Aproksimasi Interval Konfidensi Bootstrap

Transkripsi

1 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN Aroksmas Iterval Kofes Bootstra Aroxmate Cofece Iterval Bootstra Haeru rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma Abstract We coser the roblem of costructg aroxmate cofece tervals for a sgle arameter base o bootstra comutato ercetle of a statstcs. he staar aroxmate base o maxmum lkelhoo ˆ ˆ z ca be qute msleag a accurate. I ractce, trcks base o trasformato are ofte use to mrove ther accuracy. he cofece tervals [, ] costructe by usg ths aroach arc also base o exstece mooto trasformato a have trasformato-resectg roerty that s ot ossesse by staar ormal aroxmate. he avatage of ths aroach, at least ractcg, s that t s automatcally cororate the trasformato wthout requrg the statstca to thk them through for each ew alcato. It s hale by bootstra comutato. It s show that the ercetle terval s exact wheever the trasformato kow a t s cosstet also by mea of cofece set.e θ [, ] ( ) coverge to. I ractce we must use some fte umber B retcato, so that settg these tervals we use ote Carlo smulato that rouce [, ] as a aroxmate to the eal bootstra terval. All of the rocess are oe by a comuter rogram S-LUS. Keywors : Bootstra, cofece terval, bootstra ercetle, ote Carlo, trasformato. ENDAHULUAN Dalam bayak masalah feres statstk seorag eelt tertark utuk megkotruks suatu keluarga hmua yag memuat la arameter yag bear ega robabltas yag tgg. Dalam hal yag kerjaka aalah suatu eaksra selag (estmas terval), yak bagamaa membetuk terval raom x atau sgkat, yag memuya eluag tgg memuat. salka g L (x) a g u (x) aalah statstk seemka hgga berlaku : g x θ g x L U Iterval raom [g L (x); g u (x)] amaka terval kofes utuk arameter ega koefse kofes ( ). Dalam tulsa ertmbagka masalah membagu aroksmas terval-terval kofes bootstra utuk suatu arameter tuggal. Iterval-terval kofes exact aat kostruks haya alam kasus arametrk a alam sekt stuas-stuas khusus sehgga umumya yag bagu aalah aroksmas ar terval tersebut. Fokus utama alam teor asmtotk terval kofes aalah aakah cakua robabltas suatu terval koverge ke level omal terval tersebut. Dalam bayak kasus, hmua keercayaa kostruks ega memertmbagka suatu kuattas votal,...,,f berstrbus G. Jka kta aat meuruka θ θ θ ar ertaksamaa L U, maka, meruaka terval kofes ega level -. Utuk kasus maa arameter lokas, maka basaya berbetuk estmator a θ, maa ˆ ˆ estmator varas utuk maka terval kofes exact - utuk aalah: [ ˆ G ( ), ˆ G ( )] Utuk mecar kuattas votal seert atas alam suatu masalah yag berka basaya tak muah, ega kata la tak muah mecar ega G strbus yag ketahu. Jka G tak ketahu maka terval (,) tak aat guaka sebaga terval kofes a utuk tu guaka aroksmas ar G. Dalam eekata asmtotk trasoal G gat ega lmtya. Jka lmt G aalah G (eee ar F) maka G gat ega G. rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

