JURNAL FOURIER April 2017, Vol. 6, No. 1, ISSN X; E-ISSN

Transkripsi

1 JURNAL FOURIER Aril 7, Vol. 6, No., -6 ISSN 5-763X; E-ISSN Kaitan Antara Ruang W m, () Sobolev dan Ruang L () Lebesgue Piit Pratii Rahayu Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucito No. Yogyakarta, Indonesia Koresondensi; iitrahayu@yahoo.com Abstrak Ruang fungsi terukur dengan bentuk integral sebagai normnya telah banyak dikenal, salah satunya adalah ruang Lebesgue dan ruang Sobolev. Dalam alikasi Matematika misalkan seerti mencari solusi dari suatu ersamaan diferensial arsial, dua ruang tersebut sangat terasa kegunaannya, sehingga itulah alasan entingnya memelajai ruang-ruang fungsi terukur seerti ruang Lebesgue dan ruang Sobolev. Ruang Sobolev meruakan subset dari ruang Lebesgue, itu artinya setia fungsi yang meruakan anggota ruang Sobolev juga meruakan anggota ruang Lebesgue. Kebalikan dari kondisi tersebut adalah belum tentu berlaku. Pada enelitian ini ditunjukkan sebuah contoh fungsi yang menerangkan baha fungsi tersebut meruakan anggota ruang Lebesgue tetai bukan meruakan anggota ruang Sobolev. Dengan kata lain, ruang Sobolev meruakan subset sejati dari ruang Lebesgue. Keyords Abstract Measureable function sace and its norm ith integral form has been knon, one of hich is Lebegsue Sace and Sobolev Sace. In alied Mathematics like in finding solution of artial differential equations, that to saces is soo usefulness. Sobolev sace is subset of Lebesgue sace, its mean if e have a function that element of Sobolev Sace then its element of Lebesgue sace. But the converse of this condition is not alicable. In this research, e ill give an examle to shos that there is a function element of Lebesgue sace but not element of Sobolev sace. Keyords Pendahuluan Dalam Analisis telah banyak dibahas mengenai ruang dan sifat-sifatnya, misalnya ruang fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral. Ruang L () Lebesgue dan ruang W m, () Sobolev termasuk ruang yang dibangun dari fungsi-fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral. Kegunaan ruang yang dibangun dari fungsi-fungsi terukur dalam bidang teraan misalnya ada enyelesaian ersamaan diferensial arsial dan beberaa bidang lainnya mengakibatkan ruang L () Lebesgue dan ruang W m, () Sobolev sangat enting untuk dielajari dan dibahas. Pada tulisan ini, embahasan dimulai dengan enyajian definisi kedua ruang tersebut beserta sifatsifatnya dan ada akhirnya juga disajikan contoh sebuah fungsi yang meruakan anggota ruang L () Lebesgue tetai bukanlah anggota ruang W m, () Sobolev. Ruang L () Lebesgue Definisi []. Diberikan i n. Untuk <, ruang L () didefinisikan sebagai himunan L () = {f f: i, f terukur dan f(x) dx < }. Norm L () didefinisikan dengan 7 JURNAL FOURIER Versi online via.fourier.or.id

2 Piit Pratii Rahayu f L () = ( f(x) dx ). Bilangan real M disebut batas essensial fungsi f, jika f(x) M hamir dimana-mana ada. Fungsi f dikatakan terbatas essensial jika f memiliki batas essensial. Suremum essensial fungsi f ada didefinisikan sebagai ess x su f(x) = inf{m f(x) M ada }. Untuk =, L () meruakan himunan semua fungsi terukur yang terbatas essensial ada atau ditulis L () = f f: i,f terukur dan ess x su f(x) < }. Norm L () didefinisikan dengan f L () = ess x su f(x). Teorema (Pertidaksamaan Hőlder ada L ()) [] (i) Jika < <, f L (), dan g L (), + =, maka fg dx q fg dx f L (). g L q (). (ii) Jika f L () dan g L (), maka fg dx fg dx f L (). g L (). Teorema 3 []. Diberikan i n, terbatas. Jika < q, maka L q () L (). Bukti. Diketahui < q. Ambil sebarang f L q (), yaitu f: i, f terukur, dan f(x) q dx <. Akan dibuktikan f L (), yaitu f: i, f terukur, dan f(x) dx <. Dengan menggunakan Pertidaksamaan Hőlder dieroleh f(x) dx f(x). dx f(x) L a () L b (), dengan a + b = = ( f(x) a dx) = ( f(x).a dx) a a ( dx) ( dx) b b Oleh karena f(x) q dx < maka diambil a = q dan = b q menjadi sehingga ernyataan di atas ( f(x).q dx) q ( dx) q = ( f(x) q dx) q ( dx) q = ( ( f(x) q dx) q ) ( dx) q < Jadi terbukti baha f(x) dx <. Dengan kata lain f L (). JURNAL FOURIER (7) 6-6.fourier.or.id

