BAB V KESIMPULAN Berdasarkan uraian ada Bab III dan Bab IV maka daat disimulkan sebagai berikut 1. Keluarga emetaan K C,δ (R, R) dan L C,δ (R, R) adalah beberaa bentuk keluarga emetaan demi linear dari R ke R yang memunyai sifat sebagai berikut: (i) jika L (R, R) menyatakan keluarga semua fungsi linear dari R ke R, maka L (R, R) K C,δ (R, R) L C,δ (R, R); (ii) jika f L C,δ (R, R) maka f kontinu ada R; (iii) jika f L C,δ (R, R) dan f 0, maka f(u) 0 untuk setia 0 < u δ; (iv) Jika f : R R meruakan fungsi sehingga f(0) = 0 dan f (x 0 ) 0 untuk suatu x 0 R, maka terdaat C 1 sehingga f K C,δ (R, R) jika dan hanya jika (i) f kontinu. (ii) f(u) 0 untuk setia 0 < u δ. { } f(u) (iii) inf 0< u δ u > 0 { } f(x+u) f(x) (iv) x,u R,0< u δ u < (v) Jika f : R R differensiabel dengan f (0) 0 dan x R f (x) <, maka terdaat C 1 dan δ > 0 sehingga f f(0) K C,δ (R, R). 2. Keluarga emetaan L γ,u (X, Y ) dan K γ,u (X, Y ) memunyai sifat-sifat berikut. (i) Jika (X,. ) ruang bernorma atas R maka. K γ,u (X, R) untuk setia γ C(0) dan U N (X). 133
134 (ii) Jika f : X Y emetaan linear maka f K γ,u (X, Y ) untuk setia γ C(0) dan U N (X). (iii) Jika (X,. ) dan ruang linear Y atas laangan yang sama, yaitu K, bilangan C > 1 dan δ > 0, dan himunan U = {x X : x δ} V L C,δ (X, Y ) dengan V = {f L C,δ (X, Y ) : f tak linear} maka V yang banyak anggotanya tak terhitung. (iv) Jika X himunan kategori kedua dan Γ L γ,u (X, Y ), dengan U N (X) tertutu dan balanced, keluarga emetaan kontinu yang terbatas titik demi titik, maka Γ ekuikontinu di X. (v) Diberikan ruang vektor toologis X dan Y, γ C(0), dan U N (X) tertutu dan balanced, X himunan kategori kedua, Γ L γ,u (X, Y ) keluarga emetaan kontinu yang terbatas titik demi titik, titik x X, dan (x α ) α I net dalam X. Jika x α seragam untuk f Γ. x maka lim α f(x α ) = f(x) (vi) Diberikan ruang vektor toologis X dan Y, fungsi γ C(0), himunan U N (X) tertutu dan balanced, ruang X himunan kategori kedua, barisan emetaan kontinu {f n } L γ,u (X, Y ), dan emetaan f : X Y. Jika lim n f n (x) = f(x) untuk setia x X, maka f L γ,u (X, Y ) dan f kontinu. (vii) Diberikan ruang vektor toologis X dan Y, fungsi γ C(0), dan himunan U N (X) tertutu dan balanced. Jika X himunan kategori kedua dan Γ L γ,u (X, Y ) keluarga emetaan kontinu terbatas titik demi titik, maka Γ terbatas seragam untuk setia himunan terbatas dalam X, dalam arti {f(x) : f Γ, x B} terbatas untuk setia himunan terbatas B X.
135 (viii) Diketahui X dan Y ruang vektor toologis, fungsi γ C(0), himunan U N (X) tertutu dan balanced, dan emetaan f L γ,u (X, Y ). Jika f kontinu maka f terbatas. (ix) Diberikan ruang vektor toologis X dan Y, ruang X metrizabel, himunan U N (X) tertutu dan balanced, fungsi γ C(0), dan f L γ,u (X, Y ). Pemetaan f kontinu jika dan hanya jika f terbatas. (x) Diberikan ruang vektor toologis X dan Y, ruang X kategori ke-dua dan metrizabel, himunan U N (X) tertutu dan balanced, fungsi γ C(0). Jika keluarga emetaan terbatas Γ L γ,u (X, Y ) terbatas titik demi titik, maka Γ terbatas seragam ada setia himunan terbatas dalam X. 3. Pada BAB IV dikenalkan konse mengenai himunan M q [(t j )] dan exhaustive seragam. (i) Dari definisi tentang himunan M q [(t j )], exhaustive seragam, dan embahasan ada BAB III dieroleh beberaa sifat M q [(t j )]. Diberikan ruang bernorma X. Jika q [1, ) dan barisan (t j ) l 1, maka (i) Himunan M q [(t j )] exhaustive seragam; (ii) terdaat bilangan a > 0 sehingga (x j ) (x j ) M q [(t j )]; a untuk semua (iii) untuk (x j ) M q [(t j )] berlaku {(x 1, x 2,..., x n, 0, 0,...) : n N} M q [(t j )]; (iv) untuk (x k j ) M q [(t j )] dengan k = 1, 2,..., dan untuk sebarang barisan bilangan bulat ositif n 1 < m 1 < n 2 < m 2 <..., k 1 < k 2,..., maka barisan {z j } dengan x kr j z j =, n k r j m kr, r = 1, 2,... 0, untuk yang lain
136 maka meruakan anggota l q (X); (v) untuk setia (x j ) l q (X), terdaat (t j ) l 1 sehingga (x j ) M q [(t j )]. (ii) Diberikan ruang bernorma X dan Y dan barisan fungsi (f j ) dengan f j : X Y untuk setia j N. Jika q [1, )maka dua ernyataan berikut ekuivalen: (i) deret f j (x j ) konvergen untuk setia (x j ) l q (X); (ii) untuk setia (t j ) l 1, deret (x j ) M q [(t j )]. f j (x j ) konvergen seragam untuk (iii) Diberikan ruang Banach X dan Y, bilangan, q [1, ), bilangan k N, dan emetaan f ij L C,δ (X, Y ) terbatas untuk setia i, j N. Jika untuk setia (x j ) l q (X) dan i N barisan f ij(x j ) konvergen, maka untuk setia (t j ) l 1 berlaku ( k 1 ) f (x j ) M q[(t j )] ij (x j ) < (iv) Diberikan ruang Banach X dan Y, bilangan, q [1, ), bilangan k N, dan emetaan f ij L C,δ (X, Y ) terbatas untuk setia i, j N. Jika f ij(x) < untuk semua x X dan j N, maka untuk setia (t j ) l 1 berlaku ( 1 n ) f ij (x j ) <. (x j ) M q[(t j )] Pada akhir embahasan BAB IV dieroleh karakterisasi dari matriks transformasi dari l q (X) ke l (Y ) dengan teorema sebagai berikut: Diberikan ruang Banach X dan Y, bilangan, q [1, ), dan emetaan f ij L C,δ (X, Y ). Jika f ij terbatas untuk semua i, j N maka (f ij ) matriks transformasi dari l q (X) ke l (Y ) jika dan hanya jika
137 (I) untuk setia i N dan (t j ) l 1 dengan t j = 1, lim (II) untuk setia (t j ) l 1, n k n,(x j ) M q[(t j )] k f ij (x j ) = 0, j=n ( 1 k n ) f ij (x j ) <. k,n 1,(x j ) M q[(t j )]