KONSISTENSI ESTIMATOR TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F. (121810101050) 3. Rere Figurani A. (121810101052) 4. Dwindah Setiari W. (121810101054) 5. Yasmin Farida (121810101056) 6. Reyka Bella D. (121810101080) 7. Ratna Savitri (121810101086) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2014
Misalkan sebuah koin dilempar sebanyak n kali, dengan peluang munculnya gambar kepala yang dihasilkan adalah p. Jika lemparan tersebut independen, maka Y, jumlah gambar kepala yang dihasilkan diantara n lemparan, memiliki distribusi binomial. Jika nilai sebenarnya dari p tidak diketahui, proporsi sampel adalah estimator dari p. Kemudian, apakah yang akan terjadi pada proporsi sampel tersebut jika jumlah lemparannya meningkat? Kita beranggapan bahwa jika n semakin besar, maka harus mendekati nilai kebenaran dari p. Artinya, jika sampel meningkat, maka estimator harus lebih dekat dengan besaran yang ditaksir. Gambar 9.1 mengilustrasikan nilai-nilai untuk barisan tunggal dari 1000 percobaan Bernoulli dengan nilai sebenarnya dari p adalah 0,5. Perhatikan bahwa nilai-nilai p memantul di sekitar 0,5 ketika jumlah percobaannya kecil, namun mendekati dan berada sangat dekat dengan p = 0,5 saat jumlah percobaannya meningkat.
Barisan tunggal dari 1000 percobaan diilustrasikan pada Gambar 9.1 menghasilkan (untuk n yang lebih besar) nilai estimasi yang sangat dekat dengan nilai kebenarannya, yaitu p = 0,5. Apakah penambahan barisan akan menghasilkan hasil yang sama? Gambar 9.2 menunjukan hasil dari penggabungan 50 barisan dari 1000 percobaan. Perhatikan bahwa 50 barisan berbeda tidak sama. Sebaliknya, Gambar 9.2 menunjukkan konvergensi dengan nilai kebenaran p=0,5. Hal ini ditunjukkan dengan lebih luasnya nilai estimasi untuk percobaan dengan jumlah yang lebih kecil, tetapi banyaknya nilai lebih terbatas ketika jumlah percobaan lebih besar. Pada gambar 9.2, kita dapat menunjukkan jenis dari konvergensi. Pada umumnya, kita menguji peluang menggunakan selisih antara estimator dan parameter target yaitu, akan kurang dari yang berubah-ubah. Pada gambar 9.2 terlihat bahwa untuk mengindikasikan bahwa peluang mungkin meningkat selama n juga lebih besar. Jika asumsi kita benar dan n itu besar, maka peluang akan mendekati 1. Jika pada kenyataannya peluang itu cenderung mendekati 1 untuk n, maka dapat dikatakan adalah estimator konsisten dari, atau adalah peluang yang konvergen untuk p. Definisi 9.2
Estimator dikatakan estimator konsisten untuk bilangan positif. jika, untuk setiap sebarang Atau ekuivalen, Notasi menyatakan bahwa estimator untuk dihitung dengan menggunakan sampel ukuran n. Misalnya, adalah rata-rata dari dua pengamatan sedangkan adalah rata-rata dari 100 pengamatan yang terdapat dalam sebuah sampel berukuran n = 100. Jika adalah estimator tak bias, teorema berikut sering digunakan untuk membuktikan kekonsistenan estimator. Teorema 9.1 Sebuah estimator tak bias untuk disebut estimator konsisten dari jika, Bukti: Jika Y