FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Nurul Khoiromi Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 893, Indonesia nurulkhoiromi@yahoo.co.id ABSTRACT In this article, we discuss a new family iterative method derived from a linear combination of Osada s and Euler-Chebyshev s for multiple roots. Analytically, it is shown that the method is of order three. Furthermore, by choosing the certain values of the parameter in the new family iterative methods, several well-known methods and new iterative methods are obtained. Numerical comparisons between the proposed iterative methods and well-known methods are carried out by looking at the number of iterations and number of function evaluations. Keywords: Newton s method, multiple roots, nonlinear equation, order of convergence, iterative methods. ABSTRAK Artikel ini membahas famili baru metode iterasi yang diperoleh dari kombinasi linear metode Osada dan Metode Euler-Chebyshev untuk akar ganda. Secara analitik ditunjukkan bahwa famili baru metode iterasi ini mempunyai konvergensi berorde tiga. Selanjutnya, dengan memilih parameter tertentu yang ada pada famili baru metode iterasi diperoleh beberapa metode iterasi yang sudah dikenal dan beberapa metode iterasi baru. Perbandingan numerik antara metode yang diperkenalkan dan metode yang sudah dikenal dilakukan dengan melihat jumlah iterasi dan jumlah perhitungan fungsi. Kata kunci: metode Newton, akar ganda, persamaan nonlinear, orde konvergensi, metode iterasi. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 184
1. PENDAHULUAN Menyelesaikan persamaan nonlinear yang berbentuk fx = 0 merupakan permasalahan yang paling penting dalam analisis numerik. Penyelesaian persamaan nonlinear dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode analitik dan metode numerik. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari akar dari persamaan nonlinear. Metode numerik yang sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton, yang konvergensinya kuadratik untuk persamaan nonlinear yang mempunyai akar sederhana dan linear untuk persamaan nonlinear yang memiliki akar ganda [3, h. 78]. Oleh karena itu perlu dilakukan modifikasi metode Newton untuk diterapkan pada persamaan nonlinear akar ganda, dengan tujuan mempercepat iterasi dan mempertahankan/memperkecil tingkat kesalahan error. Formula hasil modifikasi metode Newton yang konvergen kuadratik untuk akar ganda diberikan oleh x n+1 = x n m fx n f x n, 1 dengan f x n 0 dan n = 0,1,,. Pada artikel ini dibahas famili baru metode iterasi berorde tiga untuk akar ganda yang merupakan review sebagian dari artikel Chun et al. [] yang berjudul New Families of Nonlinear Third-Order Solvers for Finding Multiple Roots. Pembahasan dimulai dengan menurunkan metode iterasi baru. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan kajian error analisis yang menunjukkan famili baru metode iterasi ini memiliki konvergensi berorde tiga. Pada bagian tiga dilakukan perbandingan numerik persamaan nonlinear terhadap beberapa fungsi uji. Pada artikel ini digunakan tanda titik. sebagai ganti tanda koma, untuk memisahkan digit desimal.. FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA Metode Osada untuk akar ganda MO [4] dinyatakan dalam bentuk iterasi x n+1 = x n 1 mm+1 fx n f x n + 1 m 1 f x n f x n, dan metode Euler-Chebyshev untuk akar gandamec[6, h. 130] dinyatakan dalam bentuk iterasi x n+1 = x n m3 m fx n f x n m fx n f x n f x n 3. 