3 Kaitan Antara Ruang W m, () Sobolev dan Ruang L () Lebesgue 3 Jika f L () maka berlaku f(x) dx ess su f(x) ( baha f(x) dx <. Dengan kata lain f L (). dx) <. Jadi terbukti juga Ruang W m, () Sobolev Ruang W m, () Sobolev meruakan suatu subset dari ruang L () Lebesgue karena ada ruang W m, () Sobolev berisi fungsi-fungsi f L () yang memenuhi kondisi tertentu. Definisi ruang W m, () Sobolev menggunakan fungsi terintegral lokal dan eak derivatives, oleh karena itu berikut akan dibahas terlebih dahulu mengenai fungsi terintegral lokal dan eak derivatives. Definisi 4 [8]. Diberikan i n, terbatas. Fungsi f L () dikatakan terintegral lokal jika nilai dari f(x) dx ada untuk setia himunan komak K. Fungsi f L () yang terintegral K lokal daat ditulis L loc (). Berikut akan dibahas derivatif lemah (eak derivatives) dalam L (). Definisi 5 [8]. (i) Suort fungsi : i n i ditulis su didefinisikan sebagai su cl{x i n : (x) }. (ii) Himunan C (i n ) didefinisikan sebagai himunan semua fungsi C (i n ) dengan su komak atau C (i n ) = { C (i n ): su komak}. Selanjutnya, fungsi C (i n ) disebut fungsi tes ada i n. Untuk memersingkat enulisan, himunan C (i n ) ditulis dengan D(i n ). Untuk lebih jelasnya, erhatikan Contoh berikut. Contoh 6. Untuk n =, fungsi : i i dengan meruakan fungsi tes. (x) = (x, x ) = { e(x +x ), x + x <, x yang lain Definisi 7 [8]. Diberikan i n, terbatas. Fungsi f L loc () dikatakan memunyai derivative lemah order α ada jika terdaat fungsi g L loc () sehingga berlaku g dx = ( ) α f D α dx, untuk setia fungsi tes D(). Fungsi g meruakan derivative lemah order α dari fungsi f. Selanjutnya, derivative lemah order α dari fungsi f daat ditulis sebagai D α f dan D α f = g. Hubungan antara derivatif sesungguhnya dengan derivatif lemah adalah sebagai berikut. Teorema 8 [8]. Diberikan fungsi f: i n i. Jika fungsi f memunyai derivative ada maka fungsi f memunyai derivative lemah ada. Bukti. Diketahui fungsi f memunyai derivatif ada maka fungsi f memunyai derivatif di setia titik x, sehingga derivatif arsial dari fungsi f atau D α f ada, yaitu D α f = g () Jika Persamaan () dikalikan dengan sebarang fungsi tes D() maka D α f. = g. ().fourier.or.id JURNAL FOURIER (7) 6-6

4 4 Piit Pratii Rahayu Jika Persamaan () diintegralkan ada, maka D α f. dx = g. dx (3) Perhatikan ruas kiri ada (3). Oleh karena D(), integral arsial ada ruas kiri (3) menjadi D α f. dx = ( ) α f D α dx, sehingga didaat g. dx = ( ) α f. D α dx (4) Persamaan (4) mengatakan baha fungsi f memunyai derivatif lemah order α yaitu D α f = g. Sebaliknya dari Teorema 8 belum tentu berlaku, berikut diberikan contoh enyangkal. Contoh 9. Misal n =, = [,] dan f(x) = x. Tunjukkan baha fungsi f: i dengan meruakan derivatif lemah order dari fungsi f., x < g(x) = {, < x g x x dx f x D x dx, yaitu Harus ditunjukkan baha berlaku f x D x dx f x D x dx f x D x dx f x x x f x dx ' ' f x x x f x dx x x x.dx. x x x dx.. x dx x dx x g x dx. Pada Akibat berikut dijelaskan baha fungsi f C m () yang memunyai derivatif lemah yang bernilai sama dengan derivatif sesungguhnya. Akibat. Diberikan i n terbatas dan. Jika f C m () dan α multi indeks dengan α m maka derivatif lemah D α fada dan D α f = D α f, hamir dimana-mana di dalam. JURNAL FOURIER (7) 6-6.fourier.or.id

