PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari subruang vektor Dapat menghitung kombinasi linier dan span Dapat mengetahui contoh aplikasinya RUANG VEKTOR 2

Ruang Vektor (bentuk Umum) RUANG VEKTOR 3

Ruang Vektor V adalah himpunan tidak kosong Didefinisikan 2 operasi terhadap obyekobyek di V: penjumlahan, notasi u + v perkalian skalar, notasi kv Catatan: perlu diingat bahwa penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4) perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5) RUANG VEKTOR 4

Ruang Vektor V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + ( u) = ( u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka ku V 7. k (u + v) = ku + kv 8. (k+m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km) u 10. 1u = u RUANG VEKTOR 5

Ruang Vektor perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka k u V ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor u -u 0 u 0 v u v 0 -v u u+v 0 ku ku 1 u+v 6 RUANG VEKTOR 6

Teorema 5.1.1: V merupakan ruang vektor, u V dan k adalah skalar. Maka 1) 0u = 0 2) k0 = 0 3) ( 1)u = -u 4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0 RUANG VEKTOR 7

Contoh : V = himpunan semua tripel bilangan nyata (x,y,z) dengan operasi-operasi penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z ) = (x+x, y+y, z+z ) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z) Apakah V merupakan ruang vektor? RUANG VEKTOR 8

penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z) V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 aksioma berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V jika u, v adalah tripel, maka (u+v) adalah tripel juga 2. u + v = v + u penjumlahan dua tripel, menurut aturan penjumlahan di atas, bersifat komutatif (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) = (x + x, y + y, z + z) 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w sifat asosiatif = (x, y, z ) + (x, y, z) RUANG VEKTOR 9

penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z ) = (x+x, y+y, z+z ) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z) 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u vektor nol 0 = (0, 0, 0) 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yg dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (-u) =( -u) + u = 0 negasi dari vektor (x, y, z) = ( x, y, z) 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka ku V jika k adalah skalar, maka ku adalah tripel RUANG VEKTOR 10

penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z ) = (x+x, y+y, z+z ) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z) 7. k(u + v) = ku + kv? k ( (x, y, z) + (x, y, z ) )= k (x+x, y+y, z+z ) = ( k(x+x ), y+y, z+z ) = (kx, y, z) + (kx, y, z ) = k(x, y, z) + k(x, y, z ) 8. (k + m)u = ku + mu? (k + m)u =( (k + m) x, y, z ) ku + mu = ( kx, y, z ) + ( mx, y, z ) = ( (k + m) x, 2y, 2z ) ternyata (k + m)u ku + mu Karena aksioma 8 gagal, maka V bukan ruang vektor RUANG VEKTOR 11

penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z ) = (x+x, y+y, z+z ) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z) 9. k(mu) = (km)u k(mu) = k(mx, y, z) = (km x, y, z) = (km)u 10. 1u = u 1(x, y, z) = (1x, y, z) = (x, y, z) RUANG VEKTOR 12

Bab 5.2 Sub-ruang (subspace) RUANG VEKTOR 13

Ruang Vektor Himpunan dengan operasi penjumlahan & perkalian skalar. V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma. RUANG VEKTOR 14

Ruang Vektor W disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1. Jika u, v W maka (u + v) W diketahui 2. u + v = v + u (*)diwariskan dari ruang vektor V 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w (*) 4. Ada vektor nol 0 W sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u W, ada vektor u W yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + ( u) = ( u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W diketahui 7. k (u + v) = ku + kv (*) 8. (k+m)u = ku + mu (*) 9. k(mu) = (km) u (*) 10. 1u = u (*) RUANG VEKTOR 15

Ruang Vektor W disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 4. Ada vektor nol 0 W sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u W, ada vektor u W yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + ( u) = ( u) + u = 0 Bukti 4: k = 0, u W ku = 0 lihat Teorema 5.1.1.(a) menurut 6: Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W maka vektor nol 0 W Bukti 5: k = 1, u W ku = ( 1 ) u = u lihat Teorema 5.1.1.(c) menurut 6: Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W maka vektor negatif u, u W ( berlaku untuk setiap vektor u W ) Catatan: u + ( u) = ( u) + u = 0 benar, sifat yang diwariskan dari V RUANG VEKTOR 16

