Teori Bifurkasi (3 SKS)

Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail : f_adikusumo@gadjahmada.edu

Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik. KOMPONEN-KOMPONEN SISTEM DINAMIK : a. Ruang Keadaan (state space) b. Waktu c. Operator Evolusi hukum evolusi yang menggambarkan evolusi ruang keadaan terhadap waktu. CATATAN : Misalkan T merupakan himpunan bilangan yang menyatakan waktu. a. Jika T= R, maka sistem dinamik dikatakan kontinu. b. Jika T = Z, maka sistem dinamik dikatakan diskret. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 2

Sistem Dinamik Kontinu Diberikan Persamaan Diferensial : x + μ x + x = 0 Jika dibawa ke dalam bentuk sistem PD : x 1 = x 2 x 2 = x 1 μx 2 Hitunglah solusi dari persamaan diferensial di atas. Manakah ruang keadaan dari sistem PD di atas? Bagaimana pengaruh parameter μ terhadap solusi PD tersebut? Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 3

Sistem Dinamik Kontinu PERSAMAAN PENDULUM : g l sin 0 Ruang Keadaan (State Space) : X = S 1 R 1 d dt l Himpunan S 1 menyatakan lingkaran satuan yang diparameterisasi oleh sudut ϴ. Himpunan R 1 menyatakan semua kecepatan yang mungkin. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 4

Sistem Dinamik Kontinu Solusi dari persamaan pendulum : Misalkan θ = y 1 dan θ = y 2. Solusi pers. Pendulum tersebut merepresentasikan hukum evolusi terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 5

Sistem Dinamik Diskret Diberikan sistem dinamik diskret : x μx dengan x R dan μ suatu parameter. Bagaimanakah mapping dari sistem di atas? Diberikan sistem dinamik diskret : x y μ 1x μ 2 y Bagaimanakah mapping dari sistem tersebut? Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 6

Operator Evolusi EVOLUSI PADA SISTEM DINAMIK : Perubahan ruang keadaan dari sistem dalam waktu tt. Misalkan X suatu ruang keadaan dan tt, maka pemetaan : t : X X x 0 t disebut operator evolusi dari sistem dinamik. x 0 x t Pada sistem dinamik kontinu, { t } tt disebut flow. Pada sistem dinamik diskret, { t } tt disebut map. Sistem dinamik dikatakan invertible t terdefinisi untuk t0 dan t<0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 7

Sifat-sifat Operator Evolusi Jika suatu operator evolusi, maka : 0 a. b. ts I, dengan t s. I identitas. ts 0 x 0, x X. t s x ( x); t, s T, x X x 0 0 t s x s x t+s x 0 Jika suatu operator evolusi tidak berubah menurut waktu, maka dikatakan bahwa sistem dinamiknya autonomous. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 8

Sistem yang Invertibel Suatu sistem dinamik kontinu dikatakan invertibel jika untuk t invers dari t -t, berlaku t I Sistem dinamik diskret : Misalkan f= 1 (time-one map), maka 2 1 1 f f f 2 Jadi f 2 merupakan iterasi kedua dari peta. Secara umum k =f k untuk setiap k>0. Jika sistem dinamik diskret tersebut invertibel, maka persamaan di atas juga berlaku untuk k<0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 9

Definisi Formal Sistem Dinamik Suatu sistem dinamik merupakan triplet {T,X, t } dengan T merupakan himpunan waktu, X ruang keadaan, dan { t } dengan t : X X Merupakan keluarga dari operator-operator evolusi yang diparameterisasi oleh tt dan memenuhi sifat : 0 a. b. ts I, dengan t s. I identitas. ts 0 x 0, x X. t s x ( x); t, s T, x X x 0 0 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 10

Definisi Formal Sistem Dinamik Contoh : Misalkan X = R 2 dan keluarga transformasitransformasi linear tak singular pada X diberikan oleh matriks yang bergantung pada t R : t e 0 dengan λ, μ 0 merupakan bilangan real. Sistem di atas invertibel dan terdefinisi untuk setiap (x, t). Pemetaan t kontinu di x dan t. t e 0 t Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 11

Orbit Suatu orbit yang dimulai dari x 0 merupakan sub-himpunan terurut dari ruang keadaan X. t t Or( x0) { x X : x x0, t T x0 terdefinisi} Orbit pada sistem kontinu dengan operator evolusi kontinu berupa suatu kurva di X yang diparameterisasi oleh waktu t. Arah pada orbit ini menunjukkan arah kenaikan dari t. Orbit pada sistem diskret merupakan barisan titik-titik pada X yang dienumerasi oleh bilangan bulat yang membesar. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 12

Potret Fase Diagram yang menggambarkan interaksi dari orbitorbit suatu sistem dinamik disebut potret fase. Pada sistem dinamik kontinu, potret fase menggambarkan solusi sistem PD dalam ruang keadaan (state space). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 13