3 Selanjutnya dibentuk kombinasi linear antara metode Osada untuk akar ganda MO pada persamaan dan metode Euler-Chebyshev untuk akar ganda MEC pada persamaan 3, dengan memperkenalkan suatu parameter θ R, yaitu x n+1 = θmo+1 θmec. 4 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 185
Penyederhanaan persamaan 4 metode iterasi baru x n+1 = x n mθ 1m+3 θ + θm 1 fx n f x n f x n f x n 1 θm fx n f x n f x n 3, θ R. 5 Persamaan 5 merupakan famili metode satu parameter untuk akar ganda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa metode iterasi yang diberikan persamaan5 memiliki konvergensi berorde tiga. Teorema 1 Orde Konvergensi Misalkan x I adalah akar ganda dengan multiplisitas m dari f : I R yang terdiferensialkan secukupnya pada interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat dengan x, maka metode yang didefinisikan oleh persamaan 5 memiliki konvergensi berorde tiga untuk setiap θ R, dan memenuhi persamaan error e n+1 = K 3 e 3 n +Oe 4 n, dengan e n = x n x, dan konstanta error K 3 sebagai berikut dengan K 3 = γ fm+1 x 1 f m+ x f m x m+m+1m f m x, γ = m3 +4m +1+4θm+8θ 6. m+m+1 m m 1 Bukti: Misalkan x adalah akar ganda dari fx = 0 dengan multiplisitas m dan e n adalah error pada iterasi ke-n sehingga e n = x n x. Maka dengan menggunakan ekspansi Taylor dari fx n di sekitar x n = x, dan dengan mengabaikan suku yang memuat x n x j untuk j m+4, diperoleh fx n = fx +f x x n x + + fm 1 x m 1! x n x m 1 + fm x x n x m + fm+1 x m! m+1! x n x m+1 + fm+ x m+! x n x m+ + fm+3 x m+3! x n x m+3 +Ox n x m+4. Karena e n = x n x dan fx = 0, f x = 0,, f m 1 x = 0, maka diperoleh dengan fx n = fm x e m n 1+ m! C 1 e n + C e n + C e 3 n +Oe 4 n, 6 C j = m! f m+j x m+j! f m x. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 186
Kemudian jika persamaan 6 dikuadratkan, maka diperoleh fx n = f m x m! e m n 1+ C 1 e n + C 1 + C e n + C 3 + C 1 C e 3 n +Oe 4 n. 7 Jika f x n diekspansikan dengan deret Taylor di sekitar x n = x [1, h. 189] dan kemudian dilakukan penyederhanaan, maka diperoleh dengan f x n = fm x m 1! em 1 n 1+ D 1 e n + D e n + D 3 e 3 n +Oe 4 n, 8 D j = m 1! f m+j x m+j 1! f m x. Kemudian dengan cara yang sama, jika f x n diekspansi dengan deret Taylor di sekitar x n = x, maka diperoleh dengan f x n = fm x m! em n 1+ S 1 e n + S e n + S 3 e 3 n +Oe 4 n, 9 S j = m! f m+j x m+j! f m x. Jika persamaan 7 dikalikan dengan persamaan 9, maka diperoleh fx n f x n = f m x 3 m!m! e3m n dan dengan menghitung f x n 3, diperoleh 1+ C 1 + S 1 e n + C 1 + C + S 1 C1 + S e n + C 3 + C 1 C + S 1 C1 + S 1 C + S C1 + S 3 e 3 n +Oe 4 n, 10 f x n 3 = f m x 3 m 1! 3e3m 3 n 1+3 D 1 e n +3 D 1 +3 D e n + D 1 3 +3 D 3 +6 D 1 D en 3 +Oe 4 n. 11 Selanjutnya persamaan 6 dibagi dengan persamaan 8, sehingga f m x fx n e m f x n = m! n 1+ C 1 e n + C e n + C 3 e 3 n +Oe 4 n 1+ D 1 e n + D e n + D. 1 3 e 3 n +Oe 4 n f m x m 1! em 1 n JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 187
