RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA. Haposan Sirait 1, Usman Malik 2 ABSTRAK

Transkripsi

1 Relatf Efses Peaksr Mome Terhada Peaksr Maksmum Lkelhood RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA Haosa Srat, Usma Malk ABSTRAK Makalah membahas dua metode atu metode mome da metode maksmum lkelhood utuk memeroleh eaksr ttk arameter dar suatu dstrbus segtga kaa dega arameter, selajuta, varas estmator ag deroleh dar kedua metode tersebut aka dbadgka utuk medaatka eaksr ag relatf lebh efse. Kata kuc: metode mome, maksmum lkelhood,dstrbus segtga, efses relatf. ABSTRACT Ths aer dscusses two methods, amel the method of momets ad the method of maxmum lkelhood to obta a ot estmator of a Tragular dstrbuto wth arameter. Furthermore, the varace estmator obtaed from both method wll be comared to obta a relatvel more effcet estmator. Kewords: momets, maxmum lkelhood, Tragular dstrbuto, relatve effcec. PENDAHULUAN Latar Belakag Sebaga besar orag ast sudah lumaa famlar bla medegar kata statstka. Sebelum berbcara lebh lajut tetag statstka, erlu mecar tahu aa sebeara statstka tu. Statstka adalah lmu ag memelajar bagamaa merecaaka, megumulka, megaalss, megterretas, da memresetaska data. Sgkata, statstka adalah lmu ag berkeaa dega data. Atau statstka adalah lmu ag berusaha utuk mecoba megolah data utuk medaatka mafaat berua keutusa dalam kehdua. Kebaaka model robabltas, terutama ag cuku luas la egguaaa, tergatug ada beberaa kosta ag dkeal dega ama arameter. Basaa dguaka lambag μ da σ utuk arameter mea da devas stadar dstrbus ormal, sedagka utuk dstrbus bomal, dguaka lambag da masg-masg utuk arameter baak kal usaha (tral) da eluag sukses dalam ta usaha. Dalam baak masalah, keluarga model robabltas ag meggambarka suatu feomea basaa dagga dketahu. Teta aggota tertetu dar keluarga tu ag dadag alg teat meggambarka feomea tersebut mugk sekal tdak dketahu. Dalam hal erlu dtaksr berdasarka data ag dambl dar feomea tu. Namu, utuk membcaraka masalah eaksr arameter ada umua d guaka huruf Yua θ (theta) sebaga lambag arameter. Jad, f x;,,..., ) aka ( meujukka fugs robabltas dega k arameter (dketahu u tdak) Staf Pegajar FMIPA Uverstas Rau Page 39