2 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN Aroksmas yag alg bayak aka aalah terval aroksmas ormal staar ega megguaka eorema Lmt usat yak: ˆ z Suatu eekata terval kofes berasarka komutas bootstra tuls oleh Efro. R.Helmers (995) memberka erbaga atara terval kofes staar ega terval kofes bootstra utuk arameter θ μ x F(x) ega F tak ketahu. Beberaa teor asmtotk utuk bootstra bahas oleh Bckel a Freema (98) tetag keakurata tuls oleh Sgh (98). Hall (986) memberka cacah smulas bootstra yag butuhka utuk membagu suatu terval kofes khusus terval kofes ersetl-t berasarka samel strbus kotu. Sebaga eoma Efro a bshra meyaraka utuk megambl B atara 5 sama ega yag cuku memberka estmas yag bak ar se F utuk terval kofes bootstra butuhka B yag lebh besar lag. Dalam tess bahas tetag egkostruksa terval kofes berasarka ersetl bootstra yak terval ersetl B a. Keua terval bagu asarka keaa asums aaya trasformas mooto, amu utuk terval asums yag aka lebh umum ar terval B yatu aaya suku koreks bas z. Dalam eelta aka lhat tgkat akuras keua terval ersetl tersebut a erbagaya ega terval aroksmas ormal staar. Sebaga eujag berka smulas erbaga terval-terval ersetl ega terval berasarka aroksmas ormal staar a ega aroksmas ormal berasarka trasformas. ENGERIAN DASAR SRA rs Dasar Bootstra Defs Jka = (,,, ) samel raom ar F maka,,..., aalah samel raom bootstra yatu samel yag eroleh ar secara raom ega egembala,,..., eee a etk berstrbus bersyarat terhaa. roseur bootstra aat teraka utuk kasus o arametrk mauu arametrk. Dalam keua kasus tersebut, feres asarka aa suatu samel a raom observas ar oulas. Dalam kasus o-arametrk, strbus samel F ambl ar strbus oulas F yag tak ketahu, F sebut strbus emrk ar, yak fugs strbus yag memuya massa / utuk seta ttk aa, seagka utuk (.) kasus arametrk F ketahu. Dalam keua kasus tersebut samel ambl ega resamlg ar suatu strbus yag tetuka samel asl. rs asar alam embetuka samel ega metoe bootstra o-arametrk aalah sebaga berkut:. Kostruks strbus robabltas ar samel, yatu F ega massa / aa seta ttk x, x,, x.. Dega F teta, ambl samel raom ega ukura ar F sebut x, ~ F, =,,,,. ega: Selajutya samel sebut samel bootstra,,,...,. Aroksmas strbus samlg, F, F ega strbus bootstra Dalam kasus arametrk, F ketahu kecual arameter yag tak ketahu. Ja aa kasus arametrk F gat ega F (), suatu aggota ar klas {F (), }. salka λˆ estmator ar htug ar tuls (). maka F F λˆ fugs strbus yag eroleh ega meggat la arameter ea estmas samelya. salka sama raom ar a msalka λˆ λ F Fλˆ meyataka vers λˆ F. Baga yag sult ar roseur bootstra aalah erhtuga yag sebearya ar bootstra. ga metoe erhtuga yag mugk, yatu:. etoe. erhtuga secara lagsug.. etoe. etoe erluasa eret aylor aat guaka utuk memeroleh erkraa mea a varas ar strbus bootstra R.. etoe. Dega smulas ote Carlo utuk strbus bootstra. Dega yag htug ar. aka Fλˆ merealsaska yag bagu ega megambl samel raom berukura a F o sebut x, x,, x, a hstogram yag bersesuaa ega la x, F, x, F,..., x, F ambl sebaga erkraa utuk strbus bootstra yag sebearya. roseur bootstra utuk estmas aalah sebaga berkut: rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

3 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN Estmas F ega F a htug θf.. Dberka,,,, msalka,,..., aalah suatu samel ega strbus F.. salka b,,..., aalah vers bootstra ar.. Dstrbus bawah F, yatu F( ) estmas ega F, strbus ar bawah F. Utuk mejelaska metoe bootstra secara umum aag = (,,, ) yatu besara yag tergatug ar samel = ( t,,, ) a fugs strbus F. Utuk kasus θ, khusus aat ambl maa aalah statstk utuk. Selajutya aka car strbus ar sebaga berkut. G x,,..., x, F x Jelas G yatu fugs strbus ar tak ketahu, karea F tak ketahu. Dalam hal G aka estmas ega bootstra yatu : G x,,...,,,..., maa: aalah samel bootstra a aalah robabltas yag bersesuaa ega Fˆ. Karea = x, = x,, = x ketahu maka a Fˆ ketahu, sehgga aa rsya G aat htug. Syarat Bootstra Bekerja Derhatka kasus khusus yatu jka = (F) = mea oulas ar F a = samel mea maka θ G x,,..., x a aat: x meruaka samel bootstra ar strbus θ, ega eorema.. (Sgh, eorema A) Jka,, samel ega ukura ar suatu oulas berstrbus F a E <, maka μ x x. eorema. Aaka,, -vektor raom ega strbus F, a μ μ maa Σ a E H vers bootstra ar H maka H kosste. Dua teorema atas meujukka bahwa bootstra ega samel bekerja ega bak utuk kasus. Smulas ote Carlo Dberka samel raom,,, ar strbus F. Estmas bootstra memerluka,,..., samel bootstra ar strbus F. Utuk strbus ar kuattas statstk,,...,, estmator bootstra meruaka strbus bersyarat,,...,, jka berka samel (,,, ). aa rsya strbus ketahu. Utuk samel,,, ar blaga yag berbea, aa ( )!/( )!! samel bootstra yag berbea, ja strbus aat eroleh kembal ega eumeras legka. Utuk = basaya meekat. samel bootstra yag aat eumeras. Ja metoe sult bahka tak mugk utuk kerjaka, utuk tu kta guaka suatu metoe yag sagat ouler saat yatu metoe ote Carlo. roses kerja smulas ote Carlo aalah sebaga berkut:. Dega batua komuter, bagu suatu samel,,..., ega ukura, meurut strbus F.. Karea F ketahu, juga F ketahu a aat htug,,..., Fˆ. Ulag baga () a () sebayak B kal, sehgga eroleh.. Kumulka la,,,,...,, B,,,,...,, B a htug strbus emrs B F, Bx I, x. B salka strbus bootstra a H aalah: H / x θ x aka eekata ote Carloya aalah: B (B) H x I θ x B Babu a Sgh (alam Shao (995)) meujukka bahwa aroksmas mote carlo rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