5 Kaitan Antara Ruang W m, () Sobolev dan Ruang L () Lebesgue 5 Ruang W m, () Sobolev dan kaitannya dengan ruang L () Lebesgue Ruang W m, () Sobolev meruakan subset dari ruang L () Lebesgue karena ada ruang W m, () Sobolev berisi fungsi-fungsi f L () yang memenuhi kondisi tertentu. Berikut definisi lebih lengkanya: Definisi [8]. Diberikan m i, i n terbatas dan fungsi f L () dengan D α f ada, untuk setia α, α m. Ruang Sobolev didefinisikan sebagai berikut: W f L D f L, m,. m, Jelas baha W, () = L (). Norm Sobolev didefinisikan dengan f m, : D f D x x,, W L f d m m dan untuk,. f, : D f ess su D f x m W L m m Selanjutnya dinotasikan H m () = W m, (). Contoh. Diberikan (x, x ). Ruang W,3 () adalah himunan fungsi f(x), x dengan D α f L 3 () untuk α. Norm Sobolev fungsi u adalah 3 3 x 3 3 du d u u, 3 u dx W dx dx x Menurut Definisi di atas, terlihat jelas baha ruang Sobolev W m, () meruakan subset dari ruang L () atau dengan kata lain setia fungsi yang meruakan anggota ruang Sobolev W m, () maka fungsi tersebut juga anggota ruang L (). Namun sebaliknya beum tentu berlaku. Berikut diberikan contoh sebuah fungsi yang meruakan anggota ruang L () tetai bukan meruakan anggota ruang Sobolev W m, (). Contoh 3. Misal n =, = (,) dan f(x) = x. Tunjukkan baha fungsi f L () tetai f W, (). Harus ditunjukkan baha f(x) dx <, f ( x) dx x dx x Jelas baha fungsi f C () maka D f = D f = 4x dx x sehingga.fourier.or.id JURNAL FOURIER (7) 6-6

6 6 Piit Pratii Rahayu ( ) D f x dx dx x dx x ln x...(*) Pada ersamaan (*) di atas terlihat baha nilai D f(x) dx tidak ada atau dengan kata lain D f(x) L (). Jadi f W, (). Kesimulan Ruang W m, () Sobolev meruakan subset sejati dari ruang L () Lebesgue artinya setia fungsi yang meruakan anggota ruang W m, () Sobolev maka juga meruakan anggota ruang L () Lebesgue tetai sebaliknya belum tentu berlaku. Referensi [] Budhi, W.S.,, Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Penerbit ITB Bandung, Bandung. [] Darmaijaya, S., 6, Pengantar Analisis Real, Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [3] Darmaijaya, S., 7, Pengantar Analisis Abstrak, Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [4] Debnath, L., and Mikusinski, P., 999, Introduction to Hilbert Saces ith Alications, Second Edition, Academic Press, United States of America. [5] Fife P.C., 988, Dynamics of Intenal Layers and Diffusive Interfaces, CBMS-NSF Regional Conference Series in Alied Mathematics, SIAM, 53, Philadelhia. [6] Friedman, A., 98, Variational Princiles and Free Boundary Problems, John Wiley & Sons, Inc., United States of America. [7] Milan Miklavcic, 998, Alied Functional Analysis and Partial Differential Equations, World Scientific Publishing Co.te.Ltd., Singaore. [8] Oden, J., T., and Reddy, J., N., 976, An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements, John Wiley & Sons, Inc., United States of America. [9] Parzynski, W.R., and Zise, P.W., 98, Introduction to Mathematical Analysis, McGra-Hill, United States of America. [] Schartz, A., 96, Analytic Geometry and Calculus, Holt, Rinehart and Winston, Inc., United States of America. JURNAL FOURIER (7) 6-6.fourier.or.id