DERET DAN APROKSIMASI D E R E T M A C L A U R I N D E R E T T A Y L O R COURTESY: IDRIS M. KAMIL DAN ROFIQ IQBAL
TUJUAN Keapa perlu perkiraa? Perkiraa dibetuk dari ugsi palig sederhaa polyomial. Kita bisa megitegrasika da medieresiasi dega mudah. Kita bisa guaka saat kita tidak tahu ugsi sebearya.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Misalka kita igi membuat perkiraa utuk sebuah ugsi yag kompleks pada sekitar = ; Perkiraa palig simple adalah meetuka sebuah kostata, sehigga: p a Catata: perkiraa di atas disebut sebagai zero th order polyomial approimatio; Lalu, ilai berapa yag harus kita berika pada kostata itu?
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Kita igika agka palig akurat pada =. Sehigga: p.5 y p.5 - -.5.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Cotoh p
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Tidak akurat Kurag akurat.5 y p Sagat akurat.5 - -.5.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Sekarag kita tigkatka dega perkiraa dega megguaka aproksimasi liier st order approimatio; p a a Sekarag kita pilih ilai sehigga perpotoga da garis ya semirip mugki dega ugsi sebearya.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Meyamaka perpotoga: p Meyamaka slope: a a a p a Sehigga poliom ya: p
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Cotoh a a p a a p
INGAT, METODE NEWTON RAPHSON i taget dy taget d i ' i rearrage i ' i i+ i i i ' i i
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS.5.5 Masih lumaya sampai disii p y y p p.5 - -.5.5.5 - -.5.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Sekarag coba dega perkiraa kuadratik: p a a a Kita igika perpotoga, gradiet da kurva turua kedua dari perkiraa kita dapat match dega ugsi sebearya pada =.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Meyamaka perpotoga: p a a a a Meyamaka kemiriga: p a a
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Mecocokka kurva turua ke : p Memberika poliom p a a
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Cotoh Dari sebelumya: a a a p, a a 3 a a p
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS p y.5 Lebih lumaya lagi ya...5 p p y p p.5.5 - -.5.5 - -.5.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Kita bisa teruska peaksira secara poliom higga derajad. Kalau kita teruska, kita aka medapatka rumus: p!!
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS Akurasi perkiraa aka bertambah seirig dega peambaha poliom; Kita lihat poliom derajad,, da 6 wara hijau, dibadig ugsi asli ya wara biru.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS p 6 p.5 p y p.5 - -.5.5
MACLAURIN POWER SERIES Deret Maclauri adalah peaksira poliom derajad tak higga!! Notice: Deret iiite tak higga meyataka bahwa akhirya deret ii sama dega ugsi sebearya, buka peaksira lagi!
TAYLOR SERIES Dari awal kita selalu memulai perkiraa pada ilai Sesugguhya, kita bisa membuat deret poliom yag berasal dari titik maapu. Ii disebut Taylor Series. Jadi, Deret MacLauri merupaka Deret Taylor yag berpusat pada =
TAYLOR SERIES Rumus umum Deret Taylor:!!!
=si TAYLOR SERIES Approimate uctio? Copy derivatives!. What is ear =.35?.5. -.5 -...5.5.75 X.
=si TAYLOR SERIES Approimate uctio? Copy derivatives!..5. -.5 What is ear =.35? T.35 -...5.5.75 X.
=si TAYLOR SERIES Approimate uctio? Copy derivatives!..5. -.5 -. What is ear =.35? T.35 '.35.35..5.5.75 X.
=si TAYLOR SERIES Approimate uctio? Copy derivatives!..5. -.5 -...5.5.75 X. T.35 What is ear =.35? '.35.35 ''.35.35
=si TAYLOR SERIES Approimate uctio? Copy derivatives!..5. -.5 -. T..5.5.75 X. What is ear =.35? T.35 '.35.35 ''.35.35 T N N i i a a i! i
=si TAYLOR SERIES Approimate uctio? Copy derivatives!..5. -.5 -...5.5.75 X. Most Commo: st Order T a Look out or approimate or whe is small or small agle or close to ' a a
CONTOH TAYLOR SERIES Betuklah Deret Taylor utuk: l, Cari ilai ugsi da turuaya utuk ugsi pada =
CONTOH TAYLOR SERIES l l!!! 3 3
CONTOH TAYLOR SERIES Guaka Rumus Umum Deret Taylor:!! 3!!! l 3 3 l 3!!
TRUNCATED TAYLOR SERIES We caot evaluate a Taylor series it is iiite! Kita bisa memutuska utuk membuat perkiraa dari sebuah ugsi higga derajat tertetu yag tidak tak terhigga; Kita sebut sebagai Trucated Taylor Series.
TRUNCATED TAYLOR SERIES To id a th order trucated Taylor series Note: This is the same cocept as the polyomial approimatios we itroduced earlier.!!
EXAMPLE TRUNCATED TAYLOR SERIES Fid a cubic degree 3 trucated Taylor series or the uctio: cos cetered at: 4
EXAMPLE TRUNCATED TAYLOR SERIES For a degree 3 approimatio: So we eed to evaluate the uctio ad its irst three derivatives at the ceter. 3!! 3
EXAMPLE TRUNCATED TAYLOR SERIES Evaluatig these: 8 8si 4 8si 4cos 4 4cos si 4 si cos 4 cos
EXAMPLE TRUNCATED TAYLOR SERIES which gives: 3! 4 8! 4 4 3!! 3 3 3 4 3 4 4
EXAMPLE TRUNCATED TAYLOR SERIES.8.6 cos /4 p 3 t 3.4. y -. -.4 -.6 -.8-4 -3 - - 3
SERIES ACCURACY Keapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai Maclauri? Perkiraa kita aka maki jauh dari akurat jika semaki jauh dari titik awal ; Kita harus selalu memakai titik awal yag dekat dega titik yag aka diperkiraka da juga mudah utuk melakuka perkiraa.