4 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN H (B) aalah seco orer accurate sebaga estmator ar strbus, ega E yag rgkas alam ˆ teorema berkut: Defs.. Jka,, μ/ ˆ samel raom a a B aalah suatu fugs ar yag memeuh B/(log log ) maka utuk, su H x (B) H asmtotk tgkat (frst orer accurate) jka Iterval Kofes -/ θ θ O Hmua keercayaa Defs.. tk kofes aroksmas θ sebut akurat salka,, samel raom ar asmtotk tgkat (seco orer accurate) jka suatu strbus F yag tak ketahu a = - θ θ O (F) arameter yag aka car terval kofesya. Defs..8 Jka C = C (,, ) subset ar yag Suatu fugs strbus (x) kataka haya tergatug aa,, a smetrs jka a haya Ψx Ψ x. θ C Cotoh Φ(x), fugs strbus ormal. (..) Defs.. Jka θ C maka C sebut sebaga hmua keercayaa ega koefse keercayaa atau hmua keercayaa. Defs.. Level yag gka alam suatu hmua keercayaa sebut level omal (omal coverage) yag basaya berka. Basaya guaka a masg-masg sebaga level omal ar terval kofes a ss. Defs.. sal I terval ss, θ atau θ, seemka hgga () θ I, maka: sebut cakua omal ar I () θ I sebut coverage sesugguhya () Coverage error ar I aalah θ I Defs..5 Jka {a } a {b } masg-masg barsa blaga real, { } a { } aalah barsa varabel raom, maka: a. a = O(b ) jka a /b utuk semua a suaru kostata c. b. a = o(b ) jka a /b utuk c. = O ( ) jka ε, N sehgga / ε N. = O ( ) jka ε Lm /. Dalam embcaraa selajutya ertmbagka suatu ttk ujug θ terval satu ss yag megcover. θ, Defs..6 Suatu hmua kofes C kataka akurat asmtotk berorer k jka: -/ θ C O Akbat..7 tk kofes aroksmas θ sebut akurat Eksas Egeworth Dalam embahasa tetag tgkat akuras suatu ttk kofes atau robabltas cakua ar aerah keercayaa, eksas Egeworth a Corsh Fsher sagat besar kotrbusya. Utuk tu alam asal berka secara rgkas tetag eksas-eksas tersebut, khususya utuk statstk yag aka bahas alam bab III. salka,,, varabel raom ega = μ a varas <. Estmas ar aalah ega varas -. Berasarka eorema Lmt usat, S θ/ ~ AN(,). Hall (99) memberka eksas ar strbus S sebaga eret agkat alam -/ yak: / θ / x Φ x x... j/ j x... maa / x π eks x / aalah fugs estas ormal staar a Φx φu u fugs strbus ormal staar Formula (..) keal sebaga eksas Egeworth. Fugs j aalah olomal ega koefse tergatug aa kumula ar θ. Utuk mecar olom-olom buktka ulu beberaa lemma berkut: rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

