PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Bentuk-bentuk khusus matriks persegi Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Matriks simetrik Matriks diagonal Matriks identitas Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah Matriks tridiagonal Matriks Hessenberg (pentadiagonal) 2 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Bentuk umum Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Bentuk umum dari SPL: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n Dalam bentuk matriks, SPL di atas dapat ditulis dengan Ax = b, dimana a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, x = a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n, b = Bagaimana menentukan solusi untuk x = [x 1 x 2 x n ] T? 3 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier b 1 b 2 b n

Tentang solusi SPL Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Ada tiga kemungkinan mengenai solusi SPL: (a) Tidak ada solusi (b) Tak-hingga solusi (c) Solusi tunggal Tafsiran geometris: 4 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Matriks koefisien, matriks lengkap SPL, dan OBE Pada persamaan sebelumnya, A disebut matriks koefisien Matriks yang dibentuk oleh matriks A dengan penambahan vektor kolom b disebut matriks lengkap dari SPL, yaitu a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a n1 a n2 a nn b n Operasi baris elementer (OBE): Menukarkan dua buah baris Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta tak-nol Menambahkan k kali baris ke-i pada baris ke-j Sifat: OBE tidak mengubah penyelesaian SPL 5 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

SPL segitiga atas Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Bentuk umum dari SPL segitiga atas: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x 1 = b 1 a 22 x 2 + + a 2n x 2 = b 2 a nn x n = b n Matriks lengkap dari SPL segitiga atas: a 11 a 12 a 1n b 1 a 22 a 2n b 2 Sifat: SPL segitiga atas mempunyai solusi tunggal jika dan hanya jika setiap elemen diagonal dari matriks koefisiennya tidak nol, yaitu a kk 0,k = 1,2,,n 6 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier a nn b n

SPL segitiga atas - contoh Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Selesaikan SPL segitiga atas berikut: 4x 1 x 2 +2x 3 +3x 4 = 20 2x 2 +7x 3 4x 4 = 7 6x 3 +5x 4 = 4 3x 4 = 60 7 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

SPL segitiga atas - substitusi mundur Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Solusi dari SPL segitiga atas secara umum dapat dihitung sebagai berikut: x n x n 1 x n 2 = b n /a nn = (b n 1 a n 1,n x n )/a n 1,n 1 = (b n 2 (a n 2,n 1 x n 1 +a n 2,n x n ))/a n 2,n 2 x k = x 1 = ( n b k a ki x i )/a kk i=k+1 ( n b 1 a 1i x i )/a 11 i=2 Proses perhitungan di atas dinamakan substitusi mundur, karena 8 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Algoritma substitusi mundur Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Apa saja yang harus diperhatikan? Dalam setiap iterasi, sebelum nilai x k dihitung, dilakukan pemeriksaan terlebih dahulu terhadap elemen diagonal a kk (proses dihentikan jika ) Misalkan à adalah matriks lengkap Maka vektor b berada pada kolom ke dari matriks à 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Substitusi mundur dan maju Algoritma substitusi maju? (pada SPL segitiga bawah) 10 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

