dimulai dega memperkealka Variabel V (,y) X().Y(y). Da variabel ii disubstitusi ke persamaa Laplace ( ϕ ) kemudia dibagi dega V (,y) sehigga meghasilka: d X X ( ) d Y + Y ( y) dy (.)
Karea persamaa ii harus sama dega ol utuk semua ilai da y maka kedua sukuya bisa disamaka dega kostata, misalya: d X k X ( ) d Y k (.) Y ( y) dy Dimaa k adalah kostata separasi variabel. Akibatya, persamaa di atas haya suatu persamaa differesial biasa yag memiliki peyelesaia aalitis: V ( y) V, i (, y) o C,3,5,... X()C s si (k) + C c cos (k) Y(y)C s sih(ky)+c c cosh(ky) C π π si sih L L h π si sih π L ( πy / L ) (.3) Sedagka C adalah kostata yag bisa dicari apabila syarat batas diberika. Misalka syarat batas adalah y V(,y) V(,L y )V o V(,) V(L,y) Gambar.. Syarat batas koordiat kartesia V(,y) V(,y) V(L,y) V(,yL y )V o (.4) Maka syarat ii haya dipeuhi apabila C c da C c. Kemudia L aka terpeuhi apabila k.π / L. Oleh sebab itu, peyelesaia persamaa Laplace adalah gelombag superposisi: (.5) Koefisie C dapat diperoleh dega memasukka ilai syarat batas y L y, yaitu V o sehigga peyelesaia akhirya adalah: V πy / sih L (.6) [,5,8]. Metode Separasi Variabel Koordiat Silider Selajutya, utuk masalah ilai batas di dalam sifat dasar betuk geometri silider, dimaa potesial adalah suatu fugsi lebih dari satu koordiat. Diaggap potesialpotesial itu adalah suatu fugsi dari ρ da φ saja. Seperti timbul potesialpotesial di dalam keadaa dimaa ada suatu simetri sepajag sumbuz. Dalam daerah meiadaka batas beba, potesial memeuhi persamaa Φ Φ + ρ ρ ρ ρ φ (.7) Metode separasi variabel diguaka di atas utuk meyelesaika potesial dalam koordiat silider. Φ merupaka hasil dari fugsi, Φ R( ρ) Y ( φ), da jika disubstitusi ke persamaa (.7) mejadi: R d dr d Y ρ ρ dρ dρ Y dφ (.8) Kedua sisi dari persama (.8) aka disamaka ke K, yag maa K merupaka kostata separasi variabel. d Y + K Y (.9) dφ Mempuyai solusi cos (Kφ ) da si (Kφ ). Besara dari K harus dibatasi dalam orde tertetu utuk membuat solusi ii mempuyai ilai fugsi tuggal dari φ. Atau dalam kata lai, solusi utuk membuat pegertia fisikaya seharusya sama setelah diputar π, atau cos K (φ + π ) cos (Kφ ) sik(φ +π )si(kφ ) (.) dimaa meghedaki bahwa K, da adalah ol atau suatu bilaga positif. Memasuka bilaga egatif tidak aka meghasilka dalam megabaika beberapa solusi yag mugki, sebab cos (φ ) cos (φ ) da si (φ ) si (φ ). Suatu sifat petig dari solusi ii adalah keyataa bahwa si da cos orthogoal:
π π cos π ( mφ) cos( φ) dφ si( mφ) si( φ) dφ πδ m ( mφ) cos( φ) dφ cos (.) dimaa δ m adalah delta kroecker. Ketergatuga radial dari potesial selajutya dapat diperoleh. Pegatura sisi sebelah kiri persamaa (.8) meyamaka K, didapatka: d dr R ρ (.) dρ dρ ρ Utuk, potesial memeuhi persamaa yag sama ditemuka dalam kasus dimaa potesial tidak mempuyai ketergatuga aguler, yaitu: d dr ρ (.3) dρ dρ dimaa memiliki solusi R(ρ) kosta da R(ρ) l ρ. Utuk persamaa memiliki dua solusi ρ da ρ. Oleh karea itu, solusi yag palig umum adalah Φ ( ρ, θ ) [ A ( ρ + ρ ) cos θ + B ( ρ + ρ ) θ ] A l si Φ + + ( ρ, θ ) A + A ' l p [ A cos θ + B si θ ] [ A ' cos θ + B ' si θ ] ρ ρ (.4) dimaa A, A ', B, B ' utuk, adalah kostata