2 ,...,,. Kebaaka masalah ag dhada basaa haa memuat satu arameter, sehgga fugs robabltasa daat dtuls f ( x; ) saja. Jka dalam masalah, arameter θ tdak dketahu, harus dtaksr dega megguaka data samel. I dlakuka melalu suatu fugs ag damaka statstk. Ada berbaga macam jes eaksr utuk suatu arameter θ atu eaksr ttk da eaksr terval. Peaksr ttk daat deroleh dega metode Mome u metode Maksmum lkelhood serta metode Baes. Dstrbus segtga meruaka salah satu dstrbus eluag kotu dega tga buah arameter atu la mmum a dega a,, la maksmum b dega b > a da la ag alg mugk m dega a m b. Lambag dar dstrbus adalah Tr m, a, b. Msalka X adalah suatu eubah acak ag berdstrbus Tragular dega arameter a, b, da m, maka X daat dtuls dega lambag X~Tr m, a, b. Tujua Peelta Peelta bertujua utuk meetuka eaksr ttk terbak dar arameter suatu oulas ag memlk dstrbus segtga kaa. Tjaua Pustaka Sergkal seseorag dtutut utuk membuat dugaa ag rasoal dalam kods ag euh ketdakasta taa formas ag legka. Agar dugaa ag dlakuka daat meghaslka suatu dugaa ag bak, maka kta harus meguasa kose edugaa secara statstk estmas ttk dar sebuah arameter oulas adalah sebuah la ag deroleh dar samel da dguaka sebaga eaksr dar arameter ag laa tdak dketahu. Msalka X,, X, X meruaka samel radom (acak) ag berasal dar ooulas X dega fugs destas robabltas ag tergatug ada. atu f ( x; ). Dkareaka bahwa X, X,, X meruaka samel radom maka fugs f ( x; ) juga meruaka varabel acak. Suatu fugs ag damat msala t X, X,, X dsebut sebaga statstk, da dsebut juga suatu eaksr dar ag dotaska dega [3]. Aka teta meghada ersoala mecar eaksr ttk ada tga metode ag ouler, atu metode mome, metode maksmum lkelhood da metode Baes []. METODOLOGI PENELITIAN Peelta aka dlakuka melalu kaja lteratur utuk meetuka eaksr ttk dar arameter suatu oulas ag memlk dstrbus segtga kaa. Defs. Suatu varabel radom X dkataka berdstrbus segtga kaa dega arameter (,) dega fugs destas robabltas x, x f ( x : ) (), utuk laa Dua metode eaksr ag aka dguaka adalah metode Mome da metode maksmum lkelhood. Selajuta dar kedua eaksr ag deroleh aka dbadgka Relatf Efsesa berdasaraka varasa utuk medaatka eaksr terbak. HASIL DAN PEMBAHASAN Peaksr Mome Suatu metode ag alg tua da alg sedehaa utuk meemuka eaksr dar suatu arameter adalah metode mome. Metode mome ddasarka dega Page 4 JURNAL APTEK Vol. 7 No. Jauar 5

3 Relatf Efses Peaksr Mome Terhada Peaksr Maksmum Lkelhood meselaraska mome samel dega mome oulas. Msalka X adalah eubah acak kotu (dskrt) dega fugs keadata robabltas (fk) berbetuk f ( x; ), dega θ arameter ag tdak dketahu. Msalka k buah mome sektar usat oulas ertama ' t t EX. () Selajuta msalka X, X,, X meruaka samel acak berukura da ddefska k buah mome sektar usat samel ertama t, ' t m x, t,, k (3) Kemuda dega memelesaka ersamaa aka deroleh suatu ' ' t m t eaksr ag dsebut sebaga eaksr mome. Utuk meetuka eaksr mome arameter ersamaa (), terlebh dahulu dtetuka mome ertama dsektar usat atu x E ( X) x dx (4) E X). (5) ( 3 Kemuda, mome kedua dsektar usat x E( X ) x dx (6) E( X ). (7) Dega demka dar ersamaa (5) da (7) deroleh Var( X). (8) 8 Berdasarka metode meetuka eaksr mome dar arameter ag dotaska dega ˆ daat deroleh dega memafaatka ersamaa () da (3) atu 3 x. (9) ˆ Selajuta karea ˆ meruaka eaksr tak bas maka keteltaa dberka oleh Var( ˆ ). () 8 Peaksr Maksmum Lkelhood Metode maksmum lkelhood adalah metode eaksr arameter suatu dstrbus ag memaksmumka fugs lkelhood. Metode maksmum lkelhood meruaka salah satu metode alg bak utuk memeroleh taksra tuggal. Metode tdak daat dguaka aabla dstrbus tdak dketahu. Berkut dberka defs fugs lkelhood seert ag dkemukaka oleh Ba []. Defs Fugs destas bersama dar varabel radom X, X,..., X ag devaluas ada ttk x x,..., dega otas f x, x,..., ; ), x ( x dsebut sebaga fugs lkelhood. Utuk x, x,..., x teta, maka fugs lkelhood adalah sebuah fugs dar ag dotaska dega L ; x, x,..., x ). Jka ( X, X,..., X adalah samel radom f x;, dega, dar fugs destas maka fugs lkelhood dar arameter adalah f ( x ; ) x, x,, x L ; () Setelah fugs lkelhood ada ersamaa d atas deroleh, selajuta dtetuka eaksr metode maksmum lkelhood seert ag dberka oleh defs berkut. Defs 3 Peaksr ˆ u( x, x,..., x ) dsebut eaksr maksmum lkelhood jka, L ˆ; x, x,, x max L ; x, x,, x () Dalam meetuka eaksr maksmum lkelhood basaa dguaka logartma atural fugs lkelhood. ˆ f X, X,..., dsebut eaksr maksmum lkelhood. Berdasarka Defs, maka fugs lkelhood dstrbus segtga kaa sebaga berkut X Staf Pegajar FMIPA Uverstas Rau Page 4