Sub-Ruang : W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W RUANG VEKTOR 17

V V u W u 0 (u+v) u v (u+v) v W v (u+v) u (u+v) v 0 W subspacev W bukan subspace V RUANG VEKTOR 18

Teorema 5.2.1.: W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W Bukti: (1) diketahui : W subruang dari V buktikan : 1 dan 6 (2) diketahui : 1 dan 6 buktikan : W subruang dari V (artinya buktikan aksioma 1-10 dipenuhi di W) RUANG VEKTOR 19

Teorema 5.2.1.: W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W Bukti: (1) diketahui : W subruang dari V buktikan : 1 dan 6 bukti : karena W adalah sub-ruang V, maka W sendiri adalah ruang vektor aksioma 1-10 dipenuhi di W jadi 1, 6 dipenuhi RUANG VEKTOR 20

Teorema 5.2.1.: W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W Bukti: (2) diketahui : 1 dan 6 buktikan : W subruang dari V (artinya buktikan aksioma 1-10 dipenuhi di W) RUANG VEKTOR 21

Contoh : Misalkan W merupakan kumpulan vektor (x 1,x 2, x 3, x 4 ) di R 4 yang memenuhi persamaan x 1. x 2 = 0, apakah W merupakan subruang? Ambil : u (1,0, x3, x4) u v v x3 y3 x4 y4 v (0,1, y3, y4) (1,1), (0,1,, ) Bukan subruang sebab hasil perkalian komponen pertama dan kedua pada uv0 RUANG VEKTOR 22

Sub Ruang Hasil Jawaban SPL Himpunan dari semua vektor yang merupakan jawaban dari sistem persamaan homogin merupakan subruang di R n, dengan orde A adalah m x n. Contoh : Diberikan SPL homogen, x 1 + 3x 2 5x 3 + 7x 4 = 0 x 1 + 4 x 2 19x 3 + 10x 4 = 0 2x 1 + 5x 2 26x 3 + 11x 4 = 0 RUANG VEKTOR 23

Matriks Eselon-nya : 1 0 3 2 0 1 4 3 0 0 0 0 x x 3 4 variable bebas, misal : x3 = s dan x4 = t x2 = 4s 3t dan x1 = 3s + 2t Jawaban dalam bentuk vektor : x1 3s 2t 3 2 x 4s 3t 4 3 x 3 s 1 0 x4 t 0 1 2 x s t x su tv u (3, 4,1, 0) dan v (2, 3, 0,1) Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab. RUANG VEKTOR 24

Kombinasi Linier (Linear Combination) & Rentang (Span) RUANG VEKTOR 25

Definisi: Vektor w disebut kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n jika w = k 1 v 1 + k 2 v 2 +.. + k n v n k 1, k 2,.. k n adalah skalar Teorema 5.2.3.: Jika v 1, v 2,, v n merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v n RUANG VEKTOR 26

Teorema 5.2.3.: Jika v 1, v 2,, v r merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v r Bukti 1: W adalah subspace jika u, v W, maka (u + v) W Vektor u, v W; k i, c i, a i adalah skalar u = c 1 v 1 + c 2 v 2 +.. + c r v r v = k 1 v 1 + k 2 v 2 +.. + k r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r (u + v) = (c 1 + k 1 )v 1 + (c 2 + k 2 )v 2 +.. + (c r + k r )v r = a 1 v 1 + a 2 v 2 +.. + a r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r RUANG VEKTOR 27

Teorema 5.2.3.: Jika v 1, v 2,, v r merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v r Bukti 1: W adalah subspace jika u W, maka ku W Vektor u W; k, c i, d i adalah skalar u = c 1 v 1 + c 2 v 2 +.. + c r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r ku = kc 1 v 1 + kc 2 v 2 +.. + kc r v r = d 1 v 1 + d 2 v 2 +.. + d r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r RUANG VEKTOR 28