5 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN Lemma.. Jka,,, aalah samel ar strbus ega mea μ a varas S S, θ/ θ/ t t / /. a maka Defs.. Utuk suatu varabel raom umum ega fugs karakterstk χ, kumula ke j, κ j, ar j! efska sebaga koefse ar j alam eksas ar eret agkat log χ (t) maa j t exκt κ t... κ jt... j! Lemma.. Utuk varabel raom seert alam efs atas berlaku: κ E κ κ κ E E E Var E E E E E E E E E E 6E E E E Lemma.. Utuk S a seert efska sebelumya maka: χ S t ega: t e j/ t r t... r t / r j maa: r j olomal ega koefse real ega erajat j, tergatug aa κ, κ,, κ j+ a tak tergatug aa yatu: r u /!κ u ; r u /κ u /7κ 6 u Lemma..5 Dberka lemma.. a efska e tx R j t x r xe j t maa R j (x) aalah fugs yag memlk trasformas Fourer- t Steltjes sama ega r j x e maka strbus S aat tuls sebaga: S x Φ x / R x... j/ R x... j eorema..6 (etoe Delta utuk Eksas Egeworth) Jka S a ua statstk yag masgmasg berstrbus Normal Asmtotk yag j/ S O utuk seta j memeuh maka Eksas Egeworth strbus S a haya berbea alam suku-suku berorer -j/ atau lebh kecl, yak: j/ S x x O Eksas Corsh-Fsher salka S θ/ θ/ˆ meruaka statstk yag (..) aat eksas alam Eksas Egeworth sal H ~ x S x Φx k / a G x S x Φ x -(k)/ x x O (..) a k / -(k)/ q x x O aka kuatl ar H ~ x a G aat eksas sebaga eret alam -j/ berkut: k - / -(k H ~ x z z O G - )/ k / -(k)/ y z q z O Dega z, x, y efska sebaga: Φ z S x y a j a q j olom gajl(gea) ega erajar j+ jka j gea(gajl) a aat yataka alam j a q j. Eksas (..) a (..) sebut sebaga eksas (vers) Corsh-Fsher. eorema.. Dberka Eksas Egeworth ar a Corsh-Fsher H ~ x efs muka, maka: x seert x, a ' x x/x x x (..) H ~ x alam rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma 5

6 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN INERVAL KONFIDENSI SRA otvas Iterval Bootstra Jka θ, θ I terval kofes utuk kuattas a fugs mooto ak yag ketahu maka sagat eal bla kta berhara bahwa I θ, θ meruaka terval kofes utuk (). Sebalkya jka θ, θ meruaka terval ar () maka vers ar masg-masg ttk ujug terval tersebut meruaka terval ar. Dega kata la bersfat trasformas reectg. Iterval yag haslka oleh eekata atas asarka asums aaya tasformas seemka hgga ˆ θ x ~ AN,. Kesulta alam eekata metoe staar berasarka trasformas aalah bahwa kta harus megetahu trasformas yag berbea utuk seta arameter yag aka estmas. Dgka membagu terval kofes ega sfat trasformas resectg amu taa erlu mecar/megetahu trasformas tersebut. Dega kata la metoe aat aag sebaga metoe yag selalu tahu trasformas yag erluka. etoe kerjaka ega erhtuga bootstra, taa erlu megetahu. Iterval ersetl B salka estmator ar ar suatu strbus F a estmator bootstra ar berasarka,,..., strbus kumulatf ar sehgga fugs aalah: x x f K (..) aka terval ersetl bootstra efska sebaga: ( ( ) K, K, K ( ) ega aalah ersetl ke. ar strbus bootstra. Eksres (..) merujuk keaa stuas maa relkas bootstra tak hgga (bootstra eal). Dalam raktek kta harus megguaka cacah relkas B yag berhgga, sehgga aat terval aroksmas ersetl bootstra:, K,K B B ((, () ) maa aalah ersetl ke. ar la-la ( b yak la ke B. alam aftar uruta B relkas ar. Jka B. tak bulat maka quatle emrk a efska masg-masg sebaga la terbesar ke k a ke (B+-k) ar b ega k = [(B+).], blaga bulat terbesar (B+).. Karea sfat smlartas atara batas-batas terval utuk embcaraa selajutya haya bahas batas bawah terval saja. eorema.. Jka aa trasformas ak (x) seemka hgga utuk semua F (a Fˆ ) yag mugk berlaku: ˆ θ x ψx maa ˆ θ a (x) aalah fugs strbus kotu, ak a smetrs maka: Jka a ketahu maka batas bawah exact utuk aalah: θ ˆ z z ψ E, ega eorema.. Jka asums seert aa teorema.. euh utuk Fˆ maka: θb θ E. Dmaa θb batas terval ersetl bootstra. eorema.. meujukka bahwa batas bawah terval ersetl bootstra aalah exact utuk semua jka asums aa teorema.. teat euh (euh secara exact). Umumya asums tersebut euh secara asmtotk utuk besar maka batas bawah ersetl tersebut aalah val secara asmtotk a eamlaya tergatug aa bagamaa bakya aroksmas tersebut. Namu, basaya tak ler a bas ˆ θ tak meuju ol secara ceat utuk. Akbatya asums aa euh secara aroksmas, aroksmas bak haya utuk cuku besar. Aroksmas yag (..) basa aka aalah aroksmas ormal. Iterval ersetl Iterval ersetl (Bas Correcte) turuka ega asums yag lebh umum ar teorema.. ega memasukka suku koreks bas alam asums tersebut. eorema.. Aa aa trasformas ak seemka hgga utuk semua F (a Fˆ ) yag mugk memeuh. ˆ θ z x ψx ega z kostata yag mugk tergatug aa F a. Jka a z serta ketahu rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma 6