4 x L( ) x x ( ). L x (3) Sehubuga fugs d atas meruaka fugs mooto turu, maka harga ag membuat fugs maksmum tak daat dtetuka dega cara dfferesal. Sehgga erlu daalsa atu fugs maksmum aka dcaa dega memlh sekecl mugk. Dketahu bahwa max X, maka ag membuat fugs maksmum ag dotaska dega ˆ adalah ˆ max X (4) Selajuta aka dtetuka aakah ˆ memlk sfat tak bas, utuk keerlua Y max X. terlebh dahulu dmsalka Utuk megetahu fugs destas dar varabel radom Y, terlebh dahulu dtetuka fugs dstrbus dar Y sebaga berkut F( ) P( Y ) P max X Sedagka P X x P( X ) x dx. Dega demka maka deroleh F( ) Jad fugs destas dar Y adalah : f ( ) df( ) f. ). (5) ( Dega demka maka E ˆ... d d Eˆ. (6) Hal berart eaksr maksmum lkelhood meruaka eaksr tak bas. Mesku demka eaksr maksmum lkelhood meruaka eaksr kosste. Utuk melhat keteltaa dtetuka Mea Square Error (MSE) dar ˆ atu dega meetuka E ˆ... d ˆ d E (7) Jad MSE dar adalah MSE ˆ ˆ MSE (8) Relatf Efses Peaksr Defs 3. [3]. Msalka ˆ da ˆ adalah dua eaksr dar, da msalka MSE ( ) da MSE ( ) adalah MSE dar ˆ da ˆ, maka relatve efses dar ˆ ke ˆ dotaska dega RE, ) ddefska sebaga ( MSE( ) RE(, ) (9) MSE( ) Jka RE(, ), maka daat dsmulka bahwa ˆ lebh efse dar ada ˆ, dega Page 4 JURNAL APTEK Vol. 7 No. Jauar 5

5 kata la atu MSE ( ) lebh kecl dar MSE ( ). Dega demka Relatf efses ˆ terhada ˆ dotaska dega RE ˆ, ˆ ) ddefska sebaga ( RE( ˆ, ˆ Var( ˆ ) MSE( ˆ 8 ) ) RE( ˆ, ˆ ) () 6 Karea ersamaa () lebh besar dar satu utuk seta harga, maka ˆ lebh efse dar ˆ. Relatf Efses Peaksr Mome Terhada Peaksr Maksmum Lkelhood KESIMPULAN Dar uraa d atas daat dsmulka bahwa utuk meetuka eaksr ttk dar dstrbus segtga kaa daat dguaka eaksr metode Mome da metode maksmum lkelhood. Aka teta terata eaksr mome lebh efse dar ada eaksr maksmum lkelhood. DAFTAR PUSTAKA Ba. L. J, Egelhard. M. 99. Itroducto to Probablt Mathematcal Statstcs. Secod Edto. Duxbur Press, Calfora. Hasa Iqbal. M.. Pokok-okok Mater Statstk. Eds kedua. Bum Aksara. Jakarta. Motgomer, D.C & G.C. Ruger Aled Statstcs Ad Probablt For Egeers, Secod Edto. Joh Wle & Sos Ic, New York. Staf Pegajar FMIPA Uverstas Rau Page 43

6 . Page 44 JURNAL APTEK Vol. 7 No. Jauar 5