Persamaan 1 dapat disederhanakan dengan menggunakan formula deret geometri [5, h. 500] dengan r = D 1 e n + D e n + D 3 e 3 n +Oe 4 n, sehingga diperoleh fx n f x n = e n 1+ C 1 m D 1 e n + C D C 1 D1 + D 1e n + C 3 D 3 C 1 D + C 1 D 1 C D1 + D 1 D D 1e 3 3 n +Oe 4 n. 13 Kemudian persamaan 8 dibagi dengan persamaan 9, sehingga diperoleh f f m x x n f x n = m 1! em 1 n 1+ D 1 e n + D e n +Oe 3 n. 14 f m x m! em n 1+ S 1 e n + S e n + S 3 e 3 n +Oe 4 n Persamaan 14 dapat disederhanakan dengan menggunakan formula deret geometri dengan r = S 1 e n + S e n + S 3 e 3 n +Oe 4 n, sehingga diperoleh f x n f x n = e n 1+ D 1 m 1 S 1 e n + D S D 1 S1 + S 1e n + D 3 S 3 D 1 S 1 D 1 S D S1 + S 1 S S 1e 3 3 n +Oe 4 n. 15 Selanjutnya persamaan 10 dibagi dengan persamaan 11, sehingga diperoleh fx n f x n f x n 3 = m 1 m e n 1+ C 1 + S 1 3 D 1 e n + C 1 + C + C 1 S1 + S +6 D 1 3 D 6 C 1 D1 3 D 1 S1 e n + C 3 3 D 3 + S 3 + C 1 C 6 C 1 D + C 1 S +1 C 1 D 1 6 C D1 + C S1 3 C 1 D 1 + C 1 S 1 +1 D 1 D 3 D 1 S 3 D S1 +6 S 1 D 1 6 C 1 S1 D1 10 D 1e 3 3 n +Oe 4 n. 16 Substitusikan x n = e n +x, persamaan 13, 15 dan 16 ke dalam persamaan 5, JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 188
dan kemudian disederhanakan sehingga diperoleh θ 1m+3 θ e n+1 = 1 + θm 1 1 θm 1 e n θ 1m+3 θ C 1 D 1 θm 1 D 1 S 1 + 1 θm 1 C 1 + S θ 1m+3 θ 1 3 D 1 e n C D C 1 D1 + D 1 θm 1 D S D 1 S1 + S 1 + 1 θm 1 C 1 + C + C 1 S1 + S +6 D 1 3 D 6 C 1 D1 3 D 1 S1 e 3 n +Oe 4 n. 17 Selanjutnya dengan mensubstitusikan C j = m! f m+j x, Dj = m 1! f m+j x m+j! f m x m+j 1! f m x dan S j = m! f m+j x ke dalam persamaan 17, diperoleh m+j! f m x dengan dan e n+1 = K 3 e 3 n +Oe 4 n, K 3 = γ fm+1 x 1 f m+ x f m x m+m+1m f m x γ = m3 +4m +1+4θm+8θ 6. m+m+1 m m 1 Oleh karena itu, metode pada persamaan 5 memiliki konvergensi berorde tiga, dan Teorema 1 terbukti. 3. BEBERAPA KASUS KHUSUS Pada bagian ini dibahas kasus khusus dari parameter yang terdapat pada metode iterasi berorde tiga pada persamaan 5. Kasus 1. Jika dipilih parameter θ = 1 dan kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 5, maka diperoleh x n+1 = x n 1 mm+1fx n f x n + 1 m 1f x n f x n, 18 yang merupakan metode Osada untuk akar ganda pada persamaan yang memiliki konvergensi berorde tiga. Kasus. Jika dipilih parameter θ = 0 dan kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 5, maka diperoleh x n+1 = x n 1 m3 mfx n f x n 1 mfx n f x n f x n 3, 19 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 189
yang merupakan metode Euler-Chebyshev untuk akar ganda pada persamaan 3 yang memiliki konvergensi berorde tiga. Kasus 3. Jika dipilih parameter θ = 1 dan kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 5, maka diperoleh x n+1 = x n m 1 1 m+3 1 1 1 m fx n f x n f x n 3 fx n f x n + 1 m 1 f x n f x n x n+1 = x n m fx n f x n + 1 4 m 1f x n f x n 1 4 mfx n f x n f x n 3. 0 Persamaan0 merupakan bentuk umum dari metode iterasi baru untuk akar ganda dengan θ = 1 yang disebut MC1. Karena metode ini merupakan kasus khusus dari metode pada persamaan 5, maka metode MC1 memiliki konvergensi berorde tiga. Kasus 4. Jika dipilih parameter θ = 1 dan kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 5, maka diperoleh x n+1 = x n m 1 1m+3 1 fx n f x n + 1m 1 f x n f x n 1 1m fx n f x n f x n 3 x n+1 = x n 1 m5 3mfx n f x n 1 m 1f x n f x n mfx n f x n f x n 3. 