LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa it fungsi f() untuk mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan f ( ) L a = (1) Bila nilai f() mendekati l untuk nilai mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa it fungsi f() untuk mendekati a dari arah kiri sama dengan l dan dinotasikan f ( ) l a = () Bila L = l maka dikatakan bahwa it fungsi f() untuk mendekati a sama dengan L dan dinotasikan a f = L () Sedangkan bila L l maka dikatakan bahwa it fungsi f() untuk mendekati a tidak ada. Bentuk (1) dan () disebut it sepihak,. Sedangkan bentuk () mengisyaratkan bahwa nilai it fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai it sepihaknya sama atau nilai it kanan ( 1) sama dengan nilai it kiri ( ). Sifat-sifat it: Misal f ( ) = L dan g( ) = G. Maka : a a 1. [ ( ) ( )] a f g = L G. [ ( ) ( )] a f g = L G. [ ( ) ( )] a f g = LG f 4. ( ) L =, a g( ) G bila G 0
5. n f ( ) = n f ( ) = n L untuk L > 0 bila n genap. a a Sebagai catatan bahwa sifat-sifat di atas juga berlaku untuk it sepihak. Selesaikan it fungsi 1, 1 f ( ) = bila ada, < 1 1. f ( ) 1. f ( ) 1. f ( ) 1 1. f ( ) = ( 1) = 1 1. f ( ) = = 1 1. Sebab it kiri sama dengan it kanan maka it fungsi ada dan f ( ) = 1 Selesaikan = 4 4 ( )( 1) 1 1 = = ( )( ) 4 Fungsi f() dikatakan kontinu pada suatu titik = a bila nilai it f() pada mendekati a sama dengan nilai fungsi di = a atau f(a). Secara lebih jelas, f() dikatakan kontinu di = a bila berlaku : 1. f( a ) terdefinisi atau f(a) R.
. a f ada, yakni : f ( ) = f ( ) a a. ( ) a f = f a Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f() dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di = a dan titik = a disebut titik diskontinu. Secara geometris, grafik fungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu grafik fungsi sembarang dengan mengerakkan pensil kita di kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut sebelum selesai maka akan kita dapatkan fungsi kontinu. Fungsi f() dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f() kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f() dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. f() kontinu pada ( a,b ). f() kontinu kanan di = a f ( ) = f ( a) a. f() kontinu kiri di = b f ( ) = f ( b) b Bila f() kontinu untuk setiap nilai R maka dikatakan f() kontinu atau kontinu dimana-mana. Tentukan nilai k agar fungsi Nilai fungsi di = -1, f( -1 ) =. k 1 f ( ), < 1 = 1 kontinu di = -1., 1
Sebab nilai it kanan sama dengan maka nilai it kiri juga sama dengan. Untuk itu pembilang dari bentuk melakukan pembagian pembilang oleh penyebut didapatkan, k 1 harus mempunyai faktor 1. Dengan 1 k 1 k = k 1. Dari sisa pembagian ( -k ) sama dengan nol 1 1 maka didapatkan k = 1. Soal Latihan 1. Diketahui : f() = 1, 1, > 1 a. Hitung f ( ) dan f 1 1 b. Selidiki apakah f ( ) ada, jika it ini ada tentukan nilainya. 1. Diketahui g() =, hitung ( bila ada ) : a. c. g( ) b. g g. Diketahui f() = a., hitung ( bila ada ) : f ( ) b. f ( ) c. f a, < 4. Diketahui f() = a b,, tentukan nilai a dan b agar b 5, > f ( ) ada. f ( ) dan 5. Diketahui f() = 1, 1, selidiki kekontinuan fungsi f() di = -1, > 1
1, < 1 6. Agar fungsi f() = a b, 1 <, kontinu pada R, maka a b =, a b 4 7. Tentukan a dan b agar fungsi f() =, <, kontinu di = 4, 8. Tentukan nilai a, b dan c agar fungsi berikut kontinu di = 1. a 1 ; > 1 1 f ( ) = b ; = 1 c ; < 1 9. Tentukan nilai k agar membuat fungsi berikut kontinu : 7, 1 a. f ( ) = k, > 1 k, b. f ( ) = k, > 7 ; 0 < k c. f ( ) = 6 ; > k 10. Carilah titik diskontinu dari fungsi a. f ( ) = b. f ( ) = c. f ( ) = 4 8