TAKSIRAN YANG LEBIH EFISIEN UNTUK PARAMETER PADA DISTRUSI WEIBULL Erma Kusuma Wat, Sgt Sugarto, Bustam emakusumawat7@yahooco Mahasswa Program S Matematka Dose Matematka, Jurusa Matematka Fakultas Matematka a Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Rau Kamus Bawya Pekabaru 893, Ioesa ABSTRACT I ths aer the authors use the metho of mamum lkelhoo a Bayesa methos to estmate arameters of the Webull strbuto Pror use for the Bayesa metho s Jeffery ror formato The loss fucto use s the quaratc loss fucto The the comutg was oe by comarg of the mamum lkelhoo metho a Bayesa metho to f the smallest Mea Square Error The comarso amog the scusse methos s oe by smulato methos The estmate arameters of Webull strbuto obtae from the mamum lkelhoo s the best comare to Bayes usg Jeffery ror Keywors: Metho of mamum lkelhoo, metho of Bayesa, Jeffery ror formato PENDAHULUAN Statstka feres berkata ega egambla kesmula tetag arameter oulas yag asarka aa formas ata samel ar oulas yag meja erhata Parameter yag meja erhata aat berua rata-rata, varas a arameter laya Taksra utuk arameter aa ua jes yatu, taksra ttk a taksra terval Taksra aat eroleh ega megguaka ua eekata yatu, eekata klask a eekata Bayesa Peekata Bayesa aa asarya berbea ega eekata klask Paa eekata klask, moel ata samel yataka alam betuk fugs estas yag strbusya tergatug aa arameter yag laya tak ketahu Salah satu tekk yag guaka alam eekata klask aalah metoe maksmum lkelhoo Paa eekata Bayesa, arameter aa eekata klask agga sebaga suatu varabel raom yag strbusya sebut strbus ror Dstrbus ror terr ar ua yatu ror formatf a ror o formatve Paa artkel euls megguaka ror o formatf yatu formas Jeffery ror[3] Dega megguaka Teorema Bayes, strbus ror yag telah mlk erbaharu ega megkombaskaya ega fugs lkelhoo utuk membetuk strbus osteror [5] Peaksr aa ua macam, ertama eaksr tak bas yatu aabla rata-rata erkraa sama ega arameter sebearya a yag keua eaksr bas yatu
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul aabla rata-rata erkraa tak sama ega arameter sebearya Peaksr tak bas terbak aalah eaksr yag memuya varas mmum Peaksr bas terbak aalah eaksr yag memuya Mea Square Error mmum[], utuk selajutya euls megguaka sgkata MSE Paa kertas kerja bahas taksra yag lebh efse utuk arameter aa strbus Webull Dstrbus Webull basaya guaka alam embahasa ata uj hu Data uj hu meruaka tok alam bebaga bag bomek a ustr [] Fugs estas strbus Webull [] f ;, e,,, Dega aalah arameter skala a aalah arameter betuk, aalah varabel raom Parameter aalah arameter betuk yag ketahu yag berla kosta Sehgga arameter yag aka taksr aalah arameter Fugs estas Webull aa ersamaa memlk eksektas a varas Dalam meaksr arameter lakuka ega megguaka ua metoe, yatu metoe maksmum lkelhoo a metoe Bayes megguaka formas Jeffery ror Selajutya aka tetuka bas atau tak bas ar keua eaksr tersebut Setelah tu, meetuka taksra yag lebh efse Karea erhtuga secara aaltk sagat rumt, maka alam meetuka taksra yag lebh efse lakuka ega batua smulas umerk PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD Msalka X, X,, X aalah samel raom berukura yag berasal ar strbus Webull ega fugs estas aa ersamaa Berasarka samel raom X, X,, X taksr arameter ega megguaka metoe maksmum lkelhoo Ambl vektor, asumska,,, aalah salg bebas alam strbus Webull Maka fugs lkelhoo aalah L ;, f ;, L ;, e Dasumska arameter betuk ketahu, maka eaksr maksmum lkelhoo ar arameter aalah ega mecar turua ertama l L ˆ;,,, aa ersamaa terhaa a samaka ega ol, l L,,, Maka ;
