ANALISIS PEUBAH PREDIKTOR YANG MEMUAT KESALAHAN PENGUKURAN DENGAN REGRESI ORTOGONAL

Transkripsi

1 Prosdg Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uverstas Neger Yogyakarta, 4 Me ANALISIS PEUBAH PREDIKTOR YANG MEMUAT KESALAHAN PENGUKURAN DENGAN REGRESI ORTOGONAL Ksmat Jurusa Peddka Matematka, FMIPA Uverstas Neger Yogyakarta Emal: Abstrak Aalss regres lear sederhaa adalah suatu aalss yag dguaka utuk megetahu hubuga atara satu peubah predktor da satu peubah respos. Pada model regres lear sederhaa, peubah predktor daggap tetap (tdak memlk dstrbus sedagka peubah respos megkut dstrbus ormal. Bla peubah predktor memuat kesalaha pegukura sehgga memuat galat yag memlk dstrbus maka model regres lear sederhaa tdak tepat dguaka. Pada makalah aka megkaj alteratf regres yag mampu megatas permasalaha peubah predktor yag memuat kesalaha pegukura dega megguaka regres ortogoal. Kata kuc: peubah predktor, kesalaha pegukura, regres ortogoal PENDAHULUAN Aalss regres adalah suatu aalss yag dguaka utuk megetahu hubuga atara satu atau lebh peubah predktor dega peubah respos. Model regres lear sederhaa adalah model yag palg sederhaa utuk mejelaska hubuga atara satu peubah predktor ( da satu peubah respos (Y. Pada model regres lear klask, peubah predktor dasumska dketahu (fxed sehgga dperoleh tapa adaya galat sedagka peubah respos dasumska berdstrbus ormal Apabla peubah predktor memuat kesalaha pegukura (galat maka model regres lear sederhaa kurag tepat dguaka. Alteratf regres yag dapat dguaka utuk megatas permasalaha adalah regres ortogoal. Pada model regres ortogoal, bak peubah predktor maupu peubah respos adalah peubah acak. PEMBAHASAN Regres ortogoal dguaka utuk megetahu hubuga atara peubah predktor ( da peuah respos (Y bla pada peubah predktor tersebut megadug kesalaha pegukura (galat. Pada aalss regres ortogoal, kedua peubah tersebut merupaka peubah kotu. Regres ortogoal serg dguaka pada data-data yag dperoleh dar hasl pegukura sepert d suatu laboratorum. Msalka seorag peelt yag bekerja d suatu laboratorum g megetahu apakah suatu tekk baru yag relatf lebh murah utuk peguja kadar glukose memberka hasl pegukura yag sama atau berbeda dega tekk stadar. Dalam hal, kadar glukose yag dhaslka oleh tekk baru (Y dmugkka terjadya kesalaha pegukura. Peubah predktor adalah kadar glukose yag dhaslka oleh tekk stadar (. Tekk baru aka dguaka sebaga peggat tekk stadar apabla meghaslka pegukura kadar glukose yag sama dega tekk stadar, sehgga regres ortogoal lebh cocok dguaka darpada regres lear sederhaa. M-65

2 Ksmat / Aalss Peubah Predktor Model Regres Lear Sederhaa Model regres lear sederhaa adalah model regres yag dguaka utuk megetahu hubuga atara satu peubah predktor da peubah respos, dega peubah predktor dasumska tetap (fxed. Model regres lear sederhaa dyataka sebaga berkut: ( σ d Y + + ε, ε ~ N, ε Y adalah peubah respos pada pegamata ke-, ( dega da adalah parameter regres, adalah peubah predktor pada pegamata ke-, ε adalah galat (kesalaha pegukura pada pegamata ke-. Estmator da dapat dperoleh dega metode maksmum lkelhood (Ba & Egelhardt, 99: 58. Berkut adalah fugs lkelhood: L L(, exp ( Y ( πσ σ Selajutya dlogartmaaturalka sehgga dperoleh fugs log-lkelhood sebaga berkut l L l( πσ ( Y (3 σ Lalu dturuka terhadap da da dsamadegaka ol maka dperoleh persamaa maksmum lkelhood berkut: Y ˆ + ˆ Y ˆ ˆ Y ˆ ˆ + ˆ Y (4 Y S Y ˆ (5 S Estmas Parameter Regres dega Orthogoal Least Squares Estmator bag da pada model regres lear sederhaa ( dapat dperoleh dega metode orthogoal least squares (Dessaake & Wag, 3: -3 yatu memmumka jarak atara pegamata dega gars dugaa. Dar Gambar berkut dperoleh bahwa tg( θ (6 da jarak kuadrat atara pegamata A (, Y da gars dugaa adalah ( Y AD [ cos( θ ( Y ] (7 + Y M-66