utuk ilai dari syarat batas. [,3].3 Deret Fourier Teorema fourier meyataka bahwa fugsi berilai tuggal f() selag [π,π] dapat diugkapka sebagai kombiasi liier dari fugsi sius da cosius. f ) a + a cos + a cos + a cos3 +... ( 3 b a + b si + b si + b3 si 3 +... ( a cos + b ) a + si Dega koefisie: π a π f ( ) π π a π f ( )cos( ) π b π f ( )si( ) f π h i ( ) f + f + f (.5) (.5) Deret persamaa (.5) dikeal sebagai deret fourier da koefisie a, b disebut koefisie fourier. [4].4 Itegrasi Numerik Itegrasi umerik dapat dituruka dega metode pias. Daerah itegrasi dibagi atas sejumlah pias yag berbetuk segiempat. Luas daerah itegrasi dihampiri dega luas seluruh pias. Salah satu kaidah itegrasi umerik yag dapat dituruka dega metode pias adalah Kaidah Trapesium. Luas satu trapesium adalah : h f ( ) [ f ( ) + f ( )] (.6) Luas suatu trapesium gabuga bila selag [ a, b] dibagi atas buah pias trapesium adalah: III. Metodologi (.7)[6] Lagkahlagkah yag ditempuh dalam melakuka peelitia ii digambarka sebagai diagram alir sebagai berikut:
Perhituga aalitik megguaka koordiat kartesia Mecari syarat batas utuk koordiat polar Perhituga potesial listrik berdasarka pedekata polar dega variasi jarijari ligkara syarat batas Membuat perbadiga perhituga koordiat kartesia da pedekata polar dega variasi jarijari ligkara syarat batas Membuat aalisa seberapa baik pedekata polar terhadap koordiat kartesia Kesimpula Gambar 3. Diagram alir peelitia IV. Aalisa da Pembahasa Perhituga fugsi potesial syarat batas V (r,θ) 5 varia jarijari syarat batas yag berbeda yaitu r,;,;,3;,4 da,5 m utuk medapatka ilai kostata A, A, A, A 3, B, B da B 3 dega megguaka itegrasi umerik metode trapesoida teryata memberika hasil ilai kostata yag berbeda utuk pehituga r tijaua dalam da r tijaua luar. Pada r, m yag merupaka r tijaua luar didapatka ilai koefisieya yaitu: A,5; A,67; A,884 4 ; A 3 ; B,67; B da B 3. Pada r, m yag merupaka r tijaua luar didapatka ilai koefisieya yaitu: A,5; A,668; A,35; A 3,4 4 ; B,668; B da B 3,4 4. Nilai kostata pedekata polar megguaka jarijari ligkara syarat batas dimaa titik tijaua berada di luarya dihasilka kostata yag berbeda, sehigga hasil perhituga fugsi potesial listrikya aka berbeda juga. Hal ii meujukka bahwa besar jarijari ligkara syarat batas berpegaruh aalisa perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia dega pedekata polar. Pada r,3;,4 da,5 m yag merupaka jarijari ligkara syarat batas dimaa titik tijaua berada di dalamya dihasilka kostata yag sama yaitu: A,5; A,6693; A,884; A 3,97; B,6693; B da B 3,97. Karea hasil perhituga ilai kostata A, A, A, A 3, B, B da B 3 yag sama jarijari ligkara syarat batas r,3;,4 da,5 m maka ilai fugsi potesial listrikya aka sama juga. Hal ii meujukka bahwa besar jarijari ligkara syarat batas iterval,3 m s.d.,5 m tidak berpegaruh aalisa perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia dega pedekata polar. Utuk perhituga potesial listrik dega pedekata polar yaitu Ve3, Ve4 da Ve5 memberika ilai yag sama semua sudut s.d. 36. Dapat dilihat pula berdasarka tabel tersebut ratarata selisih ilai potesial listrik Vcir dega Ve jarijari ligkara syarat batas