adalah peubah acak dengan dan dan jika maka berdasarkan teorema Tchebysheff s mengakibatkan Karena merupakan estimator tak bias untuk, maka ( ). Misalkan ( ) menunjukkan standart error dari estimator. Jika teorema Tchebysheff s diaplikasikan untuk peubah acak, didapatkan Misalkan n ukuran sampel yang ditentukan. Untuk setiap bilangan positif, adalah sebuah bilangan positif. Penerapan teorema Tchebysheff s untuk n yang ditetapkan dan pilihan dari k menunjukkan bahwa
( ) ( [ ] ) [ ] ( ) Dengan demikian, untuk sebarang n yang ditetapkan, ( ) ( ) Jika dan kita ambil limit dari barisan peluang sebelumnya, ( ) ( ) Dengan demikian, adalah estimator konsisten untuk. Sifat konsistensi yang diberikan dalam definisi 9.2 dan dibahas dalam teorema 9.1 melibatkan jenis tertentu konvergensi dari ke. Untuk alasan ini, pernyataan adalah estimator konsisten dari terkadang digantikan dengan pernyataan ekuivalen konvergen pada. Contoh 9.2 Misalkan menunjukkan sampel acak dari distribusi dengan mean dan varians. Tunjukkan bahwa adalah estimator estimator konsisten dari. (catatan:kita menggunakan notasi secara eksplisit menunjukkan bahwa dihitung dengan menggunakan sampel ukuran n). Solusi : kita tahu dari bab-bab sebelumnya bahwa dan. Karena adalah bias untuk dan selama, teorema 9.1 menentukan bahwa adalah estimator konsisten. Ekuivalen, kita dapat mengatakan bahwa konvergen ke, terkadang disebut dengan the law of large numbers. Ini membuktikan bahwa untuk proses rata-rata digunakan oleh banyak peneliti untuk mendapatkan presisi dalam pengukuran. Sebagai contoh, suatu percobaan mengambil rata-rata bobot banyak hewan untuk mendapatkan perkiraan yang lebih tepat dari berat rata-rata hewan spesies ini. Percobaan ini didukung oleh Teorema 9.1 dimana nilai rata-rata yang dipilih harus cukup dekat dengan nilai yang sebenarnya berarti berat badan dengan probabilitas tinggi.
Pada bagian 8.3 kita menganggap sebuah estimator intuisif untuk, selisih rata-rata dua populasi. Estimator yang dibahas adalah, selisih ratarata independen contoh acak yang dipilih dari sampel dua populasi. Hasil Teorema 9.2 akan sangat berguna dalam membangun konsistensi penduga tersebut. Teorema 9.2 Misalkan konvergen di dan konvergen di a. + konvergen ke b. konvergen ke c. Jika konvergen ke d. Jika adalah fungsi real yang kontinu di, maka konvergen ke. Bukti dari Teorema 9.2 sama dengan bukti yang sesuai dengan kasus ini dimana { } dan { } adalah urutan bilangan real konvergen ke limit real dengan batas a dan b. Sebagai contoh, jika dan maka Contoh 9.3 Misalkan merupakan contoh acak sehingga, dan semua terbatas. Tunjukkan bahwa adalah estimator konsisten dari. (Catatan: kami menggunakan subscript n pada kedua dan secara eksplisit menyampaikan ketergantungannya pada nilai ukuran sampel n.) Solusi. Kita telah melihat pada bab-bab sebelumnya bahwa, dapat ditulis sebagai,adalah ( ) ( ) Statistik adalah rata-rata n independen dan terdistribusi secara identik variabel acak, dengan dan.