Contoh (1) : Nyatakanlah=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari=(2,0,3,1),= (4,1,3,2) dan= (1,3,-1,3) Jawab : Tentukanlah s 1,s 2, dan s 3 yang memenuhi : Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai : a s1u 1 s2u1 s3u3 2 4 1 7 0 1 3 7 s 1 s 2 s 3 3 3 1 9 1 2 3 11 ATAU 2s 1 + 4s 2 + s 3 = 7 s 2 + 3s 3 = 7 3s 1 + 3s 2 s 3 = 9 s 1 + 2s 2 + 3s 3 = 11 RUANG VEKTOR 29

Matriks lengkapnya : 2 4 1 7 0 1 3 7 3 3 1 9 1 2 3 11 Matriks Eselonnya : s 3 = 3, s 2 = -2, dan s 1 = 6 2 4 1 7 0 1 3 7 0 0 13 39 2 2 0 0 0 0 Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari : a 6u 2u 6u 1 1 3 RUANG VEKTOR 30

Contoh (2) : Jika u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2), tunjukkan bahwa w = (9,2,7) adalah kombinasi linier dari u dan v Penyelesaian: (9,2,7) = k 1 (1,2,-1) + k 2 (6,4,2) SPL nya : k 1 + 6 k 2 = 9 2k 1 + 4 k 2 = 2 -k 1 + 2 k 2 = 7 Jika diselesaikan, didapatkan k 1 = -3 dan k 2 = 2 RUANG VEKTOR 31

Rentang: Diketahui suatu Ruang Vektor V S = {v 1, v 2,, v r } dan S V W = { x x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S artinya: x = k 1 v 1 + k 2 v 2 +.. + k n v r } maka S adalah rentang (span) W RUANG VEKTOR 32

apakah R(7,7,9,11) == direntang adalah kombinasi linier dari Merentang : u=(2,0,3,1), v= (4,1,3,2) dan w= (1,3,-1,3) RUANG VEKTOR 33

Contoh (1): Jika u = (1,0,0),v = (0,1,0),dan w = (0,0,1) membangun R 3 sebab setiap vektor (x,y,z) di R 3 dapat dinyatakan sebagai (x,y,z) = x + y + z Contoh (2): Tentukan apakah vektor-vektor berikut merupakan span di R3 u = (2,2,2), v = (0,0,3), w = (0,1,1) u = (3,1,4), v = (2,-3,5), w = (5,-2,9) u = (3,1,4), v = (2,-3,5), w = (5,-2,9), z = (1,4,-1) RUANG VEKTOR 34

Catatan jumlah vektor penyusun > jumlah ruang tidak merentang Determinan matriks = 0 tidak merentang Hasil SPL = non trivial tidak merentang RUANG VEKTOR 35

Contoh: R 2 : ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor & perkalian skalar Sub-Ruang di R 2 : { (0, 0) } dan R 2 sendiri R 3 : ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor & perkalian skalar Sub-Ruang di R 3 : { (0, 0, 0) } dan R 3 sendiri RUANG VEKTOR 36

RUANG VEKTOR 37

RUANG VEKTOR 38

c) (a,b,c), dimana b = a + c Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c) ambil U = (a 1, a 1 + c 1, c 1 ) dan V = (a 2, a 2 +c 2, c 2 ) U + V = (a 1 + a 2, a 1 + c 1 + a 2 +c 2, c 1 + c 2 ) memenuhi Ambil k skalar k U = k (a 1, a 1 + c 1, c 1 ) = ( k a 1, k(a 1 + c 1), k c 1 ) memenuhi Jadi sub ruang R 3 RUANG VEKTOR 39

Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1 Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c) ambil V U (a, ( a 1 +c 1 +1), c 1 ) a c 1, ) ( a2, 2 2 c2 U V a 1 a2 a1 a2 c1 c2 2,, c c Adalah vektor (a, b, c) Ternyata b = a 1 + a 2 +c 1 + c 2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang. 1 2 RUANG VEKTOR 40