Persamaan Diferensial (ODE) dan Sistem Dinamik Misalkan X = R n dan x = (x 1, x 2, x n )X. Hukum evolusi terhadap waktu dari sistem dinamik tersebut ditunjukkan secara implisit melalui persamaan : x i fi( x1, x2,..., xn), i 1,2,..., n Dalam bentuk vektor, persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: x f (x) dengan f:r n R n merupakan fungsi smooth. Ruas kanan dari sistem di atas yaitu f(x) menyatakan medan vektor dari sistem. Persamaan di atas dikenal dengan persamaan diferensial biasa (ODE) autonomous, dan sistem dinamik yang dibentuk oleh persamaan di atas disebut sistem autonomous. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 14

Persamaan Diferensial (ODE) dan Sistem Dinamik CONTOH : Persamaan pendulum g sin 0 l dapat dituliskan dalam bentuk sistem sbb: 1 2 2 g sin 1 l Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 15

Solusi dari Sistem ODE x f (x) Pandang sistem ODE dengan xr n dan f: R n R n suatu fungsi smooth pada daerah UR n. Jika kondisi tersebut dipenuhi, maka terdapat dengan tunggal fungsi x = x(t, x 0 ), x: R 1 R n R n yang smooth di (t, x), dan memenuhi, untuk x 0 U : i. x(0, x 0 ) = x ; 0 ii. terdapat suatu interval I=(-δ 1,δ 2 ) dengan δ 1,2 =δ 1,2 (x 0 )>0 sehingga untuk setiap ti berlaku y(t) = x(t, x 0 )U dan y ( t) f ( y( t)) Fungsi x = x(t) merupakan solusi yang dimulai dari x 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 16

Solusi dan Sistem ODE Kurva Solusi : Cr(x 0 ) = {(t, x): x = x(t, x 0 ), ti}r 1 R n. Orbit : proyeksi dari Cr(x 0 ) ke ruang keadaan (state space). Or(x 0 ) = {x x = x(t, x 0 ), ti}r n. Jika diberikan t : R n R n, maka t x 0 = x(t, x 0 ). Dengan demikian sistem dinamik kontinu dapat dituliskan sebagai {R 1, R n, t }. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 17

Kurva Solusi dan Orbit pada Sistem ODE Kajian utama dalam teori tentang sistem dinamik adalah melakukan analisis terhadap sistem dinamik yang didefinisikan oleh ODE. Dengan menggunakan teori ini beberapa ciri dari potret fase suatu sistem dapat diprediksi tanpa harus menyelesaikan (mencari solusi) dari sistem tersebut. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 18

Solusi Equilibrium Suatu titik x 0 X disebut equilibrium (titik tetap) jika t x 0 = x 0 untuk setiap tt. Equilibrium merupakan orbit yang paling sederhana. Operator evolusi akan memetakan suatu equilibrium ke dirinya sendiri. Pengertian equilibrium biasa diterapkan untuk sistem dinamik kontinu, sedangkan untuk sistem dinamik diskret biasa digunakan istilah titik tetap. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 19

Solusi Equilibrium Contoh : Diberikan sistem PD : x = μ x 2 dengan x R. - Bagaimanakah solusi umum untuk persamaan diferensial di atas? - Bagaimanakah pengaruh parameter μ terhadap solusi umumnya? - Tentukan titik-titik equilibrium dari sistem di atas. - Bagaimana kaitan antara titik-titik equilibrium dan solusi umumnya? Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 20

Solusi Equilibrium (Contoh) Solusi umum (μ 0): Untuk μ = 1 : x t; μ = μ C e2 μt 1 C e 2 μt + 1 x t; 1 = C e2t 1 C e 2t + 1 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 21

Solusi Equilibrium (Contoh) Solusi untuk μ = 0 : Solusi lain untuk μ = 0 : x t; 0 = 0 (Solusi Trivial) x = x 2 x t = 1 t + C Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 22

Orbit Periodik Suatu cycle merupakan sebuah orbit periodik (orbit nonequilibrium L 0 ), yaitu jika untuk setiap x 0 L 0 memenuhi φ t+t 0x 0 = φ t x 0 untuk suatu T 0 > 0 untuk setiap t T. Nilai T 0 terkecil yang memenuhi sifat di atas disebut periode dari cycle L 0. Untuk waktu kontinu, suatu cycle L 0 digambarkan sebagai sebuah kurva tertutup di ruang fase. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 23

Orbit Periodik Limit Cycle Jika pada lingkungan (neighborhood) suatu cycle dari sistem dinamik kontinu tidak terdapat cycle lain, maka cycle ini disebut Limit Cycle. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 24

Orbit Periodik Limit Cycle Contoh : x 1 = αx 1 x 2 x 1 x 1 2 + x 2 2 x 2 = x 1 + αx 2 x 2 x 1 2 + x 2 2. - Tentukan titik equilibrium dari sistem di atas. - Dengan menggunakan transformasi x 1 = r cos θ dan x 2 = r sin θ, ubahlah sistem di atas mejadi sistem dalam r, θ. - Tentukan limit cycle dari sistem di atas dan gambarkan fase potret dari sistem di atas untuk berbagai nilai α. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 25

Periodik Orbit Limit Cycle Dalam koordinat polar sistem pada contoh di atas, akan menjadi : ρ = ρ α ρ 2 θ = 1. (BIFURKASI HOPF) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 26