7 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN maka: θ ˆ z z E (..) eorema.. salka aa seert aa teorema.., maka kostata bas z aalah: z ψ K eorema.. maka θ E Dega K θ E E seert yag aat atas θ aat yataka sebaga: Φ z z Utuk membuktka teorema atas buktka ulu lemma berkut: Lemma.. Utuk seta x, < x < berlaku: K x ˆ ψ x z (..) eorema..5 Batas bawah terval ersetl utuk aalah: θ K ψ z ψ - K Kosstes Berasarka kosstes ar strbus bootstra maka aat tujukka kosstes hmua keercayaa bootstra. eorema.. Jka H θ x, H (x) bootstra ar H, a aaka bahwa H lm H, H utuk suatu kosste serta fugs strbus kotu, strcly creasg a smetr H maka: θ, B θ aalah kosste. erbaga eorts Iterval Kofes Dalam asal aka lhat tgkat akuras ar terval-terval kofes yag teragka muka a yag haslka ega eekata ormal. Utuk membagka sfat-sfat tersebut maka strbus ar statstk a ttk krtsya terlebh ahulu yataka alam eksas Egeworth a eksas Corsh Fsher. tk krts terval kofes Dalam ejelasa erhatka kasus maa a = μ = E, θ a. Aaka g terfferesal a kotu aa a gμ asmtotk ar θ maka varas a estmatorya masg-masg aalah: - g μ' gμ a ' ˆ g - ˆ g maa Σ = var( ) a ˆ ' Lemma.5. (..) salka G a H ~ masg-masg ˆ / ˆ strbus votal stuetze ˆ / varabel staarze x, y G H ~ a. salka a z [aalog utuk eks ], H ~ vers bootstra ar H ~ bawah θ NOR, θ E, θb a θ masgmasg aalah: maka batas () θnor ˆ z ˆ Φ () θe ˆ y ˆ G () H ~ θb ˆ xˆ ˆ (v) θ ˆ xˆ ˆ H ~ ega Φz ẑ ẑ Φ K, θ Eksas Egeworth a Eksas Corsh Fsher G (x) a H ~ x aat eksas Eksas Egeworth sebaga: G / x Φx q x x q x O (.5.5) H ~ x Φ x / / x x x / O (.5.6) ega eksas (vers) Corsh Fsher ar y y G a x x - G z (.5.7) x H ~ - z / q / H ~ aalah: / x x q x x O / x x x x O (.5.8) Vers bootstra ar eksas atas aalah: rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma 7