1 Persamaan1 merupakan bentuk umum dari metode iterasi baru untuk akar ganda dengan θ = 1 yang disebut MC. Karena metode ini merupakan kasus khusus dari metode pada persamaan 5, maka metode MC memiliki konvergensi berorde tiga. 4. PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini dilakukan perbandingan numerik untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar hampiran dari persamaan nonlinear antara metode iterasi baru berorde tiga pada persamaan 0 MC1 dan 1 MC dengan metode Newton untuk akar ganda pada persamaan 1 MN, metode Osada untuk akar ganda pada persamaan MO dan metode Euler-Chebyshev untuk akar ganda pada persamaan 3 MEC untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berorde tiga untuk akar ganda. Berikut ini diberikan beberapa fungsi yang juga telah digunakan pada [] untuk membandingkan metode-metode tersebut. 1. f 1 x = sin x x +1. f x = x 3 10 8 3. f 3 x = e x +7x 30 1 4 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 190
4. f 4 x = x 1 x 33 5. f 5 x = e x x+0 6. f 6 x = lnx+ x 5 4 Untuk melakukan uji komputasi dari keenam contoh di atas digunakan program Maple13 dengan toleransi = 1.0 10 3. Untuk menemukan akar hampiran persamaan nonlinear akar ganda juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk setiap metode yang dibandingkan, yaitu x n x n 1 < toleransi atau fx n < toleransi. Perbandingan hasil komputasi dapat dilihat pada Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1, tampak bahwa tidak ada perubahan yang berarti pada jumlah iterasi dari setiap metode yang dibandingkan. Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa kedua metode iterasi baru berorde tiga untuk akar ganda, yaitu MC1 dan MC, sebanding dengan metode iterasi berorde tiga untuk akar ganda lainnya atau dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berorde tiga untuk akar ganda. Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi Metode n NFE x n fx n x n x n 1 f 1 x x 0 = 7.0 MN 7 14 1.40449164815341 1.359571e 43 1.376794e 11 MO 6 18 1.40449164815341 1.35813e 86.69553e 15 MEC 5 15 1.40449164815341 4.375e 4 9.039656e 08 MC1 5 15 1.40449164815341.354797e 34 1.51714e 06 MC 5 15 1.40449164815341 5.787869e 80 1.033914e 13 x 0 =.0 MN 6 1 1.40449164815341 5.1180e 64 1.078435e 16 MO 4 1 1.40449164815341 3.539503e 51.16983e 09 MEC 4 1 1.40449164815341 1.531383e 63.40001e 11 MC1 4 1 1.40449164815341 1.446518e 56 3.0693e 10 MC 4 1 1.40449164815341.44475e 98 8.95577e 17 f x x 0 = 9.0 MN 7 14.154434695416667 9.985986e 58 1.07709e 04 MO 5 15.154434690115665 3.430651e 7 5.841749e 04 MEC 5 15.1544346900364435.641630e 8.33388e 04 MC1 5 15.154434690053757 4.395090e 77 3.746639e 04 MC 5 15.154434690030463 6.891048e 94 8.17540e 05 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 191