Himpunan Invarian dan Kestabilannya Himpunan invarian dari suatu sistem dinamik {T, X, φ t } adalah suatu himpunan bagian SX sehingga x 0 S berakibat φ t x 0 S untuk setiap tt. Contoh himpunan invarian : -Titik equilibrium. -Limit cycle/orbit periodik. -Manifold invarian: suatu hypersurface berdimensi hingga di suatu ruang R k. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 27

Himpunan Invarian dan Kestabilannya Suatu himpunan invarian S o dikatakan stabil jika i. Untuk setiap lingkungan yang cukup kecil U So terdapat lingkungan V So sehingga t xu untuk setiap xv dan untuk setiap t > 0. (Stabil Lyapunov) ii. Terdapat sebuah lingkungan U o So sehingga t xso untuk setiap xuo, untuk t. (Stabil Asimptotik) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 28

Himpunan Invarian dan Kestabilannya Kestabilan Lyapunov Kestabilan Asimptotik Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 29

Kestabilan Equilibrium Kestabilan Titik Equilibrium : Pandang sistem ODE x = f(x) dengan xr n dan f: R n R n suatu fungsi smooth. Sistem tersebut memiliki equilibrium x 0, yaitu f(x 0 ) = 0. Misalkan A merupakan matriks Jacobian dari f(x) yang dievaluasi di titik equilibrium x 0. Titik x 0 dikatakan stabil jika semua nilai eigen dari A bernilai negatif atau memiliki bagian real negatif. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 30

Fungsi Lyapunov Fungsi Lyapunov : Misalkan V R n R 1, V(x) > 0 (< 0) untuk setiap xur n, dan V(x 0 ) = 0. Jika untuk t t 0 berlaku V f x 0, maka solusi x = x 0 stabil secara Lyapunov. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 31

Kestabilan pada Sistem Dinamik Diskret Pandang sistem dinamik diskret : x f ( x), x dengan f merupakan pemetaan yang smooth. Misalkan pemetaan tersebut memiliki sebuah titik tetap x 0, yaitu f(x 0 )=x 0, dan misalkan A merupakan matriks Jacobian dari f(x) yang dievaluasi di x 0, A=f x (x 0 ). Titik tetap x 0 stabil jika semua nilai-nilai eigen m 1,m 2,,m n dari A memenuhi m <1. Nilai eigen dari suatu titik tetap sering disebut pengali (multiplier). n Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 32

Contraction Mapping Principle Contraction Mapping Principle : Misalkan X ruang metrik lengkap dengan jarak ρ. Misalkan terdapat pemetaan kontinu f: XX yang memenuhi bahwa untuk setiap x, yx berlaku ρ(f(x), f(y)) λρ(x, y), dengan 0 < λ < 1, maka sistem dinamik diskret {Z +, X, f k } memiliki sebuah titik tetap yang stabil x 0. Lebih lanjut, untuk setiap nilai awal x berlaku f k (x)x 0 untuk k +. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 33

Time-Shift Map Poincare Map digunakan untuk melakukan analisis terhadap sistem dinamik kontinu, menggunakan sistem dinamik diskret. Keunggulan : dimensi dari sistem dinamik diskret yang dibangun melalui Poincare map lebih rendah dari sistem asalnya (sistem dinamik kontinu). Time-shift map : Cara paling sederhana untuk membentuk sistem dinamik diskret dari sistem dinamik kontinu R 1, X, φ t adalah dengan menetapkan suatu T o > 0 dan membentuk sistem dalam X yang dibangun oleh iterasi f = T o. Setiap himpunan invarian di {R 1, X, φ t } merupakan himpunan invarian terhadap map f. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 34

Time-Shift Map The Inverse Problem Inverse problem : pengkonstruksian sistem ODE jika T o -time-shift map dari sistem ODE tersebut dinyatakan sebagai pemetaan f yang smooth dan invertible. Misalkan f: R n R n, smooth dan invertible. Pandang {(t, x)r 1 R n : t[0, T o ]} (lihat gambar). Hubungkan titik (T o, x) di sisi atas dari X ke (0, f(x)) di sisi bawah dari X. Ruang X yang dikonstruksi merupakan manifold berdimensi n + 1 dengan koordinat (t mod T o, x). Sistem autonomous ODE terkait dengan pemetan f (suspension system): t 1 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 35 x 0

Contoh The Inverse Problem Pandang pemetaan f yaitu: x 1 2 x dengan xr1. Pemetaan di atas memiliki titik tetap di x 0 = 0 (stabil). Misalkan k > 0 dan memenuhi persamaan e kto = 2. Sistem suspensi untuk pemetaan tersebut : t 1 x kx Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 36

Poincare Map Pandang sistem dinamik : x = f(x) dengan xr n dan f fungsi smooth. Misalkan L 0 orbit periodik dari sistem tersebut dan Σ merupakan bidang potong dari L 0 di titik x 0 L 0. Σ berdimensi n 1 dan memotong L 0 dengan sudut tak-nol. Σ berkurang satu dimensi dari ruang fasenya codim Σ = 1 (codim=codimension). Didefinisikan : g R n R 1 smooth dengan g(x 0 ) = 0, dan Σ = {xr n : g(x) = 0} --- bidang Σ terletak pada himpunan ketinggian dari g di titik nol. Sudut potong tak-nol berarti gradien g(x) tidak ortogonal terhadap L 0 di x 0. Contoh paling sederhana pemilihan g adalah : g x 0, f x 0 0, g x = f x 0, x x 0 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 37