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 3 l[ L ;, ] Sehgga eaksr utuk arameter θ megguaka metoe maksmum lkelhoo aalah ˆ MLE 3 Da E ˆ, maka eaksr maksmum lkelhoo bersfat tak bas MLE 3 PENAKSIR BAYES Berkut berka lagkah-lagkah utuk meaatka eaksr Bayes [] utuk fugs estas strbus Webull yag tujuka aa ersamaa aalah sebaga berkut Iutka sejumlah ukura samel utuk meguj ata a waktu hu ar samel raom catat sebaga fugs estas eluag f ;,, maa aalah arameter skala a aalah arameter betuk yag ketahu Meetuka fugs estas eluag waktu hu yag asumska sebaga fugs estas eluag bersyarat f a ror g yag guaka aalah formas Jeffery ror g k I, k aalah kostata 3 Meetuka fugs estas eluag gabuga yatu ega meggabugka fugs lkelhoo ega formas Jeffery ror yag rumuska ega H,,, ;, L ;, g 4 Meetuka fugs estas eluag margal ar,,, ; yatu tegral ar fugs estas eluag gabuga yag rumuska ega P,,, H,,, ;, 5 Meetuka fugs estas eluag bersyarat atau strbus osteror ar yatu H,,, ;, P,,, 6 Meetuka Peaksr Bayes ar ega megguaka fugs keruga kuaratk, ega megguaka teorema berkut Teorema [: hal 34] Peaksr Bayes, B ar aa fugs keruga kuaratk eksektas bersyarat ar yag relatf terhaa osteror ˆ; ˆ aalah
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 4 ˆ B E[ ] Utuk meetuka eaksr Bayes, erluka strbus osteror atau strbus eluag bersyarat Dstrbus osteror rumuska ega H, P,,, ;,,, Dmaa H,,, ;, aalah fugs estas eluag gabuga a P,,, aalah fugs estas eluag margal Fugs estas eluag gabuga eroleh ega meggabuga fugs lkelhoo L ;, ega formas Jeffery ror g Maka erumusa fugs estas eluag gabuga aalah H,,, ;, L ;, g 5 D alam [4], formas Jeffery ror efska ega g k I, k aalah kostata 6 I aalah formas Fsher Iformas Fsher eroleh ega mecar I E l L ; maka I, Dega mesubttuska ersamaa 7 keersamaa 6, maka eroleh formas Jeffery ror g k 8 Dega mesubttuska ersamaa a ersamaa 8 keersamaa 5, maka eroleh fugs estas eluag gabuga H,,, ;, e k 4 7 H k,,, ;, e l 9 Fugs estas eluag margal ar aa ata,,, aalah
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 5 P,,, H,,, ;, Dega mesubttuska ersamaa 9 keersamaa, maka P,,, k e l e Dega meyelesaka tegral e aa ersamaa, eroleh e! Dega mesubttuska ersamaa keersamaa, maka eroleh fugs estas eluag margal berkut P,,, k! e l 3 Selajutya aka tetuka fugs estas eluag bersyarat atau strbus osterorya Dega mesubttuska ersamaa 9 a ersamaa 3 keersamaa 4, maka eroleh strbus osteror berkut k k e! e l Persamaa 4 aat seerhaaka meja k e l e l 4 k!e l
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 6 e! 5 Persamaa 5 aalah strbus osteror utuk arameter Utuk meaatka taksra Bayes ega megguaka fugs keruga kuaratk, maka aka tetuka eksektas bersyarat ar yag relatf terhaa osteror sesua ega teorema Berasarka teorema, maka eroleh eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror berkut ˆ ˆ E[ ] e! ˆ e! 6 Dega meyelesaka tegral e aa ersamaa 6, eroleh e Dega mesubttuska ersamaa 7 keersamaa 6, maka aat ˆ 8 Persamaa 8 aalah eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror a ˆ E, maka eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror bersfat bas 4 MSE Utuk eaksr tak bas, maka aka eroleh MSE sama ega varas[] Seagka utuk eaksr bas aka eroleh 7