r,3;,4 da,5 m berilai sagat kecil yaitu,3358 7 Volt. Utuk selisih ilai potesial listrik Vcir dega Ve r, m yaitu,467 7 Volt. Bahka r. m besarya adalah Volt atau dega kata lai ilai potesial listrik Vcir adalah sama dega Ve. Kecilya ilai ratarata selisih (medekati ) meujukka bahwa memag kasus ii ilai V pedekata polar medekati ilai V koordiat kartesia. Hal ii meujukka bahwa perhituga potesial listrik dega pedekata koordiat polar sagat baik diguaka utuk perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia. Setelah dilakuka aalisa perbadiga hasil perhituga ilai potesial koordiat kartesia dega pedekata polar da diperoleh data selisih ilai potesial listrik utuk masigmasig jarijari ligkara syarat batas yag diguaka, maka dibuat grafik yag berfugsi megetahui hubuga variasi jarijari ligkara syarat batas terhadap kovergeitas ilai potesial V. Grafik yag dibuat haya utuk beberapa sudut saja yaitu sudut, 9, 8 da 7.
Tabel 4. Nilai selisih VcirVe berbagai ilai R 9 8 7 R,,459,58,58,459 R,,9,5,5,9 R,3,,9,9, Gambar 4.3 Hubuga R ilai selisih VcirVe sudut 8 R,4,,9,9, R,5,,9,9, Gambar 4.4 Hubuga R ilai selisih VcirVe sudut 7 Gambar 4. Hubuga R ilai selisih VcirVe sudut Gambar 4. Hubuga R ilai selisih VcirVe sudut 9 V. Kesimpula Berdasarka peelitia yag telah dilakuka, maka dapat disimpulka bahwa:. Perhituga potesial listrik dega pedekata koordiat polar sagat baik diguaka utuk perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia.. Nilai kostata pedekata polar megguaka jarijari ligkara syarat batas dimaa titik tijaua berada di dalamya dihasilka kostata yag sama, sehigga hasil perhituga fugsi potesial listrikya aka sama juga. Hal ii meujukka bahwa besar jarijari ligkara syarat batas tidak berpegaruh aalisa perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia dega pedekata polar. 3. Nilai kostata pedekata polar megguaka jarijari ligkara syarat batas dimaa titik tijaua berada di
luarya dihasilka kostata yag berbeda, sehigga hasil perhituga fugsi potesial listrikya aka berbeda juga. Hal ii meujukka bahwa besar jarijari ligkara syarat batas berpegaruh aalisa perhituga potesial listrik sistem geometri kartesia dega pedekata polar. Daftar Pustaka [] AlKhaled, Kamel, 5, Numerical Solutios of The Laplace s Equatio, Applied Mathematics ad Computatio 7: 783. [] Amalia, Iffah, 9, Aalisa Potesial Listrik Megguaka Koordiat Polar utuk Sistem Geometri, Skripsi S Jur. Fisika FMIPA ITS, Surabaya. [3] Adrews, Mark, 6, Alterative Separatio of Laplace s Equatio i Toroidal Coordiates ad its Applicatio to Electrostatics, Joural of Electrostatics 64: 66467. [4] Boas, M.L., 985, Mathematical Method i Physical Scieces, Joh Willey ad Sos Ic, New York. [5] Lavery, Joh E.,, ShapePreservig, Multiscale Iterpolatio by Uivariate Curvaturebased Cubic L Splies i Cartesia ad Polar Coordiates, Computer Aided Geometric Desig 9: 5773. [6] Mathews J.H., Fik K.D., 999, Numerical Method usig MATLAB, Pretice Hall, New York. [7] Nayfeh M.H, M.K Brussel, 985, Electricity ad Magetism, Joh Willey ad Sos Ic, New York. [8] Reitz, J.R., Milford F.J., da Christy R.W, 979, Foudatios of Electromagetic Theory, AddisoWesley, Bosto.