Poincare Map dan Kestabilan Cycle Pandang pemetaan P Σ Σ, dengan x x a = P(x), x, x a Σ. Pemetaan P di atas disebut pemetaan Poincare yang berkaitan dengan cycle L 0. Titik x 0 merupakan titik tetap dari pemetaan Poincare, P(x 0 ) = x 0. Diberikan koordinat lokal y = (y 1, y 2, y 3,, y n 1 ) pada Σ sehingga y = 0 berkaitan dengan titik x 0. Pemetaan Poincare didefinisikan sebagai P R n 1 R n 1 yang membawa y (berkaitan dengan x) ke y a (berkaitan dengan x a ), P(y) = y a. Titik y = 0 merupakan titik tetap dari pemetaan P. Dengan demikian kestabilan dari cycle L 0 berkaitan dengan kestabilan dari titik tetap y 0 = 0. Cycle L 0 stabil jika semua nilai eigen (multiplier) μ i,, i = 1,2,.., n 1 dari matriks Jacobian A = P y y=0 berada di dalam lingkaran satuan μ = 1. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 38

Ekuivalensi pada Sistem Dinamik -Pengertian ekuivalensi mengacu pada definisi relasi ekuivalensi. - Tujuan : untuk membandingkan perilaku-perilaku kualitatif dari suatu sistem dinamik dengan sistem dinamik lainnya. - Jika dua buah sistem dinamik memiliki perilaku kualitatif yang sama, dikatakan bahwa kedua sistem dinamik tersebut ekuivalen. -Dua buah sistem dinamik dikatakan ekuivalen jika kedua sistem tersebut : Memiliki jumlah titik equilibrium dan cycle yang sama Jenis kestabilan dari titik-titik ekuilibrium dan cycle dari kedua sistem tersebut sama. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 39

Ekuivalensi secara Topologis DEFINISI Suatu sistem dinamik {T, R n, t } dikatakan ekuivalen secara topologis terhadap sistem dinamik {T, R n, ψt } jika terdapat suatu homeomorfisma h R n R n yang memetakan orbit-orbit dari sistem pertama ke orbit-orbit dari sistem kedua dengan tetap mempertahankan arahnya terhadap waktu. Definisi di atas dapat diperluas untuk state space berupa ruang metrik lengkap atau ruang Banach, suatu manifold smooth berdimensi hingga, seperti Torus (T 2 ) atau sphere (S 2 ). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 40

Ekuivalensi secara Topologis Misalkan x f(x) dan y g(y) dengan x, y R n dua buah sistem dinamik diskret yang ekuivalen secara topologis (f = 1, g = ψ 1 pemetaan yang invertibel dan smooth). Ekuivalensi secara topologis berarti, terdapat homeomorfisma h dengan y = h(x) dan berlaku g(y) = h(f(x)) atau g(h(x) = h(f(x)) Dengan demikian f(x) = h 1 (g(h(x))) Fungsi f dan g dikatakan saling konjugat. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 41

Ekuivalensi pada Sistem Kontinu Diberikan dua buah sistem dinamik, yaitu x = f x dan y = g y dengan x, yr n, f, g smooth dan t dan ψ t menunjukkan flow dari sistem di atas. Misalkan y = h(x), dengan h: R n R n suatu pemetaan yang smooth dan invertibel, maka untuk setiap xr n berlaku : 1 h x f x = g h x x Dengan demikian h akan memetakan solusi sistem pertama ke solusi sistem kedua yaitu : h φ t x = ψ t h x Jika kedua sistem dinamik di atas memenuhi f x = maka h dikatakan diffeomorfik. h x x 1 g h x Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 42

Sistem Diffeomorfik Dua buah sistem yang diffeomorfik dapat dipandang sebagai sistem yang sama, namun dituliskan dalam koordinat yang berbeda. Linearisasi di sekitar titik-titik equibrium yang bersesuaian akan menghasilkan nilai eigen yang sama. Pandang kembali sistem x = f x dan y = g y dengan y = h(x). Misalkan x 0 dan y 0 = h(x 0 ) adalah titik equlibrium masing-masing sistem dan A(x 0 ), B(y 0 ) adalah matriks Jacobian dari masing-masing sistem di sekitar x 0 dan y 0, maka Dalam kasus ini matriks A dan B dikatakan similar. Jika f(x) = μ(x)g(x) dengan μ: R n R 1 fungsi positif, maka kedua sistem dinamik di atas ekuivalen secara topologis dengan h(x) = x. Kedua sistem dinamik tersebut dikatakan ekuivalen secara orbital. 1 h h A( x0) ( x0) B( y0) ( x0 x x ) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 43