3 Prosdg Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uverstas Neger Yogyakarta, 4 Me Gambar. Ilustras dar estmas parameter dega metode orthogoal least squares Selajutya dguaka metode orthogoal least squares utuk memmumka ( Y L, lalu dturuka secara parsal terhadap da turua tersebut + da dsamadegaka ol yatu L ( Y (8 + L ( + ( Y ( Y ( + Dar persamaa (4 dperoleh ˆ Y ˆ ( dega meyataka rata-rata sampel da Y adalah rata-rata sampel Y. Selajutya dar persamaa (9 da ( dperoleh ˆ ˆ S S S S ( ( Y YY Y da YY dega S S berturut-turut adalah varas sampel dar da Y, sedagka S Y adalah kovaras sampel da Y. Sehgga solus dar persamaa ( utuk ˆ adalah ( S S ± ( S S ˆ YY YY 4S Y ( S Y Namu demka pemblag pada persamaa ( harus postf sehgga estmator adalah dega ( S S + ( S S ˆ YY YY 4S Y (3 S Y Y, Y, S (, SYY ( Y Y ; S Y ( ( Y Y (9. M-67

4 Ksmat / Aalss Peubah Predktor Model Regres Ortogoal Msal da Y memuat kompoe galat δ da ε, dega kompoe galat tersebut berasal dar kesalaha pegukura, sehgga model regres ortogoal (Leg et al., 7: - adalah ξ + δ, δ ~ N (, σ δ (4 Y η + ε, ε ~ N, σ ( ε η + ξ dega ξ, δ da ε salg bebas. da dasumska bahwa da Y megkut dstrbus ormal bvarat, µ τ + σ δ τ ~ N, Y + µ τ τ + σ ε Sehgga, E ( E( ξ + E( δ µ E ( Y E ( η + E ( ε + µ ( Var( ξ + Var( δ τ + σ δ Var ( Y Var( η + Var( ε Var( ξ + Var( ε τ + σ ε Cov (, Y Cov( ξ + δ, + ξ + ε τ Var (6 Selajutya estmator dapat dperoleh dega metode maksmum lkelhood. Namu demka tergatug oleh raso dua varas galat yatu λ σ ε σ δ. Sehgga estmator maksmum lkelhood dar (Leg et al., 7: - adalah ˆ ( S λs SYY λs + YY + 4λS Y (7 S Y Peurua selegkapya dapat dlhat d Fuller (987: 3-6. Bla λ, maka persamaa (7 sama dega persamaa (3. Apabla σ ε da σ δ tdak dketahu maka dapat destmas dega ragam sampel dar Y da (Carroll & Ruppert, 994: 7. Ilustras Regres Ortogoal Sebuah perusahaa peralata meds g meetuka apakah alat pemotor tekaa darah yag baru mereka cptaka setara dega alat pemotor tekaa darah yag telah beredar d pasara. Dar sampel acak 6 orag yag dukur tekaa darah sstolk dega megguaka dua alat pemotor tersebut. Peubah respos adalah tekaa darah sstolk (dalam mmhg yag dperoleh dar alat pemotor baru, sedagka peubah predktor adalah tekaa darah sstolk yag dperoleh dar alat pemotor yag beredar d pasara. Berdasarka stud yag dlakuka sebelumya, perusahaa megetahu bahwa raso varas galat adalah,9. Berkut dataya: M-68 Tabel. Data tekaa darah sstolk No Baru Pasara No Baru Pasara No Baru Pasara (5

5 Prosdg Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uverstas Neger Yogyakarta, 4 Me Data dambl dar worksheet Mtab 6 (BLOODPRESSURE.MTW Aalss data megguaka Mtab 6 yag dguaka utuk. meyeldk apakah peubah predktor ( da peubah respos (Y masg-masg berdstrbus ormal atau tdak dega uj kolmogorov smrov. meyeldk pemeuha asums-asums pada regres ortogoal 3. megestmas parameter regres da feres parameter pada model regres ortogoal 4. membuat plot da Y beserta gars regres Probablty Plot of Normal Probablty Plot of Y Normal Mea.5 StDev 4.3 N 6 KS. P-Value Mea.6 StDev 3.96 N 6 KS.7 P-Value.45 Percet Percet Y (a Gambar. Plot peluag ormal (b Berdasarka Gambar dlakuka peguja ormaltas dega megguaka uj Kolmogorov-Smrov, berkut lagkah pegujaya. Hpotess H : Data berdstrbus ormal H : Data tdak berdstrbus ormal Taraf yata : α, D sup F x F x Statstk Uj : ( ( x Krtera keputusa: H dtolak jka p-value >, Htuga: Peubah Y Kolmogorov-Smrov,,7 p-value,33,45 Kesmpula H dterma H dterma M-69

