MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 1 / 22

BAB 9. TURUNAN 1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22

BAB 9. TURUNAN 1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik 2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22

BAB 9. TURUNAN 1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik 2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan 3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimana nilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Sebagai contoh, jika f = f(t) menyatakan posisi suatu benda yang berubah terhadap waktu t, kita ingin mengetahui seberapa cepat f berubah pada saat t tertentu. Permasalahan ini merupakan permasalahan limit yang khas, yang dikenal sebagai turunan. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 3 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di c apabila limit f(x) f(c) lim x c x c ada. Nilai limit tersebut kemudian disebut turunan dari f di c, yang dilambangkan dengan f (c) atau Df(c). Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f f(x) f(c) (c) = lim. x c x c Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh f f(c + h) f(c) (c) = lim. h 0 h HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 4 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Catatan: f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat bilangan L = f (c) sedemikian sehingga f(c + h) f(c) Lh = ɛ(h) dengan ɛ(h) 0 untuk h 0. h Secara geometris, fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f(x) mempunyai garis singgung di titik (c, f(c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f (c). HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 5 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f(x) di titik (c, f(c)) dalam hal ini adalah y = f(c) + f (c)(x c). Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f(x). Jika x berubah dari c ke c + h, maka y akan bertambah kira-kira sebesar hf (c). Jadi, dengan mengetahui f, kita mengetahui bagaimana f berubah (bila x berubah). Catatan: Masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ditemukan oleh Isaac Newton pada 1665 (dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 6 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 7 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Contoh 1. Misalkan f(x) = x 2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai turunan di 1, kita hitung f(x) f(1) lim x 1 x 1 x 2 1 = lim x 1 x 1 = lim x 1 Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f (1) = 2. (x + 1) = 2. Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f(x) = x 2 mempunyai turunan di setiap titik c R, dengan f (c) = 2c. Fungsi f : c 2c disebut sebagai turunan dari f. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 8 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Contoh 2. Misalkan f(x) = x dan c = 0. Perhatikan bahwa f(h) f(0) lim h 0 h h = lim h 0 h tidak ada (mengapa?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0. Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c. Bukti. [Diberikan di papan tulis.] HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 9 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Catatan: Kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c. Kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] R yang didefinisikan sebagai { 2x, 0 x < 1; f(x) = 1, 1 x 2, tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 10 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik SOAL 1 Diketahui f(x) = x x, x R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0. 2 Konstruksi sebuah fungsi f : R R yang mempunyai turunan hanya di sebuah titik. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 11 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Dengan menggunakan definisi turunan dan sifat-sifat limit, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, fg, dan f/g mempunyai turunan di c, dan (i) (λf + µg) (c) = λf (c) + µf (c); (ii) (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c); ( (iii) f g ) (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g 2 (c) asalkan g(c) 0. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 12 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Bukti. (i) Latihan. (ii) Perhatikan bahwa [ ] 1 h f(c + [ h)g(c + h) ] f(c)g(c) = g(c + h) f(c+h) f(c) + f(c) untuk h 0. (iii) Latihan. g(c)f (c) + f(c)g (c), h [ g(c+h) g(c) h ] HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 13 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Contoh 5. Misalkan n N dan f(x) = x n. Maka turunan dari f adalah f (x) = nx n 1. Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f(x) = x, jelas bahwa f (x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika f(x) = x k, maka f (x) = kx k 1. Maka, untuk n = k + 1 atau f(x) = x k+1, kita peroleh f (x) = D(x k.x) = D(x k ).x + x k.d(x) = kx k 1.x + x k = (k + 1)x k. Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n N. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 14 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c dan f mempunyai turunan di y = g(c). Maka, f g mempunyai turunan di c dan (f g) (c) = f (g(c))g (c). Bukti. Berdasarkan definisi turunan, (f g) (c) = lim x c (f g)(x) (f g)(c) x c f(g(x)) f(g(c)) = lim. x c x c Bila g(x) g(c) 0 pada suatu interval terbuka (c δ, c + δ), maka (f g) f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) (c) = lim x c g(x) g(c) x c = f (g(c)) g (c). Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Bagaimana mengatasinya? HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 15 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Untuk mengatasinya, definisikan h(y) := { f(y) f(g(c)) y g(c), y g(c), f (g(c)), y = g(c). Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teorema 10 pada Bab 7, h g kontinu di c. Akibatnya, kita peroleh (f g) f(g(x)) f(g(c)) (c) = lim x c x c sebagaimana yang kita harapkan. = lim x c h(g(x)) = f (g(c)) g (c), g(x) g(c) x c HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 16 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan SOAL 1 Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku asalkan x > 0. D(x r ) = rx r 1 2 Misalkan f : R R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai invers f 1 : R R dan f 1 mempunyai turunan di y = f(x), maka Df 1 (y) = 1 Df(x). HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 17 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f, yaitu f, merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I. Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan dari f, yang nilainya di c adalah asalkan limit ini ada. f f (x) f (c) (c) = lim, x c x c HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 18 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi Dapat diperiksa bahwa bila f mempunyai turunan kedua di c, maka f(c + h) f(c) hf (c) h2 2 f (c) = ɛ(h), dengan ɛ(h) h 2 0 untuk h 0. Dengan mengetahui f, kita dapat mengetahui bagaimana f berubah. Secara geometris, turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f. Jika f bernilai positif pada suatu interval, maka f membesar sehingga grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut. Jika f bernilai negatif pada suatu interval, maka f mengecil sehingga grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 19 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f, turunan ketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n) (x) menyatakan turunan ke-n, n N, dari f. Contoh 7. Jika f(x) = 1 x, maka f (x) = 1 x 2 ; f (x) = 2 x 3 ; f (x) = 6 x 4 ; dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n) (x) untuk n N?) HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 20 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n 1 dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 21 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi SOAL 1 Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, dapat ditunjukkan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka f f(c + h) 2f(c) + f(c h) (c) = lim. h 0 h 2 Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada. 2 Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p (m) (x) = 0 untuk m > n. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 22 / 22