Ekuivalensi secara Topologis Lokal Dua buah sistem yang ekuivalen secara orbital dapat bersifat nondiffeomorfik dan/atau memiliki cycle dengan bentuk sama namun memiliki periode berbeda. DEFINISI Suatu sistem dinamik {T, R n, t } dikatakan ekuivalen secara topologis di sekitar suatu equlibrium x 0 terhadap sebuah sistem dinamik {T, R n, ψt } di sekitar equilibrium y 0 jika terdapat homeomorfisma h: R n R n, dengan sifat : 1. didefinisikan pada lingkungan (neighborhood) UR n dari x 0, 2. memenuhi y 0 = h(x 0 ), 3. memetakan orbit-orbit dari sistem pertama di U ke orbit-orbit dari sistem kedua di V = f(u)r n, yang mempertahankan arah medan vektornya terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 44

Ekuivalensi secara Topologis Lokal Contoh : Dikusikan Contoh 2.1 (hal 43) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 45

Equilibria Hiperbolik Pandang sistem dinamik x = f(x) dengan f fungsi smooth. Misalkan x 0 = 0 equilibrium dari sistem, dan A matriks Jacobian dari sistem tersebut di sekitar x 0. Misalkan n, n 0, n + menyatakan banyaknya nilai-nilai eigen A yang mempunyai bagian real negatif, nol dan positif. Suatu titik equilibrium dikatakan hiperbolik jika n 0 = 0. Suatu titik equilibrium dikatakan hiperbolik saddle jika n n + 0. W s t u t x : x x, t, W ( x ) x : x, t ( x0) 0 0 x0 W s (x 0 ) disebut himpunan (manifold) stabil dari x 0. W u (x 0 ) disebut himpunan (manifold) tak-stabil dari x 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 46

Saddle dan Saddle Foci Jika diambil lingkungan dari x 0, maka akan diperoleh sub-manifold W s dan W u yang masing-masing berdimensi n dan n +. Secara lokal, sub-manifold W s (x 0 ) dan W u (x 0 ) tersebut menyinggung T s dan T u. T s dan T u merupakan manifold stabil dan tak-stabil dari sistem hasil linearisasi di sekitar x 0. Saddle dan foci : Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 47

Dua Titik Equilibrium yang Equivalen secara Topologis Fase potret dari suatu sistem dinamik kontinu di sekitar dua buah titik equilibrium hiperbolik x 0 dan y 0, ekuivalen secara topologis lokal jika dan hanya jika memiliki jumlah n dan n + yang sama. Klasifikasi dari equilibrium hiperbolik pada sistem planar : Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 48

Titik Tetap Hiperbolik pada Sistem Dinamik Diskret Pandang pemetaan x f(x), dengan xr n. Misalkan x 0 titik tetap dari sistem tersebut dan A merupakan matriks Jacobian yang dievaluasi di x 0. Banyaknya multiplier yang berada di dalam, pada, dan di luar lingkaran satuan pada bidang kompleks dari nilai-nilai eigen A, yaitu n,n 0, dan n +. Sebuah titik tetap dikatakan hiperbolik jika n 0 = 0 (tidak ada multiplier pada lingkaran satuan). Jika n n + 0, maka dikatakan bahwa titik tetap tersebut hiperbolik saddle. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 49

Titik Tetap Hiperbolik pada Sistem Dinamik Diskret W s x o = {x: f k x x 0, k + } W u x o = {x: f k x x 0, k } W s (x 0 ) disebut himpunan (manifold) stabil dari x 0. W u (x 0 ) disebut himpunan (manifold) tak-stabil dari x 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 50

Kestabilan titik tetap di R 1 Titik tetap stabil : Gambar kiri, multiplier 0<m<1 Gambar kanan, multiplier -1<m<0 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 51

Titik tetap saddle di R 2 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 52

Sifat-sifat titik tetap saddle di R 2 Manifold stabil dan manifold tak stabil dari sistem diskret dapat berpotongan secara transversal. Perpotongan yang transversal tersebut, jika ada, akan menyebabkan terjadinya tak berhingga banyak perpotongan yang transversal lainnya. Terdapat takberhingga banyak titik-titik periodik dengan periode yang sangat besar Titik tetap saddle dengan sifat seperti di atas akan menghasilkan struktur baru yang disebut struktur Poincare Homoklinik. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 53

Limit Cycle Hiperbolik Pandang sistem dinamik x = f x, x R n yang memiliki limit-cycle L 0. Misalkan merupakan bidang potong transversal dari cycle dan Codim =1. Misalkan ξ = (ξ 1, ξ 2,, ξ n 1 ) koordinat dari. Sistem di atas secara lokal mendefinisikan pemetaan P: yang merupakan pemetaan Poincare. Titik ξ 0 yang merupakan titik potong antara L 0 dengan, merupakan titik tetap dari P. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 54

Limit Cycle Hiperbolik Jika titik tetap tersebut hiperbolik, maka terdapat manifold invarian dan yang masing-masing berdimensi n - dan n + dengan n - +n + =n-1. Kedua manifold di atas merupakan perpotongan bidang Σ dengan manifold stabil dan tidak stabil dari cycle, yaitu L 0 dikatakan hiperbolik jika ξ 0 merupakan titik tetap hiperbolik dari pemetaan Poincare. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 55