8 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN G (.5.9) H ~ (.5.) ŷ G (.5.) xˆ H ~ / x Φx qˆ x x qˆ x O / / x Φx ˆ x - - ˆ / x x O z z qˆ ˆ / qˆ x / x O / ˆ x / x O (.5.) Lemma.5. Dar hasl eksas-eksas atas maka ttk-ttk krts θ NOR, θ E, θb a θ aat yataka alam eksas-eksas berkut: θ ˆ Φ θ ˆ () NOR θ ˆ G () () (v) E θ B θ ˆ ˆ ˆ z z - ˆ - ˆ z - H ~ / / - H ~ / - ˆ q ˆ / z z O - z O ˆ - z - z - O gkat Akuras Iterval Kofes Bootstra Dalam asal aka tujukka bahwa terval kofes ersetl B a memuya tgkat akuras ertama (frst orer accurate). Dsamg tu juga tujukka bahwa Iterval bootstra lebh bak ar aroksmas ormal tjau ar coverage error ar terval tersebut. eorema.5. Jka θ B, θ aalah terval-terval bootstra seert aa lemma.5. maka: / θ θ B, O / θ θ, O a Coverage Error Iterval Kofes Iterval-terval satu ss yag haslka oleh metoa bootstra ersetl B, a Aroksmas Normal aalah ar tgkat akuras ertama. Ketga terval tersebut aat bagka ega melhat error alam robabltas cakuaya. Utuk ttk krts Bootstra ersetl: θ H ~ θb θ ˆ z z O () 6 Utuk ttk krts Bootstra : / θ θ z z O B z z O () 6 Utuk ttk krts ega eekata ormal: θ θ NOR θ z ˆ z z O 6 () salka e error alam robabltas cakua utuk batas bawah keercayaa. aka ar (), () a () aat: e e θ B eθ NOR Α z O θ NOR eθ Α z O γ z φ z ega Α z Dega asums γ, Bla z z 6 a maka sehgga bootstra lebh bak ar aroksmas ormal yag lebh bak ar bootstra ersetl B tjau ar harga mutlak ar error robabltas cakua. ALIKASI DAN SIULASI eor Asmtotk Koefse Korelas Dalam bab berka cotoh egguaa ar metoe ekostruksa mas-masg terval yag teragka aa Bab III utuk koefse korelas ar (,). salka (, ),, (, ) aalah samel raom berstrbus bvarat ar suatu oulas ega fugs strbus tak ketahu F aa ega E = μ x = a E = μ, var( ) =, cov(,) =. salka x = (F) koefse korelas ar (,) arameter yag aka estmas yag efska sebaga: rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma 8

9 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN E E E E,EE E E / Dega ˆ estmator ar yak koefse korelas samel: ˆ, ag aat htug bla la observas berka. eorema. Koefse korelas samel meruaka estmator kosste kosste ar yak jka E, E, maka ˆ,. ˆ Bukt: () Karea E( ) < maka ega SLLN μ μ () Akbatya: μ / μ elah ketahu bahwa: μ μ μ Dega Lemma Slutsky S a ega megambl g(x) = x / aat: S () () Aalog ega () aat () S () μ μ (Dega Lemma Slutsky) μ μ μ μ μ μ aka ega Lemma Slutsky: μ μ () μ μ (.) (5) Dar () sama (5) a ega (.) Lemma Slutsky maka aatka bahwa: ˆ salka ˆ maka fugs strbus Exact ar G / x ˆ kuattas statstk aalah x utuk - < x <. Karea F tak ketahu maka G tak ketahu, sehgga erlu estmas. eorema. Jka E, E ˆ N, τ maka Bukt: salka Z =,,,, aalah a μ= E, E,E, E,E Dega eorema Lmt usat Leberg-Levy utuk kasus multvarat, maka utuk {Z }, I =,,, berstrbus bersama F a EZ = μ, Var(Z ) = Σ, maka: Z μ N, Dega Σ matrks varas-covaras smetrk: Var Cov, Cov, Cov, Cov, Cov, Var Cov Cov, Cov Cov, Cov, Var Cov, Cov, Cov, Cov, Cov, Var Cov Cov, Cov, Cov, Cov, Var Dega eleme ar Σ aalah: Var E E E E μ ) ) Cov, E μ μ ) Var E E E - μ - μ Cov μ μ, E μ μ ) 5) Cov, E μ μ Var E μ, 6) Cov 7) (Aalog ega 5) rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma 9