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 7 MSE ˆ Var ˆ [ b ˆ], ega syarat jka ˆ meruaka eaksr ar Perhtuga MSE aat lakuka secara aaltk ta erhtugaya sagat rumt, maka alam erhtugaya erluka batua smulas umerk Paa smulas guaka erumusa MSE berkut ˆ MSE ˆ [: Hal3] R A MSE ar Peaksr Maksmum Lkelhoo Karea eaksr maksmum lkelhoo aa ersamaa 4 bersfat tak bas, maka 9 MSE ˆ MLE Var ˆ MLE Var X B MSE ar Peaksr Bayes Megguaka Iformas Jeffery Pror Karea eaksr aa ersamaa 8 bersfat bas, berasarka ersamaa 9 maka MSE ar eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror aalah MSE ˆ Var ˆ ˆ b MSE ˆ Var [ ] X ˆ MSE 5 Stu Smulas a Pembahasa Dalam smulas aka tujuka la MSE atara metoe maksmum lkelhoo a metoe Bayes megguaka formas Jeffery ror Dalam erhtuga smulas rogram yag guaka aalah rogram Matlab 7 Dega megambl ukura samel yag besar a ukura samel yag kecl yatu 5,5,75,,5,5,75,, la arameter skala yag guaka yatu 5,5 a la arameter betuk yatu 8, jumlah egulaga R aalah R= a ega megguaka erumusa MSE aa ersamaa, maka
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 8 aka eroleh la MSE ar eaksr maksmum lkelhoo a eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror Dega meghtug la MSE ar keua metoe yag telah taksr, aat lhat metoe maa yag memuya la MSE yag lebh kecl Hasl ar stu smulas ragkum a tabulaska aa Tabel a Grafk Tabel Nla MSE ar taksra arameter utuk 5 a 8 MSEMLE MSE SELISIH NILAI MSE 5 9 43 53 5 43 75 99 3 9 5 78 86 8 5 78 84 6 75 74 79 5 73 78 5 Tabel Nla MSE ar taksra arameter utuk 5 a MSEMLE MSE SELISIH NILAI MSE 5 38 549 3 5 7 87 5 75 458 555 97 44 49 5 5 383 4 39 5 37 357 3 75 33 39 6 79 3 3 Daat lhat aa Tabel a Tabel, utuk semua ukura samel yag guaka metoe maksmum lkelhoo memuya la MSE yag lebh kecl bagka ega metoe Bayes megguaka formas Jeffery ror Sehgga metoe maksmum lkelhoo meruaka eaksr yag lebh bak bagaka eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror Dar tabel a tabel aat smulka bahwa MSE a selsh la MSE ar eaksr maksmum lkelhoo a eaksr Bayes megguaka formas Jeffery ror meuru ega megkatya ukura samel Semak besar ukura samel maka taksra Bayes megguaka formas Jeffery ror yag eroleh semak ekat ega la taksra maksmum lkelhoo Utuk lebh jelasya, taksra la MSE ar metoe maksmum lkelhoo a metoe Bayes megguaka formas Jeffery ror aat lhat aa Gambar a Gambar
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul 9 Gambar Grafk MSE utuk taksra arameter ega 5 a 8 9 9 46 73 MSEMLE MSE 5 5 75 5 5 75 Gambar Grafk MSE utuk taksra arameter ega 5 a 674 395 6 837 558 79 5 5 75 5 5 75 MSEMLE MSE Daat lhat ar Gambar a Gambar, grafk MSE ar metoe maksmum lkelhoo lebh reah bagka grafk metoe Bayes megguaka formas Jeffery ror Ketka ukura samel yag ambl maka keaaa grafk ar keua metoe mula meuru hgga aa ukura samel Dar Gambar a Gambar aat mulka bahwa semak besar ukura samel yag ambl maka la MSE ar keua metoe tersebut juga semak kecl, sehgga keua grafk terlhat semak berhmt Semak besar ukura samel maka taksra Bayes megguaka formas Jeffery ror yag eroleh semak ekat ega la taksra maksmum lkelhoo DAFTAR PUSTAKA [] Ahme, AOM, HS Al-Kutub & NA Ibrahm Comarso of the Bayesa a Mamum Lkelhoo Estmato for Webull Dstrbuto, joural of mathematcs a statstcs, 6 : -4 [] Ba, LJ & Egelhart, Ma 993 Itroucto to Probablty a Mathematcal Statstcs Seco Eto Dubury Press Belmot, Calfora
Erma Kusuma Wat etal Taksra utuk strbus Webul [3] Berger, JO 985 Statstcal Decso Theory a Bayesa Aalss Seco Eto Srger-verlag, Iaa [4] Lee, PM 997 Bayesa Statstcs: A Itroucto Seco Eto Arol Eusto Roa, Lao [5] Ramachara, KM & Tsokos, CP 9 Mathematcal Statstcs wth Alcatos Brtsh Lbrary Catalougg