Saddle cycle pada sistem berdimensi 3 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 56

Bifurkasi dan Diagram Bifurkasi Pandang sistem dinamik x f ( x, x n ), dan x f ( x, );, dengan α menyatakan parameter dari sistem di atas. m Munculnya non-ekuivalensi secara topologis pada fase potret ketika dilakukan variasi terhadap parameterparameternya disebut BIFURKASI. Diagram yang menggambarkan terjadinya bifurkasi, terkait perubahan nilai parameter-parameternya disebut DIAGRAM BIFURKASI. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 57

Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Saddle-node Pandang sistem dinamik skalar : u u 0 2 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 58

Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Transkritis u u 0 u 2 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 59

Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Pitchfork u u 0 u 3 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 60

Senin, 29 Juli 2013 TEORI BIFURKASI 61 Bifurkasi Hopf : Bifurkasi ini akan menghasilkan sebuah solusi periodik pada sistem. ) ( ) ( 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x Dalam koordinat polar, sistem di atas akan menjadi : 1 ) ( 2 Bifurkasi dari solusi equilibrium

Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Fold Diberikan sistem dinamik diskret : u u u Untuk α =0, sistem memiliki titik tetap di u =0 dengan multiplier μ =1. Untuk α <0, sistem memiliki dua titik tetap, yaitu u =± (Titik tetap negatif stabil, titik tetap positif tak stabil). Untuk α >0, sistem tidak memiliki titik tetap. 2 u α TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 62

Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Flip Pandang sistem dinamik diskret : u 1 + α u + u 3 f u; α Titik tetap : u = 0 dan u = ± 2 + α Di sekitar u = 0, sistem hanya memiliki satu titik tetap dengan multiplier μ = (1 + α), dan μ = 1 untuk α = 0. Untuk α 0, titik u = 0 stabil ketika α < 0, dan tidak stabil untuk α > 0. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 63

Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Flip Pada iterasi kedua, diperoleh: Titik tetap : u 1 = 0, u 2, 3 = ± α + O α, asalkan α < 1. Titik tetap u 2,3 stabil, f(u 2 ; α) = u 3 dan f(u 3 ; α) = u 2. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 64

Bifurkasi dari Titik Tetap Kodimensi dari suatu bifurkasi pada suatu sistem dinamik adalah selisih antara dimensi dari ruang parameter dengan dimensi dari batas bifurkasinya. Batas bifurkasi (Bifurcation Boundary) : kurva atau permukaan yang membatasi dua daerah pada diagram parameter yang memiliki fase-potret berbeda. Dua buah sistem dinamik dikatakan sama secara kualitatif jika kedua sistem tersebut memiliki diagram bifurkasi yang serupa. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 65

Ekuivalensi Secara Topologis Dua buah sistem dinamik x = f x, α dan y = g(y, β) dikatakan ekuivalen secara topologis jika : Terdapat homeomorfisma pada ruang parameter p : R m R m, β = p(α). Terdapat homeomorfisma pada ruang fase yang bergantung pada parameter, yaitu : h α : R n R n, y = h α (x). TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 66

Ekuivalensi Secara Topologis Pandang dua buah sistem dinamik di R n : x = f x, α dan y = g(y, β) α, β R m menyatakan parameter dari sistem. Kedua sistem di atas dikatakan ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asalnya jika terdapat pemetaan (x, α) (h α (x), p(α)) yang terdefinisi pada neighborhood kecil dari (x, α) = (0,0) pada R n R m sehingga p R m R m merupakan homeomorfisma yang terdefinisi pada neighborhood dari α = 0, p(0) = 0. h α : R n R n merupakan homeomorfisma yang bergantung pada parameter yang terdefinisi pada U α dari x = 0, h(0) = 0 dan memetakan orbit dari sistem pertama di U α ke orbit dari sistem kedua di h α U α, dengan mempertahankan arahnya terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 67

Bentuk Normal Topologis Pandang dua buah sistem dinamik: dan (A) (B) Sistem (A) disebut bentuk normal topologis untuk bifurkasi, jika setiap sistem dalam bentuk generik (B) dengan titik equilibrium x =0 yang memiliki syarat bifurkasi yang sama di α =0, ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asal sistem (A) untuk nilai-nilai koefisien polinomial σ i, i=1,2,3,,l. Syarat Generik N i [f ] 0, i=1,2,,s. Ni merupakan fungsi yang memuat derivatif parsial f(x,α) di (0,0) Syarat Non-degeneracy f ( x,0) x x0 Syarat Transversality f ( x, ) 0 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 68

Persistensi dari titik Equilibrium Pandang dua buah sistem dinamik : (1) (2) Untuk ε = 0, sistem (2) akan menjadi sistem (1) dan memiliki equilibrium hiperbolik x 0. Persamaan equilibrium untuk sistem (2) adalah Dengan demikian F x (x 0,0) = A 0 (matriks Jacobian dari sistem (1)). Teorema Fungsi Implisit Matriks Jacobian dari sistem (2) di sekitar x(ε) adalah Suatu titik ekuilibrium hiperbolik stabil secara struktur terhadap perturbasi yang smooth TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli 2013 69

Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Kontinu Ada 2 jenis bifurkasi tipe ini, yaitu Bifurkasi FOLD Bifurkasi HOPF Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x R n, α R Variasi terhadap nilai parameter α dapat menyebabkan munculnya bifurkasi pada sistem. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 70

Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Kontinu Bifurkasi yang ditandai dengan munculnya nilai eigen λ 1 = 0 disebut bifurkasi FOLD Bifurkasi yang ditandai dengan munculnya nilai eigen λ 1,2 = ±iω 0 dengan ω 0 > 0, disebut bifurkasi HOPF (Andronov Hopf). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 71

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Diberikan sistem dinamik berdimensi satu yang memuat satu parameter x = α + x 2 f x, α Untuk α = 0, sistem di atas memiliki sebuah titik equilibrium non hiperbolik yaitu x 0 = 0 dengan nilai eigen λ = f x 0,0 = 0 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 72

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Untuk α < 0, sistem memiliki 2 buah titik equilibrium, yaitu x 1,2 α = ± α. Titik equilibrium sebelah kiri stabil, dan sebelah kanan tidak stabil. Untuk α > 0, sistem tidak memiliki titik equilibrium. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 73

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Analisis untuk sistem x = α x 2 dapat dilakukan dengan cara yang sama. Dua buah titik equilibrium dalam kasus ini muncul untuk α > 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 74

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD LEMMA 3.1: Sistem x = α + x 2 + O x 3 Equivalen secara topologis lokal di sekitar titik asal (titik equilibrium (0,0)) dari sistem x = α + x 2. (1) BUKTI : Untuk membuktikan lemma tersebut perlu ditunjukkan bahwa homeomorfisma yang memetakan titik-titik equilibrium dari sistem pertama ke titik-titik equilibrium sistem kedua juga memetakan orbitorbit terkait Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 75

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Langkah 1 (Analisis Titik Equilibrium): Diberikan variabel skalar y sehingga sistem pertama dapat dituliskan sebagai berikut y = α + y 2 + ψ y, α (2) dengan ψ y, α y, α = 0,0. = O(y 3 ) suatu fungsi smooth di sekitar Didefinisikan suatu manifold yang terdiri atas titik-titik equilibrium sistem tersebut, yaitu M = y, α : F y, α = α + y 2 + ψ y, α = 0. Dengan demikian kurva M melalui titik asalnya, yaitu F 0,0 = 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 76

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Selanjutnya, karena F α = 1 maka dengan menggunakan teorema fungsi implisit, manifold M secara lokal dapat disajikan sebagai M = y, α : α = g y dengan g merupakan fungsi smooth yang didefinisikan untuk y kecil, g y = y 2 + O y 3. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 77

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) Dengan demikian untuk α < 0, Sistem (2) memiliki 2 buah equilibrium di sekitar titik asalnya. Kedua titik equilibrium ini akan berdekatan dengan titik equilibrium dari Sistem (1), yaitu x 1 α = α dan x 2 α = α untuk nilai parameter yang sama. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 78

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Langkah 2 (Konstruksi Homeomorfisma): Dikonstruksikan pemetaan yang bergantung parameter y = h α x, untuk α cukup kecil. Pemetaan h α akan memetakan orbit-orbit x pada Sistem (1) ke orbit y pada Sistem (2). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 79

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Untuk α 0, didefinisikan pemetaan identitas h α x = x sedangkan untuk α < 0, diambil transformasi linear h α x = a α + b α x dengan koefisien a dan b dihitung dengan syarat h α x j α = y j α, j = 1,2. (cari a dan b) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 80

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Dengan demikian pemetaan h α : R R merupakan homeomorfisma yang memetakan orbit dari Sistem (1) di sekitar titik asal ke orbit terkait dari Sistem (2) dengan mempertahankan arahnya terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 81

Bifurkasi FOLD Generik Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x R, α R, dan f fungsi smooth. Untuk α = 0 diasumsikan bahwa di titik equilibrium x = 0 berlaku λ = f x 0,0 = 0. Ekspansi Taylor dari f x, α di sekitar x = 0 : f x, α = f 0 α + f 1 α x + f 2 α x 2 + O x 3 Ekspansi di atas memenuhi dua syarat, yaitu f 0 0 = f 0,0 = 0 syarat equilibrium f 1 0 = f x 0,0 = 0 (syarat bifurkasi Fold) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 82

Bifurkasi FOLD Generik Teorema 3.1: Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x R, α R, dan f fungsi smooth, mempunyai titik equilibrium x = 0 untuk α = 0 dan misalkan λ = f x 0,0 = 0. Diasumsikan bahwa sistem tersebut memenuhi syarat berikut A.1. f xx 0,0 0 A.2. f α 0,0 0 Maka terdapat koordinat yang invertibel dan perubahan parameter yang mentransformasi sistem di atas ke dalam bentuk η = β ± η 2 + O η 3. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 83