10 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN ) Cov, E μ μ μ Cov, μ 9) μ (Aalog ega ()) Var μ μ ) (Aalog ega ()) μ μ ) Cov, E μ E μ μ Cov, E μ x x E ) μ μ μ μ Cov, ) μ μ (Aalog ega ) Cov, μ ) μ μ (Aalog ega ) 5) Var E E E μ μ μ μ μ a ab E μ μ μ μ Dega b μ salka q q q,q,q,q,,,, aka (.) aat tuls sebaga: q N, (.) Defska fugs r : seemka hgga koefse korelas aat betuk sebaga suatu fugs rata-rata observas, yak: ˆ q r a (.), / q q q q / q q q aat tuls sebaga Karea r(.) kotu a terfferesal, ega megguaka eksas aylor multvarat maka aat betuk berkut: Efro & bshra, 99) r μ r. q rμ q μ 5 q r q q 5 μ R maa R, suku ssa ega orer lebh kecl ar (q μ ) =,,,, 5. salka rμ q μ sebaga erkala vektor ar suku keua ar ersamaa sebelah kaa (.5), kemua ersamaa tu kalka ega a tuls: ˆ r μ q μ R Dar (.) q ~ AN,, maka ega Cramer Wol evce (eorema.5.5) aat smulka: r μ q μ N, τ a varas μ aat car ega metoe elta: μ τ r r (.7) Karea q μ asmtotk ormal a R berorer lebh kecl ar (q μ) maka R, sehgga ega megguaka lemma Slutsky aa (.6) maka: ˆ N, τ Dar (.7), ega meghtug turua arsal ar r(q) utuk q = μ aat: r r τ τ μ μ μ, μ τ, τ, τ, τ, τ 5 μ (.5) ega: μ μ μ τ μ τ μ τ 5 μ μ μ μ,, rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

11 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN μ μ aka varas asmtotk ar ˆ aalah: τ r r maa ab aalah mome samel. salka ˆ koefse korelas samel a ˆ ˆ maka estmator varas ar estmator lug ar ˆ koefse secara kuat utuk. eorema. salka ˆ ˆ, aalah estmator estmator lug ar varas koefse korelas, jka E,, a ˆ ˆ τ utuk E, maka Bukt: Dar teorema (.) ˆ ˆ N, τ salka ˆ ˆ ˆ ˆ τˆ, maka: ˆ estmator lug ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Dar teorema (.) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, a ega SLLN a, a ega megambl g(x) = x / serta g(x) = x / aka memberka ˆ, ˆ, ˆ, ˆ. Juga ega SLLN ˆ ab E a a μ μ b b eggat teorema tetag koverges ar jumlah a hasl kal, jka a aat: ˆ ˆ τ utuk. Utuk kasus arametrk maka asumska oulas berstrbus ormal bvarat. eorema. Jka F aalah Φ μ,μy,,, strbus Gaussa ega mea μ μ μ Varas Bukt: aalah (.8) a covara matrk. μ ~ salka ~ μ ~ ~ N, ~, maka Jka (.7) euh maka aa matrk x I ~ ~ N, ~ memeuh Z Z yag seemka hgga: Dega megguaka oeras matrk aa akar a vektor karakterstk, maka aat yak, Karea Z a Z Normal maka: EZ EZ,EZZ EZ Z, EZZ akbatya: a ; (.) Karea ~ a ~ ormal staar maka: ; a ab rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

12 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN Dega mesubsttuska (.) a (.) ke (.8) aat (Ausr, kk:995) Utuk aat membagka ega terval ersetl erlu car seemka hgga asums aa terval ersetl euh. eorema.5 Jka F aalah Φ μ,μy,,, aa teorema (.), maka aa fugs a estmasya ˆ yag terfferesal a kotu seemka hgga ˆ ~ N,. Bukt: Karea ˆ N, ˆ maka ega metoe elta: ˆ N, ˆ ' (.) Varas ar strbus atas = jka ˆ ' sehgga log C Bootstra Koefse Korelas salka, ', C kosta. a, =,,, samel bootstra ar strbus emrk Fˆ yag ambl ega egembala ar samel ukura. aka vers bootstra utuk samel korelas aalah: ˆ, Iterval Kofes Koefse Korelas a. eekata Normal Staar Jka ˆ G x x, ega τˆ megguaka eekata ormal / G x Φ x O aat terval kofes - aroksmas ormal staar: ˆ τˆ τˆ z,ˆ z ega ˆ estmator ar. / b. Dega rasformas Normal Staar lh log ˆ ~ N, yatu: ˆ / z, ˆ z ega aat terval utuk / Iterval utuk eroleh ega megverska terval (.) ega megguaka tage herbolk. c. Iterval Aroksmas Bootstra ersetl Iterval ersetl aat ega meghtug ersetl a ar relkas bootstra ar ˆ. Utuk B = maka batas terval 95% utuk aalah la ke 5 a 975 masg-masg ˆ utuk batas bawah a atas ar relkas yag telah urutka.. Iterval Bootstra ersetl Iterval ersetl eroleh ega cara yag sama seert aa Iterval Bootstra ersetl kecual aa Iterval ersetl gat ega ega Φẑ z - Φẑ z serta ẑ ẑ - Φ robˆ ˆ ˆ atau b # ˆ ˆ Φ B a rogram Smulas Smulas utuk terval bootstra B a megguaka S-lus ega batua komuter. Utuk smulas bagu samel raom ega ukura. Beberaa ut yag erluka atara la: (ukura samel, R a R ( samel raom eee ar strbus ormal ega mea μ a varas ), B (cacah relkas), rh (koefse korelas oulas). Utuk megkotruks samel raom ormal bvarat ega mea μ = (μ, μ ) a varas (Efro & bshra, 99): guaka = μ + R μ R CR c trasformas ega C Dalam smulas ambl μ = μ = a. Lagkah-lagkah roses smulas:. Defska semua statstk yag erluka. rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