Berdasarkan the law of large numbers (Contoh 9.2), kita tahu bahwa konvergen ke. Contoh 9.2 juga mengatakan bahwa konvergen untuk. Karena fungsi kontinu di semua x, Teorema 9.2(d) menyatakan bahwa konvergen untuk. Kemudian mengikuti dari teorema 9.2(a) dimana konvergen untuk. Karena adalah barisan konstan konvergen ke 1 dimana, kita dapat menyimpulkan bahwa konvergen untuk. Hal ini ekuivalen dengan (ragam contoh) adalah estimator konsisten untuk (ragam populasi). Teorema 9.3 Misal U n memiliki fungsi distribusi yang konvergen pada fungsi distribusi normal standar dimana. Jika W n konvergen pada peluang mendekati 1, maka fungsi distribusi dari U n /W n konvergen pada fungsi distribusi normal standar. Teorema tersebut mengikuti dari teorema umum yang diketahui sebagai teorema Slutsky(Serfling,2002). Pembuktian dari teorema tersebut berada di luar pembahasan subbab ini. Adapun kegunaan dari teorema di atas diilustrasikan pada contoh di bawah ini. Contoh 9.4 Misal Y 1,Y 2,...,Y n adalah contoh acak berukuran n dari sebuah distribusi dengan E(Y i ) = µ and V(Y i ) = σ 2. Didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa fungsi distribusi dari ( ) konvergen ke fungsi distribusi normal standar. Solusi : pada contoh 9.3, kita ditunjukkan bahwa konvergen di dalam peluang mendekati σ 2. Perhatikan bahwa adalah fungsi kontinu dari x, jika x dan c keduanya bernilai positif. Maka, sesuai dengan teorema 9.2(d) bahwa
konvergen pada peluang mendekati 1. Kita juga mengetahui dari teorema limit pusat (teorema 7.4) dimana fungsi distribusi ( ) konvergen pada fungsi distribusi normal standar. Oleh karena itu, teorema 9.3 mengartikan bahwa fungsi distribusi ( ) distribusi normal standar. ( ) konvergen pada fungsi Dari contoh 9.4 menunjukkan bahwa, ketika n besar, ( ) kira-kira memiliki distribusi normal standar meskipun dibentuk dari distribusi yang samplenya sudah ditetapkan. Jika sample ditetapkan dari distribusi normal, berdasarkan pada bab 7 diperoleh bahwa ( ) merupakan distribusi t dengan n 1. Berdasarkan informasi tersebut dapat dilihat jika sebuah sampel besar dapat diambil dari distribusi normal, dengan fungsi distribusi ( ) dapat di approksimasi dengan menggunakan fungsi standart distribusi normal. Oleh karena itu ketika n besar maka derajat bebas juga akan membesar, sehingga fungsi distribusi t konvergen menuju fungsi standart distribusi normal. Jika mengambil sampel besar dari setiap distribusi, berdasarkan contoh 9.4 bahwa ( ) dapat diapproksimasi menggunakan distribusi normal. oleh karena itu, diperoleh [ ( ) ] Jika kita memanipulasi ketidaksetaraan dalam sebuah pernyataan peluang untuk mengisolasi µ di tengah, maka : [ Oleh karena itu ] terbentuk suatu selang kepercayaan dengan sampel besar untuk µ, dengan pendekatan koefisien kepercayaan menuju 1 α. Berdasarkan teorema 9.3 dapat diaplikasikan untuk menunjukkan
merupakan selang kepercayaan dengan sample besar untuk p dengan pendekatan koefisien kepercayaan menuju 1 α Pada bagian ini, kita dapat melihat sifat konsistensi menunjukkan sesuatu tentang jarak antara estimator dan estimator kuantitas. Kita dapat melihat, dimana ukuran sample adalah besar, Y n mendekati pada µ, dan mendekati pada σ 2, dengan peluang tinggi. Kita akan melihat contoh lain estimator konsisten di dalam tugas tugas dan chapter selanjutnya. Pada bagian ini, kita dapat menggunakan notasi Y n,, p n, dan, pada umumnya,, pada lebih eksplisit menyatakan kepercayaan estimator pada ukuran sample n. Kita membutuhkan melakukan karena kita tertarik pada komputer Jika limit itu 1, maka n adalah sebuah estimator konsistensi untuk (lebih tepatnya, n sebuah urutan estimator konsistensi untuk θ). Sayangnya, notasi ini membuat estimator terlihat terlalu rumit. Selanjutnya, kita akan kembali pada notasi sebagai estimator untuk θ dan tampilan tidak eksplisit bergantung estimator pada n. Bergantung pada ukuran sample n selalu implisit dan harus digunakan kapanpun estimator konsistensi memungkinkan.