- contoh Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, selesaikan SPL berikut ini: x 1 + x 2 + 2x 3 = 1, 3x 1 x 2 + x 3 = 1, x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 11 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Dua tahap besar pada metode eliminasi Gauss 1 Tahap eliminasi (maju), yaitu mengubah SPL semula menjadi SPL segitiga atas melalui serangkaian OBE (operasi ini tidak mengubah solusi dari SPL semula) 2 Tahap substitusi mundur, yaitu menyelesaikan SPL segitiga atas yang terbentuk 12 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah pertama: membuat agar elemen-elemen kolom pertama mulai baris ke-2, 3,, n (yaitu a 21,a 31,,a n1 ) menjadi nol a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 0 a n2 a nn a n,n+1 Catatan: Notasi menyatakan bahwa proses yang dilakukan adalah melalui serangkaian OBE Elemen-elemen pada kedua matriks lengkap di atas menggunakan notasi yang sama, yaitu a ij Hal ini tidak berarti bahwa nilainya juga sama Pemakaian notasi yang sama ini ditujukan untuk keperluan pada pemrograman komputer 13 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah pertama - ilustrasi a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 (b) 2 (b) 2 a 21 a 11 (b) 1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 (b) 3 (b) 3 a 31 a 11 (b) 1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 0 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 (b)n (b)n a n1 a 11 (b) 1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 0 a 32 a 3n a 3,n+1 0 a n2 a nn a n,n+1 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah pertama - algoritma (b) 2 (b) 2 a21 a 11 (b) 1 (b) 3 (b) 3 a31 a 11 (b) 1 (b) n (b) n an1 a 11 (b) 1 15 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah kedua: mengeliminasi kolom kedua dari matriks lengkap SPL a 11 a 12 a 13 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 23 a 2n a 2,n+1 0 a 32 a 33 a 3n a 3,n+1 0 a n2 a n3 a nn a n,n+1 (b) 3 (b) 3 a 32 a 22 (b) 2 (b) 4 (b) 4 a 42 a 22 (b) 2 (b)n (b)n a n2 a 22 (b) 2 a 11 a 12 a 13 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 23 a 2n a 2,n+1 0 0 a 33 a 3n a 3,n+1 0 0 a n3 a nn a n,n+1 Langkah ke-3,4,,n 1: mengeliminasi kolom ke-3,4,,n 1 dari matriks lengkap SPL Hasil akhir dari tahap eliminasi adalah suatu SPL segitiga atas Solusi SPL dapat diperoleh dengan menjalankan algoritma substitusi mundur 16 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - algoritma tahap eliminasi Catatan: elemen pembagi pada tahap eliminasi, yaitu a[k, k] dinamakan elemen penumpu (pivot) 17 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Algoritma metode eliminasi Gauss Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Kelemahan metode eliminasi Gauss & perbaikannya Kelemahan metode eliminasi Gauss: Proses eliminasi tidak dapat dilakukan jika elemen penumpu (pivot) bernilai nol Jika nilai mutlak dari elemen pivot sangat kecil, maka pada realisasi komputer akan menimbulkan perambatan galat pembulatan yang besar Cara memperbaikinya? Perlu dipilih elemen penumpu yang nilai mutlaknya besar Hal ini direalisasikan dengan melakukan pertukaran baris dan/atau kolom pada matriks lengkap Pertukaran baris tidak mengubah solusi SPL Pertukaran kolom bagaimana? Teknik pemilihan elemen penumpu ini dinamakan teknik penumpuan (pivoting) 19 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Beberapa macam teknik penumpuan Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Penumpuan total Elemen penumpu diambil dari max k i,j n a ij Memerlukan pertukaran baris dan/atau kolom Penumpuan parsial Elemen penumpu diambil dari max k i n a ik Hanya memerlukan pertukaran baris saja Penumpuan parsial terskala Elemen penumpu diambil dari max k i n a ik/a kk Hanya memerlukan pertukaran baris saja Elemen penumpu yang dipilih kemudian ditempatkan pada posisi (k, k) dari matriks lengkap SPL 20 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - contoh 21 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - algoritma? 22 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - algoritma 23 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Beberapa SPL dengan matriks koefisien sama Pandang dua SPL berikut: x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 13 2x 1 + 4x 3 + 3x 4 = 28 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 20 3x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 8 2x 1 + 4x 3 + 3x 4 = 9 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 9 3x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3 Matriks lengkap dari dua SPL tersebut dapat ditulis: 1 2 1 4 13 8 2 0 4 3 28 9 4 2 2 1 20 9 3 1 3 2 6 3 Solusi dari masing-masing SPL dapat ditentukan dengan metode eliminasi Gauss 24 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Kuis Review Matriks dan SPL Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Perhitungan determinan - dasar teori Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Teorema (determinan matriks segitiga atas) Jika A matriks segitiga atas berukuran n n, maka det(a) = Bukti Lakukan ekspansi kofaktor berkali-kali sepanjang baris terakhir Teorema (pengaruh OBE terhadap nilai determinan suatu matriks) Misalkan A matriks berukuran n n Bukti Jika B adalah matriks hasil dari perkalian suatu baris (kolom) matriks A dengan konstanta k, maka det(b) = k det(a) Jika B adalah matriks hasil dari pertukaran dua baris (kolom) matriks A, maka det(b) = det(a) Jika B adalah matriks hasil penambahan k kali baris (kolom) ke baris (kolom) lain dari matriks A, maka det(b) = det(a) 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier n i=1 a ii