13 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN Bagu ua samel raom ormal eee R a R ega ukura.. Guaka trasformas (..) a (..) utuk membagu strbus ormal bvarat. ˆ a ˆ.. Htug 5. Kotrbus terval kofes utuk ega aroksmas ormal staar a ega trasformas. 6. Kotruks terval kofes utuk ega metoa bootstra ersetl a ersetl megguaka cacah relkas B. 7. Buat hstogram ar semua terval kofes. Sela smulas terval kofes utuk koefse korelas berka juga smulas seerhaa terval kofes utuk arameter = e μ, ega μ mea oulas a samel ambl ar strbus ormal staar,,. Sebaga embag teta htug terval kofes ega eekata ormal staar a trasformas ormal, yak = log x. Lagkahlagkah smulas aalog seert aa koefse korelas teta lebh seerhaa a embahasa secara teorts tak berka. KESIULAN DAN SARAN Berasarka embahasa yag telah uraka sebelumya, maka aat smulka bahwa terval kofes berasarka ersetl Bootstra bersfat trasformato-resectg yag tak mlk oleh terval ormal staar. Dsamg tu alam membagu terval tersebut kta tak erlu tahu trasformas yag guaka karea kerjaka lagsug ar erhtuga bootstra. Semua terval yag bahas muka termasuk terval Normal Staar memuya tgkat akuras ertama amu alam hal coverage error, terval ersetl memuya error yag lebh kecl bagka ega terval ormal a terval ersetl B. etoe ersetl kelhata lebh rakts alam eeraaya a tak meymag ar eekata trasoal. Berasarka hasl eelta Efro (987) terval ersetl aat tgkatka akurasya ega asums yag lebh umum. asalah tak bahas meggat waktu a kemamua euls yag terbatas, sehgga saraka utuk melakuka eelta tetag hal tu. Duewcz, E.J. a shra, S.N., 988, oer athematcal Statstcs Joh Wley & Sos. New ork. Efro, B., 979, Bootstra etho: Aother look at the jackfe. Aals of Statstcs, 7, , 987, Better Bootstra Cofece Itervals (wth scusso). Joural fo the Amerca Statstcal Assocato. Vol.8, No.97, 7-. Efro, B. a bshra, R., 99, A Itroucto to the Bootstra. Chama & Hall. New ork. Hall,., 988, heoretcal Comarso of Bootstra Cofece Itervals (wth scusso). Aals of Statstcs, 6, , 99, he Bootstra a Egeworth Exaso. Srger-Verlag New ork. Helmers, R., 995, Bootstra Aroxmato: heory a Alcato. Uublshe aer, Amsteram. Serflg, R. J., 98, Aroxmato heorems of athematcal Statstcs. Wley, New ork. Shao, J. a u, D., 995, he Jackfe a Bootstra. Srger Verlag New ork. Sgh, K., 98, O the Asymtotc Accuracy of Efro s Bootstra. Aals of Statstcs, Vol.9, No. 6, Statstcal Sceces,Ic., 99, S-LUS for Wows s User s auals, Verso., Seatle: Statstcal Sceces, Ic. Zulaela, at al., 995, Bootstrag Lear Regresso oels, Research Worksho Statstc. Uublshg mauscrt. Baug. DAFAR USAKA Bckel,.J. a Freema, D.A, 98, Some Asymtotc heory For he Bootstra. Aals of Statstcs. Vol. 9, No. 6, Dccco,. a bshra, R, 987, Bootstra Cofece Itervals a Bootstra Aroxmatos. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, vol.8, No.97, 6-7. rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma

14 Jural EKSONENSIAL Volume, Nomor, e ISSN rogram Stu Statstka FIA Uverstas ulawarma