6 Ksmat / Aalss Peubah Predktor Kesmpula: Karea p-value utuk masg-masg peubah kurag dar,5 maka dapat dsmpulka bahwa kedua peubah megkut dstrbus ormal. Resdual Plots for Y Normal Probablty Plot 5. Versus Fts Percet 9 5 Resdual Resdual Ftted Value 4 3 Hstogram 5. Versus Order Frequecy Resdual Resdual Observato Order Gambar 3. Plot resdual bag peubah respos Dar Gambar 3, asums galat berdstrbus ormal terpeuh yag dtujukka oleh ttkttk resdual pada gambar ormal probablty plot megkut gars dagoal, asums galat memlk ragam yag kosta terpeuh yag dtujukka dega oleh ttk-ttk resdual pada gambar versus fts yag tdak membetuk pola tertetu, da asums galat salg bebas juga terpeuh yag dtujukka oleh ttk-ttk ssaa pada gambar versus order yag acak. Semua asums dalam model regres ortogoal terpeuh maka dapat dlakuka feres terhadap parameter regresya. Tabel. Rgkasa output Mtab 6 Model Koefse Stadard Error Z p-value Selag Kepercayaa 99% bag Regres b,644 s{b },745,369,7 (-3,85; 5,38 Ortogoal b,995 s{b },4 7,346, (,959;,3 λ,9 Varas Galat utuk Y σ,79; Varas Galat utuk σ,98 Regres Lear Sederhaa b,387 b,989 ˆε s{b },734 s{b },4,8 7,35,47, ˆδ (-4,633; 4,7 (,96;,37 s,3,56 Berdasarka Tabel, pada model regres ortogoal dperoleh. persamaa regres ortogoal: Yˆ,644 +, 995. la tersep medekat da slope medekat sehgga kedua alat pemotor memberka hasl pegukura tekaa darah sstolk yag sama. 3. termuat dalam selag kepercayaa bag tersep da termuat dalam selag kepercayaa bag slope, sehgga tdak ada bukt yag meyataka bahwa kedua alat pemotor memberka hasl pegukura yag berbeda. 4. Bahwa la s pada model regres ortogoal lebh kecl dar model regres lear sederhaa sehgga model regres ortogoal merupaka model regres yag lebh bak darpada model regres lear sederhaa M-7

7 Prosdg Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uverstas Neger Yogyakarta, 4 Me Pada model regres lear sederhaa dperoleh kesmpula yag sama dega model regres lear sederhaa, amu model regres lear sederhaa tdak tepat dguaka karea peubah predktor memuat kesalaha pegukura (measuremet error. 5 4 Plot of Y vs wth Ftted Les Orthogoal Least Squares 3 Y Orthogoal: Y Least Squares: Y Gambar 4. Plot data tekaa darah sstolk Dar Gambar 4 dapat dlhat bahwa persamaa regres ortogoal cocok utuk data tersebut. Ttkttk cukup dekat pada gars regres ortogoal. Gars regres least square dekat dega gars regres ortogoal pada data. KESIMPULAN Model regres ortogoal lebh tepat dguaka apabla peubah predktor memuat kesalaha pegukura. Apabla raso dua varas galat adalah maka la ˆ pada model regres ortogoal aka samadega la ˆ pada model regres lear sederhaa. DAFTAR PUSTAKA Ba, L.J. & Egelhardt, M. 99. Itroducto to probablty ad mathematcal statstcs. d edto. Calfora: Duxbury press. Carrol, R.J. & Ruppert, D The use ad msuse of orthogoal regresso estmato lear errors--varables models. [Dakses taggal Aprl ]. Dssaake, G. & Wag, S. 3. A crtcal examato of orthogoal regresso. Socal Scece Research Network-d [Dakses taggal Aprl ] Fuller, W.A Measuremet error models. New York: Joh Wley & Sos. Leg, L., Zhag, T., Kema, L. & Zhu, W. 7. Ordary least square regresso, orthogoal regresso, geometrc mea regresso ad ther applcatos aerosol scece. Joural of Physcs 78(7: -5. M-7

8 Ksmat / Aalss Peubah Predktor M-7