Metode n NFE x n fx n x n x n 1 f x x 0 = 3.0 MN 4 8.154434709594388 1.1064e 54 1.668836e 04 MO 3 9.1544346900410017 6.75984e 80.788664e 04 MEC 3 9.15443469003488 1.57943e 84 1.88503e 04 MC1 3 9.1544346900366607 3.83970e 8.30569e 04 MC 3 9.15443469003411 8.47109e 90 1.10376e 04 f 3 x x 0 = 3.5 MN 11 3.000000000000531 1.171460e 46 1.961587e 07 MO 8 4 3.0000000000000000 1.631057e 61 8.77899e 07 MEC 7 1 3.0000000001300504 8.169974e 36 1.314381e 04 MC1 8 4 3.0000000000000000 7.399317e 8 1.774801e 08 MC 7 1 3.0000000000000001.76875e 61 1.5089e 06 x 0 = 8. MN 99 198 3.0000000000034845 4.10443e 4 7.78745e 07 MO 7 16 3.000000000000000 4.347380e 55.840561e 06 MEC 66 198 3.000000000000133 6.603490e 48 1.90781e 05 MC1 69 07 3.000000000000000 8.341947e 59 1.479649e 06 MC 61 183 3.000000000000077 7.960734e 49 1.365947e 05 f 4 x x 0 = 0.0 MN 5 10 9.6335955683695 3.33441e 54 1.679073e 08 MO 3 9 9.63359556836953 1.504068e 50 5.396676e 05 MEC 6 9.63359556918881 3.6061e 33 1.34849e 0 MC1 3 9 9.6335955683695 8.31805e 63.99577e 06 MC 3 9 9.63359556836947 5.85504e 49 7.899686e 05 x 0 = 7.0 MN 4 8 9.63359556836946 1.007479e 48 1.375444e 07 MO 3 9 9.6335955683695 1.069308e 8 1.445796e 08 MEC 6 9.63359556836866 3.181795e 45 6.149803e 04 MC1 3 9 9.6335955683695 5.984477e 95 8.036340e 10 MC 3 9 9.6335955683695 9.90136e 8 1.791507e 08 f 5 x x 0 = 3.5 MN 5 10.844389537844471 6.676157e 33 3.086163e 09 MO 4 1.844389537844471 1.185797e 58 9.34755e 11 MEC 4 1.844389537844471.440644e 80 3.099474e 14 MC1 4 1.844389537844471 1.338016e 67 3.40086e 1 MC 3 9.844389537844471 4.0499e 36 8.949851e 07 x 0 = 11.0 MN 13 6.844389537844471.685307e 36 4.370546e 10 MO 10 30.844389537844471 8.677583e 43 4.116610e 08 MEC 9 7.844389537844471 3.67174e 61 4.869850e 11 MC1 10 30.844389537844471 3.45957e 93 1.89776e 16 MC 8 4.844389537844471 1.19068e 68 3.379895e 1 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 19
Metode n NFE x n fx n x n x n 1 f 6 x x 0 = 6.0 MN 4 8 8.30943694315658 9.911055e 60 3.773591e 07 MO 3 9 8.30943694315718 4.86147e 10 4.50058e 08 MEC 6 8.309436936405776 9.089399e 40 1.03116e 0 MC1 6 8.30943685010506 4.95511e 35 1.98564e 0 MC 6 8.30943693756836 3.80159e 40 9.01937e 03 x 0 = 18.0 MN 5 10 8.30943694315196 5.539096e 56 1.109608e 06 MO 3 9 8.3094369431738 5.713934e 54 4.564446e 04 MEC 3 9 8.30943694315718.468163e 83.396878e 06 MC1 3 9 8.3094369431573 4.36517e 64 7.533993e 05 MC 3 9 8.30943694315718.887614e 71.300411e 05 Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. dan Supriadi Putra, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan penulisan skripsi penulis yang menjadi acuan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle, R.G.&Shebert, D.R.1999.Introduction to Real Analysis, 4 th Ed.John Wiley & Sons, Inc, New York. [] Chun, C., Bae, H. J. & Neta, B. 009. New Families of Nonlinear Third- Order Solvers for Finding Multiple Roots. Computers and Mathematics with Application, 57:1574-158. [3] Mathews, J.H. 199. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, nd Ed. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. [4] Osada, N. 1994. An Optimal Multiple Root-Finding Method of Order Three. Journal of Computational and Applied Mathematics, 51:131-133. [5] Stewart, J. 003. Kalkulus Edisi Kelima: Jilid. Terj. dari Calculus, Fifth Edition, oleh Sungkono, C. Penerbit Salemba Teknika, Jakarta. [6] Traub, J.F. 1964. Iterative Methods for the Solution of Equations. Chelsea Publishing Company. New York. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 193