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Perhitungan determinan - penerapan, contoh, & algoritma Untuk menghitung determinan suatu matriks, lakukan serangkaian OBE terhadap matriks tersebut sedemikian sehingga menjadi matriks segitiga atas Perhatikan perubahan nilai determinan selama melakukan OBE Contoh Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial, tentukan determinan dari Algoritmanya? 1 2 1 4 2 0 4 3 4 2 2 1 3 1 3 2 27 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Perhitungan determinan - algoritma Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Masukan: n ukuran matriks a[i,j] i=1,2,,n; j=1,2,,n elemen-elemen matriks Keluaran: d Langkah-Langkah: nilai determinan matriks 1 f:=0 2 d:=1 3 (*tahap eliminasi dengan pivoting*) untuk k=2,3,,n m:=k-1 untuk i=k,k+1,,n jika abs(a[i,k-1])>abs(a[m,k-1]) maka m:=i jika m~=k-1 maka f:=f+1 untuk j=k-1,k,,n s:=a[k-1,j] a[k-1,j]:=a[m,j] a[m,j]:=s jika abs(a[k-1,k-1])<1e-15 maka proses gagal, stop untuk i=k,k+1,,n p:=a[i,k-1]/a[k-1,k-1] untuk j=k-1,k,,n a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k-1,j] d:=d*a[k-1,k-1]; 4 d:=(-1)^f*d*a[n,n]; 28 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Perhitungan invers Review Matriks dan SPL Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (eliminasi maju dan mundur): [ A I ] [ I A 1 ] [justifikasi!] Contoh Algoritmanya? 29 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Perhitungan invers - algoritma Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Masukan: n ukuran matriks a[i,j] i=1,2,,n; j=1,2,,n elemen matriks Keluaran: b[i,j] i=1,2,,n; j=1,2,,n elemen invers matriks Langkah-Langkah: 1 (*tahap menggandengkan matriks identitas*) untuk i=1,2,,n untuk j=n+1,n+2,,2*n jika i=j+n maka a[i,j]:=1 jikatidak a[i,j]:=0 2 (*tahap eliminasi maju dengan pivoting*) untuk k=2,3,,n m:=k-1 untuk i=k,k+1,,n jika abs(a[i,k-1])>abs(a[m,k-1]) maka m:=i jika m~=k-1 untuk j=k-1,k,,2*n s:=a[k-1,j] a[k-1,j]:=a[m,j] a[m,j]:=s jika abs(a[k-1,k-1])<1e-15 maka proses gagal, stop untuk i=k,k+1,,n p:=a[i,k-1]/a[k-1,k-1] untuk j=k-1,k,,2*n a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k-1,j] 3 (*tahap eliminasi mundur*) untuk k=n-1,n-2,,1 jika abs(a[k+1,k+1])<1e-15 maka proses gagal, stop untuk i=k,k-1,,1 p:=a[i,k+1]/a[k+1,k+1] untuk j=1,2,,k+1 a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k+1,j] untuk j=n+1,n+2,,2*n a[i,j]:=a[i,j]-p*a[k+1,j] 4 (*tahap mendapatkan invers matriks*) untuk i=1,2,,n untuk j=n+1,n+2,,2*n b[i,j-n]:=a[i,j]/a[i,i] 30 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Modifikasi eliminasi Gauss untuk SPL tridiagonal Perhatikan matriks SPL tridiagonal berikut: b 1 c 1 x 1 d 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b x 2 d 2 3 x 3 = d 3 cn 1 x n d n a n Pada SPL tersebut, banyak sekali koefisiennya yang bernilai nol Bagaimana algoritma yang paling efisien untuk mencari solusi SPL tersebut? TUGAS BACA! b n 31 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Definisi faktorisasi LU dan kegunaannya Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Definisi (/Segitiga) Matriks nonsingular A dikatakan mempunyai faktorisasi LU (juga dikenal dengan faktorisasi segitiga) jika ia dapat ditulis sebagai perkalian matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U, yaitu A = LU Misalkan matriks koefisien A dari SPL Ax = b mempunyai faktorisasi LU Maka Ax = b (LU)x = b L(Ux) = b Sekarang misalkan d = Ux SPL segitiga bawah Ld = b dapat diselesaikan dengan substitusi maju Setelah d diperoleh, solusi x dapat dicari dari SPL segitiga atas Ux = d dengan substitusi mundur 32 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Ilustrasi Review Matriks dan SPL Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks 33 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Beberapa jenis faktorisasi LU Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Secara umum faktorisasi LU tidak tunggal Agar hasilnya tunggal, biasanya dilakukan dengan memilih matriks L dan U yang memiliki sifat tertentu Beberapa faktorisasi LU yang dikenal: Faktorisasi/dekomposisi Doolitle, yaitu elemen diagonal utama matriks L dipilih bernilai 1 Faktorisasi/dekomposisi Crout, yaitu elemen diagonal utama matriks U dipilih bernilai 1 Faktorisasi/dekomposisi Cholesky, yaitu matriks U dibuat sama dengan L T jika A matriks simetris 34 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Doolitle dengan eliminasi Gauss - proses Misalkan dari tahap eliminasi pada eliminasi Gauss diperoleh a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 0 a (1) 22 a (1) 2n = U, a n1 a n2 a nn 0 0 a nn (n 1) dimana a (k) ij menyatakan elemen matriks A pada posisi (i, j) yang nilainya merupakan hasil dari OBE pada iterasi ke-k Meskipun tidak muncul secara langsung, matriks L juga dihasilkan dari proses eliminasi ini, yaitu diberikan oleh 1 0 0 l 21 1 0 L =, l n1 l n2 1 dimana l ij = a (j 1) ij /a (j 1) jj dan a (0) i1 = a i1 [periksa!] 35 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Doolitle dengan eliminasi Gauss - algoritma 36 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Perhitungan invers matriks - dasar teori & penerapan Diberikan sistem 1 0 Ax 1 =, Ax 2 = 0 0 1 0,,Ax n = 0 0 1, dimana A adalah matriks berukuran n n dan x 1,x 2,,x n adalah vektor-vektor berukuran n 1 Jika A dapat diinverskan, maka A 1 = [x 1 x 2 x n ] [tunjukkan!] Solusi x 1,x 2,,x n dapat ditentukan dengan menggunakan faktorisasi LU Karena sistem di atas memiliki matriks koefisien yang sama, maka matriks L dan U cukup dihitung sekali 37 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Perhitungan invers matriks - algoritma Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks 38 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Contoh 1 Review Matriks dan SPL Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Tentukan matriks dekomposisi LU yang memenuhi 1 3 6 1 0 0 a 11 a 12 a 13 A = 4 8 1 = m 21 1 0 0 a 22 a 23 = LU 2 3 5 m 31 m 32 1 0 0 a 33 39 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Contoh 2 Review Matriks dan SPL Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks 40 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Metode iterasi? Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Alternatif metode untuk menyelesaikan SPL (dan juga SPNL) Metode iteratif dimulai dengan sebuah tebakan awal, kemudian digunakan suatu metode sistematis untuk memperoleh barisan yang diharapkan konvergen ke solusi yang ingin dicari Metode iteratif untuk SPL: metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel Metode iteratif untuk SPNL: metode substitusi berturutan dan metode Newton-Raphson (kasus multivariat) [tidak dipelajari] 41 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Ilustrasi Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Figure : (a) Metode Gauss-Seidel, (b) Metode Jacobi 42 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Metode Jacobi Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Diberikan SPL berikut: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n Rumus iterasi dari metode Jacobi: n x (k+1) i = b i a ij x (k) /a ii, i = 1,2,,n j=1,j i Catatan: indeks (k) menyatakan langkah iterasi [ ] T Ambil tebakan awal x = x (0) 1 x (0) 2 x n (0) Kriteria penghentian iterasi: max x (k) < ǫ j x (k+1) i 1 i n 43 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier i