Bifurkasi FOLD Generik Teorema 3.2. Sebarang sistem skalar dengan satu parameter x = f(x, α) yang memiliki titik equilibrium x = 0 di α = 0 dengan λ = f x 0,0 = 0, ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asalnya terhadap sistem η = β ± η 2. Teorema di atas dapat dibuktikan dengan Lemma 3.1 dan Teorema 3.1. (Tunjukkan) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 84

Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Diberikan sistem dua persamaan diferensial yang bergantung pada parameter sbb. x 1 = αx 1 x 2 x 1 x 1 2 + x 2 2 x 2 = x 1 + αx 2 x 2 x 1 2 + x 2 2 Sistem di atas memiliki equilibrium x 1 = x 2 = 0 untuk setiap α dengan matriks Jacobian α 1 A = 1 α dengan nilai eigen λ 1,2 = α ± i. Selanjutnya dengan mengambil z = x + iy, z = x iy dan z = ρe iφ maka diperoleh ρ = ρ α ρ 2, φ = 1. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 85

Bentuk Normal Bifurkasi HOPF BIFURKASI HOPF SUPERKRITIS Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 86

Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Diberikan sistem dua persamaan diferensial yang bergantung pada parameter sbb. x 1 = αx 1 x 2 + x 1 x 1 2 + x 2 2 x 2 = x 1 + αx 2 + x 2 x 1 2 + x 2 2 Dalam bentuk kompleks diperoleh z = α + i z + z z 2 Bifurkasi Hopf SUBKRITIS Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 87

Bentuk Normal Bifurkasi HOPF BIFURKASI HOPF SUBKRITIS Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 88

Bifurkasi HOPF Generik Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x = x 1, x 2 T R 2, α R Fungsi f smooth dan titik equilibrium x = 0 untuk α = 0 memiliki nilai eigen λ 1,2 (0) = ±iω 0, ω 0 > 0. Selanjutnya dengan menggunakan linearisasi di sekitar titik equilibriumnya diperoleh x = A α x + F x, α Dengan A α = a(α) c α b α d(α) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 89

Bifurkasi HOPF Generik Teorema 3.4 Suatu sistem berdimensi dua dengan satu parameter x = f x, α dengan titik equilibrium x = 0 untuk α = 0 dan nilai eigen λ 1,2 (0) = ±iω 0, ω 0 > 0 Equivalen secara topologis di sekitar titik equilibriumnya dengan bentuk normal berikut y 1 β 1 y 1 = y 2 1 β y ± y 2 2 y 1 1 + y 2 2 y. 2 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 90

Bifurkasi Satu Parameter untuk Sistem Diskret Bifurkasi terkait munculnya multiplier μ = 1 disebut bifurkasi FOLD Bifurkasi terkait munculnya multiplier μ = 1 disebut bifurkasi FLIP Bifurkasi terkait munculnya multiplier μ 1,2 = e ±iθ 0, 0 < θ 0 < π disebut bifurkasi Neimark-Sacker (Bifurkasi TORUS). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 91

Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Diberikan sistem dinamik diskret yang bergantung pada satu parameter, yaitu x α + x + x 2 f x, α f α (x) Pemetaan f α x invertibel untuk nilai α kecil di sekitar titik asalnya. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 92

Bentuk Normal Bifurakasi FOLD Cara lain untuk menggambarkan bifurkasi FOLD adalah dengan menggambarkan titik tetapnya terhadap parameter. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 93

Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Diberikan sistem dinamik diskret yang bergantung satu parameter, yaitu x 1 + α x + x 3 f x, α f α x Fungsi f α invertibel untuk nilai α kecil di sekitar titik asalnya. Titik tetap x 0 = 0 memiliki multiplier μ = 1 + α untuk setiap α. Titik x 0 stabil untuk α < 0 dan tidak stabil untuk α > 0. Untuk α = 0, titik x 0 = 0 memiliki multiplier μ = 1. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 94

Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Jika diambil y = f α (x), maka diperoleh Pada iterasi kedua, selain titik equlibrium trivial, terdapat juga titik equilibrium non trivial yaitu x 1,2 = ± α + O α Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 95

Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 96

Bentuk Normal Bifurkasi Neimark- Sacker Diberikan sistem dinamik diskret berdimensi dua α adalah suatu parameter, θ = θ α, a = a α, dan b = b α adalah fungsi-fungsi smooth. Selain itu 0 < θ 0 < π, a 0 0. Untuk x 1 = x 2 = 0 diperoleh matriks Jacobian cos θ sin θ A = 1 + α sin θ cos θ Dengan nilai eigen μ 1,2 = 1 + α e ±iθ Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 97

Bentuk Normal Bifurkasi Neimark- Sacker Transformasi ke dalam koordinat polar menghasilkan Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 98

Tugas Presentasi Kelompok Kelompok I : Bifurkasi FOLD Generik Kelompok II : Bifurkasi FLIP Generik Kelompok III : Bifurkasi Neimark-Sacker Generik Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 99

Referensi 1. Kuznetsov, Y., Elements of Applied Bifurcation Theory -2nd ed, Applied Mathematical Sciences 112, Springer- Verlag New York, Inc, 1998 2. Verhulst, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1996. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli 2013 10 0