Algoritma metode Jacobi Metode Jacobi vs Gauss-Seidel 44 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Metode Gauss-Seidel Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Diberikan SPL berikut: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n Rumus iterasi dari metode Gauss-Seidel: i 1 n x (k+1) i = b i a ij x (k+1) j a ij x (k) j /a ii, i = 1,2,,n j=1 j=i+1 Catatan: indeks (k) menyatakan langkah iterasi [ ] T Ambil tebakan awal x = x (0) 1 x (0) 2 x n (0) Kriteria penghentian iterasi: max x (k) < ǫ x (k+1) i 1 i n 45 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier i

Algoritma metode Gauss-Seidel Metode Jacobi vs Gauss-Seidel 46 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Kekonvergenan metode Jacobi dan Gauss-Seidel Metode Jacobi dan Gauss-Seidel tidak selalu konvergen Syarat cukup agar kedua metode tersebut konvergen adalah matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal, yaitu n a ii > a ij, i = 1,2,,n j=1,j i Sebelum metode Jacobi dan Gauss-Seidel digunakan, lakukan dulu pemeriksaan apakah matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal Salah satu cara agar matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal adalah dengan menukarkan baris-baris dari SPL tersebut Bila proses penukaran baris tidak berhasil membuat matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal, maka metode Jacobi dan Gauss-Seidel biasanya tidak dapat digunakan 47 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier